3.1 積分型滑動模式控制器之設計

(1)

G ^PLANT

r +

_

+ u

e& e

∫

f

SMC

y

gT

x

s +

第三章模糊推論積分型滑動模式之小腦模型控制器設計

3.1 積分型滑動模式控制器之設計

本文提出全狀態變數回授積分型滑動模式控制器，是積分器結合滑動模式控制器，採用全狀態變數回授系統，如圖 3-1 所示：

圖 3-1 全狀態變數回授積分型滑動模式控制器方塊圖在設計 ISMC 控制器各個系統參數步驟，分別敘述如下：

1.等價控制律之設計

等價控制律之設計，設計的目的，使系統之狀態點，可沿著已設好滑動線之平行線，滑向系統之原點，其數學推導公式如下：

首先，取得滑動函數

s

，如下：

Tx g Ge

s= +

(3-1) 針對滑動函數

s

，微分一次項，取得

s&

：

)) (t, )

Ä ((

)

(r y g bu f x

G g e G s

T T

+ + +

+

−

= +

=

x A A x&

&

(3-2) 在

Ä A=0

及

f (t, x) = 0

，條件下，由

s&=0

，求得：

( )

^]

[ )

(

g^Tb ^-1 − + g^TAx

−

= G r y

u

(3-3)

=

1

b

g^T

(3-4)

(2)

令

u=u_eq

則等價控制律

u 為如下：_eq

( )

^]

[ )

(

g^Tb ^-1 − +g^TAx

−

= G r y

u_eq

(3-5)

2.到達模式控制律之設計

到達模式控制律，設計的目的，使系統之初始狀態點，趨近已設計好之滑動線，本文採用指數型態到達模式控制律，其特點在於，狀態點以指數型態趨近滑動線，可有效減少在滑動模式下顫動現象，並能夠在有限時間內，到達已設計好之滑動線，能使系統之狀態點，收斂於原點，為保證滑動模式會收斂，到達模式控制律

Äu

建構如下：

) 0 , , (

Ä ₁

1

+ >

−

= ä k

ä s ks s

u

(3-6) 帶入(3-2)式可使

ä1

s ks s

s&=− − +

(3-7) 保證系統必能收斂。

0

1 2

2 ≤

− +

−

=

ä s ks s s s v

&

(3-8)

ISMC 控制器之總控制律為等價控制律與到達模式控制律之和如下：

u u

u = _eq+Ä

(3-9) 3. 決定滑動函數係數與積分器增益

滑動函數之係數，需事先設計系統之特徵根為

λ₁,λ₂,K,λ_n

，全部必須落於

s

平面之左半平面，才能保證系統之狀態點，進入滑動模式時，可穩定趨近原點，配合系統之輸出向量之係數為

â₁,â₂,K,â_n

，一般設定為

1 â , 0, â 0,

â₁ = ₂ = K _n =

可簡化設計，並利用狀態回授及極點配置法，系統

設計的特徵根為

λ₁,λ₂,K,λ_n

，而特徵方程式為如下：

(3)

0 á á

á

) (

) )(

(

2 - n 2 1 - n 1

2 1

=

+ + +

+

=

−

n n

n

s s

s

s s

s

L L

λ λ

λ

(3-10)

比較(2-51)式及(2-52)式，可決定滑動函數之係數

g₁,g₂,K,g_n

與決定積分器增益

G

：

n n n

n n n- n- n- n-

n n

á á

G á g

á á

G á

g

á á

G á g G á

â â â

â

1 1 1 1

1

2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

−

= +

=

−

= +

=

−

= +

=

−

=

−

M

(3-11)

