梯形
翰林版(四)4-31 梯形的定義
n 梯形：一組對邊平行但另一組對邊不平行的四 邊形，稱為梯形。
【說明】如圖， ¯AB// ¯CD，四 邊形ABCD 為一個 梯形，其不平行的 對邊稱為梯形的兩 腰。
n 等腰梯形：兩腰等長的梯形，稱為等腰梯形。 【說明】如圖，¯AB// ¯CD且 ¯AD
＝ ¯BC，四邊形 AB CD 為一個等腰梯 形。
2 等腰梯形的性質
n 等腰梯形具有下列幾個性質：
1. 等腰梯形的底角相等
【說明】如圖，等腰梯形AB CD 中， ¯AB// ¯CD，
AD＝ ¯¯ BC。
分別過A、B 兩點作 梯形的高 ¯AE、 ¯BF 在△ADE 和△BCF 中
∵ AD＝ ¯¯ BC (已知)
AE＝ ¯¯ BF (平行線距離相等)
∠AED＝∠BFC=90。
∴ △ADE △BCF (RHS) 故 ∠C＝∠D。(對應角相等) 又因為 ¯AB// ¯CD
所以∠DAB＝180°－∠D (同側內角互補) ＝180°－∠C (∠C＝∠D)
＝∠CBA（同側內角互補）
即 ∠A＝∠B。
2. 等腰梯形的對角線等長 【說明】如圖，等腰梯形A BCD 中， ¯AB//
CD， ¯¯ AD＝ ¯BC。
AC、 ¯¯ BD分別為腰梯 形ABCD 的對角線 在△ADC 和△BCD 中
∵ ¯AD＝ ¯BC (已知) CD＝ ¯¯ CD (公用邊)
∠ADC＝∠BCD (底角相等)
∴ △ADC △BCD (SAS) 故 ¯AC＝ ¯BD。(對應邊相等)
3 梯形的中線
n 梯形的中線： 梯形兩腰中點的連接線段稱為 梯形的中線。
【說明】梯形ABCD 中，
AB// ¯¯ CD，且 E、F 分別為 ¯AD與 ¯BC 的中點，即 ¯EF為梯 形ABCD 的中線。
n 梯形的中線性質：
Ø 梯形的中線平行上底和下底。
Ø 梯形的中線長為 2
1 (上底+下底)。
【說明】如圖，梯形ABCD 中，¯AD// ¯BC，¯EF為 中線。
過F 點作 ¯PQ// ¯AD，
分別交直線 ¯AD 與
直線 ¯BC於 P、Q 兩點。
因為ABQP 為平行四邊形，對邊相等
∴ ¯AB= ¯PQ
在△DFP 和△CFQ 中
∵ ∠1＝∠2 (對頂角) DF＝ ¯¯ CF (F 為中點)
∠3＝∠4 (內錯角)
∴ △DFP △CFQ (ASA)
故 ¯PF= ¯FQ 且 ¯DP= ¯QC (對應邊相等) 又 ¯PF=
2 1PQ=¯
2
1AB= ¯¯ AE
∴ AEFP 為平行四邊形 (∵ ¯AE// ¯PF 且 ¯AE= ¯PF ) 故 ¯AP// ¯EF 且 ¯AP= ¯EF
同理 EBQF 為平行四邊形
∴ ¯EF// ¯BQ 且 ¯EF= ¯BQ 由以上可得 ¯AD// ¯EF// ¯BC
且 ¯AP+ ¯BQ=2 ¯EF
¯AD+ ¯DP+ ¯BC- ¯QC=2 ¯EF ¯AD+ ¯BC=2 ¯EF ( ¯DP= ¯QC)
n 梯形的中線與面積
梯形的面積=（上底＋下底）‧高÷2 ＝梯形中線長‧高
【說明】如圖，梯形ABCD 的面積可由三角形面 積公式來推得：
梯形ABCD 的面積
=AB∙h¯ 2 +
CD∙h¯ 2
=AB+ ¯¯ CD 2 ∙h
=中線長∙h
範 例 講 解
Ex1.
(1).等腰梯形的上底為 5，腰長為 10，底角為 60°，則面積為多少平方單位?
