梯形內一塊四邊形面積的探討

(1)

梯形內一塊四邊形面積的探討

梁勇能

前言. 在 2000 年環球城市數學競賽 (International Mathematics Tourna- ment of Towns) 的試題中有一題: 「設梯形 ABCD 的面積為 1, 其上底 BC 與下底 AD 的比值為 1 : 2, 另 K 為對角線 AC 的中點, L 為直線 DK 與邊 AB 的交點。試求四邊形 BCKL 的面積?」。由這個問題的解決中, 我們可以進一步獲得更廣泛的結果。

問題一: 梯形 ABCD 面積為 1, BC : AD = 1 : 2, AK = KC, 求四邊形 BCKL 面積?

.

... .

.. ... .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . .

. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . .

. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . ..

... ...

. ...

... ...

..

A

B C

D E

K L

圖一平面幾何: 過 C 做平行 LK 的直線, 交直線

AL 於 E 點。

^∵

LK//CE, AK = KC

∴

AL = LE · · · ·(

^>

) 為書寫方便, 將 △ABC 的面積記為 S

_△ABC

, 以此類推。所以

S

_△ALC

= S

_△LCE

= 1

2S

_△ACE

· · ·

¹

又因為 BC//AD, LK//CE,

^{∴ ∠}

ALD =

^∠

BEC,

^∠

LAD =

^∠

EBC → △CBE ∼

△DAL (AA)

∴ ^AL

BE

=

^AD _BC

=

² ₁

→BE =

¹ ₂

AL =

¹ ₂

LE

∴

BE = LB ⇒ S

_△LBC

= S

_△BCE

=

¹ ₂

S

_△LCE

=

¹ ₄

S

_△ACE

· · ·

²

同理, AK = KC, ⇒ S

_△LKC

= S

_△ALK

=

¹ ₄

S

_△ACE

· · ·

³

∴

S

_△LCE

=

¹ ₂

S

_△ECA

= 2S

_△BCE

, ⇒ S四邊形

^{BCK L}

⁼

² 3

S

_△ABC

。

∵

BC : AD = 1 : 2 ⇒ S

_△ABC

: S

_△ACD

= 1 : 2 (等高),

38

(2)

故 S四邊形

^{BCK L}

⁼

² 3

S

_△ABC

=

² ₃

×

¹ ₃

S梯形

^ABCD

⁼

² 9

×1 =

² ₉

。解析法: 在坐標平面上畫出梯形 ABCD, 將

A 點定於原點 (0, 0) 其他 B(a, b), C(a + λ, b), D(2λ, 0)。

^∵

K 是 AC 的中點,

^∴

K(

^a ^+λ ₂

,

^b ₂

)

直線 DL 的方程式: y = 0 −

^b ₂

2λ −

^a ^+λ ₂

(x − 2λ)

= −b

4λ−a−λ(x − 2λ)

= b

a − 3λ(x − 2λ) 直線 AB 的方程式: y = b

ax

... . ... .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .

. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . .

. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . ..

... ..

. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. .. . .. .

A(0, 0)

B(a, b) C(a + λ, b)

D(2λ, 0) K

L

x y

圖二

解聯立方程式







y =

_a _−3λ ^b

(x − 2λ) · · · (1) y =

_a ^b

x · · · ·(2)

∴

x =

^2abλ _3bλ

=

² ₃

a, y =

² ₃

a ×

^b _a

=

² ₃

b,

^∴

L(

² ₃

a,

² ₃

b)

S

△ALD

S

_△ACD =

^S _S

¹₂

^+S _+S

³₃ = ²³

_b ^b

=

² ₃

(同底) 又因為 S

2

= S

3

S

₁

+ S

₂

2S

2

= 2

3 ⇒3S

1

+ 3S

2

= 4S

2

,

^∴

S

2

= 3S

1

= S

_△ABC

.

故 S四邊形

^{BCK L}

⁼ 2

3S

_△ABC

=2 3 ×1

3S梯形

^ABCD

=2

9 ×1 = 2

9. ^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.

. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..

. ... .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

.. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. .

.. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . ..

A(0, 0)

B(a, b) C(a + λ, b)

D(2λ, 0) K

L S

1

S

2

S

3

圖三

我們利用動態幾何軟體 GSP 的視窗 (圖四), 使 A、 D 點固定, 另取一動點 M, 使得 B、 C 分別為 AM 、 DM 的中點。並分別作出 △ABC、 △AKD、 △DKC 的重心 G

1

、 G

2

、 G

3

, 藉著拉動動點 M, 我們可以發現 BCKL/ABCD 之面積比皆固定為 0.2 (視窗中為第二位以後四拾五入), 亦即所求的

² ₉

。同時也有額外的發現!

