小三、五上學期 數概工具教學策略

小三、五上學期 數概工具教學策略

洪進華 20/8/2021

Paavola S. & Hakkarainen, K. (2014) Trialogical approach for knowledge creation. In Tan S-C., Jo, H.-J., & Yoe, J. (Eds.), Knowledge creation in education. Springer Education.

(Tools)

Gedera, D. S. P. & Williams, J. P (Eds.) (2016). Activity Theory in Education Research and Practice.

Sense Publishers.

顏色策略 形狀策略 位置策略

以數概工具植入數學概念

P1

十格框

以 策略

掌握數量概念、

分解合成、加法 減法

以度量的

發展刻度概念, 解 決應用問題

以 建

立乘數表知識

以 展

示數量概念, 發展位值概念 以直角作判別標

準了解銳角、鈍 角與直角的

以 解決

時間的應用問題

模型思考法

以 理解

直式除法

以 掌握

一個數的因數 以 數量關係,

解決應用問題

以 解決八

個方向主觀與客觀

的應用問題

P1

數數杯

以 建立

幾個一數的離散 量數數

以度量的 建立連續 量數數

度量數數尺

以度量的

解決時正與時半的 時間間隔問題

以 策略

掌握位值, 並延

伸至星期和日期 以 策略掌 握進位及退位涉及 的位值與數量

以 解 決四個 方向主 觀與客 觀的應 用問題

以

策略輔助學 習進位加法 及退位減法

以 結合數

數策略, 解決貨幣相 關問題

以

理解直角及基 礎的幾何思維

以 結合乘

法唱數, 理解直式 除法

以 展

示長方形周界 的度量關係

以 策

略展示圖形間 的從屬關係 以 策略由相同

面積圖形創造準確 的周界度量感覺

十進小數框

以 策略

連繫小數與分數

的關係

P3

五位數拼圖

以 並應

用位值概念, 掌 握五位數的讀法 及寫法

以 結

合度量概念, 理解 單名數與複名數的

度量表達 以 結

合分配律, 掌握三位 數與一位數的乘法

以 結

合分物原理, 理解分 數乘法概念

以

結合單位分數, 進 行分數二次學習

以 結合

位值概念, 掌握多 位數的讀法及寫 法

以 解決

時間的應用問題

數位涉及0的五位數的所有不同情況

0在百位、十位

和個位 25000

0在千位、十位

和個位 20500

0在千位、百位

和個位 20050

0在千位、百位

和十位 20005

0在千位、百位、

十位和個位 20000

0在千位和百位 20056

0在千位和十位 20506

0在千位和個位 20560

0在百位和十位 25006

0在百位和個位 25060

0在十位和個位 25600

0在千位 20567

0在百位 25067

0在十位 25607

0在個位 25670

涉及3個0 涉及2個0

20567

涉及1個0

25006 20500

涉及4個0

20000

萬

利用下面的圖卡拼成沒有空隙的長條並讀出五位數

一 二 三 四 五 六 七 八 九

一 二 三 四 五 六 七 八 九

一 二 三 四 五 六 七 八 九

千 萬

百

零

十

零

五位數的位值 萬

6在萬位, 六

表示60000

五位數拼圖

21839

千 萬

十 百

九

一

1在千位, 代表1000

八

8在百位, 代表800

三

3在十位, 代表30

二 萬 一 千 八 百 三 十 九

五位數讀法 (基本)

2在萬位, 代表20000

二

五位數的位值

二 萬

五 百

一

20530

三 十 二 萬

五 百

五位數位值 二 萬 ^2在萬位,

代表20000 五 百

5在百位, 代表500

三 十

3在十位, 代表30

五位數讀法 (進階)

20503 2在萬位, 代表20000

5在百位, 代表500

二 萬 五 百 三

五位數位值

五位數讀法

(進階)

一 二 三

四 五 六 七 八 九

千

萬 百

十

零

零

2 1041 1733 441 3968 1 9053 4067

截至19/8/2021

以英文書寫或讀出多位數, 每3個位1節, 每節以hundreds、tens、(ones)讀出 thousands

millions billions

trillions

以中文書寫或讀出多位數, 每4個位1節,每節以千、百、十、(個)讀出

億 萬

兆

在較少用到兆 位值的地方, 也 會出現萬億的 說法

中文與英文書 寫或讀出多位 數, 在第12個 位時重疊

因trillion就是兆, 今天許多人都誤 將billion當作億, 5 billion誤以為是 1 trillion多 5億

還是1兆多?

1 billion多 還是1億多?

1萬億多

還是1兆多?

