736 ∑− x )5(71 x = 40 E = 0 x

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：95.01.06 班級 普三 班

範

圍 Book4 CH3 機率、統計 座號

姓 名 一、單選題(每題 10 分)

1. 自 1～10⁵之自然數中，任取一數，取到數字之和為 11 的自然數的機率為 (A)0.01300 (B)0.01340 (C)0.01355 (D)0.01365

【解答】(B)

【詳解】

一數之數字和為 11 有多少個，即求

x + y + z + u + t = 11，0 ≤ x，y，z，u，t ≤ 9 之整數解有多少組

∵ 有一未知數為 11 之解有 5 種，有一未知數為 10 之解有 5 × C = 20 種

∴ 所求整數解共有

H

⁵₁₁− 5 − 20 = 1340 種 ∴ 所求機率為

4 1

105

1340= 0.01340

2. 擲 3 個硬幣，出現 3 正面可得 12 元，2 正面可得 8 元，一正面可得 4 元，為了公平起見，

出現三反面時，應賠多少元？(A)20 元 (B)24 元 (C)36 元 (D)40 元 (E)48 元

【解答】(D)

【詳解】

投 3 個硬幣，其樣本空間元素個數

n

(

S

)=2³ =8，設出現三反面應賠 元，則

x

得款數 12 8 4 − x

機率p 8 1

8 3

8 3

8 1

今欲公平，則必須期望值

E

= 0 ⇒ 0

8 ) 1 8 (

4 3 8 8 3 8

12×1+ × + × + −x × =

∴

x

=40，即賠 40 元

3. (複選)測量一條繩子的長度 8 次，得到下面的長度資料（單位：公尺）

2.41，2.43，2.44，2.45，2.46，2.46，2.47，2.48

如果將上面的各數據都乘以 100，再減去 240，得到新的數據，試問下列各敘述哪些是 正確的？(A)新數據的算術平均數為 5 (B)新數據的標準差大於 2

(C)原數據的算術平均數為 2.45 (D)原數據的標準差大於 0.2 (E)原數據的中位數為 2.455

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

新數據為 1，3，4，5，6，6，7，8 新數據平均數 =

8

1(1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8) = 5

新數據標準差 = ∑ −

= 8

1

)2

5 7 (

1

k

x

k =

7

36 2.27 原數據之平均數為(5 + 240) ÷ 100 = 2.45 原數據之標準差為 2.27 ÷ 100 = 0.0227 原數據的中位數為 2.455

二、填充題(每題 10 分)

1. 同時擲三粒公正的骰子，求

(1)三粒骰子的點數均相同時，可得 300 元；恰有兩粒點數相同時，可得 200 元，則其期 望值為 元。

(2)出現最大點數的期望值為 。

【解答】(1) 3

275 (2) 24 119

【詳解】

(1) E = 300 · ₃

66 + 200 · ³²₃ ²⁶ 6

C P

=

216 18000 1800+ =

3 275

(2) E = 1 · ₃

61 + 2 · ³ ₃ ³ 6

1

2 − + 3 · ³ ₃ ³ 6

2

3 − + 4 · ³ ₃ ³ 6

3

4 − + 5 · ³ ₃ ³ 6

4

5 − + 6 · ³ ₃ ³ 6

5 6 −

= 216

546 305 148 57 14

1+ + + + + =

24 119

2. 將 5 個大小形狀相同，顏色不同的球，全投入 3 個不同的袋子中，則

(1)每個袋子中均有球的機率為 。 (2)空袋子個數的期望值為 個。

【解答】(1) 81 50 (2)

81 32

【詳解】

5 個不同顏色的球放入 3 個不同的袋子中，其放入法有 種 (1)每個袋子均有球，依個數安排可分成兩類

故放法有

243 3⁵ =

⎩⎨

⎧

) 1 2 2 (

) 1 1 3 (

，

，

，

，

! 2

! 3

! 2

!

3 1

1 3 2 5 2 1

1 2 1 5

3 　

　+ × × ×

×

×

×C C C C C

C = 60 + 90 = 150

∴ 所求機率為

81 50 150 =243 (2)

空袋子個數 0 1 2

機　　　率

243 150

243 90

243 3

∴ 空袋子個數的期望值=

81 32 243

96 243 3 2 243 90 1 243 150

0 × + × + × = =

3. A袋中有 100 元 5 張，10 元 3 張，1 元 4 張，B袋中有 10 元鈔票 10 張，

(1)自A袋中任取二張，其期望值為 。

(2)自A袋中取一張放入B袋，再自B袋取二張，求期望值為 。

【解答】(1) 89 (2) 11 289

【詳解】

(1) E = 2(100 × 12

5 + 10 × 12

3 + 1 × 12

4 ) = 89 (2) E = 2(

2 89×

11 1 + 10 ×

11

10) = 2 × 22 289=

11 289

4. 甲、乙二人下棋為賭，約定先贏 3 局者勝，敗者付給勝者 1000 元，已知甲、乙二人棋 藝相等，現於甲勝 2 局、乙勝 1 局時，比賽因故中止且決定不再比賽，如按機率處理，

