活動(一)：向量加法的交換律 (時間：3 分鐘)
放兩個實體向量在黑板上，分別為 與
a b
a b
a b
要求 a + b
在黑板上任取一點作為起始點
a b
起始點
先移動 到起始點
b
起始點a a
再移動 ，使得 與 頭尾相接
b
起始點a
b a b
b
起始點a
終點
找到 a + b 的終點
畫出
b
起始點a a + b
終點
a + b
a b
另外再求 b + a
若使用相同的起始點
a b
b
起始點a
終點
a + b
先移動 b 到起始點
b a
b
起始點a
終點
a + b
再移動 a ，使得 a 與 b 頭尾相接
b
a b
起始點a
終點
a + b
從圖中可看出， b + a 與 的終點相同
b
a b
起始點a
終點
a + b
a + b
畫出 b + a
b
a b
起始點a
終點
a + b a b +
於是得到 ，
這樣的關係就稱為「向量加法的交換律」
a + b = b + a
b
a b
起始點a
終點
a + b a b +
也就是說，兩個向量相加的結果向量，
與此兩向量的先後順序無關
b
a b
起始點a
終點
a + b a b +
活動(二)：用「平行四邊形法」作向量加法 (時間：2 分鐘)
b
a b
起始點a
終點
a + b a b +
繼續觀察剛才的圖形
b
a b
起始點a
終點
a + b a b +
發現到這是一個「平行四邊形」，
因為兩對邊平行且相等
若現在只看從起始點出發的兩個向量 與 ， 即可求得 、 兩向量相加
b a
起始點 終點
a + b a b +
a b
a b
現在就來說明，
如何用「平行四邊形法」作 a b、 兩向量相加
放兩個實體向量在黑板上，分別為 a 與 b
a b
在黑板上任取一點作為起始點
a b
起始點
移動 到起始點
b a
起始點a
再移動 到起始點
b a
起始點
b
從 的終點畫平行 的直線
b a
起始點
a b
再從 的終點畫平行 的直線
b a
起始點
a b
b a
起始點
兩直線的交點即為 a + b 的終點
終點
b a
起始點 終點
a + b
畫出 a + b
活動(三)：向量加法的結合律 (時間：12 分鐘)
放 3 個實體向量在黑板上， 分別為 a 、 b c、
a
c b
要求 ( ) +a + b c
a
c b
先求出 a + b
a
c b
在黑板上任取一點作為起始點
起始點
a
c b
畫出 a + b
起始點 a
c
b a + b
再移動 c ，使得 a + b 與 c 頭尾相接
起始點 a c
b a + b
找到 ( ) +a + b c 的終點
起始點 a c
b a + b
終點
( ) +a + b c
起始點 a c
b a + b
畫出
終點
( ) +a + b c
再求
a
c b
+ ( ) a b + c
先求出
a
c b
b + c
在黑板上任取一點作為起始點
a
c b
起始點
畫出
起始點
c b + c
b a
b + c
再移動 a ，使得 b + c 與 a 頭尾相接
起始點
c
b a
b + c
找到 的終點
起始點
c
b a
b + c
終點
+ ( ) a b + c
畫出
終點
起始點
c
b a
b + c + ( )
a b + c
+ ( ) a b + c
從圖中可看出 ( ) +a + b c = a + ( )b + c
於是得到 ， 這樣的關係就稱為「向量加法的結合律」
( ) +a + b c = a + ( )b + c
由於向量加法有交換律與結合律，
所以三個向量相加的結果與它們的順序無關
以此類推，可以推廣到三個以上向量相加的結果 與它們的順序無關
學生練習 :
a
b c
把圖中 四個向量相加
d a 、 b 、 c 、 d
a c
b d
終點
起始點
a + b + c + d
a
c b
d
終點
起始點
a + c + b d +
從圖中可看出，
這四個向量相加的結果與它們的順序無關
活動(四)：向量加法交換律、結合律的練習 (時間：8 分鐘)
A
B C
D
E
F
已知： ABC 為正三角形，且 D、E、F 分別為 AB、
BC、CA 三邊中點
A
B C
D
E
F
AD + EB - DE = _____
老師講解 :
先改寫算式
= AD + EB + ( - DE )
= AD + EB + ED AD + EB - DE
AD + EB - DE
所以現在要算的是 AD + EB + ED
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 AD 、 EB 、ED
A
B C
D
E
F
從 A、B、C、D、E、F 中任取一點當做起始點
A
B C
D
E
F
若選 F 點為起始點
起始點
A
B C
D
E
F
移動 EB 到起始點 F
起始點
A
B C
D
E
F
再移動 AD 與 ED ，使得向量頭尾相接
起始點
A
B C
D
E
F
找到終點
終點 起始點
A
B C
D
E
F
應如何表示此結果向量 ?
終點 起始點
A
B C
D
E
F
因為此結果向量與 CB 相同
終點 起始點
A
B C
D
E
F
所以 AD + EB - DE = CB
A
B C
D
E
F
AF - DC + BE = _____
學生練習 1 :
CF - DB - EB + AE = _____
學生練習 2 :
A
B C
D
E
F
活動(五)：向量分解的練習 (時間：5 分鐘)
A
B C
D
E
F
BD =
設 BE = a ， b
已知：
老師講解 :
用 a 、b 表示 AE A
B C
D
E
F
在黑板上放置 BE 、 BD ，並分別表示成 、
A
B C
D
E
F
a b
a b
A
B C
D
E
F b
a
把 a 、b 拿置旁邊，再放置 AE
A
B C
D
E
F b
a
運用「向量加法 」性質，找出 AE 分解成 a b、 的形式
a
A
B C
D
E
F
b - b
- b
a
從起始點 A 開始，向量頭尾相接，一直連接到終點 E
A
B C
D
E
F - b
- b
a
最後把向量相加起來，得到 AE = a – 2 b
AE = ( - b ) + ( - b ) + a
= a – 2 b
也可換成其他種分解方式
A
B C
D
E
F b
a
A
B C
D
E
F - b
- b a
如圖中這種方式也是合理的
b
a
最後把向量相加起來，同樣得到 AE = a – 2 b
AE = ( - b ) + a + ( - b )
= a – 2 b
A
B C
D
E
F - b
- b a
學生練習 :
用 a 、b 表示 CA A
B C
D
E
F
活動(六)：實施向量概念成效測驗 B 卷 (時間：15分鐘)
