課堂補充 by TreapKingmodified by baluteshih Enumeration

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Enumeration

課堂補充 by TreapKing

modified by baluteshih

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Q&A

• 影片都看過了嗎？

• 對於影片的內容有沒有什麼問題？

• 如果是三分搜不懂的話，等等我會再解釋。

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二分搜的使用關鍵

• 影片中提到了一些二分法的例子

• 有單調性，就能二分

• 啊單調性到底是什麼？

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• 看看下面的這串序列

000000000011111111111111

• 請你告訴我0跟1的分界點在哪？

• 當然不是跑迴圈搜，想像序列的長度可能超級長

• 你每次只能問我某個位置是0還是1

• 這就是可以使用二分搜的時機

• 戳到1，右邊肯定都不是答案

• 戳到0，左邊肯定都不是答案

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• 丟雞蛋問題

• 假設我們有一個函數叫 is_borken(x)

• 如果x這層樓丟下去雞蛋會破，那函式回傳1

• 反之回傳0

• 我們要找到蛋最高在哪層樓不會破

• 0跟1的分界點！

• 二分搜！

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• 田忌賽馬

• 假設我們有一個函式叫 can_win(x)

• 如果訓練x天可以贏，函式回傳1

• 反之回傳0

• 我們要找到最少訓練幾天可以贏

• 0跟1的分界點！

• 二分搜！

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• 所以二分搜時，總是會有一個只回傳0跟1的函式f(x)

• 存在一個分界，在分界處以上皆回傳1，以下皆回傳0

• 只要f(x)計算的夠快，就可以多花一個log找到分界處！

• 可是在程式上要怎麼寫呢？

• 接下來我會給三種做法

• 可以的話回答我，他們分別最後回傳的是分界處的0，還是分界處的1

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二分搜的寫法

• 寫法一：左閉右閉

• 維護「答案可能的區間」

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二分搜的寫法

• 寫法二：左閉右開

• 維護「答案可能的區間 + 一個不可能是答案的邊界」

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二分搜的寫法

• 寫法三：位元枚舉

• 直接用二進位找到答案

• 適用的狀況比較少，但基於他搜尋的方法有可能在某些題目會出現優勢

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題目在說什麼

• 給你一堆二次函數，要請你找出最小值。

• 影片中提到的「超車」到底是什麼意思？

• 函數的圖形長什麼樣子？

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題目在說什麼

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影片的片段

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影片的片段

• Case1: S(a)<S(b)<S(c)<S(d)

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影片的片段

• Case2: S(a)>S(b)<S(c)<S(d)

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影片的片段

• Case3: S(a)>S(b)>S(c)<S(d)

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影片的片段

• Case2: S(a)>S(b)>S(c)>S(d)

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影片的片段

• 試著遮掉一些東西看看。

• 只要比較中間兩項的大小就好！

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圖解三分搜

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圖解三分搜

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圖解三分搜

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圖解三分搜

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水平線

• 有些題目的單調性會是非嚴格遞增，二分搜的時候這並不成問題

，因為二分搜時會是越右(左)邊越好之類的，所以你會知道要往哪一邊砍。

• 那麼三分搜呢？如果函數圖形有水平線也可以三分搜？

• 答案是不太行。

• 廢話要是可以的話我幹嘛特別提出來。

• 那為什麼不行呢？不太行又是怎麼一回事？

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水平線-圖解

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水平線-圖解

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水平線-圖解

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水平線-結論

• 三分搜在有水平線的情況下，必須確保水平線的地方一定是答案才可以用三分搜找極值。

• 否則的話，三分搜會壞掉。

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整數三分搜

• 如果今天我們要三分搜的點全是整數會發生什麼事？

• 注意到「決策點有限」

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整數三分搜

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整數三分搜

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整數三分搜

• 整數三分搜可以被轉換成二分搜！

• 類似於「微分」的概念，詢問mid跟mid+1來比大小，再選擇要拋棄哪邊就好了

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例題：最小包覆圓的限制情況

• 給你二維平面上的N個點，問你包覆所有點的最小圓半徑是多少？

• 特殊限制：這個包覆圓必須恰與x軸交一點

• N<=10^5

• |座標範圍|<=10^7

• 保證沒有點的y座標是0

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• 同時有y>0跟y<0的點出現的話，肯定無解

• 如果全部的y<0，那我們可以把全部的y取相反數之後做y>0的情況

• 所以接下來我們假設所有的y>0

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• 有什麼東西是我們可以枚舉的？

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• 圓心的x座標！

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• 倘若我們枚舉到圓心的x座標必須要在p……

• 圓心越高，可以包到的點就越多！

• 好像可以再二分搜圓心的高度...?

• 當然不用這麼麻煩

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• 對於一個點(x,y)，如果圓心的x座標在p，那圓心至少要多高才可以蓋到他？

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• 對於一個點(x,y)，如果圓心的x座標在p，那圓心至少要多高才可以蓋到他？

• .

• r只要超過某個值

• 就可以蓋到他！

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• 所以我們只需對於每個點，求出最小可以蓋到他的r

• 最後取max，就是圓心在p的答案了

• 可是可能的圓心x座標有很多種啊？

• 看看我們取max的那些r：

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• .

(42)

• .

• 看起來像是二次函數

(43)

• .

• 看起來像是二次函數

• 那我們不就是在求一群二次函數的max嗎？

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• 對於每個p，都會對應到一群二次函數的max

• 三分搜！

• O(NlogC)

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• 半徑！

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• 不妨看看，我們有沒有辦法用半徑r的圓蓋住所有點

• 如果確定了r，表示圓心的y座標已經確定了

• 所以我們需要找到符合的x座標

• 對於一個點(x,y)，有哪些x座標可以把圓心擺在上面蓋住他呢？

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• 對於一個點(x,y)，有哪些x座標可以把圓心擺在上面蓋住他呢？

• 可以發現是一個區間！(右下圖的L~R)

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• 既然對於每個點我們都能算出一個合法區間

• 那最後只要看這些區間有沒有交集就行了

• 可是要枚舉的半徑有無限多種，該怎麼辦？

• 看起來半徑是否合法存在著單調性

• 二分搜！

• O(NlogC)

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影片最後的想一想

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• Lotto中，當M=k時，DFS與BFS的空間差距會多大？

• 其實影片裡面有答案

• By二項式定理，Σ^M_i=0C^M_i=2^M

• M=10時，2^M=1024

• M=20時，2^M=1048576

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• 數獨問題如果跑完所有可能的話，複雜度會是多少？

• 每個位子都可以填1~9，有81個格子。

• 這樣有9⁸¹≈1.966*10⁷⁷種可能。

(52)

• 假如在暴搜的時候搜索的k層，通常大部分時間會花在哪一層？

• 基本上都會是在第k層。

• 暴搜的狀態樹的節點數通常隨著深度都是指數成長。

• 如果每層都長三倍的話，最後一層的節點數就跟前面所有其他層加起來的兩倍差不多了。

(53)

• 如果有個估價函數，花時間計算估價函數可以減少狀態樹的節點數，應不應該用呢？

• 這不好說。

• 看題目而定，通常需要試過了才知道會不會變快。