乙應付給甲 元才合理。

【解答】500 元

【詳解】

在甲勝 2 局，乙勝 1 局時，繼續比賽，則 甲勝的機率 =

4 3 2 1 2 1 2

1 + × =

(甲) (乙， 甲)

乙勝的機率 = 1 − 4 1 43 =

∴ 甲得款額的期望值 500

4 ) 1 1000 4 (

1000×3+ − × = 故乙應給甲 500 元才算合理

5. 根據統計資料得知，一個 50 歲的人，在一年內存活的機率為 98.5％，今有一個 50 歲的 人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險，須繳保費一萬元，則保險公司獲利的期 望值為 。

【解答】2500（元）

【詳解】

保險公司獲利的期望值= 98.5％ × 10000 + 1.5％ × (10000 − 500000) = 2500（元）

6. 甲，乙，丙分別出 340 元，300 元，270 元，輪流投擲一公正的骰子，依甲，乙，丙，

甲，乙，丙，… 之次序，誰先投出么點者為勝，可獲得全部獎金，

(1)此遊戲對甲，乙，丙三人而言，哪一人最不利？ 。

(2)若遊戲改為只有甲，乙二人，依甲，乙，乙，甲，甲，乙，乙，甲，…之次序，誰先 投出么點者為勝，可獲得全部獎金，遊戲之前，乙出 330 元，為使遊戲公平，甲應出____

元。

【解答】(1) 丙 (2) 341

【詳解】

(1)甲：乙：丙 = 6 1 ：(

6 5·

6 1)：(

6 5·

6 5·

6

1) = 36：30：25

∴ 甲勝機率 = 91

36，乙勝機率 = 91

30，丙勝機率 = 91

25，又 340 + 300 + 270 = 910 故甲應出 910 ·

91

36 = 360 元，乙應出 910 · 91

30 = 300 元，丙應出 910 · 91

25 = 250 元

∵ 270 > 250 ∴ 對丙最不利 (2)甲：乙 = [

6 1 + (

6 5)³

6 1]：[

6 5·

6 1 + (

6 5)²

6

1] = 341：330

∴ 甲勝機率 = 671

341；乙勝機率 = 671 330

E = 330 ·

671 341− x ·

671

330 = 0 ⇒

x = 341（元）

7. 甲、乙兩人下棋，兩人棋力相當，規定先勝 3 局者可得獎金 1000 元，但每次對局均須 分出勝負，不許和局。今兩人進行到甲勝 2 局，乙勝 1 局時，比賽因故停止，依公平的

原則，來分此 1000 元獎金，則甲應得 元。

【解答】750

【詳解】

若比賽不終止，繼續比到先勝 3 局才停，其情形有

（甲勝 2 局，乙勝 1 局）

∴ 甲先勝 3 局的機率 =

4 3 2 1 2 1 2

1 + × = ，故甲應得 750 4

1000×3= 元

8. 某人參加保齡球賽，每場比賽得勝機率為 3

1，失敗機率為 3

2。今參加五場比賽，規定勝 一場可得獎金 1000 元，敗一場罰款 400 元，則

(1)此人至少贏得 3000 元的機率為 。 (2)此人獲得獎金的期望值為 。

【解答】(1) 243

11 (2) 3 1000元

【詳解】

(1)此人至少贏 3000 元，則五場比賽中須勝 4 場輸 1 場或勝 5 場

∴ 至少贏 3000 元的機率 = ₄^{5 4} ₅⁵ )⁵ 3 (1 3)

(2 3)

(1 C

C + =

243 11 243

1 10+ =

(2) 比賽

結果 5 勝 4 勝 1 負 3 勝 2 負 2 勝 3 負 1 勝 4 負 5 負 所得

款額 5000 3600 2200 800 − 600 − 2000

機率 )⁵ 3

(1 )

3 (2 3) (1 ⁴

5

C4 ₃^{5 3} )² 3 (2 3) (1

C ⁵₂ ² )³

3 (2 3) (1

C ₁⁵ )⁴

3 )(2 3 (1

C )⁵

3 (2

期望值

= 5000 ( 3

1)⁵ + 3600 ⁵₄ )⁴ 3 (1

C ⁵₃ ³ )²

3 (2 3) (1 2200 3)

