﹐始點在

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：99.11.11 範

圍

2-3、4 空間向量(2)、

平面方程式(1)

班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 設 X﹐Y﹐Z 三點分別為在空間坐標系中 x 軸﹐y 軸﹐z 軸上的點﹐求∠XOY 在 xy 平面上 的平分線與∠YOZ 在 yz 平面上的平分線之夾角﹒

解答

3 2 3

π π 或

解析 ∠XOY 在 xy 平面上的平分線之一方向向量為



a = (1﹐1﹐0)

∠YOZ 在 yz 平面上的平分線之一方向向量為



b _{= (0﹐1﹐1)}

設夾角為θ﹐則 cosθ = ¹ ¹

2 2 2

| || | a b a b

⋅ = =

   

∴ θ = 3

π ﹐另一夾角為 3 2π

2. 有一向量



a ﹐始點在(1﹐− 5 2 ﹐0)﹐|



a |_{= 10﹐方向角為} 3 π ﹐

4 π ﹐

3 2π

﹐試求其終點 坐標﹒

解答 (6﹐0﹐− 5)

解析設終點坐標為(x﹐y﹐z)﹐則



a = (x − 1﹐y + 5 2 ﹐ 0z− ) 10(cos , cos , cos² )

3 4 3

π π π

=

∴ 1 10 cos 5

x_{− =} π3 ₌ ⇒ x = 6 5 2 10 cos 5 2

y₊ ₌ π4 ₌ ⇒ y = 0 0 10 cos² 5

z_{− =} 3π _{= −} ⇒ z = − 5 故終點坐標為(6﹐0﹐− 5)

3. 設△ABC 之三邊長 x﹐y﹐z 滿足 x − 2y + z = 0 及 3x + y − 2z = 0﹐則△ABC 中之最大角是 多少度﹖

解答 120°

(2)

解析 ² ⁰

3 2 0

x y z x y z

− + =

 + − =







 ⇒ ² 2

 × +

 + ×



 

  ⇒ ⁵ ³ ⁰

7 3 0

x y x z

− =

 − =

 ⇒

5 3 7 3

y x

z x

 =

 =



⇒ : : :⁵ :⁷ 3 : 5 : 7 3 3

x y z=x x x=

設三邊長為 x = 3k﹐y = 5k﹐z = 7k 則最大角之 cosθ =

) 5 )(

3 ( 2

) 7 ( ) 5 ( ) 3

( ² ² ²

k k

k + − = −

2

1﹐θ = 120° ∴ 最大角為 120°

4. 空間中有三點 P(6﹐− 4﹐4)﹐Q(2﹐1﹐2)﹐R(3﹐− 1﹐4)﹐則 (1)△PQR 之面積=﹖(2)P 點到直線 QR 的最短距離=﹖

解答 (1) 2 9;(2)3

解析 QP



= (4﹐− 5﹐2)﹐QR



= (1﹐− 2﹐2)

(1)|QP



| = 16+25+4= 3 5 ﹐|QR



| = 1+4+4= 3， QP



．QR



= 4 + 10 + 4 = 18 ∴ △QPR 之面積=

2

1 2 2 2

18 3 ) 5 3

( ． − =

2 1 81 =

2 9

(2)設 P 到QR



之最短距離= d，△QPR 之面積=

2

1．d．QR⇒ 2 9=

2

1．3．d ⇒ d = 3

5. 設△ ABC 中﹐A(4, 3, 2)﹐B(2, 1, 1)﹐C(5, −2, 4)﹐求B在 AC 邊上的投影坐標.

解答 (²¹, 2, ¹²)

5 5

解析設B在 AC 邊的投影為K﹐由AC



=(1, −5, 2)_﹐_AB



_{= −}_{( 2,} ₋_2, ₋₁₎_﹐

得AB AC

 

⋅ =6_﹐ ²

2

30 ( )

| | AB AC

AC AK AC

AC

= ⇒ =

 

⋅

   

^；

即 ⁶ ( , 1, )¹ ²

30 5 5

AK

 

= AC = − _﹐故 : (4, 3, 2) ( , 1, )¹ ²

5 5

K + − ⇒ 21 12

( , 2, )

5 5

K .

