變數與函數

變數與函數

自我評量 認識函數

函數

認識函數

生活中有一些情形，可以用數學式 子來表示彼此間的對應關係；而有些 情形雖然無法用數學的式子表示，但 也隱含著某種對應關係。

變數與函數

搭配頁數 P.150

搭配頁數 P.150

(1) 美惠到便利商店影印資 料，已知每張 A4 的影印費 用為 2 元，將美惠需要影印 的張數 x 與費用 y 之間的關 係列成如表 4-1 。

　由表 4-1 發現，張數 x 與 費用 y 可以寫成「 y ＝ 2x 」 的關係，店員只要從影印

的張數就可以知道美惠需 付的總價錢。

例如：當 x 值為 1 、 2 、 3 時，所對應的

y 值分別為 2 、 4 、 6 。

表 4-1

張數 (x) 費用 (y) 1 張 2

× 1 元

2 張 2

× 2 元

3 張 2

× 3 元

x 張 2

× x 元

搭配頁數 P.150

(2) 大山國中老師登錄一年 甲班第一次段考的數學成 績，將班上學生座號 x 與 成績 y 的關係列成如表 4-2 。 　全班每人的成績中，座

號與成績無法用一般的數 學關係式來表示，但如果 想要知道成績，只要知道 學生的座號 x ，就會出現 唯一的一個成績 y 。

　例如： 3 號的成績是 67 分， 30 號的成 績是 85 分。

座號 (x) 成績 (y) 1 號 73 分

2 號 95 分

3 號 67 分

30 號 85 分表 4-2

搭配頁數 P.151

在上頁的範例 (1) 、 (2) 中可以發現，

當 x 值變動時，所對應的 y 值也跟著變 動，像 x 、 y 這樣可以變動的數，稱為變 數。而且當變數 x 的值確定後，變數 y 的值才會跟著確定，所以變數 x 稱為自變 數，變數 y 稱為應變數。

在平年中，月分與當月天數的關係如下表所示：

如果以 x 表示平年的月分， y 表示當月的天數

，回答下列問題：

(1) 當 x ＝ 2 時， y ＝ ______ 。 (2) 當 x ＝ 10 時， y ＝ ______ 。 解

搭配頁數 P.151

28 31

月分

( 月 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{10 11 12}

天數

( 日 ) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

搭配頁數 P.151

給定一個自變數 x 的值時，就恰好只有一 個對應的 y 值，這種對應關係稱為 y 是 x

的函數 (function) 。 函數的意義

從前面的說明與隨堂練習可以知道，當自變數 x 的值 確定後，應變數 y 的值也會跟著確定，而且 y 值恰好 只有一個，它們形成一種對應的關係。

函數關係

搭配頁數 P.151

(1) y 與 x 的關係式為何？

(2) y 是否為 x 的函數？

解

(2) 此關係式中，自變數 x 用任意的值代入

，都可以得到唯一的應變數 y 的值，

因此 y 是 x 的函數

。

一輛汽車在高速公路上，以時速 90 公里 的固定速率行駛，如果 x 小時可行駛 y 公里，已知「距離＝速率 × 時間」，將 x 與 y 的對應列成下表：

(1) y 與 x 的關係式為 ____________ 。 (2) y 是否為 x 的函數？

解

搭配頁數 P.152

y

函數的判別

大億汽機車停車場一天的收費標準如下：

汽車每小時 20 元，不足一小時的部分以一小時計。機車每次 30 元。

搭配頁數 P.152

(1) 設 x 表示一天內某次汽車停車的時間 ( 小時 ) ， y 表示汽車停車的費用 ( 元 )

，判別 y 是否為 x 的函數。

解

由上表可知，當 x 的值確定後， y 的值也會跟 著確定，而且 y 值恰好只有一個，所以 y 是 x 的函數。

停車時間 (x 小 時 )

汽車停車費用 (y 元 ⁾

1 20

1.7 40

2 40

2.8 60

3 60

函數的判別

大億汽機車停車場一天的收費標準如下：

汽車每小時 20 元，不足一小時的部分以一小時計。機車每次 30 元。

搭配頁數 P.152

(2) 設 x 表示一天內某次機車停車的時間 ( 小時 ) ， y 表示機車停車的費用 ( 元 )