3.2 小腦模型控制器設計

小腦模型控制器具有良好非線性學習效能，學習速度收斂快，有良好類化能力，計算簡單，設計容易，小腦模型控制器的參數設定與設計，區分六項，分別敘述如下：

1.決定輸入狀態變數

輸入狀態變數的多寡，直接影響小腦模型控制器之精確性，選擇輸入狀態變數個數，需要配合系統之複雜程度，增加輸入狀態變數個數，直接影響記憶體之需求，造成所需記憶體過大，使電腦軟體無法組譯，本文使用小腦模型控制器之輸入狀態變數，採用單一輸入狀態變數，即將受控體系統之輸出，當作小腦模型控制器之輸入。

2.劃分量化大小

控制器之學習精密度，取決量化大小，較高學習精密度，需對輸入參

考狀態變數劃分較細，即輸入參考狀態數量增加，均等量化分割系統實際

(4)

之輸出值 y ，相對增加記憶體之空間。

3.決定類化能力

鄰近輸入參考狀態，記憶單元重疊越多，擁有類化能力越強，所需記憶體空間越少，會造成學習速度較慢。

4.選擇學習範圍

受控體之輸出 y 為系統實際之輸出值，參考輸入 r 為系統期望值，選擇學習範圍，以避免受控體之輸出值，超過學習的範圍，造成學習精確性降低，選擇學習範圍，需配合系統實際之最大輸出值，以球體平衡桿系統為例，平衡桿的長度為 0.8 公尺，在選擇學習範圍時以左右各 0.4 公尺為最大選擇學習範圍。

5.適當調整學習率

調整小腦模型控制器之學習率較大時，學習速度快，但會造成系統不穩定，學習率較小時，學習速度緩慢，提升系統穩定度，一般設定為在 1 與 0 之間。

以上各個參數設定與設計，需視系統之性質，一般採用嘗試錯誤法與經驗法則獲知各個參數，決定記憶體修正量，以系統輸出值與參考輸入值之間的誤差量，當作小腦模型控制器之記憶體修正量，修正量的多寡隨著誤差量之大小而改變，也影響小腦模型控制器輸出控制量。本系統之小腦模型控制器採用一維變數輸入，可減少使用記憶體之空間，計算時間縮短，提升系統之精密度。

3.2.1 小腦模型記憶體分割方式

每一個狀態變數 S 可以不同方法分解為數個區段（block），每一區段

又包含許多個元素(element)，不同的分區段分割方法，使不同狀態變數 S

位移一個或多個元素，以 S 狀態變數為例子，每一參考狀態變數都被量化

₁

(5)

成 4 個間隔（元素），即是每一個狀態變數都被分配到四個記憶體，索引指標設為 1，未被分配到記憶體，索引指標設為 0，分割小腦模型記憶體的劃分，將會影響小腦模型學習結果的普遍能力，如下表所示：

表 3-1 狀態變數與記憶體之間索引指標建立表

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

S

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

S

2 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

S

3 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

S

4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

S

5 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

S

6 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

S

7 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

S

8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0

S

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

3.2.2 小腦模型數學演算法

小腦模型在學習過程中，利用輸出值與期望值之誤差值修改真實記憶體的內容，經由反覆的學習，使輸出值與期望值之誤差值收斂至容許範圍，就完成學習的過程，我們可以利用以下的數學式來加以描述：

1 1

1 − −

− = _S _S

yS C W

(3-12)

1

1 −

− +∆

= _S _S

S W W

W

(3-13)

ˆ )

m ¹( ¹ ¹

1 − − −

− = −

∆WS αCS yS yS

(3-14) 其中

y_S₋₁

是參考狀態

s−1

之輸出值，

yˆ_S₋₁

是參考狀態

s−1

之期望值，

−1

WS

是參考狀態

s−1

之真實記憶體，

∆WS₋₁

是參考狀態

s−1

之真實記憶體修

(6)

資料庫規則庫知識庫 (Knowledge base)

模糊推論機構 (Inference engine) 模糊化

(Fzzification)

解模糊化 (Defzzificatiom)