(2 + C + ⁵₂ ² )³

3 (2 3) (1 800 C

− 600 ₁⁵ )⁴ 3 (2 3) (1

C − 2000 ( 5 2) ⁵ =

3

1000（元）

9. 一袋中有 1，2，3，…， 個球各一個，每一個球被取中機會均等，今自袋中任取二球，

若兩球號碼差為 時，可得獎金 元，試求得獎金的期望值為

n

k k

。

【解答】 3 +1 n 元

【詳解】

取出兩球號碼差有 1，2，3，4，…，

n

−1種情形

當

k

=1時，取出兩球為(1，2)，(2，3)，(3，4)，…，(

n

−1， )等 種 時，取出兩球為(1，3)，(2，4)，(3，5)，…，(

n n

−1

=2

k n

−2，

n )等

種

時，取出兩球為(1，4)，(2，5)，(3，6)，…，(

−2

n

=3

k n

−3， )等

n n

−3種

n k

時，取出兩球為(1， )等 1 種

∴ 兩球差為 的機率

−1

=

n

k

( 1)

) ( 2

2 −

= −

= −

n n

k n C

k n

n ，

k

=1，2，3，…，

n

−1

故期望值 ∑ ∑ −

= −

−

× −

= ⁻

=

−

= 1

1

1

1

2) ) (

1 (

2 )

1 (

) ( 2

n k

n

k

nk k

n n n

n k

k n

=

) 1 (

2

−

n

n

[

6 ) 1 2 ( ) 1 ( 2

) 1

( − − − −

×n n n n n

n ]

= 3

1 ) 1 2 3(

1 − = +

− n

n

n 元

10.一袋中有 10 個樣品，其中有 2 個不良品。今自袋中任取一個樣品，取得良品則放回，

直到取到不良品才停止，試求所取樣品次數的期望值為 。

【解答】5 次

【詳解】

每次取出良品的機率 = 5

4，不良品的機率 = 5 1

∴ 期望值 = × + × × + × × + × × ) + 5 (1 5) (4 4 5) (1 5) (4 5 3 1 5 2 4 5

1 1 ^{2 3}

E …

⇒ )

5 (1 5) (4 4 5) (1 5) (4 3 5) (1 5) (4 2 5 1 5 4 5

4E= × + × 2× + × 3× + × 4× + … 兩式相減得

+

× +

× +

× +

×

= 5

) 1 5 (4 5 ) 1 5 (4 5 1 5 4 5 1 1 5

1 _{2 3}

E … = 1

5 1 4

5 1

=

−

⇒ E =5 次

11.袋中有編號 1，2，3 的三個白球，編號 1，2，3，4 的四個紅球，編號 1，2，3，4，5 的五個黑球，今任意抽取兩球，求

(1)兩球不同色的機率為 。 (2)兩球號碼和的期望值為 。

【解答】(1) 66 47 (2)

6 31

【詳解】

(1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

5 4 3 2 1

4 3 2 1

3 2 1

，

，

，

， 黑：

，

，

， 紅：

，

，

： 白

白紅 紅黑 黑白

12 2

3 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1

C

C C C C C

C + + =

66 15 20 12+ + =

66 47

(2)[ 12

) 5 4 3 2 1 ( ) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1

( + + + + + + + + + + + ] × 2 = 6 31

12.甲、乙二人網球比賽，約定先贏 3 局者勝，敗者應付給勝者 4000 元。若已知甲、乙二 人實力相當，現於甲勝 2 局時因故不能繼續比賽，如按機率處理，乙應付給甲 元。

【解答】3000

【詳解】

甲勝 乙勝 甲勝

乙勝 甲勝 乙勝

P(甲勝) =

2 1+ (

2 1)² + (

2 1)³ =

8

7，P(乙勝) = ( 2 1)³ =

8 1

E(甲) = 4000 ×

8

7+ (− 4000) × 8

1= 3000（元）

13.某人投籃命中率為 0.4，若讓他連續投籃直到中了才停止，則其投籃次數的期望值___次。

【解答】2 5

【詳解】

因每次投籃命中率為 0.4，不中的機率為 0.6，而命中後即停止 故投籃次數的期望值 = 0.4 + 2(0.6)(0.4) + 3(0.6)²(0.4) + … = (0.4)

2 5 ) 6 . 0 1 (

1

2 =

× − （次）

14.將 3 個球任意投入 3 個不同的袋中，每次投一個球，連續投 3 次，則 (1)每個袋子均有球的機率為 。

(2)3 個球均投入同一袋中的機率為 。

【解答】(1) 9 2 (2)

