4 梯形 3

等腰梯形的性質

例

1

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AB // CD，AB＞CD，

AD＝BC，試說明∠A＝∠B，∠C＝∠D。

如右圖，分別過 C、 D 兩點作梯形的高 DE、 CF，

在△ADE 和△BCF 中，

因為 AD＝BC （已知），

DE＝CF （兩平行線間距離相等），

∠AED＝∠BFC＝90°，

所以△ADE △BCF （RHS 全等），

故∠A＝∠B（對應角）。

又因為 AB // CD，

所以∠ADC＝180°－∠A （同側內角互補）

＝180°－∠B （∠A＝∠B）

＝∠BCD （同側內角互補）

故∠BCD＝∠ADC。

4 ^{3 梯形}

我們知道梯形是一組對邊平行，另一組對邊不 平行的四邊形；其不平行的對邊稱為梯形的兩腰。

當梯形的兩腰等長時，就稱該梯形為等腰梯形。

如圖 4-10，梯形 ABCD 中，AB // CD，AD＝BC，

梯形 ABCD 即為等腰梯形。

A B

D C

圖4-10

A B

D C

A B

D E F

C

1 等腰梯形

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，

∠B＝60°，∠ACD＝30°，求∠ACB 與∠D。

等腰梯形性質的應用

例

2

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AB // CD，

AB＞CD，AD＝BC，連接 AC、BD 兩條對角線，

試說明 AC＝BD（對角線等長）。

在△ABD 和△BAC 中，

因為 AD＝BC （已知），∠BAD＝∠ABC （由例題 1 可知），

AB＝AB（公用邊），

所以△ABD △BAC （SAS 全等），故 AC＝BD （對應邊）。

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，∠B＝60°，∠ACD＝30°，

且知 AB＝CD＝3，BC＝6，求：

1∠DAC 與∠BAC。

2 AD 與 BD 的長。

A D

30°

60°

B C

A B

C D

A D

B 6 C

60°

30°3 3

∠ACB＝∠DCB－∠ACD

＝∠B－30°（等腰梯形∠DCB＝∠B）

＝60°－30°＝30°

∠D＝180°－∠DCB （同側內角互補）

＝180°－60°＝120°

1∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝∠ABC－∠DCA＝60°－30°＝30°

∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－60°－30°＝90°

因為∠DAB＋∠ABC＝180°（同側內角互補），

所以（∠DAC＋90°）＋60°＝180°，∠DAC＝30°。

2 AD＝CD＝3（∠DAC＝∠DCA＝30°）

BD＝AC＝ BC ²－AB ² ＝ 6²－3² ＝ 27 ＝3 3

等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，AB＝DC，

則∠A＝∠D，∠B＝∠C，且 AC＝DB。

即，等腰梯形的兩組底角分別相等，且對角線等長。

等腰梯形性質的應用

例

3

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，

AB＝13，AD＝28，BC＝38，且 AE 與 DF 分別垂直 BC 於 E、F 兩點，求：

1 BE 的長。

2 AE 的長。

3等腰梯形 ABCD 的面積。

由例題 1 與例題 2 可知：

A D

B C

A D

F C B E

28

13

38

1 因為△ABE △DCF （RHS 全等），

所以 BE＝CF （對應邊）。 又 BC＝BE＋EF＋CF，

其中 EF＝AD＝28 （矩形對邊相等）， 所以 38＝BE＋28＋BE

38＝2×BE＋28 BE＝（38－28）÷2＝5

 2 AE＝ AB ²－BE ² ＝ 13²－5² ＝ 144 ＝12

 3梯形 ABCD 面積＝（28＋38）×12÷2

＝396

（上底＋下底）×高÷2 BE＝CF

配合習作基礎題 1

1如右圖，等腰梯形 ABCD 的面積為 28，

且 AD＝4，BC＝10，求 AE 與 AB 的長。

2如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AB＝BE＝EC＝CD＝AD＝1，

求∠AED 與梯形 ABCD 的面積。 ^{A 1 D}

E B 1

1 1

1 C

A 4 D

F

B E C

（AD＋BC）×AE 10

2 ＝28， （4＋10）×AE

2 ＝28，AE＝4 BE＝（BC－EF）÷2（因為△ABE △DCF，BE＝CF）

＝（BC－AD）÷2（矩形對邊相等）

＝（10－4）÷2 ＝3

AB＝ AE ²＋BE ²（△ABE 為直角三角形）

＝ 4²＋3² ＝5

1 AD // BE，且 AD＝BE，

所以四邊形 ADEB 為平行四邊形，