顏色策略

將多位數最右邊4個位以螢火 筆塗色。多位數分作兩部份:

萬位或之前(5027)與萬位後 (0801)。

按萬位或之前5027直接讀

出: 五千零二十七萬 按萬位後0801接續讀出:

零八百零一

手指策略 將多位數最右邊4個位以 手指遮蓋。先留意萬位 或萬位前前的多位數部 份(5027)。

萬位或之前 5027直接讀出:

五千零二十七萬

移手指遮蓋已讀部份, 按 萬位後0801接續讀出:

零八百零一

多位數讀法棒

由離散量數數發展至 連續量數數

5 10 15 20 25 30 35 40

離散量數數 (5個一數)

5 10 15 20 25 30 35 40

0

連續量數數 (5個一數)

零點概念 連續量數數:

數數由零點開始

離散量數數:

數數由1開始

端點概念 連續量數數:

數字寫在每段邊端位置

離散量數數:

數字寫在格內

在時鐘鐘面上, 時與分都

依據這零點開始數數, 數

字都寫在時段的端點上。

每2、5、10一數

時間

貨幣

長度

貨幣

貨幣 長度

容量

重量

時間

1格

1格 1格

度量數數尺

初小階段

複名數與單名數

單位轉換 大單位

小單位 1kg

1000g

轉換因子是 個關鍵概念, 可由複合長 條模型植入

轉換為小單位 4L 25mL轉換 為4025mL

轉換為大單位 4L 25mL轉換 為4.025L

涉及整數乘加 混合算法(P3)

涉及小數位值 /分數運算(P4)

轉換因子

單位長條模型 1kg

1000g

將大單位與小單位上下平排, 植入了以下3個概念:







植入等 量關係

植入數 量關係

植入乘

法關係

1000g 1cm 10mm

1km 1000m

35克 1000克 1000克

西瓜 果汁 1000

1000

1000

26

177米 1000米

汀九橋

1. 重量單位化聚

西瓜重2公斤35克。

西瓜 1公斤 1公斤 35克

2. 容量單位化聚

果汁有3升26毫升。

果汁 1升 1升 1升 26

3. 長度單位化聚

汀九橋長1公里177米。

汀九橋 1公里 177米

4. 時間單位化聚

乘車用了2小時18分鐘。

乘車 1小時 1小時

60分鐘 60分

乘車 60分鐘

重量:g,kg 容量: mL,L 長度:

cm,m mm,km

時間:時,分,秒 年,月,日

貨幣:硬幣,紙幣

使用元角卡, 完成以下問題。

3角

有3元3角, 用去2元8角,

1元

還有多少?

1元 1元

3角 10角 60分

60分 1元 1元

2 10

元 角 3 3 – 2 8 還有5角。

5 有3元3角, 加上1元8角,

共有多少?

^{1元 1元 1元 3角 1元 8角}

3角 1元

1元 1元 1元 8角

元 角 3 3 + 1 8 共有5元1角。

1

5 1 重量:g,kg 容量: mL,L 長度:

cm,m mm,km

時間:時,分,秒 年,月,日

貨幣:硬幣,紙幣

使用時間卡與白卡, 完成以下問題。

1小時

運動用了2小時43分鐘。

1小時

60分

60分鐘 60分

60分鐘

運動用了2小時25分鐘。

43分鐘

43分鐘

重量:g,kg 容量: mL,L 長度:

cm,m mm,km

時間:時,分,秒 年,月,日

貨幣:硬幣,紙幣

運動用了145分鐘。

60分鐘 60分鐘 60分

1小時

1小時

深入理解單位轉換中所 涉及的轉換因子, 不難進 一步延伸, 解決更高層次 的數學問題

100g

8元

使用複合長條模型:

1. 涉及相同度量的比較, 即 單位轉換(例如kg與g) 2. 涉及不同度量的比較, 即

“率(rate)”

8(分鐘)

12:00

11:42 12:06

24(分鐘)

10(分鐘) 11:42

8(分鐘) 11:52

6(分鐘) 12:00 12:06 先數至整5的數字,

5的組合

由大間隔(10分鐘)迫近整時, 10的數數

5個一數策略

整時策略 10的組合

小山大山 時間模型

6(分鐘) 24分鐘 11:52

10(分鐘)

10(分鐘) 11:38

10(分鐘) 11:48

2(分鐘) 11:58

23(分鐘)

1(分鐘) 12:01 12:00

先數至整10的數字, 10的組合

10個一數策略

11:38 11:48

10(分鐘) 2(分鐘)

12:00 10(分鐘)

11:58 整時策略

10的組合

由大間隔(10分鐘)迫近整時, 10的數數

1(分鐘) 12:01

23(分鐘)

電影播放在4:50pm開始, 片長2小時17分鐘,

電影播放在甚麼時候結束?