6. 設 A(4﹐1﹐3)﹐B(6﹐3﹐4)﹐C(4﹐5﹐6)為空間中三點﹐若△ABC 中﹐∠A 的分角線交 BC 於 D 點﹐外角平分線交直線 BC 於 E 點﹐求 D﹐E 之坐標﹒

解答 D(

4 21﹐

4 15﹐

4

19)﹐E(9﹐0﹐1)

(3)

解析 AB= (6−4)²+(3−1)² +(4−3)² = 3﹐AC= (4−4)²+ −(5 1)²+ −(6 3)² = 5 (1)設 D 點坐標為(x1﹐y1﹐z1) ∵ ∠A 之分角線交 BC 於 D ∴

5

=3

= AC AB DC BD

由分點公式

4 21 5

3 4 3 6 5

1 =

+

× +

= ×

x ﹐

4 15 5

3 5 3 3 5

1 =

+

× +

= ×

y ﹐

4 19 5

3 6 3 4 5

1 =

+

× +

= × z

∴ D(

4 19 4 15 4

21，， )

(2)設 E 點坐標為(x2﹐y2﹐z2) ∵

E 是∠A 之外角平分線與直線 BC 之交點 ∴

5

=3

= AC AB CE BE

∵ E-B-C ∴ EB：BC = 3﹕2 由分點公式

2 3

6 3 4 2

2 3

5 3 3 2

2 3

4 3

6 2 ² ² ²

+

×

= + +

×

= + +

×

= x + y z

，

⇒ x2 = 9﹐y2 = 0﹐z2 = 1 故 E(9﹐0﹐1)

7. 設



a = (1﹐1﹐2)﹐



b = (2﹐− 1﹐1)﹐求與



a ﹐



b 同時垂直且長度2 3的向量﹒

解答 ±(2, 2, −2) 解析 SOL 一：

令

 

c ⊥ a ﹐

 

c ⊥ b 且



c =( , , )l m n

則 ² ⁰

2 0

l m n l m n + + =

 − + =







 ⇒ ² 2

 +

 − ×





  ⇒ ³ ³ ⁰

3 3 0

l n l m + =

− + =

 ⇒ ⁿ ^l

m l

 = −

 =

∴



c =( , ,l l −l)_﹐又



_c ₌_{2 3}

∴ l²+ + −l² ( l)² =(2 3)² ⇒ l= ±2故所求為±(2, 2, 2)− SOL 二：

1 2 2 1 1 1

( , , ) (3, 3, 3) 1 1 1 2 2 1

a× b = = − ⇒

− −

 

_所求

2 2 2

(3, 3, 3)

2 3[ ] (2, 2, 2)

3 3 ( 3)

± − = ± −

+ + −

8. 設二向量



a = (1﹐x − 1﹐2)﹐



b = (− 1﹐0﹐3) (1) 若



^a ﹐



b 的夾角 45°﹐求 x 的值﹒

(2) 承(1) 若 2



a + t



b 平分



a ﹐



b 之夾角﹐求實數 t 的值﹒

(4)

解答 (1)1;(2) 2

解析 (1)



a = (1﹐x − 1﹐2)﹐



b = ( − 1﹐0﹐3)

|



a _{| =} 1 (+ x−1)²+ =4 x²−2x+6 ﹐|



b | = 1 9+ = 10﹐



a ．



b = − 1 + 0 + 6 = 5 由



a ．



b = |



a ||



b |cos45°知﹐5 =

2 10 1 6

2 2

． + ．

− x x

∴ 25 = 5(x² − 2x + 6) ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 (2)由(1)之結果﹐知



