第第 11 章章 有有向向數數 ((

第 第 1 1 章 章 有 有 向數 向 數 ( (

) )

1.1 正數(Positive Numbers) 和 負數(Negative Numbers)

同學，請你幫個忙!

明天的數學堂我該怎樣去面對呢？明天老師要我提交有關「負數」的資料，又要找 出一些「比零還要小的數」的例子，簡直不可思議! 我現在只覺頭昏腦脹，怎麽辦？

本來三天前我是滿腔熱誠的要到圖書館找資料，而那天的氣温竟下降到零下五度，

一出門便飛奔到地鐵站，誰知「八達通卡」過不了閘，噢，是要增值了吧。豈料身上就是 不夠錢，奈何？還是冒着大風去等電車好了。

好不容易，終於去到圖書館，誰知分不清東南西北。我先到二樓的詢問處。

「小姐，請問參考室在那兒？」

「往下四層。」頭也沒有抬起來。

「甚麼？下四層？但這是二樓啊！」

她只輕輕的笑，沒有回答。

我也不再多問，抱著那天生的冒險精神，大步走下樓梯，一層、兩層、三層、四 層…果然是到了參考室。正要鬆一口氣，竟和迎面而來的冒失鬼撞個正着。

「咦？陳大明！你怎樣了？也是來做數學科功課吧？」

「可不是哩！你看，」他揚揚手中的常識科試卷，「我只錯了幾題，便被扣去五十 分！真不服氣，所以我要來找尋真正的答案。」

我還來不及接過試卷，他已嘀咕起來：

「其實，依我看，這些題目你也未必答得來！」

「不會吧？」

「不信？就打賭十元好了！」

我信心十足的接受了挑戰。第一題：

「亞歷山大帝在那一年佔領西南亞？」

「唔•••是三三四年吧？」

「不，是公元前三三四年。」

第二題：

「死亡大峽谷的谷底有多深？」

「哈!剛看過紀錄片，是二百八十呎！」

「錯了。準確答案應該是海平線下二百八十呎。」

於是，我輸了。但我翻遍全身家當，只找出五元來。所以，我還欠他五元呢。

我不敢多作停留，便借故逃出了圖書館。找資料的事只好放下了。

今天，我放學回來，正要向爸爸請教那些「負數」問題，郤一眼就見到報上的大標 題：「政府新預算案出現龐大赤字，經濟仍會維持負成長。」。爸爸邊看新聞邊說：

「唉！房價還要大跌，我們這層房子也要變成負資產了。」我想他也沒有好心情去幫我想 出與「負數」有關的實例了。同學們，你可以幫幫我嗎？

課堂討論 1.1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 在許多日常例子中，「0」代表了一個絶對無法再小的數量、跌至最低的數量。

例如： 小文上次測驗被扣去的分數是「0」分 這個暑假志明離開香港的時間是「0」天 昨天足球比賽的結果是「2 : 0 」

可是，在有些情況下，「0」只是量度某些數值時所取的一個標準，並不代表著一個最小 或最低的數值，換言之「比零小的數值」還是存在的。

請於上頁『同學，請你幫個忙』一文中，找出「比零小的數值」的例子，並說 明它們的意義。

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_______________________________________________________________

課堂討論 1.2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 圖 1a 代表一個温度計，讀數位置愈低所代表温度愈低，也代表較寒冷的情況，相對地較上的 讀數表示較高的温度。

將表 1.1 各項的温度找出相應的刻度位置，並將字母填於箭頭旁的方格內。

A 37°C 人體體温

B 0°C 水的冰點

C 22°C 令人舒適的室温 D 零下 54°C 地球上的最低温度紀錄

E 58°C 地球上的最高温度紀錄

F 零下 4°C 冰箱的温度

G 零下 78°C 乾冰開始汽化的温度

H 100°C 水的沸點

在温度計上，以數值前加上「−」表示零下的温

度。 例如：零下 10°C 表示成 −10°C, 讀作「負 10 度」。

圖 1.a

表 1.1

°C

20 100

0

−20

−40 40 60 80

−60

H

課堂討論 1.3 ____________________________________________________________________________________________________________________________________

正數和負數

為了表示數值從 0 的兩個相反方向的量度，我們會於數字之前加上「+」或「−」，帶「+」的 數字稱為正數(positive number)，而帶「−」的數字稱為負數(negative number)，它們合稱為有 向數。0 既不是正數，也不是負數。

