代數第九章 目錄

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(1)

代數第九章

目錄

第九章 二次函數...1

學習目標...1

9.1 節 二次函數及其圖形...2

9.1 節 習題...38

9.2 節 二次函數圖形的移動...45

9.2 節 習題...58

9.3 節 二次函數的最大值與最小值...59

9.3 節 習題...67

9.4 節 二次函數的綜合題與應用題...69

9.4 節 習題...84

第九章綜合習題...88

(2)

第九章 二次函數

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋 物線,拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時,球的移動軌跡就屬於拋物線。我們 也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。

學習目標

1.能畫出二次函數的函數圖形。

2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。

2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。

(3)

9.1 節 二次函數及其圖形

在第八章中,我們已經學過一次函數 f(x)axb的函數圖形是一條直線。也簡單畫過

) 2

(x x f

y  的圖形是一條拋物線。本節我們將針對y f(x)x2這類二次函數來做討論。

二次函數:形式為 f(x)ax2bxc,其中a0。即變數x 最高次數為2,且x2項係數不 為0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形,對於二次函數如 f(x) x2我們也可 以畫出函數圖形。

我們來畫畫看y f(x)x2的圖形,先找出幾個符合的點:

x -3 -1 0 1 3

y 9 1 0 1 9

表9.1-1

將這些點描在直角座標上,並用直線連起來,如圖9.1-1。

圖9.1-1

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形,但事實上這張圖只是y f(x)x2的近似圖,

x

y

(4)

圖9.1-2

可以看出圖9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣,我們描的點越多,畫出來的圖形就會 越接近真正的 f(x) x2圖形。實際上, f(x)x2是如圖9.1-3 的拋物線。

f(x)x2

x

x x

x

y

(5)

詳解:

y f(x)2x2先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表9.1-2

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-2。

f(x)2x2 圖9.1-4

y x

(6)

【練習】9.1-1

畫出二次函數 f(x)x2的圖形。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(7)

由前面例題,我們已知道函數 f(x) x2f(x)2x2的函數圖形都是拋物線。事實上,

只要是二次函數,那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時,相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質,先複習第四章曾學過的對 稱於y 軸:

若兩點對稱於y 軸,則兩點的 y 座標相同時,x 座標互為相反數。

再來觀察 f(x)x2的函數圖形,即y f(x)x2。圖形右側的點(1,1)(2,4)(3,9),他們 對y 軸的對稱點(1,1)(2,4)(3,9),也都落在y x2上。 事實上,所有y x2上的 點(h,k),對y 軸的對稱點(h,k)也都在y x2上。此時我們稱y 軸(或直線x0)是

x2

y 的對稱軸。即 f(x) x2的函數圖形,其對稱軸為y 軸。

f(x)x2

圖9.1-5

x y

(8)

除了 f(x) x2以外,所有形式為 f(x)ax2的函數圖形,也都是以y 軸為對稱軸。

我們來證明y f(x)ax2是以y 軸為對稱軸。已知點(h,k)yax2上,若點(h,k)也在

ax2

y 上(即 x 座標代入h,可得y 座標為k ),則可知yax2y 軸為對稱軸。

ax2

y

)2

( h a

y   (將 x 以h代入)

ah2

y ((h)2 h2)

k

y (因為(h,k)yax2上,所以kah2,即ah2k) 由以上式子可知,當點(h,k)yax2上時,點(h,k)也在yax2上,因此

) 2

(x ax f

y  的圖形是以y 軸作為對稱軸。我們也可以稱f(x)ax2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對稱圖形。

(9)

例題 9.1-2

(1)找出二次函數 f(x) 21x2,其函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 f(x) 21x2的函數圖形。

詳解:

(1) f(x) 21x2符合 f(x)ax2的形式,因此是以y 軸為對稱軸。

(2) y f(x)21x2的圖形對稱於y 軸。我們只要畫出右側的圖形,再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。

x 0 1 2 3

y 0

2

1 2

2 41

表9.1-3

圖9.1-6 圖9.1-6,先畫出 2

2 1x

y  右半邊的圖形,接著再利用線對稱,畫出左半邊的圖形。

x y

(10)

f(x) 21x2

圖9.1-7 圖9.1-7 即為 f(x)12x2的函數圖形。

【練習】9.1-2

利用對稱軸,畫出 2

4 ) 1

(x x

f  的函數圖形。

x y

x y

(11)