a = (1﹐0﹐2)﹐



b = (− 1﹐0﹐3) 2



a + t



b 平分



a 與



b 的夾角﹐則|2



a | = | t



b | = t |



b | 2²+ +0 4² =t 1²+ +0 3² ⇒ 20= 10t ⇒ t= 2

9. 設 a﹐b﹐c ∈ R﹐且a²+b²+c² =9﹐試求 a﹐b﹐c 之值使 a + 2b − 2c 有最大值﹐最小值﹒

解答 a = 1﹐b = 2﹐c = − 2 時有最大值 9﹔a = − 1﹐b = − 2﹐c = 2 時有最小值− 9 解析

∵(a + 2b − 2c)²≦(a² + b² + c²)(1² + 2² + (− 2)²)﹐且 a² + b² + c² = 9

∴ (a + 2b − 2c)²≦ 9 × 9 ⇒ − 9 ≤ a + 2b − 2 c ≤ 9 等號成立 ⇔

1 a=

2 b=

−2

c ﹐設 a = k﹐b = 2k﹐c = − 2k

則當 a + 2b − 2c = 9 時﹐k + 4k + 4k = 9 ⇒ k = 1，(a﹐b﹐c) = (1﹐2﹐− 2) 當 a + 2b − 2c = − 9 時﹐k + 4k + 4k = − 9 ⇒ k = − 1，(a﹐b﹐c) = (− 1﹐− 2﹐2) 故(a﹐b﹐c) = (1﹐2﹐− 2)時﹐a + 2b − 2c 有最大值 9

(a﹐b﹐c) = (− 1﹐− 2﹐2)時﹐a + 2b − 2c 有最小值− 9

10. 設 x﹐y﹐z ∈ R﹐x + y + z = 4﹐求 x﹐y﹐z 之值使 x² + y² + z² + 2x − 4y 有最小值﹐並求此 最小值﹒

解答 x = 0﹐y = 3﹐z = 1﹔− 2 解析

∵ x² + y² + z² + 2x − 4y = (x + 1)² + (y − 2)² + z² − 5 由柯西不等式知

[1．(x + 1) + 1．(y − 2) + 1．z]² ≦ (1² + 1² + 1²)[(x + 1)² + (y − 2)² + (z)²]

(5)

⇒ (x + y + z − 1)² ≦ 3[(x + 1)² + (y − 2)² + z²]

∵ x + y + z = 4 ∴(4 − 1)² ≦3 [(x + 1)² + (y − 2)² + z²]

⇒ (x + 1)² + (y − 2)² + z²≥ 3 ⇒ (x + 1)² + (y − 2)² + z² − 5 ≥ − 2

當 1 1

2 1

1 y z

x+ = − =

時﹐x² + y² + z² + 2x − 4y = − 2 為最小值

∵ x + y + z = 4 ∴ 此時 x = 0﹐y = 3﹐z = 1

11. 設 x﹐y﹐z ∈ R 且 1

4 ) 3 ( 5

) 2 ( 16

) 1

(x− ² + y+ ² + z− ² = ﹐求 x + y + z 之最大值﹐最小值﹒

解答最大值 7﹐最小值 − 3 解析

∵ 1

4 ) 3 ( 5

) 2 ( 16

) 1

(x− ² + y+ ² + z− ² =

﹐由柯西不等式知

[ ．． ) 2．

5 ( 2 5 4 )

( 1

4 x− + y+ +

2 ) (z−3

]² ≦[4² + ( 5 )² + 2²] ) ] 2 ( 3 ) 5 ( 2 4 )

[(x−1 ² + y+ ² + z− ²

⇒ (x + y + z − 2)² ≦ 25 × 1 ⇒ − 5 ≤ x + y + z − 2 ≤ 5

∴ − 3 ≤ x + y + z ≤ 7﹐故 x + y + z 之最大值為 7﹐最小值為 − 3

12. 設 x﹐y﹐z 為正實數且 x + y + z = 1﹐試求

z y x

9 4

1+ + 的最小值﹐並求有最小值時的 x﹐y﹐

z 之值﹒

解答最小值 36﹐此時 ¹ ¹

6 3

x= ，y= 1 z=2

，

解析

( z

y z x y

x． 2． 3．

1 + + )² = 36 ≦ [ 1 ² 2 ² 3 ² ( ) ( ) ( )

x + y + z ][( x)²+( y)²+( z)²] 36≦(x + y + z )(

z y x

9 4 1 + + )