5:50

1小時 1小時

6:50

7分鐘 10分鐘

7:00 4:50 5:50

1小時 1小時

6:50 7:07

10分鐘 7分鐘 結束時間 7:00

4:50 7:07

電影播放在4:50pm開始, 並於7:07pm結束, 片長多 少時間?

活動時間

10分鐘

4:50 5:07

1小時 5:00

7分鐘 1小時

6:07 7:07

電影播放於7:07pm結束, 片長2小時17分鐘,

電影播放在甚麼時候開始?

開始時間

個位數乘以 乘數

3 9

 3 1 2 3

3 6 9

 3 按位值逐位 運算

按數量變化 運算

5

 3

1 5 2 3 5

 3

7 0 5

3 0

 3

9 0

會做3次個位 乘法就懂得 三位數乘法?

235  3

= (200 + 30 + 5)  3

= 600 + 90 + 15

= 705

2 0 0

 3

0 0 6

十位數乘以 乘數

2 6

 3

百位數乘以 乘數

1 3

 3

1 1

 3

5 1 5

 3

3 9

 3

2 6

 3

會做3次個位 乘法就懂得 三位數進位 乘法?

乘法數量變 化卻給壓縮 在短短的進 位運算中

3

 3

9

5 0

 3

1 5 0 5 3

 3

1 5 9

基本十位數乘以 乘數直式乘法 基本個位數乘以

乘數直式乘法

植入乘法分配性 質, 讓學生初步體 會相關原理, 也作 為四年級正式學 習乘法分配性質 的經驗基礎

在直式乘法運算中, 按被乘數位值計算 部份積, 植入所涉 及的數量變化

乘法長條模型 在長條上記錄各部份的乘法運算結果

乘數 寫在 長條 右方 被乘數按位值寫在長條上方

在長條右方記錄 乘法運算

2 5 2

 3

7 5 6

1

5 4

 6

4

2

直式乘法涉及的 位值概念

5 4

 6

3 2 4

2

直式乘法實際涉及的 乘法分配性質

直式乘法涉及的 進位原理

乘法交換 性質 ab = ba

49是36, 所以94是 36

透過乘法交換性質, 更 深入認識乘法, 應用於 掌握乘數表結果

2

乘法結合 性質 a(bc)

= (ab)c

9254

= 9100

= 900 透過乘法結合性質, 更

深入認識乘法, 應用於

3

結合性質 (ab)c

= a(cb)

2594

= 9254

= 9100

= 900

= 900 透過綜合應用乘法結合

及交換性質, 更深入認識 乘法, 應用於乘法速算

4

使用乘法長條 模型的過程中, 學生以數量概 念理解按位值 進行乘法的實 際操作原理

3

按指定數字的倍數分長條所代表的數, 用顏色筆畫出所取長條範圍, 並在上方記錄取了多少份。在兩步內完成。

40

10

30 9

3

1

- 9 1

4

⁹⁴

20

80 12

3

2

- 1 2 2

3 4 0

1 3 3 0 1 09

1

4 9 4

2 3 8 0 1 41 2

2

直式除法 長條模型

3

按指定數字的倍數分長條所代表的數, 用顏色筆畫出所取長條範圍, 並在上方記錄取了多少份。在三步內完成。

- 6 0 0 1 9 2

200

600 180 60

- 1 8 0 1 2

7 9 2

12 4

7 9 2 3

2 6 4 6 0 0 1 9 2 1 8 0 12 - 1 2 1 2

0

- 8 0 0 5 3

200

800 40 10

- 4 0

4

8 5 3

12 3

- 1 2 1

1

8 5 3 4

2 1 3 8 0 0 5 3 4 0 1 31 2 1

除法就是分物

直式除法就是分物紀錄 用長條表示被除數的量

被除數寫在長條 右方圓圈內

除數寫在 長條左方

在長條上方記錄按除數分物分得多少份

在長條右方記錄 分物剩餘的數量

分數乘法長條模型 真分數乘以真分數

在長條圖中, 宜只在代表被乘數(例如:²

3)的範圍 中, 按乘數(例如: ⁴

5)進行均分並選取部份

2 3

分數乘法中的分物動作 分數乘法中的數量變化

1. 全部部份的數量關係

部份(42, 分子乘以分子) 全部(53, 分母乘以分母)

2. 部份量的幾分之幾

找出一個數量的幾分之 幾的經驗, 將直接應用 於分數乘法應用題中

5 按乘數(例如: ⁴

5)的分母 (例如: 5)均分這分數 數量

展示被乘數(例如: ²

3)