故 DE＝AB＝1。

同理，四邊形 ADCE 為平行四邊形，

故 AE＝DC＝1。

AD＝DE＝AE＝1，所以△ADE 為正三角形，∠AED＝60°。

2作 AH ⊥ BC 於 H，由勾股定理得

AH＝ 1²－（ 1

2 ）² ＝ 3

4 ＝ 3 2 梯形 ABCD 面積＝（AD＋BC）×AH

2

＝ 1

2 ×（1＋2）× 3 2

＝ 3 3

4

A 1 D

E B 1

1 1

1 C

H

梯形中線作圖

例

4

如右圖，梯形 ABCD 中，AB // CD，試用尺規 作圖畫出其中線 EF。

1 作 BC 的中垂線 L，交 BC 於 E 點。

 2作 AD 的中垂線 M，交 AD 於 F 點。

 3連接 EF，則 EF 即為所求。

梯形兩腰中點的連接線段稱為梯形中線。

如圖 4-11，梯形 ABCD 中，AB // CD，且 E、F 分 別為 AD 與 BC 的中點，EF 即為梯形 ABCD 的中線。

利用尺規作圖畫出右圖等腰梯形 ABCD 的中線。

A B

E D

F C 圖 4-11

B

A

D

C

A D

B C

1

B

C

D A

E L

C

2

B

D A

E L

F

3

B

C

D A

E L

F M M

2 梯形中線

A D

F E

B C

L M

梯形中線的應用

例

5

如右圖，梯形 ABCD 中，EF 為中線，

AB＝3，CD＝5，且四邊形 ABFE 的 周長為 10，求四邊形 EFCD 的周長。

AE＋EF＋FB＋AB＝10 AE＋EF＋FB＋3＝10 AE＋EF＋FB＝7

四邊形 EFCD 周長＝DE＋EF＋FC＋CD 　 ＝AE＋EF＋FB＋5

＝7＋5

＝12

如右圖，梯形 ABCD 中，EF 為中線，AB＝3，

且四邊形 EFCD 的周長比四邊形 ABFE 的周長多 3，

求 CD 的長。

接著我們來介紹梯形中線與其上、下底之間的關係。

A 3 B

E

F C

D 5

四邊形 ABFE 的周長為 10

E、F 分別為 AD、BC 的中點

A B

E

D C

F 3

四邊形 EFCD 的周長＝四邊形 ABFE 的周長＋3 EF＋CF＋CD＋DE＝AB＋BF＋EF＋AE＋3 CD＝AB＋3（因為 BF＝CF，AE＝DE）

＝3＋3

＝6

P

1 過 F 點作 PQ // AB，分別交直線 AD 與直線 BC 於 P、Q 兩點，

則 ABQP 為平行四邊形，所以 PQ＝AB（對邊相等）。

在△DFP 和△CFQ 中，

因為∠1＝∠2（對頂角），

　　 DF＝CF（F 為 CD 中點），

∠3＝∠4（內錯角），

所以△DFP △CFQ（ASA 全等），

故 DP＝CQ，PF＝FQ（對應邊）。

2因為 PF ＝ 1

2 ×PQ （PF＝FQ）

＝ 1

2 ×AB（PQ＝AB）

＝AE（E 為 AB 中點）

又 PF // AE（PQ // AB），

所以四邊形 AEFP 為平行四邊形（對邊平行且相等），

故 EF // AD，且 EF＝AP。

同理，EBQF 為平行四邊形，所以 EF // BC，且 EF＝BQ。

3故 AD＋BC＝AP－DP＋BQ＋CQ

　 ＝EF－CQ＋EF＋CQ（DP＝CQ，AP＝BQ＝EF）

＝2×EF 梯形中線的性質

例

6

如右圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，

EF 為中線，試說明 EF // AD（或 BC ） 且 AD＋BC＝2×EF。

1梯形中線會與上、下底平行。

2上底＋下底＝2×梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。

由例題 6 可知，梯形中線與其上、下底有下列關係：

A D

E F

B C

A D

E F

B C

31

2 4 Q

梯形中線性質的應用

例

7

如右圖，梯形 ABCD 中，AD＝8，BC＝6，

∠B＝104°，求中線 EF 的長與∠BEF。

如右圖，梯形 ABCD 中，AD＝6，中線 EF＝7.5，

∠DEF＝58°，求 BC 的長與∠C。

梯形中線長＝（上底＋下底）÷2 所以 EF＝（BC＋AD）÷2

＝（6＋8）÷2 ＝7

∠BEF＝180°－∠B

＝180°－104°

＝76°

同側內角互補

A E B

6 8

D F

C

C E

D

A F B

6

7.5

配合習作基礎題 3

配合習作基礎題 2

EF＝（AD＋BC）÷2 7.5＝（6＋BC）÷2 BC＝9

∠C＝∠DEF （同位角相等）

＝58°

在國小的時候，我們曾利用切割拼補的方式得知梯形面積公式為

（上底＋下底）×高÷2，而這個公式也可由三角形面積公式來推得：

如圖 4-12，梯形 ABCD 中，AB // CD，高為 h。連接 BD，可得 梯形 ABCD 面積＝△ABD 面積＋△BCD 面積

　　　　　　　＝ AB×h

2 ＋ CD×h 2 　　　　　　　＝ AB×h＋CD×h

2

　　　　　　　＝ （AB＋CD）×h 2

　　　　　　　＝（AB＋CD）×h÷2

即梯形 ABCD 面積＝（上底＋下底）×高÷2。