(2).若等腰梯形的上底為 6，下底為 12，腰長 為 5，則梯形面積為多少平方單位？
(3).如圖，梯形 ABCD 中，¯AD //
BC，∠B＝50¯
°，∠C＝80°，
若 ¯AD＝5，¯CD＝4，則 ¯BC＝？
Hw1.
(1). 如圖，梯形 ABCD 中，∠C＝90°，
∠D＝45°，¯AB＝
6，¯CD＝10，則梯形面積為多少平方單 位？
(2).等腰梯形 ABCD 中，¯AB＝¯CD＝4，¯AD＝
3，¯BC＝9，則其面積為多少平方單位？
(3).如圖，¯AD//¯BC，
AD＝7，¯¯ BC＝
12，¯AB＝6，¯CD
＝5，∠B＝51
°，則∠D＝？
Ans: 50
3;36 ;9 Ans: 32; 6
7;102
Ex2. Hw2.
(1).如圖，梯形 ABED 中，¯AD //¯BE，¯AB//¯DC，
已知 ¯AD＝8，¯BE
＝18，且△DCE 的面積為 30 平方單位，
則四邊形 ABCD 的面積為多少平方單 位？
(2).如圖，等腰梯形 ABCD 的面積為 238，且 ¯AD＝10，
AE＝14，求 ¯¯ BE 與 AB 的長。 ¯
(3).如圖，¯AD＝4，¯BC
＝9，若 ¯AD//¯BC，
且△BCD 的面積 是 27，試求△ABD 的面積。
(4).如圖，等腰梯形 ABCD 中，∠D
＝60°，∠ACB
＝30°，則△
ABC面積為多少平方單位？
(1).如圖，¯AE 將梯形 ABCD 分割成△ADE 和梯形 ABCE，已知 AB＝¯¯ DE＝4，¯CE＝
2 1
AB，又△ADE 的面積為 10 平方單位，¯ 則梯形 ABCE 的面積為多少平方單位？
(2).如圖，等腰梯形 ABCD 中，¯AD //¯BC，¯AB＝
15，¯AD＝18，
BC＝38，且 ¯¯ DE//¯AB，¯DH⊥¯BC，求 ¯CE 的長=?求 ¯DH 的長=?求等腰梯形 ABCD 的面積=?
(3).如圖，梯形 ABCD 中，¯AB // ¯CD，P 為 ¯CD 上任一 點，且 ¯AB＝3 ¯CD，設 梯形 ABCD 的面積為
36 平方單位，則△PAB 的面積為多少平 方單位？
(4).如圖，請問等腰梯形 ABCD 的面積為多 少平方單位？
Ans: 48; ¯ BE＝7， ¯ AB＝7
5;12;
5
48
Ans: 15;20, 5
5,140
5;27;12
3Ex3.如圖，等腰梯形 ABCD 中，∠DAB＝∠
CBA，¯AB//¯CD，¯AC 與 BD 相交於 P 點。請在¯ 下面的空格內填入適 當的文字或符號，說明
¯PA＝¯PB，且 ¯PD＝¯PC。
說明：
(1).在△DAB 和△CBA 中，
因為【 】，（公用邊）
∠DAB＝∠CBA，（已知）
【 】，（已知）
所以△DAB≅△CBA，（根據【 】 全等性質）
Hw3.如圖，等腰梯形 ABCD 中，¯AB //¯CD，∠A＝∠B，M 為 ¯AB 中點。請在下
面的空格內填入適當的文字或符號，說明 MD＝ ¯¯ MC。
說明：
在△ADM 和△BCM 中，
因為【 】，（M 為 ¯AB 中點）
【 】，（已知）
【 】，（已知）所以△ADM
≅
△BCM，（根據【 】全等性質）
故【 】。（對應邊）
故∠ADB＝∠BCA（對應角）
(2).在△PAD 和△PBC 中，
因為∠ADB＝∠BCA，
【 】，（對頂角）
【 】，（已知）
所以△PAD≅△PBC，（根據【 】 全等性質）
故 ¯PA＝ ¯PB， ¯PD＝ ¯PC（對應邊）