9 1

【詳解】

令樣本空間為 ，則 (1)每個袋子均有球的事件

S n

(

S

)=3³ =27

A，則

n(A) =將 3 個不同球排在 3 個相異袋子的排列數= 3 ! = 6

∴

P(A) =

9 2 276 =

(2)3 個球全放在同一袋中的排列數 = 3 ∴ 機率 =

9 1 273 = 15.自一副撲克牌中，任取 10 張，若每張被取出的機會相等，求

(1)樣本空間S的元素個數n(S) = 。

(2)若A表 10 張牌中至少有一黑桃的事件，則n(A) = 。

【解答】(1)C⁵²₁₀ (2)C⁵²₁₀−C³⁹₁₀

【詳解】

(1) n(S) = 52 張牌中，任取 10 張的取法 =

(2)52 張中，任取 10 張無一黑桃的取法有 種，10 張中至少有一黑桃取法有 − 種 即

n(A) = n(S) − n(A′) =

−

52

C10 39

C10 C⁵²₁₀ C³⁹₁₀

52

C10 C³⁹₁₀

16.若將四位數 1234 的數字任意重新排列，則恰有兩個數字位置不變的機率為 ， 每個數字都改變位置的機率為 。

【解答】4 1；

8 3

【詳解】

樣本空間

S：1，2，3，4，重新任意排列，其方法有 4！= 24 種

事件

A：恰兩個數字位置不變的排列有 C

⁴₂ = 6

事件

B：每個數字位置都改變的排列如下，若 1 的位置改為 2，則

因此，共有 3 × 3 = 9 種排列每個數字都改變

P(A) =

24

6 = 4

1，P(B) = 24

9 = 8 3

17.袋中有 3 個紅球，2 個白球，1 個黑球，每球被取的機會相同，

(1)若一次取兩球，則兩球同色的機率為 。 (2)若一次取三球，則三球均不同色的機率為 。

【解答】(1) 15

4 (2) 10

3

【詳解】

(1)設一次取兩球的樣本空間 S，| S | = C = 15，取到兩球同色的事件 A

| A | = C + C = 4，所以 P(A) =

6 2 3

2 2

2 15

4

(2)一次取三球，三球均不同色的機率= ₆

3 1 1 2 1 3 1

C C C

C

=

20 6 =

10 3

18.投擲一不均勻骰子一次，其出現點數與其發生的機率成正比，則出現質數點的機率為

。

【解答】21 10

【詳解】

令出現 1 點的機率為 ，則出現 2，3，4，5，6 點的機率分別為 2k，3k，4k，5k，6k

∵ P(S) =1 ⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 ⇒

k

21

= 1 k 故出現質數點的機率為

21 10 21

5 21

3 21

2 + + =

19.一盒子中有 5 個球，球上分別編號為 1，2，3，4，5，且每球被取的機率相同，

(1)若一次取兩球，則兩球中編號較大者的期望值為 。 (2)若一次取兩球，則兩球編號差之平方的期望值為 。

【解答】(1) 4 (2) 5

【詳解】

(1)設取到的數中，較大的數為 X，則 X 的機率分布如下

X 1 2 3 4 5

機率 C⁵2

0 C⁵2

1 C⁵2

2 C⁵2

3 C⁵2

4

取到較大編號數的數值期望值

E(X) = 2 ×

10

1 + 3 × 10

2 + 4 × 10

3 + 5 × 10

4 = 4 (2)設取到的兩數編號差的平方為 X，則機率分布如下

X 1 4 9 16 機率 C⁵²

4 C⁵²

3 C⁵²

2 C⁵²

1

期望值

E(X) = 1 ×

10

4 + 4 × 10

3 + 9 × 10

2 + 16 × 10

1 = 5

20.設a，b，c，d為 1，2，3，4 四個數的任意排列，則 (a − 1) (b − 2) (c − 3) ≠ 0 的機率為

，(a − 1) (b − 2) (c − 3) (d − 4) = 0 的機率為 。

【解答】24 11；

8 5

【詳解】

a，b，c，d 是 1，2，3，4 的任意排列

(1)欲使 (a − 1) (b − 2) (c − 3) ≠ 0，則 a ≠ 1，b ≠ 2，c ≠ 3，滿足這條件的排列如下

共有 11 種排列

所以 (a − 1) (b − 2) (c − 3) ≠ 0 的機率 = 4

11

！= 24 11

(2)欲使 (a − 1) (b − 2) (c − 3) (d − 4) = 0，則 a = 1 或 b = 2 或 c = 3 或 d = 4 設

a = 1，b = 2，c = 3，d = 4 的排列分別形成 A，B，C，D 集合

則 | A | = | B | = | C | = | D | = 3 !

| A ∩ B | = | B ∩ C | = | C ∩ D | = | D ∩ A | = | A ∩ C | = | B ∩ D | = 2 ! | A ∩ B ∩ C | = | A ∩ B ∩ D | = | A ∩ C ∩ D | = | B ∩ C ∩ D | = 1 | A ∩ B ∩ C ∩ D | = 1