GCS

uf

GS s GU

s&

S S&

Uf

正量，

C_S₋₁

是參考狀態

s−1

索引指標，

s

與

s−1

代表樣本的參考狀態，α則代表學習的速率（learning rate），m 則是將輸出誤差的責任平均歸屬於每一個所對應的記憶體單元。

3.3 模糊控制器設計

由於設計到達模式控制律，需要精確的受控體之系統參數值，而參數值不易獲得，在設計上較為複雜，本文提出利用模糊控制器優點，具有較佳的適應性及強健性，控制法方法簡單，易於實現，提昇系統的暫態及穩態響應，設計模糊控制器需要四個程序：(1)輸入變數之模糊化 (2)模糊規則之建立 (3)模糊推論 (4)解模糊化，其架構如下圖所示：

圖 3-2 模糊控制器方塊圖 1 . 輸入變數模糊化

將精確的輸入變數轉換成相對應的模糊量，首先將輸入值量化成模糊

論域中，在進行輸入變數的模糊分割，將輸入變數劃分數個模糊集合，每

(7)

-6 -4 -2 0 2 4 6 0

0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

s ( i n p u t 1 )

Degree of membership

NB NS Z E P S P B

一個模糊集合相對應一個模糊語言，由於在滑動模式之存在條件

≤0

×

=s s

v &

時，故選擇滑動函數

s

，滑動函數變化量

s&

為模糊控制器之模糊

化兩個輸入變數，而

u_f

為模糊控制器之輸出變數，兩個輸入值

s

和

s&

可被模糊分割成正大(PB)，正小（PS），零(ZE)和負小（NS），負大(NB)，而輸出變數

u_f

，可被模糊分割成正大(PB) ，正小（PS），零(ZE)和負小（NS），負大(NB)，5 個模糊語言，

GS

及

GCS

為輸入比例因子，

GU

為輸出比例因子，輸入變數劃分的多寡，直接影響控制的品質，劃分較少，模糊推論規則數目與花費時間會減少，控制之品質也較為不理想，劃分較多，能夠提升控制響應之品質，計算時間也會增加，適當的劃分，能有效提升控制響應之性能，本系統模糊控制器，選用三角形歸屬函數，可節省計算時間，

提升控制效能。滑動函數

s

歸屬函數圖，滑動函數變化量

s&

歸屬函數圖和模糊控制器之輸出變數

u_f

歸屬函數圖，如下圖所示：

圖 3-3 滑動函數

s

歸屬函數圖

(8)

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6 0

0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

c h a n g e o f s ( i n p u t 2 )

NB NS Z E P S P B

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

u f ( o u t p u t 1 )

NB NS Z E P S P B

圖 3-4 滑動函數變化量

s&

歸屬函數圖

圖 3-5 輸出變數

u 歸屬函數圖_f

(9)

- 5

0

5

- 6 - 4

- 2

0 2

4 6

- 2 0 2

s ( i n p u t 1 ) c h a n g o f s ( i n p u t 2 )

uf (output1)

圖 3-6 兩輸入與一個輸出模糊控制器之立體圖

2.知識庫之建立

知識庫是由規則庫與資料庫所構成，其主要功能是提供訪似人類智慧之專家系統或操作人員的經驗法則而制定模糊語言，資料庫存放輸出入變數之模糊語言，定義歸屬函數，提供模糊化，模糊推論之機構與解模糊化使用，規則庫，將專家的知識及經驗或操作人員的經驗法則，轉換成適用於模糊控制規則，仿似人類思考推理模式。

3.模糊推論之機構

模糊推論之機構，是仿似人類決策之單位，將模糊化所得之輸出模糊量，輸入模糊推論之機構，建立模糊推論規則庫，以滑動面做模糊分割，

將滑動面劃分五個模糊集合，模糊推論，以滑動函數

^s

及滑動函數變化量

s&

，兩個變數為模糊控制器的輸入，當狀態點偏離滑動面時，模糊控制器

輸出信號增強，以迫狀態點回到滑動面上，當狀態點趨向滑動面時，模糊

(10)