(3)

圖四

(1) AC 的中點 K, 一定會在 G

1

G

2

上

(2) △G

1

G

2

G

3

的面積 = 梯形 ABCD 面積的

¹ ₉

?

... .

. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. .

. ... .

.. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . .. ...

1

2

A

B C

D K

L F

E G

₁

G

2

G

3

圖五 (1) 之證明:

1. 做 △AKD 中 AD 的中線 KE。 G

₂

∈KE。

2. 做 △BAC 中 AC 的中線 BK, G

1

∈BK, G

₂

∈KE。

3.

^∵

BC//AD,

^{∴ ∠}

1 =

^∠

2 (見圖五)

∵

E 是 AD 中點,

^∴

AE =

¹ ₂

AD = BC, 加上 AK = KC,

於是 △KCB ∼= △KAE (SAS),

∴ ∠

BKC =

^∠

AKE。

4.

^∵

AK、 KC 在同一直線上, 過 K 做線段 G

2

F , 則

^∠

AKG

2

=

^∠

F KC (對頂角相等)

→

^∠

BKC =

^∠

F KC, 所以 K 也在 G

2

F 上, 故 K 點會在 G

1

G

2

上。

(4)

(2) 之證明:

1. 由 (1) 中, 可知 △KCB ∼= △KAE,

∴

BK = KE。

∵

G

1

、 G

2

分別是 △ABC 和 △AKD 的重心。 BK、 KE 分別是其中一條中線。

因此, G

₁

K =

¹ ₃

BK, KG

2

=

² ₃

KE,

∴

G

1

K + KG

2

=

¹ ₃

BK +

² ₃

BK = BK =

1 2

BE。

... . ... . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .

. .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .

...

.

... .

...

1

2

A

B C

D

K H

L

E G

₁

G

2

G

₃

... ... ...

圖六 2. 連接 G

1

H、 G

2

H (H 是中點)

∵

KH 是 △KCD 的中線,

∴

KG

3

=

² ₃

KH ⇒ S

_△G

₁

^{K G}

₃ =

² ₃

S

_△G

₁

^{K H}

(同高)。

同理 S

_△G

₂

K G

₃ =

² ₃

S

_△G

₂

K H

。因此, S

_△G

₁

G

₂

G

₃ =

² ₃

S

_△G

₁

G

₂

H

, 又因為 S

_△G

₁

G

₂

H

=

1

2

G

1

G

2

×h (高); S四邊形

^BCDE

= BE×h = 2G

1

G

2

×h, 而 S

_△G

₁

G

₂

H

=

¹ ₄

S四邊形

^BCDE

^。

∴

S

_△G

₁

G

₂

G

₃ =

² ₃

×

¹ ₄

S四邊形

^BCDE

⁼

¹ 6

S四邊形

^BCDE

⁼

¹ 6

×

² ₃

S梯形

^ABCD

⁼

¹ 9

S梯形

^ABCD

^。

推廣題目: 梯形 ABCD, 上底 BC 和下底 AD 的比為 1 : t, AK : KC = m : n, L 為直線 DK 和 AB 的交點, 則四邊形 BCKL 的面積和原來梯形 ABCD 的面積有何關係?

.

... ..

. ... . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .

. .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .

... ...

. ...

... . .

A

B C

D E

K L

m : n

圖七解法: 仿照前面的作法, 做 CE//LK

⇒ △ALK ∼ △AEC (AA)

∴

S

_△ALK

=

_(m+n) ^m

² 2S

_△ACE

· · ·

¹

又 △EBC ∼ △LAD (AA)

有

^EB

LA

=

^BC _AD

=

¹ _t

→EB =

¹ _t

LA =

¹ _t

×

^m _n

× LE =

_tn ^m

LE。

∴

LB = LE − BE = LE −

_tn ^m

LE =

^tn _tn ^−m

LE · · · ·(

^>>

) S

_△EBC

=

_tn ^m

S

_△LEC

=

_tn ^m

×

_m ⁿ _+n

S

_△ACE

=

_t _(m+n) ^m

S

_△ACE

· · ·

²

(5)