所以 | A ∪ B ∪ C ∪ D | = 4 × 3 ! − 6 × 2 ! + 4 × 1 ! − 1 = 15 所以 (a − 1) (b − 2) (c − 3) (d − 4) = 0 的機率 =

24 15=

8 5

21.有大小不同尺寸之鞋 6 雙，任取 4 隻，則此 4 隻中恰有 2 隻成一雙之機率為 。

【解答】33 16

【詳解】P = ₁₂

4 2 5 2 6

1 2

C C

C

=

33 16

22.六對夫婦參加一家庭舞會，若舞伴是以抽籤的方式來決定的，則至少有一對夫妻共舞的 機率為 。

144

【解答】 91

【詳解】P = 1 − 2

1

！+ 3

1

！− 4

1

！+ 5

1

！− 6

1

！= 1 − 2 1+

6 1−

24 1 +

120 1 −

720 1 =

144 91

23.有六雙大小分別不同的鞋子（共 12 隻），假設每隻鞋被選出的機會均等，今從其中任 意挑選出四隻，試求此四隻恰為匹配的兩雙的機率為 。

【解答】33 1

【詳解】全部挑法有

C

¹²₄ 種，挑出恰為匹配的兩雙有

C

⁶₁× 1 ×

C

⁵₁× 1 種

∴ 機率為 ₁₂

4 5 1 6

1 1 1

C C C × × ×

=33 1

24.袋中有 5 紅球，3 白球；今任取 3 球，每球被取到的機會相等，則 3 球中至少 2 紅球之 機率為 。

7

【解答】5

【詳解】3 球中，至少 2 紅球 ⇒ 2 紅 1 白及 3 紅球，所求機率 = ₈

3 5 3 3 1 5 2

C C C C

+

= 7

5 56

10 30+ =

25.高二某班有 50 位學生，依照座號列出其身高如下表：

座號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 身高 158 166 175 158 168 166 189 169 163 167 座號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 181 178 175 160 183 183 155 165 167 169 座號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 身高 171 165 175 159 167 165 164 173 177 179 座號 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 身高 165 185 166 162 163 168 167 169 181 173 座號 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 身高 169 169 180 165 176 170 170 190 171 188

(1)用所附隨機號碼表第 30 行、第 31 行選出 10 位同學，則身高平均值為 __ 公分。

(2)用系統抽樣，取出座號為 5k + 1，k∈

Z的 10 位同學，則身高平均值為 公分。

(3)用系統抽樣，將座號依序分成 5 個區間，每個區間選第 3 位同學，則身高平均值為_____

公分。

(4)將全班同學以 170 公分為界分成二層，第一層為身高小於 170 公分者，第二層為身高 170 公分或 170 公分以上者，再從隨機號碼表中第 18、19 行依序在第一層取 6 位，第 二層取 4 位，依下列公式計算出其平均身高：

cy₁= 。 dy₂ = 。 ey= 。

隨機號碼表

1306 1189 5731 3968 5606 5084 8947 3897 1636 7810 0422 2431 0649 8085 5053 4722 6598 5044 9040 5121 6597 2022 6168 5060 8656 6733 6364 7649 1871 4328 7965 6541 5645 6243 7658 6903 9911 5740 7824 8520 7695 6937 0406 8894 0441 8135 9797 7285 5905 9539 5160 7851 8464 6789 3938 4197 6511 0407 9239 2232 2961 0551 0539 8288 7478 7565 5581 5771 5442 8761 1428 4183 4312 5445 4854 9157 9158 5218 1464 3634 3666 5642 4539 1561 7849 7520 2547 0756 1206 2033 6543 6799 7454 9052 6689 1946 2574 9386 0304 7945 9975 6080 7423 3175 9377 6951 6519 8287 8994 5532 4866 0956 7545 7723 8085 4948 2228 9583 4415 7065 8239 7068 6694 5168 3117 1586 0237 6160 9585 1133 8722 9191 3386 3443 0434 4586 4150 1224 6204 0937 1330 9120 8785 8382 2929 7089 3109 6742 2468 7025 2296 2952 4764 9070 6356 9192 4012 0618 2219 1109 3582 7052 3132 4519 9250 2486 0830 8472 2160 7046 5872 9207 7222 6494 8973 3545 6967 8490 5264 9821 1134 6342 6201 3792 5651 0538 4676 2064 0584 7996 1403 4497 7390 8503 8239 4236 8022 2914 4368 4529

【解答】(1) 169.9 (2) 169.6 (3) 174.2 (4) c166.5 d176.5 e170.9

【詳解】

(1)利用所附隨機號碼表的第 30、31 行，選取 10 位的身高資料如下：

座號 04 28 40 21 38 16 22 47 49 06 身高 158 173 173 171 169 183 165 170 171 166 平均值 =