控制器輸出信號減弱，能使狀態點在滑動面上滑行，以兩個輸入變數及一個輸出變數之模糊控制器，能設計出 25 個控制規則，寫成模糊推論控制規則表，如下表 3-1 所示：

4. 解模糊之過程

解模糊的功能，是將模糊推論機構所推論出模糊輸出量，轉換成明確的控制量，以控制受控體系統，常用的解模糊方法有，面積法，高度法，

重心法，加權平均法，最大平均法，本論文所採用的是重心法解模糊，求得明確模糊控制器輸出值。

表 3-1 模糊推論控制規則表

s&

u f

NB NS ZE PS PB

NB PB PB PB PB ZE

NS PB PB PB PS ZE

ZE PS PS ZE NS NS

PS ZE NS NB NB NB

s

PB ZE NB NB NB NB

(11)

規則庫資料庫知識庫

模糊推論機構模

糊化

解模糊化

＋ _

參考輸入

輸出

∑

微分器

∑ ^滑^動

模式控制器

受控體積

分器

g^T

＋

r s

uf

s u u

ucmac

小腦模型控制器

＋

模糊控制器

∑

3.4 控制器的架構

本文提出模糊推論積分型滑動模式之小腦模型控制器(Fuzzy based Integral Sliding Mode Using Cerebellar Model Articulation Controller，簡稱 FCISMC)，是模糊推論全狀態變數回授積分型滑動模式控制器結合小腦模型控制器，系統架構如圖所示：

圖 3-7 CFISMC 方塊圖系統控制律描述如下：

u=u_s +u_cmac =u_eq+

Ä

u+u_cmac

( ) f ucmac

ä s s s u y

r

G +

− +

−

=

( g

^T

b )

^-¹

[ g

^T

Ax ] (3-15)

其輸出值 y 單位迴授與參考輸入值 r 作比較，得到誤差值，經過積分

器之作用，可有效消除系統穩態誤差，將滑動函數與滑動函數變化量分別

輸入模糊控制器，將滑動函數與滑動函數變化量之模糊化，即將明確之輸

入量經模糊化轉換成模糊量，並利用狀態點與滑動面之距離遠近，進行模

糊分割，將滑動函數與滑動函數變化量劃分數個模糊集合，藉由模糊推論

(12)

中以人類的經驗及專家的知識，建立好的規則庫進行推論之，而推論出的結果是個模糊量，必須透過解模糊過程，將模糊量轉換為精確的輸出控制量，在模糊推論過程中進行適應性控制增益之動態調整，經模糊推論出適合控制增益量

u ，使狀態點能快速到達滑動面並降低超越量，並可保證在_f

有限時間內到達滑動面，能夠提升系統控制穩定度與暫態響應品質。

結合滑動模式控制器對系統參數變動及雜訊干擾之不敏性，擁有強健性控制，由於採用全狀態變數回授，可適用於開迴路不穩定可控制型之受控體系統，設計的特點在於，到達模式採用指數型態接近滑動面，能使系統狀態點快速到達滑動面並降低超越量，以提昇系統之暫態響應品質，並可保證在有限時間內到達滑動面。

由小腦模型控制器加入，輔助原積分型滑動模式控制器的系統架構，

以輸出值與參考輸入值之間的誤差量，當作小腦模型控制器之記憶體修正量，修正量的多寡隨著誤差量之大小而改變，也影響小腦模型控制器輸出控制量

u ，而小腦模型控制器具有優異之非線性學習及樣本類化能力，線_c

上即時學習受控體系統之輸出值，並適時選擇下列參數設定與設計，(1) 決定輸入狀態變數，採用一維均等量化輸入狀態變數，即將受控體系統之輸出，當作小腦模型控制器之輸入，(2)均等量化分割系統實際之輸出值

y ，(3)決定類化能力，需配合記憶體空間大小，(4)選擇學習範圍，需配合

系統實際之最大輸出值，(5)適當調整學習率，設定為 0.1，(6)決定記憶體修正量，以系統輸出值與參考輸入值之間的誤差量，當作小腦模型控制器之記憶體修正量，以上各參數採用嘗試錯誤法與經驗法則獲得，本系統使用一維小腦模型控制器，可減少使用記憶體之空間，能提升學習精確度，