(a) 試以有向數表示下列各情況中的數值：

例 ABC 公司去年盈利 560 萬 +560 萬

1. 政府的財政預算中有 1200 萬的赤字 (1)

2. 小明昨天將 $ 600 存入了銀行戶口 3. 小明從銀行戶口提取 $ 200

4. 考試的平均分退步了 4.5 分 (4)

5. 恒生指數下跌 350 點 (5)

6. 火箭發射前的 20 秒 7. 火箭發射後的 20 秒

(b) 就(a)部的第(1), (4), (5)題，提出所述情況的「相反」情境，並以有向數表達出數值。

(c) +a 和 −a (如 +4 和 −4, +10 和 −10 等)可以被形容為一對「相反數」，它們與「0」

的距離相等，只是循相反的方向量度。根據這種看法，加上負號即「令方向相反」，則

− (−4) = −(+6)= −(−(−5)) = (−(−(−(−(−1.8))))) =

課堂討論 1.4 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 以下的量度皆用以有向數來表示，試比較每題中的兩個量並作出正確判斷：

1. 昨晚的氣温還是+4°C，今天一早變了−6°C。

4°C 變了−6°C，這温度是升了還是跌了？

2. 陳先生上月的資產值是 −4800 元，本月為 +20 元。

由−4800 變成 +20，資產是增益了還是虧損了？

3. 張小姐上月的資產值是 −3200 元，本月為 −3600 元。

由−3200 變成 −3600，資產是增益了還是虧損了？

4. 一艘潛艇現時處於水深 −1520m, 司令部要求盡快到達−1000m。

由 −1520 到 −1000 , 駕駛員應按「上升掣」還是「下降掣」？

量度若以有向 數表達，比較 兩個量時除了 比較數字部份 外，亦要留意 正負號！

習慣上正數之前 的「+」號可以 省略。

即 +4.5 可寫成 4.5。

1.2 數線 (Number Line)

一條規定了原點(代表數 0 的點)、正向和單位長的直線，叫做數線(number line)。

我們可利用數線上的點表示有向數。

原點右邊的點代表正數，左邊的點代表負數。

符號 ">" 代表大於，例如 4 > −1。

符號 "<" 代表小於，例如 −3 < −1。

課堂討論 1.5 ____________________________________________________________________________________________________________________________________

1. 將下列數字排於圖 1 的數線之上：

+0.5, −1, +2.8, −1, −3, −2.5, −2.8

2. 用符號 ' < ' 或 ' > ' 比較下列各組數的大小。

a. 5 ______ 8 e. 0 ______ −3.5 b. 5 ______ −8 f. −1.2 ______ 0.2 c. −5 ______ 8 g. −3.8 ______ −5.2 d. −5 ______ −8 h. −2.5 ______ −2.7

3. 將下列各組數以遞增次序排列：

Arrange the following numbers in ascending order of magnitude.

例(example) −4, 2, 0 −4 < 0 < 2_____

a. +5, −3, −1 ___________________________

b. +3, −1, 0, −10 _______________________________

c. −2, +3, −6, +11, −40 _______________________________

d. −9, −9.6, −9.8, 0, −8, −10 _______________________________

0 +

−

遞增 (ascending) 遞減

(descending)

1

0 +

− ₁

頁 24 附 1.1 遞增次序排列 (ascending order of magnitude) 即由小至大排列 數線

number line

1.3 有向數的加法和減法

有向數可用以更有效地表示一些有相反方向的量度，但當以這些有向數作運算時要份外留心，

不可單看數字部份，亦需注意到正負號的影響。

課堂討論 1.6 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 試以有向數的算式演算出以下答案：

例 1

陳先生有資產值 +40 萬，而張小姐的資產值為 −20 萬，兩人結婚後資產也合併了。這小家庭的 資產值為多少？

( ) + ( ) =

[陳先生] [張小姐] [家庭]

例 2

朱先生本年作了兩項投資，第一項有 4 萬的盈利，第二項帶來 6 萬的虧損。請計算朱先生本年 的總盈利額。

( ) + ( ) =

[第一項目] [第二項目] [總盈利]