36≦

z y x

9 4 1 + +

∴x y z 9 4

1 + + 最小值 36﹐此時

z z y y x x

3 2

1 = = ⇒







= + +

=

1 3 2

z y x

z x y

⇒ 2

1 3 1 6

1 = =

= y z

x ，，

13. 有一隻小螞蟻在建立了直角坐標系的空間中在斜坡上順著向量



v = (− 2﹐− 1﹐2)爬行﹐

起始點的位置是(1﹐2﹐3)﹒在此直角坐標系裡﹐x﹐y﹐z 軸上的一單位皆代表一公分長﹐

小螞蟻每分鐘爬行 99 公分﹒若爬行方向不變﹐則小螞蟻 5 分鐘後的位置在哪裡﹖以坐 標表示﹐不必寫出單位﹒

解答 (− 329﹐− 163﹐333)

(6)

解析

| | v v

 

⁼⁽⁻²^，³⁻¹^，²⁾^{= (}⁻³²^﹐⁻³¹^﹐³²)（單位向量）﹐小螞蟻共爬了 99 × 5 = 495 所求= (1﹐2﹐3) + 495(

3

−2

﹐ 3

−1

﹐3

2) = ( − 329﹐− 163﹐333)

14. EFGH - ABCD 是一正方體﹐四邊形 EDBG 是一矩形﹐對角線 DG ﹐EB交於 O 點﹐求 cos∠BOG 及 cos∠BDG﹒

解答 3 1﹐

3 6

解析 (1)EB



= (1﹐1﹐− 1)﹐DG



= (1﹐1﹐1)﹐

設∠BOG = θ﹐則 θ 為EB



_﹐_DG



的夾角 ∴ cosθ =

| || | DG EB DG EB

   

^． ⁼ ¹³⁺^．¹⁻¹³⁼³¹

(2)令∠BDG = φ﹐則 cosφ =

| || | DG DB DG DB

   

^． ⁼ ²¹^．⁺¹ ³⁼ ^{2 =}⁶ ³⁶

15. 有一長方體 ABCD - EFGH﹐已知AB= 4﹐AE= 2﹐AD= 4﹐若此長方體的兩條對角線 EC 與 AG 的銳夾角為 θ﹐則 cosθ =____________﹒

解答 9 7;

解析如圖﹐建立直角坐標系 EC



= (− 4﹐4﹐− 2)﹐|EC



| = 6

AG



= (− 4﹐4﹐2)﹐|AG



| = 6； cosθ =

| | | | EC AG EC AG

   

^．_． ⁼¹⁶⁺⁶¹⁶^×⁶⁻⁴⁼⁹⁷

16. 設



a =(3, 0, 5)_﹐



_a ₌_{(2, 1, 3)}_﹐

(1)若



c =(1, 2, −1)_{﹐且 (}

  

_a ₊_{t b}₎_⊥ _c _{﹐求實數 t﹒}

(2)若



d =(1, 2, k)_{﹐且 (}

  

_a ₊_{r b} _{) //} _d _{﹐求實數 k﹐r﹒}

(7)

解答 (1)2;(2)k=1﹐ r=－2 解析

(1)

 

a +t b =(3, 0, 5)+t(2, 1, 3) = +(3 2 , , 5 3 )t t + t ﹐ 由 (

  

a +t b ) ⋅ c =0⇒ +(3 2 , , 5 3 )t t + t ⋅ (1, 2, − =1) 0 ⇒ + + − − = ⇒ = ﹒ 3 2t 2t 5 3t 0 t 2 (2)

 

_a +_{r b} = +(3 2 ,_{r r}, 5 3 ) //+ _r



_d ^{3 2} ^{5 3}

1 2

+ +

⇒ r = =r r

k 6 4 ( , ) (1, 2)

