學習重點:算式符號的運算規則最主要的是移項法則。
等量公理:
在等式中,兩邊同時做加減乘除四則運算,則等式維持不變。
【範例】 :當 x =y,兩邊同時做加減乘除四則運算,則:
兩邊同時加一個數: x +a=y+a;
兩邊同時減一個數: x -a=y-a;
兩邊同時乘一個數: a × x =a × y; 兩邊同時除一個數: a ÷ x =a ÷ y;
移項法則:
根據等量公理原則,等式兩邊可以同時做四則運算,則我們可以發現移項法則,
也就是說,等式中一個數或未知數從等式一邊移到另一邊時,則要變號。
【範例】 : 21+13=34……(1) Û 21+13-13=34-13 Û 21=34-13……(2)
由(1)(2)式中,發現+13 移到等號另一邊時,則變成-13。
【範例】 : 43-17=26……(1) Û 43-17+17=26+17 Û 43=26+17……(2)
由(1)(2)式中,發現-17 移到等號另一邊時,則變成+17。
【範例】 : 2 x × 7=42……(1) Û 2 x ×7 ÷7=42÷7 Û 2 x=42 ÷ 7……(2)
由(1)(2)式中,發現 ×7 移到等號另一邊時,則變成 ÷7。
【範例】 : 3 x ÷ 5 3 =
7
5 ……(1)
Û 3 x ÷ 5 3 ×
5 3 =
7 5 ×
5 3
Û 3 x=
7 5 ×
5
3 ……(2) 由(1)(2)式中,發現 ÷
5
3 移到等號另一邊時,則變成 × 5 3 。
口訣=移+變-;移-變+;移×變÷;移÷變×
求解未知數 x 的值:
利用移項法則,將已知的放一邊,未知數放一邊,然後再計算其值。
【範例】 :
x + 7 = 25
Ûx = 25 - 7
Ûx = 18
【範例】 : 13 - 2 x =25 Û 2 x = 13 - 25 Û 2 x = -12 Û
x =- 6
【範例】 : 23+5 x=44-2 x Û 5 x+2 x=44-23 Û 7 x=21
Û
x=3
【範例】 :
2
5
x+4=x+
5 3
Û 2
5
x-x=
5 3 -4
Û 2 3
x=-
5 17
Û
x=
3 2 5 17 ´ -
Û
x=
15 - 34
【範例】 : -3(x-4)=5(3 x-12) Û -3 x+12=15 x-60 Û 12+60=15 x+3 x Û 72 =18 x
Û 18 x =72 Û
x=4
【範例】:請化簡(2 x+3)-(7 x-10)=0。
解 : (2 x+3)-(7 x-10)=0 Û 2 x+3-7 x+10=0 Û 2 x-7 x+3+10=0 Û -5x+13=0
【範例】:求一元一次方程式:3( x-1)-7(-2 x-5)=0 之解。
解 : 3( x-1)-7(-2 x-5)=0 Û 3 x-3-7×(-2 x)-7×(-5)=0 Û 3 x-3+14 x+35=0
Û 3 x+14 x+35-3=0 Û 14 x+32=0
Û
x =-
7 16
【範例】:求一元一次方程式:-(2 x-7)-3(3 x-11)=0 之解。
解 :
-(2 x-7)-3(3 x-11)=0 Û -2 x+7-9 x+33=0 Û -2 x-9 x+7+33=0 Û -11 x+40=0
Û 11 x=40 Û
x =
11 40
【範例】:求一元一次方程式:-(-3 x-2)-(3 x-8)+(-x+5)=0 之解。
解 :
-(-3 x-2)-(3 x-8)+(-x+5)=0 Û 3 x+2-3 x+8-x+5=0
Û 3 x-3 x-x+8+2+5=0 Û -x+15=0
Û
x =15
【範例】:求一元一次方程式:-2[-3+4(x-5)]=0 之解。
解 :
-2[-3+4(x-5)]=0 Û -2[-3+4 x-20]=0 Û -2[4 x-23]=0 Û -8 x+46=0 Û 8 x =46 Û
x =
4 23
【範例】:求一元一次方程式:10 x-{2 x-[(5 x-3)-3(2 x-7)]}=0 之解。
解 :
10 x-{2 x-[(5 x-3)-3(2 x-7)]}=0 Û 10 x-{2 x-[5 x-3-6 x+21]}=0 Û 10 x-{2 x-[-x+18]}=0
Û 10 x-{2 x+x-18}=0 Û 10 x-{3 x-18}=0 Û 10 x-3 x+18=0 Û 7 x+18=0 Û 7 x=-18 Û
x =-
7 18
【範例】:求一元一次方程式:
2[5 x-3(2 x-5)]-{10 x-[(7 x-1)-3(2 x-3)]}=0 之解。
解 :
2[5 x-3(2 x-5)]-{10 x-[(7 x-1)-3(2 x-3)]}=0 Û 2[5 x-6 x+15]-{10 x-[7 x-1-6 x+9]} =0