例 3

昨日的氣温冷得很，只有零下 10°C，幸好今早氣温上升了 4°C。今早的氣温為幾度？

( ) + ( ) =

[原本氣温] [温度上升] [改變後的氣温] 例 4

昨日的氣温冷得很，有零下 5°C，今早氣温還要下降 4°C。今早的氣温為幾度？

( ) − ( ) =

[原本氣温] [温度下降] [改變後的氣温] 例 5

陳先生去年的資產值為 −3 萬，但經他一年的艱苦經營，經濟情況改善了，現在資產值為+2 萬。陳先生的資產值在這一年內増長了多少？

( ) − ( ) =

[現時資產值] [去年資產值] [增長] 例 6

陳先生去年的資產值為 −6 萬，但經他一年的艱苦經營，經濟情況改善了，現在資產值為−5 萬。陳先生的資產值在這一年內増長了多少？

( ) − ( ) =

[現時資產值] [去年資產值] [增長]

1.3.A. 有向數的加法

課堂討論 1.7 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 我們可利用數線把有向數的加法作圖示，開始時假設我們站在數線的原點上面向正方(通常為 右方)，接著的法則是：

1) 有向數的數字部份表示要走的距離

2) 有向數的正負符號指示出走的方向 正數：向右行 負數：向左行

3) 兩數相加：走完一段再一段，終點處便是兩數的和。

1. (+3) + (+4) = ________ 2. (+3) + (−5) = _______

3. (−3) + (+7) = ________ 4. (−3) + (−5) = _______

以下各題可省略運算程序，在一條數線上完成相加步驟：

5. (−2) + (−6) = 6. (+10) + (−4) =

7. (−10) + (+4) = 8. (+4) + (−10) =

+1 0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7

+3 +4

+1 +4

0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +3

−5

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2 +3 +3

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2 +3 +3

−5

+7

−3

+1 0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7

-3 +8

+1 0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7

-3 +8

−5

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2

−3 -7

-8 -9

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2

-7 -8 -9

0

−6 −2

0

0 0

課堂練習 1.8 ______________________________________________________________________________________________________ ____________ 利用數線作下列圖示：

(須清楚以箭頭表示相個相加的有向數，並於數線上標明答案和它的位置。) 1. (+4) + (+5) = 2. (+5) + (+2) =

3. (+7) + (−4) = 4. (+8) + (−3) =

5. (−12) + (+9) = 6. (−20) + (+7) =

7. (−7) + (+6) = 8. (−6) + (+6) =

9. (−1) + (−6) = 10. (−5) + (−2) =

11. 0 + (+5) = 12. (−5) + 0 =

13. (+7) + (+5) = 14. (−7) + (−5) =

15. (−7) + (+5) = 16. (+7) + (−5) =

0 0

0

0 0

0

0

0

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

_

___________________________________________________________________________________________________________________________ ________ 有向數相加的法則

從以上的運算中，不難觀察到一些有關有向數相加的簡單法則：

「…... 異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。 」 《九章算術》- 正負術

(前兩句的意思是：不同符號的有向數相加，淨數字部份會互相消損；而同符號的有向數相加，淨數字部 份則互相增益。)

(+a) + (+b) = +( a + b )

例：(+4) + (+5) =

(−a) + (−b) =

例： (−3) + (−2) = [ 若 a 的值較 b 大 ]

(+a) + (−b) =

例：(+8) + (−3) =

[ 若 a 的值較 b 小 ] (+a) + (−b) =

例：(+3) + (−8) =

課堂討論 1.9 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 求以下算式的值：

1. (+5) + (+4.5)

=

2. (−3) + (−12)

=

3. (−8) + (−7)

=

4. (−2.5) + (−9)

=

5. (+9) + (−3)

=

6. (−9) + (+3)

=

7. (+6) + (−19)

=

8. (−17) + (+5)

=

9. (−2.8) + (−5.3)

=

10. (+3.2) + (−9.6)

=

0 ?

+a +b

? 0

−b −a

0 ?