10 6

r r

rk r k r

 = +

⇒ = + ⇒ = − ﹒

17. 設 A(2﹐0﹐0)﹐B(− 1﹐− 2﹐− 2)﹐C(4﹐3﹐− 2)﹐則

(1)△ABC 的面積為____________﹒ (2)過 A﹐B﹐C 三點之平面 E 方程式為____________﹒

解答 (1) 2

15;(2) 2x − 2y − z − 4 = 0 解析

AB



= (− 3﹐− 2﹐− 2)﹐AC



= (2﹐3﹐− 2)

2 2 2 3 3 2

( , , ) (10, 10, 5) 2(2, 2, 1)

3 2 2 2 2 3

AB AC − − − − − −

× = = − − = − −

− −

 

_﹐

(1)△ABC 的面積 ¹| | 2 AB AC

=

 

× ₌¹ ₁₀² _{( 10)}² _{( 5)}² ¹⁵ 2 + − + − = 2 = (2)設E之法向量



n ，取



n = (2﹐− 2﹐− 1)且平面過 A(2﹐0﹐0) ∴ E﹕2(x − 2) − 2(y − 0) − (z − 0) = 0 ⇒ E﹕2x − 2y − z − 4 = 0

18. 空間中含 A(1﹐0﹐0)﹐B(0﹐1﹐0)﹐C(0﹐0﹐1)之平面方程式為____________﹒

解答 x + y + z = 1 解析

用截距式得

1 1 1

z y

x+ + = 1﹐即 x + y + z = 1

19. 求含 A(2﹐1﹐0)﹐B(1﹐0﹐2)﹐C( − 1﹐1﹐1)的平面 E 之方程式____________﹒

解答 x + 5y + 3z − 7 = 0 解析

AB



= ( − 1﹐− 1﹐2)﹐AC



= ( − 3﹐0﹐1) 設E之法向量



n =( , , )a b c _﹐則 ² ⁰

3 0

a b c a c

− − + =

− + =



(8)

1 2 2 1 1 1

: : : : ( 1) : ( 5) : ( 3) 0 1 1 3 3 0

a b c − − − −

= = − − −

− − ^⇒ a b c: : =1: 5 : 3

∴取



n =(1,5,3)

， (x − 2) + 5(y − 1) + 3z = 0 ⇒ x + 5y + 3z − 7 = 0

20. 點 P(1﹐−1﹐1)對於平面 E 之對稱點為 Q(13﹐35﹐− 3)﹐則 E 之方程式為____________﹒

解答 3x + 9y − z − 175 = 0 解析

PQ之中點 M(7﹐17﹐− 1) ∈ E

PQ



= (12﹐36﹐− 4) ⊥ E 取平面 E 之法向量



n = (3﹐9﹐− 1) ∴ E﹕3(x − 7) + 9(y − 17) − (z + 1) = 0

⇒ E﹕3x + 9y − z − 175 = 0

21. 通過點(1﹐0﹐2)且與 x 軸垂直的平面方程式為____________﹒

解答 x = 1 解析

∵ 垂直 x 軸的平面法向量



n_x _{= (1﹐0﹐0)}

∴ 平面方程式為 1．(x − 1) + 0(y − 0) + 0(z − 2) = 0 ⇒ x − 1 = 0

22. 過點 A( − 2﹐1﹐1)﹐B(1﹐0﹐3)的平面 E﹐若與平面 F﹕x − 2y + 3z = 5 垂直﹐則 E 的方 程式為____________﹒

解答 x−7y−5z+14=0 解析

設平面 E﹐F 的法線向量各為



n₁ ﹐



n₂ ∵ E⊥F ⇒

 

n₁ ⊥ n₂ 又 A﹐B ∈ E ⇒

 

n₁ ⊥AB ∴



n₁ 為



n₂ ﹐AB



_{的公垂向量}

由AB



= (3﹐− 1﹐2) ﹐



n₂ = (1﹐− 2﹐3) ⇒



n₁ =AB n

 