否有什麼規則呢?我們多畫幾個圖形來看看。

開 口 向 上

2 2

) (x x

ff(x)x2 2

2 ) 1 (x x

f

開 口 向 下

2 2

)

(x x

f  f(x)x2 2

2 ) 1

(x x

f 

圖9.1-8

同學應該可以發現,對於二次函數 f(x)ax2,當a0時,拋物線圖形開口向上;當

0

a 時,拋物線圖形開口向下。而且 a 越小,其開口越大。

另外在a0時,拋物線有最低點;a0時,拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點也 是拋物線與對稱軸的交點。

圖9.1-9

(12)

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1) f(x)3x2 (2) f(x)8x2 (3) f(x)0.7x2 詳解:

(1)30f(x)3x2函數圖形開口向上。

(2)80f(x)8x2函數圖形開口向下。

(3)0.70f(x)0.7x2函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1) f (x)2x2 (2) f(x)501 x2 (3) f(x)0.3x2

(13)

瞭解了 f(x)ax2的函數圖形後,接著我們來看看形式為 f(x)ax2k的函數圖形。如

1 )

(x  x2

f

一樣先找出y f(x)x2 1上的點

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

表9.1-4

然後描點畫出圖形: f(x) x2 1

圖9.1-10

圖9.1-10 即為y f(x)x2 1的圖形,頂點為(0,1),對稱軸為x 0。 例題 9.1-4

畫出 f(x)2x2 3的函數圖形,並指出頂點。

x y

(14)

y -15 -5 1 3 1 -5 -15 表9.1-5

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-11。

頂點為(0,3)

f(x)2x2 3 圖9.1-11

x y

(15)

【練習】9.1-4

畫出 f(x) x 2 6的函數圖形,並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(16)

例題 9.1-5

畫出 4

2 ) 1

(x  x2

f 的函數圖形,並指出頂點。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 2

1 -2

2 31

 -4

2 31

 -2

2 1

表9.1-6

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-12。

頂點為(0,4)

4

2 ) 1

(x  x2f

圖9.1-12

x y

(17)

【練習】9.1-5

畫出 7

2 ) 3

(x  x2

f 的函數圖形,並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(18)

目前我們已經畫出了數個形式為 f(x)ax2k的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學應 該可以發現:

ax2

y 圖形的頂點為(0,0)。(例如y x2圖形頂點為(0,0))

k ax

y2 圖形的頂點為(0,k)。(例如y x12 24圖形頂點為(0,4))

ax2

y 與yax2k的對稱軸都是x0

圖9.1-13

x y

(19)

接下來,讓我們討論形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形,如 f(x) x( 2)2。 要畫出 f(x) x( 2)2的函數圖形,一樣先找出符合y f(x)(x2)2的點。

x -1 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9

表9.1-7 然後描點畫出圖形:

f(x) x( 2)2

圖9.1-14

圖9.1-14 即為 f(x) x( 2)2的函數圖形,頂點為(2,0),對稱軸為x2。 例題 9.1-6

畫出 f(x)2(x3)2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

2 x

x y

(20)

y 18 8 2 0 2 8 18 表9.1-8

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-15。

頂點為(3,0),對稱軸為x3

f(x)2(x3)2

圖9.1-15

【練習】9.1-6

畫出 ( 1)2

2 ) 1

(xx

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x y

(21)

x

(22)

例題 9.1-7

畫出 ( 4)2

2 ) 3

(xx

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 2

131 6

2

11 0

2

11 6

2 131

表9.1-9

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-16。

頂點為(4,0),對稱軸為x4 ( 4)2

2 ) 3

(xxf

(23)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y

x y

(24)

我們畫出了數個形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學應該可以 發現:

) 2

(x ax

f  的函數圖形頂點為(0,0)。(例如 f(x)x2的函數圖形頂點為(0,0))

)2

( )

(x a x h

f   的函數圖形頂點為(h,0)。(例如 f(x)2(x3)2的函數圖形頂點為(3,0))

) 2

(x ax

f  的函數圖形對稱軸是x0f(x)a(xh)2的函數圖形對稱軸是xh

圖9.1-17

ax2

y2

) (x h a

y 

h h x

0 x

x y

(25)

學習了二次函數 f(x)ax2kf(x)a(xh)2的函數圖形之後,接著我們要將這兩種函 數綜合起來,也就是形式為 f(x)a(xh)2 k

我們來試著畫畫看y f(x)(x2)2 3的圖形:

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表9.1-10

f(x) x( 2)2 3

圖9.1-18

3 ) 2 ( )

(x  x2

f 的函數圖形頂點是(2,3),對稱軸是x2。

2 x

x y

(26)

例題 9.1-8

畫出 f(x)4(x2)23的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y 33 13 1 -3 1 13 33

表9.1-11

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-19。

頂點為(2,3),對稱軸為x2

x y2

x

(27)

【練習】9.1-8

畫出 ( 2) 1

2 ) 1

(xx2

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

(28)

例題 9.1-9

畫出 ( 4) 2

3 ) 1

(x  x2

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x 1 2 3 4 5 6 7

y 1

3 2

3

12 2

3 12

3

2 1

表9.1-12

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-20。

頂點為(4,2),對稱軸為x4

( 4) 2

3 ) 1

(x  x2f

圖9.1-20

x y

(29)

【練習】9.1-9

畫出 ( 2) 3

4 ) 1

(x  x2

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

(30)

我們已經畫了數個形式為 f(x)a(xh)2k的函數圖形,同學應該可以發現到:

1. 頂點為(h,k)。 2. 對稱軸為xh

3. a0則開口向上;a0則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數 f(x)7(x5)2 16其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

f(x)a(xh)2k對照,得h5k16a70。 因此頂點為(5,16)、對稱軸為x5、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ( 3) 13

16 ) 1

(xx2

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(31)

例題 9.1-11

求函數 f(x)4(x3)2 2其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

f(x)a(xh)2k對照,得h3k2a40。 因此頂點為(3,2)、對稱軸為x3、開口向下。

【練習】9.1-11

求函數 ( 6) 4

5 ) 1

(x  x2

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

現在我們很清楚二次函數 f(x)a(xh)2k的函數圖形性質了,但若是函數形式為

c bx ax x

f( ) 2  ,又該如何處理呢?我們可以利用以前學過的配方法,將

c bx ax x

f( ) 2  轉換為 f(x)a(xh)2k的形式。

例如 f(x)x2 4x8

) (x

fx2 4x8 8 4 4

24   

x x (加上中間項4x係數一半的平方以湊完全平方,再4維持 等式)

8 4 ) 2

(  2 

 x (化為完全平方)

4 ) 2 (  2

 x

於是我們得到 f(x)x24x8(x2)24

因此 f(x)x2 4x8的函數圖形頂點是(2,4)、對稱軸是x2、開口向上。

(32)

例題 9.1-12

寫出 f(x)x2 6x18函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

) (x

fx2 6x18 18 9 9

26   

x x (加上中間項6x係數一半的平方以湊完全平方,再4維 持等式)

18 9 ) 3

(  2  

 x (化為完全平方)

27 ) 3 (  2

 x

頂點為(3,27)、對稱軸為x3、開口向上。

【練習】9.1-12

寫出 f(x)x2 4x4函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

例題 9.1-13

寫出 f(x)2x2 8x1函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

) (x

f 2x28x1 1 ) 4 (

2 2 

x x (提出 x2項的係數)

1 ) 4 4 4 (

2 2   

x x (括號內加上中間項4x係數一半的平方以湊 完全平方,再4維持等式)

1 8 ) 4 4 (

2 2    

x x (將-4 移到括號外)

9 ) 2 (

2  2

x (括號內化為完全平方)