Ans: ¯ AB＝¯ AB， ¯ ADB＝¯ BC，SAS;∠APD＝
∠BPC，¯ AD＝¯ BC，AAS
Ans: ¯ AM＝ ¯ BM；∠A＝∠B；¯ AD＝¯ BC；SAS；
MD＝ ¯ ¯ MC
Ex4.如圖，等腰梯形 ABCD 中，¯AB//¯CD，E 點在 ¯AB 上，且 ¯BE＝¯CD。請在下面 的空格內填入適當的文字 或符號，說明 ¯AD＝¯DE（即
△ADE 為等腰三角形）。
說明：
因為 ¯BE//¯CD，（¯AB//¯CD）
且【 】，（已知）
所以四邊形 BCDE 為平行四邊形，
（一組對邊【 】） 所以【 】（對邊等長）
又 ¯BC＝¯AD，（已知等腰）
故 ¯AD＝¯DE
Hw4.如圖，等腰三角形 ABC 中，¯AB＝¯AC，¯BE＝
CD。請在下面的空格內¯ 填入適當的文字或符 號，說明 ¯DE//¯BC。
說明：
因為 ¯AE＝¯AB－¯BE
＝¯AC－¯CD（已知 ¯AB＝¯AC，¯BE＝¯CD）
＝【 】
所以△ADE 為等腰三角形，
得∠1＝（180°－【 】）÷2（∠1＝∠2）
＝∠B（△ABC 為等腰三角形）
故 ¯DE//¯BC（【 】角相等）
Ans: ¯ BE＝¯ CD，平行且相等，¯ BC＝¯ DE Ans: ¯ AD，∠A，同位
Ex5.如圖，梯形 ABCD 中，¯AB //¯CD，¯AC 與 ¯BD 相交於 P 點，△ADC 與△PBC 的面 積分別為 19 與 10，求△
PDC 的面積。
Hw5.如圖，在梯形 ABCD 中，¯AB//¯CD，且 ¯AC 與 BD 相交於 O 點，已知△¯ ABD 的面積為 20 平方 單位，△BOC 的面積為 11 平方單位，則△ABO 的面積為多少平方單位？
Ans: 9 Ans: 9
Ex6.如圖梯形 ABCD 中，中線 ¯EF 與 ¯GH 相交於 M。請在下面的空格內填入適當的文字或符 號，說明 ¯MG＝ ¯MH（M 為 ¯GH 中點）。
說明：
(1)過 M 點作 ¯PQ//¯AB，分別交直線 AD 與直 線 BC 於 P、Q 兩點。
因為 ¯EF 為【 】，所以 ¯EF//¯AD（或 BC）， ¯
故四邊形 AEMP 與 EBQM 均為
【 】形。
(2)在△GMP 和△HMQ 中，因為【 】，
（對頂角）【 】，（內錯角）
PM＝¯¯ AE（對邊相等）＝¯EB（E 為 ¯AB中 點）＝【 】（對邊相等）
所以△GMP
≅
△HMQ，（根據【 】全等性質）
故 ¯MG＝ ¯MH。（對應邊）
Hw6.如圖，¯EF 為梯形 ABCD 的中線， ¯GH 與 ¯EF 相交於 O，則 下列何者錯誤？
(A) ¯EF＝AD＋ ¯¯ BC 2
(B) ∠1＝∠2 (C) 梯形 ABHG 面積＝梯 形GHCD 面積 (D) ¯GO＝ ¯OH。
Ans: 中線，平行四邊； ∠1＝∠2，∠3＝∠
4， ¯ MQ，ASA
Ans: C
Ex7.
(1).如圖，梯形 ABCD 中，¯AD//¯BC，¯BC＝
12，且中線 ¯EF＝10，
求 ¯AD 的長。
(2).如圖，梯形 ABCD 中，¯AE＝¯EP＝¯PG
＝ ¯GB，¯DF＝¯FQ＝
QH＝¯¯ HC，¯AD＝
20，¯BC＝28，求 ¯PQ的長=? ¯EF＋ ¯GH=?
(3).如圖，梯形 ABCD 中，¯AB//¯CD，中線 ¯EF
＝5，∠B＝90°，¯DH⊥¯AB 於 H，¯AH＝
2，求 ¯CD 的長。
Hw7.