+a

−b

? 0

+a

−b

課堂練習 1.10 ______________________________________________________________________________________________________________________________ Find the values of the following:

1. (+6) + (+18)

=

2. (−9) + (−13)

=

3. (+9) + (−8)

=

4. (−9) + (+8) =

5. (+10) + (−4)

=

6. (−12) + (+9)

=

7. (−11) + (−2.5)

=

8. (−4.3) + (−2.5)

=

9. (+11) + (−7)

=

10. (−12) + (+10)

=

11. (+12) + (−7.5)

=

12. (−10.8) + (+6.3)

=

13. (+12) + (+12)

=

14. (−12) + (−12)

=

15. (+12) + (−12)

=

16. (−12) + (+12)

=

17. (+25.3) + (−11.2)

=

18. (−25.3) + (+11.2)

=

19. (+25.3) + (+11.2)

=

20. (−25.3) + (−11.2)

=

21. )

4 ( 3 8) (+1 + −

=

22. )

3 ( 1 5) (−1 + +

=

1.3.B. 有向數的減法

課堂討論 1.11 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 當利用數線把有向數的減法作圖示，法則只須多注意一項「減法是加法的相反」：

1) 有向數的數字部份表示要走的距離

2) 有向數的正負符號指示出走的方向 正數：向右行 負數：向左行

3) 兩數相減 ( x − y )： 因為是「減去 y」，故 y 這一段須反 y 的方向而走，

即走完 x 一段，再走「相反 y」一段，終點處便是答案。

1. (+4) − (+7) = _______ 2. (−8) − (+3) = _______

3. (+5) − (−3) = ________ 4. (−2) − (−5) = _______

3

以下各題可省略運算程序，在一條數線上完成相加步驟：

5. (−2) − (+6) = 6. (+10) − (+7) =

7. (+6) − (−2) = 8. (−8) − (−5) =

+1

−(−3)

0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +5

−3

0 +1 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +5

−(−3)

− (+7)

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

+4 +7

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +4

− (+7)

− (−5)

−2 0 +1 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6

-5 -4 -3

−5

− (−5)

−2 +1 0 -1

-2 +2 +3 +4 +5 +6

-5 -4 -3

− (+3)

-4 -3 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2

−8 -7 -9 -8

+3

-3 -4 -5

-6 -2 -1 0 +1 +2

-7 -9 -8 -11 -10

− (+3)

−8

0

− (+6) −2

0

0

0

課堂討論 1.12 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 利用數線作下列圖示：

1. (+6) − (+2) = 2. (+8) − (+7) =

3. (+8) − (−2) 4. (+12) − (−8)

5. (−4) − (+2) 6. (−7) − (+12)

7. (−11) − (−3) 8. (−4) − (−8)

9. (−1) − (−6) 10. (−5) − (−2)

11. 0 − (+4) 12. 0 − (−9)

從這「減法是加法的相反」的原則，可以得出以下結論：

減去(+2) 與 加上 _____ 有同樣的效果 減去(−3) 與 __________ 有同樣的效果 加上(−4) 與 減去______ 有同樣的效果 加上(+8) 與 __________ 有同樣的效果

0 0

0 0

0

0

0 0

0

0 0

0

− +

1.3.C. 符號的法則

課堂討論 1.13 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 計算下列各題：(Find the values of the following:)

1. (+1) + (−4) + (+2) 2. (−2) − (+3) − (−4)

3. (−4.2) + (−2.1) − (−1.3)

4. )

2 ( 1 2) 21 ( 4)

(+3 − + + −

在此以前的算式中，我們都採用了較為謹慎的表達：所有有向數寫上正負號，並加上括號。

但為運算上或表達上的簡捷，以後可較多運用下列撤去括號時的省略法則：

(1) 若算式中的有向數為正數 (下面以 (+a) 表示，a 為淨數字部份 )，

可一拼撤去括號和正號，而置於前的運算符號不變。

/////// + (+a) = /////// + a /////// − (+a) = /////// − a 例： (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8

(+5) − (+9) = 5 − 9 = −4 (+6) − (+2) = 6 − 2 = 4

(2) 若算式中的有向數為負數 (下面以 (−a) 表示，a 為淨數字部份)，

可一拼撤去括號和負號，而置於前的運算符號要改變，加號變減號，減號變加號。

/////// + (−a) = /////// − a /////// − (−a) = /////// + a 例： (+15) + (−8) = 15 − 8 = 7

(+15) − (−8) = 15 + 8 = 23 (−9) + (−8) = −9 − 8 = −17 (−9) − (−8) = −9 + 8 = −1

總結(1)和(2)：在撤去括號時的符號法則: 負變 正不變

加負 變 減 減負 變 加

頁 24 附 1.2

數值 value

課堂練習 1.14 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ Find the values of the following:

1. (+8) + (+2) 2. (−5) + (+3)

3. (−8) + (−2) 4. (−5) − (−3)

5. (−0.8) + (−0.7) 6. (−8) − (+2)