節省計算時間的優點，並以補償原積分型滑動模式控制器因設計限制而使

控制效能不彰之缺點，此外亦希望經由小腦模型輔助控制器的加入，能達

成縮短簡化其設計程序並降低其設計難度之目的，減少暫態響應時間並使

(13)

3.1 積分型滑動模式控制器之設計

第三章 模糊推論積分型滑動模式之小腦 模型控制器設計

3.1 積分型滑動模式控制器之設計

本文提出全狀態變數回授積分型滑動模式控制器，是積分器結合滑動 模式控制器，採用全狀態變數回授系統，如圖 3-1 所示：

圖 3-1 全狀態變數回授積分型滑動模式控制器方塊圖 在設計 ISMC 控制器各個系統參數步驟，分別敘述如下：

1.等 價 控 制 律 之 設 計

等價控制律之設計，設計的目的，使系統之狀態點，可沿著已設好滑 動線之平行線，滑向系統之原點，其數學推導公式如下：

首先，取得滑動函數

，如下：

(3-1) 針對滑動函數

，微分一次項，取得

：

(3-2) 在

及

，條件下，由

，求得：

]

[ )

(

(3-3)

1

(3-4)

令

則等價控制律

]

[ )

(

(3-5)

2.到 達 模 式 控 制 律 之 設 計

建構如下：

(3-6) 帶入(3-2)式可使

(3-7) 保證系統必能收斂。

0

&

(3-8)

ISMC 控制器之總控制律為等價控制律與到達模式控制律之和如下：

(3-9) 3. 決 定 滑 動 函 數 係 數 與 積 分 器 增 益

滑動函數之係數，需事先設計系統之特徵根為

，全部必須落 於

平面之左半平面，才能保證系統之狀態點，進入滑動模式時，可穩定 趨 近 原 點 ， 配 合 系 統 之 輸 出 向 量 之 係 數 為

， 一 般 設 定 為

可簡化設計，並利用狀態回授及極點配置法，系統

設計的特徵根為

，而特徵方程式為如下：

0

á á

á

) (

) )(

(

L L

(3-10)

比較(2-51)式及(2-52)式，可決定滑動函數之係數

與決定積分 器增益

：

(3-11)

3.2 小腦模型控制器設計

小腦模型控制器具有良好非線性學習效能，學習速度收斂快，有良好 類化能力，計算簡單，設計容易，小腦模型控制器的參數設定與設計，區 分六項，分別敘述如下：

1.決 定 輸 入 狀 態 變 數

2.劃分量化大小

控制器之學習精密度，取決量化大小，較高學習精密度，需對輸入參

考狀態變數劃分較細，即輸入參考狀態數量增加，均等量化分割系統實際

之輸出值 y ，相對增加記憶體之空間。

3.決定類化能力

鄰近輸入參考狀態，記憶單元重疊越多，擁有類化能力越強，所需記 憶體空間越少，會造成學習速度較慢。

4.選擇學習範圍

5.適 當 調 整 學 習 率

調整小腦模型控制器之學習率較大時，學習速度快，但會造成系統不 穩定，學習率較小時，學習速度緩慢，提升系統穩定度，一般設定為在 1 與 0 之間。

3.2.1 小腦模型記憶體分割方式

每一個狀態變數 S 可以不同方法分解為數個區段（block），每一區段

又包含許多個元素(element)，不同的分區段分割方法，使不同狀態變數 S

位移一個或多個元素，以 S 狀態變數為例子，每一參考狀態變數都被量化

成 4 個間隔（元素），即是每一個狀態變數都被分配到四個記憶體，索引 指標設為 1，未被分配到記憶體，索引指標設為 0，分割小腦模型記憶體 的劃分，將會影響小腦模型學習結果的普遍能力，如下表所示：