，判別 y 是否為 x 的函數。

解

由列表可知，當 x 的值確定後， y 的值也會跟 著確定，而且 y 值恰好只有一個，所以 y 是 x 的函數。

停車時間 (x 小 時 )

機車停車費用 (y 元 ⁾

1 30

1.7 30

2 30

2.8 30

3 30

搭配頁數 P.153

在例題 2 第 (2) 小題中， y 與 x 的關係式為

y ＝ 30 ，其中 y ＝ 30 代表無論 x 的值為何，所 對應的函數值皆為 30 ，因此仍符合函數

的意義 「對每一個 x 值，都恰好有一個對 應的 y 值」，所以 y ＝ 30 也是一個函數。

大坑柑橘園開放採果，只要繳交入園費 50 元

，就可吃到飽。設 x 表示阿銘入園後所吃的 柑橘重量 ( 百公克 ) ， y 表示阿銘吃柑橘所花 的費用 ( 元 ) ，試寫出 y 與 x 的關係式，

並判別 y 是否為 x 的函數。

y ＝ 50

解

搭配頁數 P.153

y 是 x 的函數

自動販賣機上寫著各種飲料的價格如下表：

設 x 表示投進去的錢數， y 表示該價格所對應的 品名，則 y 是否為 x 的函數？

x ＝ 20 時， y 可能為咖啡、汽水、葡萄汁、 ，⋯⋯

解

搭配頁數 P.153

不是唯一的，

所以 y 不是 x 的函數。

函數的判別

品名 咖啡 汽水 紅茶 綠茶 ^葡萄汁 價格 ( 元 ) 20 20 15 15 20

品名 可樂 沙士 ^礦泉水 奶茶 ^柳橙汁 價格 ( 元 ) 20 20 15 15 30

小翔到文具店購買 商品，店內特價區 的價目表如右表。

如果以 x 表示價格

， y 表示商品，

則 y 是否為 x 的 函數？

解

搭配頁數 P.153

所以 y 不是 x 的函數。

x

美工刀，不是唯一的，

函數值

在兩個變數 x 與 y 的關係式中，如果給定 一個自變數 x 的值，就恰有一個應變數 y 的值

，便稱 y 是 x 的函數，記作 y ＝ f (x) ；其中 f (x) 讀作「 f of x 」。這樣的記錄方式是表 示：當 x 的值確定時，對應的 y 值就隨之確 定。

當 x ＝ a 時，對應的 y ＝ f (a) 稱為函數在 x ＝ a 時的函數值。

搭配頁數 P.154

例如：

當 x ＝ 1 時，

所對應的函數值 　

y ＝ f (1) ； 當 x ＝ 2 時，

所對應的函數值 y ＝ f (2) ；

當 x ＝ 10 時，

所對應的函數值 y ＝ f (10) 。

搭配頁數 P.154

給定一 個 x 值

a

對應的函 數值 y

為 f (a)

搭配頁數 P.154

求函數 f (x) ＝－ 3x ＋ 2 分別在 x ＝ 5 ， x ＝ 0 及 x ＝－ 2 時的函數值。

x

＝ 2

解

搭配頁數 P.154

＝－ 13

x ＝－ 2 時， f (

求函數值

x

求函數 f (x) ＝－ 2x ＋ 7 分別在 x ＝ 7 ， x ＝ 0 及 x ＝－ 3 時的函數值。

解

搭配頁數 P.155

x

x

x ＝－ 3 時， f (

。

為了區分不同的函數，往往會以 f （ x ）、

g （ x ）、 h （ x ）等符號來表示不同的函 數。

搭配頁數 P.155

若函數 f (x) ＝－ 2x ＋ 6 ， g (x) ＝ x ＋ 5 ，求 f (4) － g (4) 之值。

f (4)

＝ 9

解

搭配頁數 P.155

＝－ 2

所以 f (4) － g (4) ＝－ 2 － 9

求函數值

g (4)