7. (+8) − (−8) 8. (−8) + (+8)

9. (+68) − (−23) 10. (−58) − (+32)

11. (−8) − (+9.9) 12. (−5.2) − (−8.6)

13. (−4.8) − (−8)

14. (+3) − ) 4 13 (−

15. (−1.2) − (−0.9) − (−7.1) 16. (−4.6) + (−3.1) − (−9.8) − (+11)

1.4 有向數的乘法和除法

課堂討論 1.15 ____________________________________________________________________________________________________________________________________

正數的相乘可被視作某數被重複加上，換上重複相加的數為有向數，道理也是一樣。

例如：

1. (+5) + (+5) + (+5) = (+5) × (+3 ) = ___________

2. (−3) + (−3) = (−3 ) × ( ) = ___________

3. (−5) + (−5) + (−5) = (−5 ) × ( ) = ___________

4. (−4) + (−4) + (−4) + (−4) + (−4) = ( ) × ( ) = ___________

5. (−2.5) + (−2.5) + (−2.5) + (−2.5) = ( ) × ( ) = ___________

6. )

2 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2)

(+1 + + + + + + + + = ( ) × ( ) = ___________

7. )

2 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2)

(−1 + − + − + − + − = ( ) × ( ) = ___________

8. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = (−3 ) × ( +4) = ___________

9. ( ) + ( ) + ( ) = (−4 ) × ( +3) = ___________

相反，以一負數乘以某有向數，則可視為將該數重複減去。

如：

10. ( +5 ) × ( −3 ) = −(+5) − (+5) − (+5) = ___________

11. (+3 ) × ( −2 ) = −(+3) − (+3) = ___________

12. ( +4 ) × ( −2 ) = −( ) − ( ) = ___________

13. ( +5 ) × ( −4 ) = −( ) − ( ) − ( ) − ( ) = ___________

14. ( −4 ) × ( −2 ) = −( ) − ( ) = ___________

15. ( −5 ) × ( −4 ) = −( ) − ( ) − ( ) − ( ) = ___________

16. ( −6 ) × ( −3 ) = −( ) − ( ) − ( ) = ___________

17. ( −3 ) × ( −6 ) = −( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) = ___________

18. (−0.2) × ( −5 ) = −( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) = ___________

從以上例子，可有如下的總結：

正數 乘以 正數 得 正 正數 乘以 負數 得 ____

負數 乘以 正數 得 _____ 負數 乘以 正數 得 _____

即 同號相乘得 ____ 異號相乘得 ____

(+) × (+) = ( ) (−) × (+) = ( ) (+) × (−) = ( ) (

)

(

) = ( )

頁 25 附 1.3

課堂討論 1.16 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 利用上述的有向數乘法法則，計算以下各題：

1. (+9) × (−7)

3. (−4)(−3)(−2)

4. (− 3 1) (12)

5. (−0.2)(+0.5)(−10)

6. )

21 )( 16 4 (−3 −

7. (−4)² 8. (−1)⁹ (−5)

課堂討論 1.17 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 利用上述的有向數除法法則，計算以下各題：

1. (+36) ÷ (−4) 2. (−28) ÷ (−2)

3. 18 24 +

− 4.

45 36

−

−

5. 45

) 25 )(

12 (

−

−

+ 6. (+24) ÷ )

4 (−3

兩個有向數相乘時，同號得正，異號得負。

兩個有向數相除時，同號得正，異號得負。

頁 26 附 1.4

課堂練習 1.18 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 計算下列各題：

Evaluate the following:

1. (+6) × (+12) 2. (+3)(−4)

3. (+12) ÷ (+3) 4. (+48) ÷ (−3)

5. (−8) × (+5) 6. (−33) ÷ (−11)

7. (−8) ( 4

−3^{) 8.} )

3 )( 1 2 (−1 −

9. (+9)(−11)(−1) 10. (+4)(+4)(−2)

11. (+8) (−7) ( 8

−3) 12. (+3.5)(+2)(−7) )

49 (− 1

13. 0 ÷ (−23)

14. (+9) ÷ ) 3 (−2

15. ( 3) ) 18 (

+

− 16.