所以 S

_△ABC

= S

_△AEC

−S

_△ECB

= S

_△ACE ^h

1 −

_t _(m+n) ^m ⁱ

=

^t ^(m+n)−m _t _(m+n)

S

_△ACE

· · ·

³

S四邊形

^{BCK L}

S

_△ABC

= S

_△ABC

−S

_△ALK

t (m+n)−m

t (m+n)

S

_△ACE

=

t (m+n)−m

t (m+n)

−

_(m+n) ^m

² 2

t (m+n)−m t (m+n)

= 2mnt+n

²

t−m

²

−mn m

²

t+2mnt+n

²

t−m

²

−mn 加上 S

_△ABC

=

_1+t ¹

S梯形

^ABCD

^。

S

四邊形^BCKL

S

梯形^ABCD ⁼

1 1+t

×

_m

2

^2mnt+n t +2mnt+n

²

^t ^−m

²

t −m

²

^−mn

²

−mn

· · · ·(公式一)

.

... .

.. ... .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. .

. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . ..

A(0, 0)

B(a, b) C(a + l, b)

D(lt, 0) K

L

m : n

圖八解析方法: 因為

^AK _{K C}

=

^m _n

, 由分點公式

K(

^m _m ^(a+λ) _+n

,

_m ^mb _+n

), 則直線 KD 的方程式為

y =

mb m +n m (a+λ)

m +n

−λt(x − λt).

直線 AB 的方程式: y =

_a ^b

x

因為 L 是直線 AB 和直線 KD 的交點, 解聯立方程式







y =

_a ^b

x

y =

_na +mλ−λt(m+n) ^mb

(x − λt) ⇒ b

ax = mb

ma + mλ − λt(m + n)(x − λt) 可解得 x = amt

mt + nt − m, y = bmt

mt + nt − m

^∴

L( amt

mt + nt − m, bmt mt + nt − m)

因此, S四邊形

^{BCK L}

S梯形

^ABCD

=

1 2

a a + λ

^m _m ^(a+λ) _+n _mt _+nt−m ^amt

a b b

_m ^mb _+n _mt _+nt−m ^bmt

b

1

2

bλ(1 + t) 化簡可得

= 2mnt + n

²

t − m

²

−mn

(1 + t)(m

²

t + 2mnt + n

²

t − m

²

−mn) 與公式一的結果相同。

因為 m : n 的比例會影響 LB 的長度, 間接影響到四邊形 BCKL 的形狀, 我們可以討論特例狀況。

(1) 當四邊形 BCKL 變成 △KCB (L 與 B 重合), 則

_S ^S

^△BCK 梯形^BCD ⁼

n

²

(m+n)

²

(2) 當四邊形 BCKL 變成 △ABC (L 與 A 重合), 則

_S ^S

^△ABC 梯形^ABCD ⁼

1 1+t

(6)

(1) 之證明:

由 (

^>>

) 式, 有 LB =

^tn _tn ^−m

LE。

當 tn = m 時, LB = 0, 此時四邊形 BCKL 變成 △KCB, 代入公式一。

S

_△BKC

S梯形

^ABCD

= 1

t + 1 × mnt + mnt − m

²

−mn + n

²

t m

²

t + mnt + mnt + n

²

t − m

²

−mn

= 1

t+1 × mnt + (nt−m)(m+n)

m

²

t + mnt + (nt−m)(m+n) = 1

1+t× mnt

m

²

t + mnt = n

²

(m+n)

²

再以實際的圖形來看。由圖九, 可以知道 △BCK ∼

△DAK, 則 BC : AD = n : m, 由面積公式:

S

_△BCK

S梯形

^ABCD

=

1 2

nh

1

2

(m + n) ·

^(m+n) _n

·h = n

²

(m + n)

²

和代入公式所得的結果相同。

.

... ..

... .

.

.. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .

A

B C

D m : nK

圖九 (2) 之證明:

另一方面, 如果 m = 0, 也就是 LB = LE, 此時, 四邊形變成 △ABC 代入公式一, 可以得到

S

_△ABC

S梯形

^ABCD

= 1

1 + t × 0 + n

²

t + 0 + 0 0 + 0 + n

²

t + 0 = 1

1 + t 因此, 當直線 DK 交於 AB 時, 公式一皆能滿足要求。

如果直線 DK 交於 BC 時,

_S ^S

^△CKL 梯形^ABCD ⁼

tn

²

m (m+n)(1+t)

.

... .

... ..

. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . ..

A

B C

D K

L m : n

圖十由圖九, △CLK ∼ △AKD (AA)。

因此,

_S ^S

^△CKL

△AKD =

_m ⁿ

²2,

設 S

_△AKD

= ms, S

_△CKD

= ns

⇒S

_△CKL

=

_m ⁿ

²2 ×ms =

ⁿ _m

²s, 又

_S ^S

^△ABC

△ACD =

¹ _t

,

S

_△ABC

=

¹ _t

S

_△ACD

=

¹ _t

(m + n)s,

S梯形

^ABCD

^{= S}

^△ABC

^{+ S}

^△ACD

⁼

¹ ^t

(m + n)s + (m + n)s

(7)

∴ ^S

^△CKL

S

梯形^ABCD ⁼

n2 m

s

1

t

(m+n)s+(m+n)s

=

_m

2

t +mnt+m ^tn

² ²

+mn

=

_m _(m+n)(1+t) ^tn

²

· · · ·(公式二) 解析作法:







y = b

y =

_m (a+λ)−λt(m+n) ^mb

(x − λt)

可解出 x = a + λ −

_m ⁿ

λt, y = b,

^∴

L(a + λ −

_m ⁿ

λt, b)。

因此, 在 △CLK 中, 底為 (a + λ) − (a + λ −

n

m

λt) =

_m ⁿ

λt, 高為 b −

_m ^mb _+n

=

_m ^nb _+n

→S

_△CLK

=

¹ ₂

×

_m ⁿ

λt ×

_m ^nb _+n

=

¹ ₂

·

_m ⁿ _(m+n)

²

^tbλ

,

故 S

_△CKL

S梯形

^ABCD

=

1

2

·

_m ⁿ _(m+n)

²

^tbλ

1

2

bλ(1 + t)

= n

²

t

m(m + n)(1 + t) 公式二的結果相同。

.

... ..

... .

.

.. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .

A(0, 0).

B(a, b) C(a + λ, b)

D(λt, 0) K

L m : n

圖十一

由 △ABC、 △AKD、 △CKD 的重心所圍成的三角形面積和梯形的面積是否仍有 1/9 的關係?

圖十二解: 由重心的坐標公式, 可以算出

G

1

= 2a + λ 3 ,2b

3

!

G

2

=





m (a+λ) m +n

+ λt

3 ,

mb m +n

3





G

₃

=





m (a+λ)

m +n

+ a + λ + λt

3 ,

mb m +n

+ b

3





S

_△G

₁

^G

₂

^G

₃ S梯形

^ABCD

=

1 2

2a+λ 3

m(a+λ) m+n

+λt

3

m(a+λ)

m+n

+a+λ+λt 3

2a+λ 3 2b

3

mb m+n

3

mb m+n

+b

3 2b 3

1

2

bλ(1 + t)

分子 = 1 9

"

mb

m+n(2a+λ) +

m(a+λ) m+n +λt

mb m+n+b

+2b

m(a+λ)

m+n +λt+a+λ

#

(8)

−

"

2b

m(a+λ) m+n +λt

+ mb m+n

m(a+λ)

m+n +λt+a+λ

+(2a+λ)

mb m+n+b

#

= 1

9(bλt + bλ) = 1

9bλ(1 + t) S

_△G

₁

^G

₂

^G

₃ S梯形

^ABCD

=

1

9

bλ(1 + t) λ(1 + t) = 1

9.

結論

設梯形 ABCD, 上底 BC 和下底 AD 的比為 1 : t, AK : KC = m : n, L 為直線 DK 和 AB 的交點, 則有下面的結果:

(a) 如果直線 AK 交 AB 於 L, 則 S四邊形

^{BCK L}

S梯形

^ABCD

= 2mnt + n

²

t − m

²

t − mn

(1 + t)(m

²

t + 2mnt + n

²

t − m

²

−mn) (b) 如果直線 AK 交 AC 於 L, 則

S

_△CKL

S梯形

ABCD

= tn

²

m(m + n)(1 + t)

(c) 由 △ABC、 △AKD、 △CKD 的重心所圍成的三角形面積恰好是原梯形 ABCD 面積的

¹

9

, 如果是內心、外心則沒有類似的關係。

參考文獻

1. 國民中學數學第五冊 2. 國民中學選修數學第五冊 3. 高級中學數學第二冊

—

本文作者任教於百齡高中

梯形內一塊四邊形面積的探討