Û 2[-x+15]-{10 x-[ x+8]}=0 Û -2 x+30-{10 x-x-8}=0 Û -2 x+30-{9 x-8}=0 Û -2 x+30-9 x+8=0 Û -11 x+38=0
Û 11 x=38 Û
x =
11 38
【例題 1】 【例題 2】
(1)192-84=108 可以寫為:
84= 192-108 ,192= 108+84 。 (2)-320+229=-91 可以寫為:
91= 320-229 ,229= 320-91 。 (3)73-95=-22 可以寫為:
95= 73+22 ,22= 95-73 。
(1)3.5+1.25=3.75 可以寫成:
1.25= 3.75-3.5,3.5= 3.75-1.25。
(2)224-343=-119 可以寫成:
119= 343-224 ,224= 343-119 。 (1) -108+91=-17 可以寫成:
17= 108-91 ,91= 108-17 。
【例題 3】 【例題 4】
計算下列的數:
(1)215-624= -409 ,移項後得到正數 可表示成 409 + 215 = 624 。 (2)35-98= -63 ,移項後得到正數
可表示成 35 + 63 = 98 。 (3) 7
2 - 11
3 = 77
1 ,移項後得到正數
可表示成 77
1 +
11
3 =
7
2 。
計算下列的數:
(1)209-635= -426 ,移項後得到正數 可表示成 426 + 209 = 635 。
(2)126-278= -152 ,移項後得到正數 可表示成 152 + 126 = 278 。 (3) 9
2 7 - 2 1 1 =
18
23 ,移項後得到正數
可表示成 18
23 + 2 1 1 =
9 2 7 。
【例題 5】 【例題 6】
解下列各一元一次方程式:
(1) x+25=17 (2) x-21=79
x=-8 x=100
(3)4 × x=936 (4) x × 15=75
x=234 x=5
(5)72 ÷ x=9
x=8
解下列各一元一次方程式:
(1)22+x=19 (2)109-x=81
x=-3 x=28
(3)31 × x=279 (4) x ÷ 4=17
x=9 x=68
(5)494 ÷ x=26
x=19
【例題 7】 【例題 8】
解下列各一元一次方程式:
(1) 2(3-x) = -4(x+5) 6-2 x=-4 x-20 2x=-26
x=-13
(2) 2(x-4)-(3 x+4) =-20+7 x 2 x-8-3 x-4=-20+7 x 8 x=8
x=1
(3) 5 x+2 = 2 x+5 3 x=3
x=1
解下列各一元一次方程式:
(1) 3 x+1 = 2 x-5
x=-6
(2) 2(x-4)-(3 x+4) =-2 2 x-8-3 x-4=-2
x=-10
(1) 3(2 x+1)-(x+2)=(7 x+1)-4 x 6 x+3-x-2=7 x+1-4 x
2 x=0
x=0
【例題 9】 【例題 10】
解下列各一元一次方程式:
(1) 2 x=
3 2
x+16
3 4
x=16
x=12
(2) 4x+16=
3 20
x
3 8
x=16
x=6
(3) 3 2
x-
2 3 =
4 1
x+
4
3 左右項同乘 12 8x-18=3x+9
5x=27
x=
27解下列各一元一次方程式:
(1) 5 3
x+
5 2 =
5 2
x-
5 4
5 1
x=-
5 6
x=-6
(2) 23
x-2=2 x+
5 2
2
1
x = -
5 12x= -
5 6(3) 2
1
x+3=
3
2
x-17
3 x+18=4 x-102
x=120
【例題 11】 【例題 12】
(1)7x+40=9 x-56 2 x=96
x=48
(2)4(x-3)-(x+3)=6 4 x-12─x─3=6 3 x=21
x=7
(3) 6 x -
2 3 = x
4 3 +1 2 x-18=9 x+12 7 x=-30
x=-
7 30(4) 2 3 7 - x
= 3 11 4 - x
21 x-9=8 x-22 13 x=-13
x=-1
(1) 3(x-40)=100-x+40 3 x-120=60-x
4 x=180
x=45
(2) 2(x-3)-3(2 x+1)=3 2 x-6-6 x-3=3 -4 x=12
x =-3
(3) 2 1
x+
3
2 (150-x)=90 3 x+600-4 x=540 - x=-60
x=60
(4) 2 1
x+
3 1
x=5
3 x+2 x=30 5 x=30