頂點為(2,9)、對稱軸為x2、開口向下。

【練習】9.1-13

寫出 f(x)3x2 6x5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(33)

例題 9.1-14

在直角座標上畫出 f(x)2x2 12x20的函數圖形。

詳解:

想畫 f(x)2x2 12x20的圖形,我們先利用配方法將函數化為 f(x)a(xh)2k的 形式,找出頂點後可讓作圖較容易。

) (x

f 2x212x20 20 ) 6 (

2 2  

x x (提出 x2項的係數)

20 ) 9 9 6 (

2 2    

x x (括號內加上中間項6x係數一半的平方以湊 完全平方,再9維持等式)

20 18 ) 9 6 (

2 2   

x x (將-9 移到括號外)

2 ) 3 (

2  2

x (括號內化為完全平方)

頂點為(3,2)、對稱軸為x3、開口向上。

找出圖形上的點:

x 0 1 2 3 4 5 6

y 20 10 4 2 4 10 20

表9.1-13

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖9.1-21。

20 12 2 )

(xx2xf

圖9.1-21

【練習】9.1-14

在直角座標上畫出 2 3

2 ) 1

(x  x2x

f 的函數圖形。

x y

(34)

x y

(35)

例題 9.1-15

6

2 ) 1

(xx2x

f 其函數圖形的頂點座標。

詳解:

利用配方法將 6

2 ) 1

(xx2x

f 化成f(x)a(xh)2 k的形式。

) (x

f 6

2 1 2

x x 6 ) 2 2(

1 2

x x (提出 x2項的係數)

6 ) 1 1 2 2(

1 2

x x (括號內+1 以湊完全平方,再-1 維持等式)

2 6 ) 1 1 2 2(

1 2

x x (將-1 移到括號外)

2 51 ) 1 2(

1 2

x (括號內化為完全平方) 得頂點為 )

2 51 ,

(1 。

【練習】9.1-15

2 2

5 ) 1

(x  x2x

f 其函數圖形的頂點座標。

(36)

本 節 我 們 已 畫 了 f(x)ax2f(x)ax2kf(x)a(xh)2f(x)a(xh)2k

c bx ax x

f( ) 2  的函數圖形,這邊來做個整理:

函數 頂點 對稱軸 開口方向

k ax x

f( ) 2  (0,0) x0 a0則開口向上

0

a 則開口向下

k ax x

f( ) 2  (0,k) x0 a0則開口向上

0

a 則開口向下

)2

( )

(x a x h

f   (h,0) xh a0則開口向上

0

a 則開口向下

k h x a x

f( ) (  )2  (h,k) xh a0則開口向上

0

a 則開口向下

c bx ax x

f( ) 2  將方程式利用配方法化為

k h x a

y (  )2 的形式再判斷。

0

a 則開口向上

0

a 則開口向下 表9.1-14

(37)

接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件,求出二次函數:

例題 9.1-16

直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1),且通過點(2,2),試求此二 次函數。

詳解:

因為 f(x)a(xh)2 k函數圖形的頂點為(h,k),所以頂點為(1,1)的二次函數,我 們可以列成 f(x)a(x1)2 1

將點(2,2)代入y f(x)a(x1)2 1,以求出a:

1 ) 1 ( )

(   2

f x a x y

1 ) 1 2 (

2 a2  1 2 a

1 a

因此題目所求的二次函數為 f(x) x( 1)2 1

同學可以將函數圖形畫出來看看,是否符合題意。

【練習】9.1-16

直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,3),且通過點(1,7),試求此 二次函數。

(38)

例題 9.1-17

直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為x 1,且通過點(2,1)

) 7 , 1

( ,試求此二次函數。

詳解:

因為 f(x)a(xh)2 k的函數圖形對稱軸為x h,所以頂點為對稱軸為 x1的函 數,我們可以列成 f(x)a(x(1))2ka(x1)2k

將點(2,1)代入y f(x)a(x1)2k1a(21)2 k ,化簡得a k1 將點(1,7)代入y f(x)a(x1)2k7a(11)2 k,化簡得4a k 7 寫成聯立方程式:



 7 4

1 k a

k a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

(  得3a6a2

2

a 代入(1)得k 1

因此題目所求二次函數為 f(x)2(x1)2 1

同學可以將函數圖形畫出來,檢視是否符合題意。

【練習】9.1-17

直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為x 3,且通過點(5,6)(2,0), 試求此二次函數。

(39)

函數的根與圖形的關係

瞭解了二次函數的圖形後,接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係:

方程式的解,為符合方程式的未知數之值。例如x2 x2 150的解為53。 函數的根,為函數值 f(x)0時的x 之值。例如 f(x) x2 2x15的根為53。 一般來說,相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看,

ax2bxc0的解就相當於找函數f(x)ax2bxc其函數圖形與x 軸交點之 x 座標。例 如函數 f(x)x2 2x15其函數圖形與x 軸的交點為(5,0)(3,0),交點的x 座標即為方 程式ax2bxc0的解。如圖9.1-22。

圖9.1-22

由圖9.1-22 也可看出,x2 x2 150有兩相異解,而 f(x)x2 2x15函數圖形與x 軸 有兩相異交點。

接著我們來看看方程式x2  x6 90,利用乘法公式可得(x3)2 0,因此解為3(重根)。

對函數 f(x)x2 6x9來說,3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖9.1-23。

x y

15

2 2 

x x y

y

(40)

圖9.1-23

由圖9.1-23 可知,x2  x6 90有重根,而 f(x)x2 6x9的函數圖形與x 軸只有一交 點。

最後我們來看看方程式x2 x20,因為判別式12 41270,因此無解。對函數

2 )

(xx2x

f 來說,其函數圖形與x 軸無交點。如圖9.1-24。

圖9.1-24

由圖9.1-24 可知,x2 x20無解,而f(x)x2x2的函數圖形與x 軸無交點。

2 2

x x y

x y

(41)

0

2  ac4 

b 無解 無交點

表9.1-15

例題 9.1-18

判斷 f(x)2x28x8的函數圖形與x 軸的交點數量。

詳解:

利用判別式,先判斷2x2  x8 80的解的種類。

0 8 2 4

82    

因此方程式2x2 x8 80有重根。根據表 9.1-15, f(x)2x28x8的函數圖形與x 軸有一交點。

【練習】9.1-18

判斷 f(x)3x25x9的函數圖形與x 軸的交點數量。

(42)

9.1 節 習題

習題 9.1-1

畫出 f(x)2x2的函數圖形。

習題 9.1-2

(1)找出 f(x)3x2函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 f(x)3x2的函數圖形。

習題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1) f(x)5x2 (2) f(x)5x2 (3) f(x) 31x2

習題 9.1-4

畫出 f(x) x21的函數圖形,並指出頂點。

(43)

習題 9.1-5

畫出 f(x) x2 2 1的函數圖形,並指出頂點。

習題 9.1-6

畫出 f(x)3(x2)2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-7

畫出 ( 1)2

2 ) 1

(xx

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-8

畫出 f(x)2(x1)2 1的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

(44)

習題 9.1-9

畫出 ( 1) 3

2 ) 1

(x  x2

f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-10

寫出 f(x)6(x1)2 5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-11

寫出 ( 1) 1

3 ) 1

(x  x2

f 函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-12

寫出 f(x)x2 2x5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-13

寫出 f(x)4x2 8x1函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(45)

習題 9.1-14

在直角座標上畫出 f(x)3x26x1的函數圖形。

習題 9.1-15

2 4

3 ) 1

(xx2x

f 函數圖形的頂點座標。

習題 9.1-16

判斷 f(x)x22x1函數圖形與x 軸的交點數量。

習題 9.1-17

直角座標上,已知某二次函數圖形頂點為(1,2),且通過點(4,11),試求此二次函 數。

習題 9.1-18

直角座標上,已知某二次函數圖形對稱軸為x2,且通過點(3,2)(5,6),試求 此二次函數。

(46)