10

166 171 170 165 183 169 171 173 173

158+ + + + + + + + + = 169.9 (2)座號為 5k + 1，k∈

Z 等 10 位身高資料如下：

座號 01 06 11 16 21 26 31 36 41 46 身高 158 166 181 183 171 165 165 168 169 170 平均值 =

10

170 169 168 165 165 171 183 181 166

158+ + + + + + + + + = 169.6

(3)將 50 人依座號分成 5 個區間，每個區間 10 人中的第 3 位，其座號與身高資料如下 座號 03 13 23 33 43

身高 175 175 175 166 180 平均值 =

5

180 166 175 175

175+ + + + = 174.2

(4)第一層：身高 170 公分以下者有 28 位其座號為 01，02，04，05，06，08，09，10，

14，17，18，19，20，22，24，25，26，27，31，33，34，35，36，37，38，41，42，

44

第二層：身高大於或等於 170 公分者有 22 位其座號為 03，07，11，12，13，15，16，

21，23，28，29，30，32，39，40，43，45，46，47，48，49，50

依隨機號碼表第 18、19 行在第一層選 6 位，第二層選 4 位，其座號身高資料如下

第一層： 座號 05 44 37 08 35 25 身高 168 165 167 169 163 167 第二層： 座號 47 11 43 23

身高 170 181 180 175 故y₁=

6

167 163 169 167 165

168+ + + + + = 166.5，y₂=

4

175 180 181

170+ + + = 176.5 y=

50

22 5 . 176 28 5 .

166 × + × =

50 3883

4662+ = 170.9 26.自一副撲克（A poker hand）牌 52 張中任取 5 張，

(1)求 5 張牌成為「富而好施」（Full house），即點數如(x，x，y，y，y)的形式，但x，y 是不同點數的機率為 。

(2)求 5 張牌成為「兩對」（Two pairs），即點數如(x，x，y，y，z)的形式，但x，y，z 是不同點數的機率為 。

【解答】(1) 4165

6 (2) 4165

198

【詳解】

(1) P = ₅₂

5 4 3 4 2 13

2

C C C

P

=

5 4 3 2 1

48 49 50 51 52

4 6 12 13

×

×

×

×

×

×

×

× × × × =

4165 6

(2) P = ₅₂

5 4 1 4 2 4 2 11 1 13 2

C C C C C

C

=

5 4 3 2 1

48 49 50 51 52

4 6 6 11 6 13

×

×

×

×

×

×

×

×× × × × × = 4165

198

27.有 10 位同學數學成績平均為 60 分，標準差 4 分。已知 10 人中 8 人的成績為 54，56，

57，58，60，61，64，65，則另外兩人的成績為 。

【解答】59，66

【詳解】

設另外兩人成績為a，b，令y = x − 60，則

x：54，56，57，58，60，61，64，65，a，b y：− 6，− 4，− 3，− 2，0，1，4，5，p，q

（p = a − 60，q = b − 60）

∴ y= x − 60 = 0 ⇒ 10

1 ( − 6 − 4 − 3 − 2 + 0 + 1 + 4 + 5 + p + q) = 0

⇒ p + q = 5……c ∵ SY = SX = 4

∴ 9

1[( − 6)² + ( − 4)² + ( − 3)² + ( − 2)² + 0² + 1² + 4² + 5² + p² + q²] = 16

⇒ p² + q² = 37……d

解c，d得 或 ⇒ 或

故另兩人的成績為 59 分及 66 分

⎩⎨

⎧

=

−

= 6

1

q

p

⎩⎨

⎧

−

=

= 1 6

q

p

⎩⎨

⎧

=

= 66 59

b a

⎩⎨

⎧

=

= 59 66

b a

28.某次數學考試，甲班 50 位同學之平均成績為 71 分，標準差為 7 分，乙班 40 位同學之 平均成績為 80 分，標準差為 8 分，

(1)甲，乙兩班 90 位同學此次數學考試之平均成績 x 為 。

(2)甲，乙兩班 90 位同學此次數學考試之標準差σ為 。（寫成a b ，a，b∈

Q

形式）

【解答】(1) 75 (2) 3 681

【詳解】

(1)