2 1 ) 34 (

−

−

5 , 2 5 , 2 5 , 2 5

2

−

− −

−

−

是否都有相同的值？

課堂討論 1.19 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 計算下列各題：

1. − [ (−5) − (−7) ] 2. −2 − [ (+3) − (−8) ]

3. (−3) [ (−2) − 5] + (−3)(−2) 4. 6 − (−15) ÷ (−3)

5. [ 6 − (−15) ] ÷ ( −3) 6. (−4)² + (−3) (−1)³

課堂練習 1.20 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ Evaluate the following:

1. (5) (6) + (−3) (5) 2. (−4) (−2.5) − 4 (−2)

3. (−2) [ 4 − (5 + 7) ] 4. (−2.5) ( −3 −1 ) ( 1.2 − 5.2)

5. −3 × (−5)² 6. −(4²) − (−3)²

頁 26-28 附 1.5 -1.8

課堂討論 1.19 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 計算下列各題：

1. 5 ( 2) 9 5

− +

−

−

− 2. 1 −

) 2 ( 12

2 3

− +

−

−

3. ( 18)( 35) ) 7 )(

24 )(

3 (

+

−

+

−

− 4. (−4 − 12) × ₂

2 1

−

課堂練習 1.20 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 計算下列各題：

1. ( 3)(5) ) 9 )(

10 (

−

− 2.

5 3

9 10

+

−

−

3. 4

) 8 ( 12

−

−

− 4. ( 8)

4 12 − −

−

5. 12

) 1 3

( ³

− +

− _6. )³

12 1 ( 3

− +

−

處理分式的運算時，

分子和分母各自的運 算應優先處理。

(就好像分子和分母 部份各自有個括號)

−2² = −(2×2) = −4 而

(−2)² = (−2)×(−2) = 4

∴ −2² ≠ (−2)²

Chapter Summary ____________________________________________________________________________________________________________________________

1. Directed numbers are numbers written with a “+” or “−” sign (符號).

2. Numbers with “+” sign are positive (正) numbers. Numbers with a “−” sign are negative(負) numbers. Zero (零) is neither positive nor negative.

3. Integers (整數) include zero, the positive integers +1, +2, +3, ….. and the negative integers −1,

−2, −3, …

4. Directed numbers can be represented on a number line (數線).

5. For two numbers x and y as shown on the number line below

i. x < y (x is smaller than y) ii. y > x (y is greater than x)

6. Removal (移除) of brackets(括號) - for addition(加法) and subtraction(減法):

i. To remove a + ( ), the sign inside the brackets are unchanged(不變) .

−12 + (+5) = −12 + 5 = −7 (−8) + (−9) = −8 −9 = −17 ii.

To remove a − ( ), the sign inside the brackets are reversed(反轉) .

E.g. −5 − ( −4) = −5 + 4 = −1

−12 − (+5) = −12 − 5 = −17

−(−8) + (−9) = +8 −9 = −1

7. Rules of signs for multiplication(乘法) and division(除法) of directed numbers:

(+) ⋅ (+) = + (+) ⋅ (−) = − (−) ⋅ (+) = − (−) ⋅ (−) = + +

+ = + ) (

)

( = −

− + ) (

)

( = −

+

− ) (

)

( = +

−

− ) (

) (

Important Terms (重要詞彙)

Fill in the corresponding(相應的) terms in Chinese:

Positive Negative Zero Integer Number Line

Greater than Smaller than Multiplication Division Addition Subtraction

0 +1

-2 -1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

x y

Review Quiz ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 1. Circle (圈出) the greater number in each of the following pairs:

a. 1, −2 b. 0, −0.8 c. −7, −3 d. −5, −5.5 e. 0.2, 0 f. −3,

3

−10

2. Arrange (安排) the following numbers on the given number line:

+3.5, −2, −0.5, 4 3

3. Arrange the following numbers in descending order of magnitude (遞減次序):

−2, 0, 3

−2, 3

7, +2, −1

_____ > _____ > _____ > _____ > _____ > _____

4. Evaluate (計算) the following:

a. (−2) + (−9) b. −8 − (−6) c. (+2.4) − (+6.8)

d. (−9) (+2) e. (−6)(−8)

f. 7

) 14 )(

2 (

−

−

−

5. Find the values of the following:

a. (−3) (−2 + 8) b. (−2)(−5) − 4 (−3)

c. 5 ( 10) 2 3

− +

−

−

6. The temperature (温度) of Town A is 5°C in the morning. Temperature falls (下跌) by 12°C at night. What is the temperature of Town A at night?

The temperature at night =

0 +1

−2