9.2 節 二次函數圖形的移動

在本節中,我們將討論當二次函數圖形改變時,函數會如何變化。

在9.1 節時我們畫過 f(x) x21的函數圖形,這裡我們與 f(x)x2做比較:

為了簡化運算,我們先比較拋物線方程式y x2 1y x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x2

y 9 4 1 0 1 4 9

21

y x 10

=9+1

5

=4+1

2

=1+1

1

=0+1

2

=1+1

5

=4+1

10

=9+1 表9.2-1

可以看出x 座標相同時,y x21圖形的y 座標是y x2圖形的y 座標加1。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:

9.2-1

x2

y

2 1 y x

x y

(47)

2 4 1 2

 x y

2 1

=

2 4 41

-2

=24

2 31

= 4

1 2

-4

=04

2 31

= 4

21 

-2

=24

2 1

= 4

2 41

表9.2-2

圖9.2-2 如圖9.2-2,y x12 24的圖形,可以看成是 2

2 1x

y 往下移動4 單位。

事實上,yax2k的圖形,相當於yax2往上移動k 單位。(若k0則為往下移動 k 單 位)

因此y x2 1的圖形是y x2往上移動1 單位,y x12 2 4的圖形是 2

2 1x

y  往下移動4

單位。

2 4 1 2

 x y

2

2 1x y

x y

(48)

我們再接著看下一種形式,比較y x( 2)2y x2

y 9 4 1 0 1 4 9

x

(y x2) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

(y x( 2)2)

-1

=-3+2

0

=-2+2

1

=-1+2

2

=0+2

3

=1+2

4

=2+2

5

=3+2 表9.2-3

可以看出y 座標相同時,y x( 2)2圖形的y 座標是y x2圖形的x 座標加2。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:

9.2-3

x2

yy x( 2)2

x y

(49)

再比較看看 ( 4)2

2 3 

x

y2

2 3x

y :

y 1321 6 112 0 112 6 1321 x

( 2

2 3x

y) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

( ( 4)2 2

3 

x

y )

-7

=-3-4

-6

=-2-4

-5

=-1-4

-4

=0-4

-3

=1-4

-2

=2-4

-1

=3-4 表9.2-4

圖9.2-4 可以看出 ( 4)2

2 3 

x

y 的圖形相當於 2

2 3x

y 的圖形往左移動4 單位。

2

2 3x y )2

4 2( 3 

x y

x y

(50)

x2

y

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

3 ) 2 (  2

 x y

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表9.2-5

3 ) 2 (  2

 x y x2

y

x y

(51)

3 ) 2 (  2

y x 上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12) 表9.2-5

9.2-5 中,對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位。事實上,整y x( 2)2 3的圖形可以想像成是y x2的圖形往右移動2 單位,再往上移動 3 單位。

那麼x 座標增加2 單位,y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢?

前面我們已經知道了:

k ax

y2 的圖形相當於yax2往上移動k 單位。(若k0則為往下移動 k 單位)

)2

(x h a

y  的圖形相當於yax2往右移動h 單位。(若h0則為往左移動 h 單位) 合併成ya(xh)2k時也是一樣:

k h x a

y (  )2 的圖形相當於yax2往上移動k 單位,往右移動 h 單位。(若k0則為往 下移動 k 單位,h0則為往左移動 h 單位)

因此,y x( 2)2 3的圖形就相當於y x2的圖形往右移動2 單位,再往上移動 3 單位。

(52)

我們已經知道了ya(xh)2 k相當於將yax2往右移動h 單位(h0時為往左移動 h 單位),往上移動 k 單位(k0時為往下移動 k 單位)。反過來說,yax2若往上移動k 單 位 , 則 方 程 式 會 變 為 yax2k。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 , 方 程 式 就 會 變 為

k h x a

y (  )2  。

y2x2為例,將圖形往上移4 單位,方程式會變為y x2 2 4。再繼續往右移5 單位,

方程式會變為y2(x5)24,如圖9.2-6:

圖9.2-6

x y

4 ) 5 (

2  2

x y

2x2

y

4 2 2

 x y

Figure

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