(1).如圖，等腰梯形 ABCD 的兩腰長為 6，周長為 30，則中 線 ¯EF＝？
(2).如圖是由梯形 ABCD 和 EFCD 組成的， ¯GH 和
¯IJ 分別為其中線，已知 GH＋¯¯ IJ ＝20，¯AB＋¯EF
＝30，則兩梯形的共同 邊 ¯CD＝？
(3).如圖，¯GF 為梯形 ABCD 的中線，已知 ¯CD //¯AB，且 ¯GF＝15，若 ¯AE＝6，則 ¯CD＝？
(4).如圖，¯EF 為梯形 ABCD 的中線，已知 ¯AD＝
5，且梯形 EBCF 的周長比梯形 AEFD 的周長多
20 ，則 ¯BC＝？
(4).如圖，梯形 ABCD 中，
¯EF 為中線，¯AB＝3，
CD＝4，且四邊形 ¯ ABFE 的周長為 11，則四邊形 EFCD 的周長為 何？
Ans: 8;48;4 ;3
5Ans: 9;5;12;12
Ex8.(1).梯形 ABCD 中，中線長 6，高為 8，則面 積為多少平方單位？
(2).如圖，梯形 ABCD 中，¯AB //¯CD，中線 ¯EF＝5，∠B＝
90°，¯DH⊥¯AB 於 H，¯AH
＝2，若已知梯形 ABCD 的 面積為 15，求其周長。
(3).如圖，等腰梯形 ABCD 中，¯AD//¯BC，¯AD＝
AB＝4，中線 ¯¯ EF＝
6，求等腰梯形 ABCD 的面積。
(4).如圖，梯形 ABCD 中，¯AD//¯BC，中線
¯EF＝16，¯GH⊥
¯EF，且 ¯GH＝12，
求灰色部分的面 積。
Hw8.
(1).一等腰梯形的中線長為 10，下底比上底 多 6，且知其面積為 40 平方單位，則周 長為何？
(2).如圖，梯形 ABCD 的 面積為 56 平方單 位，¯AH⊥¯BC，且 ¯AH
＝7，則 ¯AD＋¯EF＋
BC＝？ ¯ (3).如圖，等腰梯形
ABCD 中，¯AD //¯BC，中線 ¯EF 比 AB 多 2，且知梯¯
形周長為 16，求中線 ¯EF 的長。
(4).如圖，梯形 ABCD 中，¯AD //¯BC，中線 ¯EF 長為 15，其中
HG⊥¯¯ EF，且已知 ¯HG＝10，則灰色部分 的面積為多少平方單位？
Ans: 48;13＋
13;12
3;96
Ans: 30;24;5;75
Ex9.(1).梯形 ABCD 中，中線長為上底的 2 倍，
則下底為上底的幾倍？
(2).如圖，梯形 ABCD 中，¯EF 為其中線，
則梯形 AEFD 和梯 形 ABCD 的面積比 為何？
Hw9.
(1).如圖，甲、乙均是 邊長為 2 的正三 角形，丙為梯
形，且同在直線 L 上，若甲、乙的面積 和等於丙的面積，則 ¯AB＝？
(2).如圖，在梯形 ABCD 中，¯AD //
BC，M、N 分別為 ¯¯ AB、¯CD 的中點，已 知 ¯AD＝4，¯BC＝8，則梯形 AMND 面積 梯形 MBCN 面積
＝？
Ans: 3; 5：12
Ans: 1; 5 7
Ex10.如圖，ABCD 為等腰 梯形，¯AB // ¯DC，¯AC⊥
BC，¯¯ AB＝50，¯AD＝
BC＝30，則此梯形的¯ 中線長是多少？
Hw10.如圖，ABCD 為等 腰梯形，¯AB // ¯CD，
且 ¯AC⊥¯BC，若 ¯AB
＝25，¯AD＝15，則梯形 ABCD 的面積為 多少平方單位？
Ans: 32 Ans: 192
Ex11.如圖，請用尺規作圖畫出 上底為a，下底為 b，兩 腰長為c 的等腰梯形。
Hw11.如圖，梯形 ABCD 中，¯AD//¯BC，請用尺 規作圖畫出其中線。
Ans: 略 Ans: 略
Ex12.如圖，梯形 ABCD 中，¯AD//¯BC，請用尺 規作圖過A 作一直 線，將梯形ABCD 面 積兩等分 。
Hw12.如圖，求作一點使 ABCD 成為梯形，且 AD//¯¯ BC，¯AB=¯CD。