x

=

90 40 80 50

71× + × = 75

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∑ −

=

∑ −

=

=

8 40 80

1

7 50 71

1

90 2 51

2 50 2

1 2

i i

i i

x x

⇒ ⇒ = 513060

∴

σ =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ =

∑ =

=

= 90

51 2 50

1 2

258560 254500

i i

i i

x x

∑= 90

1 2

i

x

i

752

513060 −90 =

227 =3 3 681

29.某班某月英文成績之累積次數分布曲線如下：（採相同組距 10 且不含上限），求

(1)全距 分。 (2) 70～80 分有 人。

(3)不及格（60 以下）有 人。 (4)中位數 分。

(5)算術平均數 分。 (6)四分位差 分。 (7)標準差 。

【解答】(1) 70 (2) 10 (3) 18 (4) 70 (5) 67 (6) 31.67 (7) 18.74

【詳解】

組別 以上累積次數 次數

f

_i

30～40 50 5

40～50 45 7

50～60 38 6

60～70 32 7

70～80 25 10

80～90 15 10

90～100 5 5

(1)全距 = 100 − 30 = 70

(2) 70 分以上 25 人，80 分以上 15 人 ∴ 70～80 分有 25 − 15 = 10 人

(3) 60 分以上有 32 人，故不及格者有 50 − 32 = 18 人，即表中 5 + 7 + 6 = 18 人 (4)∵ fi中，由下而上累加得 5 + 10 + 10 = 25

剛好為 2

50，表 70 分以上有 25 人，故Me = 70

(5) （A = 75）

組別 組中點

x

_i

次數

f

_i

C

_i

d

_i = h

A x_i −

f

_i

d

_i

d

_i²

f

_i

d

_i² 30～40 35 5 5 − 4 − 20 16 80 40～50 45 7 12 − 3 − 21 9 63 50～60 55 6 18 − 2 − 12 4 24 60～70 65 7 25 − 1 − 7 1 7

70～80 75 10 35 0 0 0 0

80～90 85 10 45 1 10 1 10 90～100 95 5 50 2 10 4 20

總計 50 − 40 204

令A = 75，h = 10 ∴ x = 75 + ∑⁷

＝1 i

f

i

d

i

n

h

= 75 + 50

10× ( − 40) = 67

(6)c∵ 由次數fi那一欄由上往下累加，5 + 7 + 6 = 18 >

4 50

第一四分位數Q1落在 50～60 之間，

50 60

1 50

−

−

Q =

12 18

4 12 50

−

−

⇒ Q1 = 50 + 6

5= 50.83 d∵ 5 + 7 + 6 + 7 + 10 + 10 = 45 > 3 ×

4

50= 37.5

∴ 第三四分位數Q3落在 80～90 之間，Q3 = 80 + 10 ×

35 45

4 35 150

−

− = 80 + 4

10= 82.5 故四分位差Q.D. = Q3 − Q1 = 31.67

(7) S² = ∑ − ∑

=

=

50

1 50

1

2 ( )

50 [ 1

49 1

k k

k

x

k

x

²] × 10² = 49

1 [204 − (40)² 50

1 ] × 10² = 351.02

∴

S = 18.74

30.某校 204 班有學生 47 人，某次數學測驗成績經計算算數平均數與標準差後，發現成績 有誤，甲多算了 20 分，乙少算了 20 分，經重新計算算數平均數與標準差後，則以下哪 些人的說法正確？ 。

甲說：標準差必不變。 乙說：算數平均數必不變。 丙說：全距必不變。

丁說：中位數必不變。 戊說：變異數必不變。

【解答】乙

【詳解】

(1)甲多算 20 分，乙少算 20 分，全班新總分數與原來總分數不變

⇒ 算術平均數不變 ∴ 乙對

(2)假設甲是全班分數最低，乙是全班分數最高

⇒ 全距變大，變異數、標準差也變大 ∴ 甲、丙、戊不對

(3)假設甲是全班分數排行第 24 位，即中位數的位置又與前後的分數不同

⇒ 中位數變了 ∴ 丁不對

31.設變數X的數值資料為 7，13，9，6，12，18，16，15 等 8 個，則 (1)算術平均數 x= 。 (2)中位數Me = 。 (3)四分位差Q.D. = 。 (4)標準差S = 。