表 3-1 狀態變數與記憶體之間索引指標建立表

S

S

S

S

S

S

第三章模糊推論積分型滑動模式之小腦模型控制器設計

本文提出全狀態變數回授積分型滑動模式控制器，是積分器結合滑動模式控制器，採用全狀態變數回授系統，如圖 3-1 所示：

圖 3-1 全狀態變數回授積分型滑動模式控制器方塊圖在設計 ISMC 控制器各個系統參數步驟，分別敘述如下：

1.等價控制律之設計

等價控制律之設計，設計的目的，使系統之狀態點，可沿著已設好滑動線之平行線，滑向系統之原點，其數學推導公式如下：

^]

^]

2.到達模式控制律之設計

(3-9) 3. 決定滑動函數係數與積分器增益

，全部必須落於

平面之左半平面，才能保證系統之狀態點，進入滑動模式時，可穩定趨近原點，配合系統之輸出向量之係數為

，一般設定為

與決定積分器增益

小腦模型控制器具有良好非線性學習效能，學習速度收斂快，有良好類化能力，計算簡單，設計容易，小腦模型控制器的參數設定與設計，區分六項，分別敘述如下：

1.決定輸入狀態變數

鄰近輸入參考狀態，記憶單元重疊越多，擁有類化能力越強，所需記憶體空間越少，會造成學習速度較慢。

5.適當調整學習率

調整小腦模型控制器之學習率較大時，學習速度快，但會造成系統不穩定，學習率較小時，學習速度緩慢，提升系統穩定度，一般設定為在 1 與 0 之間。

成 4 個間隔（元素），即是每一個狀態變數都被分配到四個記憶體，索引指標設為 1，未被分配到記憶體，索引指標設為 0，分割小腦模型記憶體的劃分，將會影響小腦模型學習結果的普遍能力，如下表所示：

小腦模型在學習過程中，利用輸出值與期望值之誤差值修改真實記憶體的內容，經由反覆的學習，使輸出值與期望值之誤差值收斂至容許範圍，就完成學習的過程，我們可以利用以下的數學式來加以描述：

之期望值，

代表樣本的參考狀態，α則代表學習的速率（learning rate），m 則是將輸出誤差的責任平均歸屬於每一個所對應的記憶體單元。

圖 3-2 模糊控制器方塊圖 1 . 輸入變數模糊化

一個模糊集合相對應一個模糊語言，由於在滑動模式之存在條件

可被模糊分割成正大(PB)，正小（PS），零(ZE)和負小（NS），負大(NB)，而輸出變數

，可被模糊分割成正大(PB) ，正小（PS），零(ZE)和負小（NS），負大(NB)，5 個模糊語言，

歸屬函數圖和模糊控制器之輸出變數

3.模糊推論之機構

模糊推論之機構，是仿似人類決策之單位，將模糊化所得之輸出模糊量，輸入模糊推論之機構，建立模糊推論規則庫，以滑動面做模糊分割，

控制器輸出信號減弱，能使狀態點在滑動面上滑行，以兩個輸入變數及一個輸出變數之模糊控制器，能設計出 25 個控制規則，寫成模糊推論控制規則表，如下表 3-1 所示：

解模糊的功能，是將模糊推論機構所推論出模糊輸出量，轉換成明確的控制量，以控制受控體系統，常用的解模糊方法有，面積法，高度法，

重心法，加權平均法，最大平均法，本論文所採用的是重心法解模糊，求得明確模糊控制器輸出值。