＝－ 11

若函數 f (x) ＝ x － 3 ， g (x) ＝ 2x － 1 ，求 f (1) － g (2) 之值。

解

搭配頁數 P.155

f (1) ＝ 1 － 3

＝ 3

所以 f (1) － g (2) ＝－ 2 － 3

g (2)

＝ － 2

＝ － 5

若函數 f (x) ＝ 2x ＋ 3 與 g(x) ＝ 4x － 7 ，在 x ＝ k 時的函數值相等，求 k 的值。

x

f (k)

解

搭配頁數 P.156

因為函數值相等，可得： 2k ＋ 3 ＝ 4k

－ 7

函數值相等

所以 k ＝ 5

若函數 f (x) ＝－ 2x ＋ 1 與

g (x) ＝ 3x ＋ 16 ，在 x ＝ k 時的函數值 相等，求 k 的值。

f (k) ＝－ 2k ＋ 1 ，

⇒ 5k ＝－ 15

解

搭配頁數 P.156

g (k)

⇒ k ＝－ 3

因為函數值相等，可得

－ 2k ＋ 1 ＝ 3k ＋ 16

已知函數 f (x) 表示正整數 x 的相異質因 數的個數，例如： 45 ＝ 3²×5 ，有 3 和 5 兩個相異質因數，所以 f (45) ＝ 2 。求下 列各函數值：

(1) f (105) (2)

f (64)

(2) 64 ＝ 2⁶ 解

搭配頁數 P.156

所以 f (105) ＝ 3 所以 f (64) ＝ 1 (3) 1 沒有質因數

函數值的應用

所以 f (1) ＝ 0

已知函數 g (x) 表示正整數 x 的個位數的數 字，例如：當 x ＝ 15 時，所對應的函數值

g (15) ＝ 5 。求 g (32) 、 g (179) 與 g (101) 之值。

32 的個位數＝ 2 ，

解

搭配頁數 P.157

所以 g (32) ＝ 2 179 的個位數＝ 9 ， 所以 g (179) ＝ 101 的個位數＝ 1 ，所以 g (101) ＝9

1

已知函數 h (x) 表示正方體的邊長 為 x 時的體積，求︰

(1) h (x) ＝？

(2) h (5) 、 h (8) 之值。

(1) 正方體的邊長為 x ， (2) h (5) ＝ 5³

解

搭配頁數 P.157

所以 h (x) 與 x 的關係式為 h (x) ＝

x

函數與函數值

h (8) ＝ 8

＝ 512

x

已知 g (x) 表示直徑為 x 時所對應的圓周長，

又「圓周長＝直徑 ×π 」

（ π 表示圓周率），求︰

(1) g (x) ＝？

(2) g (6) 、 g (11) 之值。

解

搭配頁數 P.157

(1) g (x) ＝ πx (2) g (6) ＝ 6π

g (11)

圓周率

圓周率就是圓周長與直徑的比值。國小時

，圓周率以 3.14 表示，而「 3.14 」只是 圓周率的近似值，實際的圓周率無法用一 個有限小數表示。

因此在數學上，習慣以希臘字母「 π 」 ( 讀作ㄆㄞ ) 表示圓周率，可以減少計算上 之不便。

搭配頁數 P.158

一位農夫想用籬笆圍成一個面積為 100 平方 公尺的長方形花圃，如果此花圃的長為 x 公 尺，寬為 y 公尺，則 y 是 x 的函數，記作 y ＝ f (x) 。求： (1) y ＝ f (x) ＝？

(2) f (20) 、 f (12.5) 之值。

(1) 依題意可得 xy ＝ 100 ， 解

搭配頁數 P.158

函數的應用問題

一位農夫想用籬笆圍成一個面積為 100 平方 公尺的長方形花圃，如果此花圃的長為 x 公 尺，寬為 y 公尺，則 y 是 x 的函數，記作 y ＝ f (x) 。求： (1) y ＝ f (x) ＝？