【解答】(1) 12 (2) 12.5 (3) 7.5 (4) 4.34

【詳解】

為了計算方便可先作平移變量，Y = X − 12（平移值A = 12）

X：6，7，9，12，13，15，16，18，Y：− 6，− 5，− 3，0，1，3，4，6

(1)y=

8

1( − 6 − 5 − 3 + 0 + 1 + 3 + 4 + 6) = 0 ⇒ x =y+ 12 = 0 + 12 = 12 (2) Me =

2 13 12+ =

2

25= 12.5（x值最中間兩個數的平均值）

(3) X：6 7 9 12 13 15 16 18 ↑ ↑ ↑

Q₁ Me Q₃

∵

Q

1 = 2

9

7+ = 8，Q3 = 2

16

15+ = 15.5 ∴ Q.D. = Q3 − Q1 = 15.5 − 8 = 7.5

(4)∵ SY = ^{2 2 2 2 2 2 2 2} ( )² 1 8 ] 8 6 4 3 1 0 ) 3 ( ) 5 ( ) 6 1[(

8

1

y

− − + + + + +

− +

− +

− −

= (36 25 9 0 1 9 16 36) 7

1 + + + + + + + = 7

132 4.34

∴

S

X = SY = 4.34

32.有 40 位學生體重次數分布表如下：（單位：公斤）

體重 45～5050～5555～6060～6565～7070～7575～8080～85

人數 1 7 17 4 3 6 1 1

則(1)第一個四分位數Q1 = 。 (2)第三個四分位數Q3 = 。 (3)四分位差Q.D. = 。 (4)算術平均數M = 。

(5)標準差S = 。

【解答】(1) 55.59 (2) 66.67 (3) 11.08 (4) 61 (5) 8.1

【詳解】

先製作次數分布表如下：平移值A = 62.5，組距h = 5 體重 組中點

x

_i

次數

f

_i

以下累 積次數

C

_i

x

_i

− A

h

A x_i −

= d_i

f

_i

d

_i

d

_i²

f

_i

d

_i² 45～50 47.5 1 1 − 15 − 3 − 3 9 9 50～55 52.5 7 8 − 10 − 2 − 14 4 28

Q

1→ 55～60 57.5 17 25 − 5 − 1 − 17 1 17 60～65 62.5 4 29 0 0 0 0 0

Q

₃→ 65～70 67.5 3 32 5 1 3 1 3 70～75 72.5 6 38 10 2 12 4 24 75～80 77.5 1 39 15 3 3 9 9 80～85 82.5 1 40 20 4 4 16 16

總計 40 − 12 106

(1) Q₁為第 4

40= 10 個數值位在 55～60 內

∴ 60 55

1 55

−

−

Q

=

8 25

8 10

−

− ⇒ Q1 = 55 + 5 × 17

2 = 55.59

(2) Q₃為第 4

3×40 = 30 個數值位在 65～70 內

∴ 70 65

3 65

−

−

Q

=

29 32

29 30

−

− ⇒ Q3 = 65 + 5 × 3

1= 66.67 (3) Q.D. = Q3 − Q1 = 66.67 − 55.59 11.08

(4)算術平均數M = A + _∑

= n i fidi

n h

1

= 62.5 + 40

5 × ( − 12) = 62.5 + 2

−3= 62.5 − 1.5 = 61

(5) S = ∑ ∑

− −

− ^{= =}

k i

k

i i i

i

i f d

n d n

n f h

1

2 1

2 ( )

) 1 (

1 1

1 = 5 ( 12)²

39 40 106 1 39

1 × −

− ×

×

= 5 2.718−0.092= 5 2.626 5 × 1.62 = 8.1

33.有 5 個數值資料x1，x2，x3，x4，x5，其平方和為 151，兩兩之積和為 237，則此 5 個資料 的算術平均數為 ，變異數為 。

【解答】5；6.5

【詳解】

∵

以 = 151， = 237 表之

則 = + 2 = 151 + 2 × 237 = 625

⇒ = 25 ∴

⎩ ⎨

⎧

= +

+ +

+ + + + +

= + + + +

237 151

5 4 5

2 4 2 3 2 5 1 4 1 3 1 2 1

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

…

∑= 5

1 2

i

x

i ∑

=

<

≤ 5

2 1 i j xixj 5 2

1

(∑ )

=

i

x

i ∑

= 5

1 2

i

x

i _∑

=

<

≤ 5

2 1 i j xixj

∑= 5

i1

x

i

x

=

5 1 ∑

= 5

i1

x

i = 5

S

² =

1 5

1

− ∑

= 5

1 2

i

x

i −

1 5

5

− ( x )² = 4

1× 151 − 4

5× 25 = 4

125 151− =

4 26= 6.5

34.某校九位學生數學抽考分數分別為 30，40，60，50，70，80，60，90，60，則此九個分 數的平均值為 ，中位數為 。若使用簡單隨機抽樣法，從這九個分 數中取出三個，則所取出三個分數的中位數等於 60 分的取法有 種。

【解答】60；60；46

【詳解】

(1)算術平均數 =

9

90 80 70 3 60 50 40

30+ + + × + + + = 60

(2)將九個分數由小而大依次排列得 30，40，50，60，60，60，70，80，90 第 5 個分數為中位數 ⇒ 中位數 = 60

(3)依隨機抽樣取出三個，最中間一個為 60，取法分成三類

c一個 60，另二個必有一個大於 60，一個小於 60 ∴ 取法有 C₁³ × C × C₁³ = 27 d二個 60，另一個任選 ∴ 取法有 C × C₁⁶ = 18

e三個均為 60 ∴ 取法有 C³₃ = 1 故所有取法有 27 + 18 + 1 = 46 種

3 1 3

2