× ₂ = (1﹐− 7﹐− 5)

∴ E﹕1 (⋅ + −x 2) 7(y− −1) 5(z− = ⇒ −1) 0 x 7y−5z+14=0

23. 平面 E 過點 A(1﹐0﹐− 1)且與平面 E1﹕x − y + z + 5 = 0﹐E2﹕x + 2y − z = 8 都垂直﹐則 E 的方程式為____________﹒

解答 x − 2y − 3z = 4 解析

設平面 E﹐E1﹐E2的法線向量各為

  

n, n₁, n₂

(9)

∵ E⊥E1 ⇒

 

n ⊥ n₁ ﹔E⊥E2 ⇒

 

n ⊥ n₂

∴

  

ⁿ 為，ⁿ¹ ⁿ² 的公垂向量由



n₁ = (1﹐− 1﹐1)﹐



n₂ = (1﹐2﹐− 1) ⇒



n =

 

n₁×n₂ = (−1﹐2﹐3)

∴E﹕( 1)(− x− + ⋅ − + ⋅ + = ⇒1) 2 (y 0) 3 (z 1) 0 x − 2y − 3z = 4

24. 平面 E1﹕x + 2y − 3z + 3 = 0﹐E2﹕3x − 2y + z + 5 = 0 相交於直線 L﹐任取 L 上兩相異點 P﹐

Q﹐若點 A(3﹐− 1﹐0)﹐則平面 APQ 的方程式為____________﹒

解答 x+10y−13z+ =7 0 解析

點 P﹐Q 在平面 APQ 上 ⇒ L 在平面 APQ 上

而 L 為平面 E1﹕x + 2y − 3z + 2 = 0﹐E2﹕3x − 2y + z + 5 = 0 的交線﹐

∴ 可設平面 APQ 的方程式為 (3x − 2y + z + 5) +k(x + 2y − 3z + 3) = 0

∵ 過點 A(3﹐− 1﹐0) ∴代入 k = − 4

∴ 平面 APQ﹕(3x − 2y + z + 5) − 4(x + 2y − 3z + 3) = 0

⇒ 平面 APQ﹕x+10y−13z+ =7 0

25. 設三平面 E1﹕2x + y − 4 = 0﹐E2﹕y + 2z = 0﹐E3﹕3x + 2y + 3z = 6﹐若平面 E 過 E1與 E2

之交線﹐且與平面 E3垂直﹐則平面 E 的方程式為____________﹒

解答 x − z − 2 = 0 解析

∵ 平面 E 過平面 E1與 E2的交線

∴ 令平面 E 的方程式為 2x + y − 4 + k(y + 2z) = 0

⇒ 2x + (1 + k)y + 2kz − 4 = 0 ∵ E 與 E3﹕3x + 2y + 3z = 6 垂直

∴二法向量(2﹐1 + k﹐2k)．(3﹐2﹐3) = 0 ⇒ 6 + 2(1 + k) + 6k = 0 ⇒ k = − 1 故平面 E 的方程式為 2x − 2z − 4 = 0﹐即 x − z − 2 = 0

26. 設一平面 E 平行平面 2x + y + 2z − 1 = 0 且與三坐標平面所成四面體之體積為 9﹐則此平 面 E 的方程式為____________﹒

解答 2x + y + 2z = ± 6 解析

∵平面 E 與平面 2x + y + 2z − 1 = 0 平行

∴設平面 E 的方程式 2x + y + 2z = k﹐則交三軸分別於( , 0, 0); (0, , 0); (0, 0, );

2 2

k k

k

∵ E 與三坐標平面所圍成的四面體體積 V =¹| 3 2

k |．¹

2|k． | |

24 | 1 2

k3

k =

∴ 24

1 | k |³ = 9 ⇒ | k |³ = 6³∴ | k | = 6 ⇒ k = ± 6 故平面 E 的方程式為 2x + y + 2z = ± 6