(2) f (20) 、 f (12.5) 之值。

解

搭配頁數 P.158

函數的應用問題

在例題 9 中，如果改成面積為 100 平方公尺的三 角形花圃，且花圃的底為 x 公尺時，高為 y 公尺，

則 y 是 x 的函數，記作 y ＝ f (x) 。求：

(1) y ＝ f (x) ＝？ (2) f (25) 之值。

解

搭配頁數 P.158

＝ 8

函數：

給定一個自變數 x 的值時，都恰好只

有一個 y 值，這種對應關係稱為 y 是

x 的函數，記作 y ＝ f (x) 。

一輛汽車在高速公路上，以時速 100 公 里的固定速率行駛，如果 x 小時可行駛 y 公里，已知「距離＝速率 × 時間」，則 y ＝ f (x) ＝ 100x ，即距離是時間的函數。

搭配頁數 P.159

函數值：

如果 f (x) 為一函數，則 f (a) 表示 x ＝ a 時所對 應的函數值。

搭配頁數 P.159

函數 f (x) ＝ 3x ＋ 1 ，

x ＝ 2 時的函數值為 f (2) ＝ 3×2 ＋ 1 ＝ 7 ；

x ＝－ 2 時的函數值為 f ( － 2) ＝ 3×( － 2) ＋ 1

＝－ 5 。 給定一

個 x 值

a 對應的函

數值 y 為

f (a)

小信到速食店點餐，設 x 表示餐點名 稱， y 表示該餐點的價格。

則 y 是否為 x 的函數？為什麼？

搭配頁數 P.160

是

解

餐點 名稱

價格( 元 ) 60 50 40 25 25

牛肉漢堡 雞肉漢堡 炸雞 薯條 飲料

，因為每一種餐點都恰有一個價格。

1

x、y 兩變數的關係如下，下列哪些表示 y 是 x 的函數關係？

(1) (2) (3) (4)

(4) x ＝ 0 時，對到不同 y 值， 不是函數

搭配頁數 P.160

(2) 每一個 x 值都對映到唯一的 y 值，是函 數(3) 每一個 x 值都對映到唯一的 y 值，是函 數

(1) 同一個 x 值對到不同 y 值， 不是函數 x 0 0 0 0

y 1 2 3 4 x 0 1 2 3 y 0 1 2 3

x 0 1 2 3 y 1 1 1 1 x 0 1 2 0 y 0 1 2 3

2

解

若函數 f (x) ＝ 5x － 7 ，求 f (0) － f ( － 4) 的值。

f ( － 4) ＝ 5×( － 4) － 7

搭配頁數 P.160

＝－ 7

＝－ 27

f (0)

f (0) － f ( － 4) ＝－ 7 － ( － 27)

＝ 20

： 20

3

解

若函數 f (x) ＝ 2x － 1 與 g (x) ＝－ 2x ＋ 7 ，在 x ＝ k 的函數值相等，求 k 的值。

搭配頁數 P.160

f (k)

4k ＝ 8

k ＝ 2

： 2

4

解

(1) f (x) ＝ 6x

已知 f (x) 表示正六邊形的邊長為 x 時的周 長，求：

(1) f (x) ＝？ (2) f (5) 、 f (8) 之值。

搭配頁數 P.161

(2) f (5) ＝ 6×5

f (8)

： (1) f (x)=6x (2) f (5)=30 f (8)=48

5

解

(1) 36÷7 ＝ 5 ⋯ 1 ，

k (36) ＝ 1

設 x 為任意正整數，以 k (x) 表示 x 除以 7 的餘數。例如： 10 除以 7 的餘數是 3

，所以 k (10) ＝ 3 。求：

(1) k (36) 之值。 (2) k (81) 之值。

搭配頁數 P.161

(2) 81÷7 ＝ 11⋯4 ，

k (81)

： (1) 1 (2) 4

6

解

設 x 為任意正整數， f (x) 表示小於 x 的 質數個數，例如： f (1) ＝ 0 ，

f (2) ＝ 0 ， f (4) ＝ 2 ，求 f (10) 的值。

搭配頁數 P.161

小於 10 的質數有 2 、 3 、 5 、 7 ，

所以 f (10) ＝ 4 。

： 4

7

解

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解