由例題 6 已知：上底＋下底＝2×梯形中線長，

所以梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2 　　　　　　＝2×梯形中線長×高÷2

＝梯形中線長×高 梯形中線與面積的關係

例

8

如右圖，梯形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，BC＝6，

中線 EF＝8.5，求梯形 ABCD 的面積。

梯形 ABCD 面積＝EF×BC

＝8.5×6

＝51

梯形面積＝梯形中線長×高

A B

h

C D 圖 4-12

A E 8.5

B F

C D

6 配合習作基礎題 4、5、6

!梯形： 梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形；

其不平行 的對邊稱為梯形的兩腰。

@等腰梯形：若梯形的兩腰等長，就稱該梯形為等腰梯形。

#等腰梯形的性質：

如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AD// BC，AB＝DC，

則∠A＝∠D，∠B＝∠C，且對角線 AC＝BD。

$梯形中線：梯形兩腰中點的連接線段，稱為梯形中線。

%梯形中線性質：

 1梯形中線會與上、下底平行。

 2 上底＋下底＝2×梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。

^梯形中線與面積的關係：

梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2＝梯形中線長×高

重點回顧

如右圖，梯形 ABCD 的面積為 63，AH⊥BC，

且 AH＝7。

1求梯形中線 EF 的長。

2求 AD＋BC。

A D

E 7 F

B H C

A D

B C

1梯形 ABCD 面積＝EF×AH 63＝EF×7

EF＝9

2 EF＝（AD＋BC）÷2 9＝（AD＋BC）÷2 AD＋BC＝18

1試求右圖梯形中，∠1、∠2 的度數。

2如右圖，等腰梯形 ABCD 的面積為 238，且 AD＝10，

AE＝14，求 BE 與 AB 的長。

自 我 評 量 4-3

A 10 D

14

B E C

F 117° 102°

1 2

A D

C B

∠1＝180°－117°＝63°

∠2＝180°－102°＝78°

梯形 ABCD 面積＝（AD＋BC）×AE

2 ＝238

（10＋BC）×14

2 ＝238，BC＝24

BE＝（BC－EF）÷2（因為△ABE △DCF，BE＝CF）

＝（BC－AD）÷2（矩形對邊相等）

＝（24－10）÷2 ＝7

AB＝ AE ²＋BE ² （△ABE 為直角三角形）

＝ 14²＋7² ＝7 5

3 如右圖，等腰梯形 ABCD 中，AB // CD，∠A＝∠B，M 為 AB 中點^， ∠A＝40°，∠DMC＝50°，求∠MCB。

4 如右圖，梯形 ABCD 中，AB // CD，中線 EF＝5，∠B＝90°，

DH⊥AB 於 H，AH＝2，求 CD 的長。

A E

D

5 2 H

B F C

A M B

D C

設 CD＝x

所以 AB＝AH＋BH

＝2＋CD （矩形對邊相等）

＝2＋x

則 EF＝（AB＋CD）÷2 5＝（2＋x＋x）÷2 x＝4

所以 CD＝4。

因為 AD＝BC （ABCD 為等腰梯形），

∠MAD＝∠MBC＝40°，

MA＝MB （M 為 AB 的中點），

所以△ADM △BCM （SAS 全等），

故 MD＝MC。

∠MCD＝ 180 －50

2 ＝65°

∠BCD＝180°－40°＝140°

∠MCB＝∠BCD－∠MCD ＝140°－65°

＝75°

° °

5承上題，若已知梯形 ABCD 的面積為 15，求 BC 的長。

6 如右圖，BG 為梯形 ACFH 的中線，CF 為梯形 BDEG 的中線，

且 AH＝16，DE＝22，求 BG 與 CF 的長。 _A

B C

D

H G

F E

梯形 ABCD 面積＝EF×DH 15＝5×DH

DH＝3

BC＝DH＝3（矩形對邊相等）

設 BG＝x，CF＝y 由梯形中線性質知，

16＋y＝2x 2x－y＝16 1 x＋22＝2y x－2y＝－22 2 1式－2式×2得 3y＝60，y＝20

代入2式得 x＝18，

所以 BG＝18，CF＝20。

數學謎題：64＝65？

下面圖一為邊長 8 的正方形，依不同顏色剪成 4 塊，再按圖二拼 湊，看起來似乎可以拼成兩個全等的直角三角形。若以三角形面積公 式計算圖二的總面積，再與圖一的正方形面積比較，是否發現不對的 地方？

圖一的正方形面積是 8×8＝64，而圖二的兩個直角三角形面積是 13×5

2 ×2＝65，到底圖二的問題出在哪兒呢？

若將圖二的兩個三角形疊在圖三（面積為 13×5 的長方形）上，

如圖四，可發現有一空隙，也就是不能將圖二看成兩個直角三角形，

應該為兩個凹四邊形，而圖四中的空隙，實際上是面積為 65－64＝1 的平行四邊形哦！同學們不妨思考看看！

數學萬花筒

×÷

－

圖一 圖二

圖三 圖四