4 按分子(例如: 4)取份

將帶分數(例如: 1¹

3)化作 假分數, 就是將整數部份 進行均分。在運算中將 帶分數化為假分數, 以長 條圖展示所涉及分數數 量的變化

帶分數乘以真分數

將帶分數(例如: 1¹

3)化作假分數, 就是將整數部份進 行均分。在運算中將帶分數化為假分數, 以長條圖 展示所涉及分數數量的變化。

真分數量(例如: ⁴

5 )重複(連加)了多少次(例如: 3)。

在運算中將分子與整數相乘, 以長條圖展示所涉 及分數數量的變化

真分數乘以整數

帶分數乘以整數

在長條圖中, 亦可從分數數量變化解釋為何 計算帶分數乘以整數時, 可以應用乘法分配 性質, 分別計算整數部份與分數部份與整數 相乘, 達至速算效果。

帶分數乘以整數(分配性質延伸學習)

整數乘以分數

整數數量乘以分數, 理解為將整數(例如: 9個) 數量按分母(例如: 3)均分, 並按分子(例如: 1) 取多少份, 這概念是接續學習分數乘以分數的 基本原理。在運算中將整數與分母約分, 以長 條圖展示涉及除法的數量變化。

我們來玩分數賽跑 比賽。

輪流從這12張分數 圖卡抽一張。擲骰 子一次。

將分數與點數相乘 的結果, 只取整數部 份作為前進步數。

4

5 x 3 = ¹²

5

= 2²

5

可以走兩步!

人類最簡單、直接、實用 的分物, 就是將物件平分2 份。這分物過程已植入3 個的最基礎的分數概念

一分為二 1

2 單位分數 平均分物

分物中2的幂

再平分

一分為四 1

再平分

一分為八 1

8 以2的幂作為分母, 對應著

人類最簡單、直接、實用 的分物, 將再一次加強鞏固 學生分數的基本概念, 這是 分數的“二次學習”!

異分母分數磚

1 𝟏

𝟐

𝟏 𝟐 𝟏

𝟒

𝟏 𝟒 𝟏

𝟒

𝟏 𝟒 𝟏

𝟖 𝟏

𝟖 𝟏

𝟖

𝟏 𝟖 𝟏

𝟖 𝟏

𝟖 𝟏

𝟖

𝟏 𝟖 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

𝟏 𝟒

1 4

𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

𝟏 𝟖

3 8

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

7 16

𝟏 𝟒

𝟏 𝟒

2 4

𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

4 8

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟏𝟔

8 16

使用4款分別為單位分數

1 2 , ¹

4 , ¹

8 和 ¹

16異分母分數磚, 透過長條模型策略, 植入 等值分數(通分)與基本異 分母分數的關係。

𝟏 𝟐

1 2

用分數磚拼 出與 ¹

2 等值 的分數

𝟏 𝟐

1 2

由大至小排列

1 2 , ¹

4 , ³

8 和 ⁷

16

𝟏 𝟒 𝟏

𝟒

𝟏 𝟒

3 4

𝟏 𝟖

𝟏 𝟖

𝟏 𝟖

3 8

𝟏 𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

𝟏

𝟏𝟔 5

16

𝟏 𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟔

𝟏

𝟏𝟔 3

16 異分母分數磚

𝟏 𝟒

𝟏 𝟖

1 4 + ¹

8

𝟏 𝟏𝟔 𝟏

𝟒

1 4 + ¹

16

𝟏 𝟖

𝟏

𝟏𝟔 1

8 + ¹

16

𝟏 𝟐

𝟏 𝟒

1 2 + ¹

4

不同的分數磚 加在一起

會如何?

我們用1, 2, 4, 8 這四個數字做個 數字實驗!

1

2 4

8

將1, 2, 4, 8這四個數 字放在算式方格位置, 寫出5道不同的算式。

1 4

2 8

你知道要怎樣放這 四個數字, 可得到 最大計算結果?

以1, 2, 4, 8四個數字做數字實驗, 較易入手, 能幫助學生重溫約分 及帶分數的概念。換了不同的數 字進行實驗, 會產生不同的學習 效果。同樣的數字實驗策略, 也 可應用於其他分數運算上。

3 2

1 4

3 4

1 2

4 2

1 3

4 3

1 2

帶分數概念重溫

2 3

1 4

2 4

1 3

1 2

4 3

1 3

4 2

1 2

3 4

1 4

3 2

異分母分數加法

1 4

2 3

1 3

2 4

分數格

Target

Tool-based

Teaching