多重碎形 (multifractals)
謝南瑞
一 . 碎形與維度
1970年代, B. B. Mandelbrot (耶魯大 學教授、IBM 資深研究員、 美國科學院院士) 出版了兩本著作, 提出碎形 (fractals) 與其 特徵量 — 維度 (dimension) — 的觀念, 及 其在自然科學中所扮演的角色。 自此, 碎形一 詞便不斷地出現在各類文獻中, 由研究論文, 至科普作品, 乃至工藝美術。 一般而言, 碎形 泛指一個外貌複雜的形體, 但其結構則具有 尺度不變性 (scaling invariance), 亦即自相 似性 (self-similarity)。 利用電腦的快速計算 與繪圖功能, 我們可將一個簡單的機制指令, 經由不斷地迭代 (iteration), 而產生一連串 的分岔 (bifurcation), 最後電腦螢幕上即出 現一個複雜形體, 這是一個人工虛擬碎形。 而 在自然界中, 我們隨處可見的曲線與形體, 如 海岸線的彎折, 天空雲彩繁複的表面, 湍急河 川的大小漩渦 · · · 等等, 在在是我們無法以 經典幾何與微分幾何來描述與研究的碎形。
如是的形體 F , 可用一個數值 s 為其特 徵量, 利用邊長為 n−1 (n 為正整數, 如 100) 的小正方體, 或半徑為 n−1 的小球體, 來覆
蓋 F 。 由 F 的自相似性, 有效覆蓋數呈現冪 律 (power law), 即 ns, 而 s 介於 0 與 3 之 間 (設 F 為空間中之一形體, 若 F 為平面 的一部份, 則 s 介於 0 與 2 )。 數值 s 稱為 F 的維度。 在物理學者的思考中, 此值 s 可 名為“分數維”, 因 s 通常為一個分數, 或以 適當分數表出的無理數。 值 s 也可名為自相 似維度, 此乃由下列考慮獲得:
設 F 可分解成 F1. . . Fm 個不重疊子 集, 每個 Fj 與 F 有 Fj = rjF, 0 <
rj < 1 之關係; 而每個 Fj 又可分解成 Fj,1, . . . , Fj,m 個更小子集, Fj,k 和 Fj 亦保 有 Fj,k = rkFj 之關係; 等等重覆地發生。 則 s 即為方程式 r1s+ · · · + rsm = 1 之解 s。
許多“數學碎形”, 亦即數學者利用迭代 函數系 (iterated function system) 所獲得 的碎形, 如 Cantor 集、 Sierpinski 帆、 von Koch 雪花 . . . 等等, 都可藉助上述思考獲得 其維度。 詳見參考資料 2 第九章。 這些數學碎 形則用來作為自然界碎形的數學模擬, 此因 自然界碎形的自相似性並不像上述數學碎形 的嚴格自相似, 而是以隨機自相似 (stochas- tic self-similarity) 呈現。
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必須附帶說明的是, 上述分數維度或自 相似維度的思考與表式, 若以數學者角度觀 之, 是有些問題的。 考慮 F : {0, 1,12,13, . . . }, 這是一個可列集, 故合理的維度為 0; 但依 上述之分數維思考, 則 F 的維度是 12! 數 學者解決此困境的方法是, 引入所謂 Haus- dorff 維度 — 這是在數學分析中有嚴格定 義的, 作為數學者的維度。 但, 這又有另一困 境產生, 例如 Cantor 集, 利用上述維度公 式, 可解出分數維 s = ln 2/ ln 3, 即表式 (1/3)s+ (1/3)s = 1 之解; 但, 若欲嚴格依 Hausdorff 維度之定義來證明 Cantor 集的 維度確為 ln 2/ ln 3, 卻不簡單! 數學者通常 在“嚴格推論”制約下, 受到自設的困境所擾!
二 . 多重碎形 — 緣起
1980 年代中期, 在美國有個包括著名物 理學者 M. H. Kadanoff 的研究小組, 發表 了一篇名為“碎形測度與其奇異點: 奇異吸子 之刻劃”的研究論文於 Physical Review 上。
幾乎同時地, 兩位法國物理學者 U. Frisch 與 G. Parisi 在一個名為 “地球物理與大氣之紊 流與可預測性”的國際研討會上, 發表一篇討 論紊流之流速場的奇異性的報告 (收錄於會 議論文集中)。 兩者之背景雖然不同, 但卻不 約而同地指出一個碎形的“新”研究方向, 即 碎形的細部結構; 在此之前, 相關的碎形研究 者只著眼於認知某形體有碎形的特徵 (冪律、
自相似性、 維度)。
Kadanoff 小組的研究可描述如下: 考 慮某個動力系 {ϕn}∞n=1 (在某個位相空間 S
中), 令起始者 ϕ0 = x0。 考慮空間 S 上 的“造訪頻率”測度 µ(A)
µ(A) = lim
m→∞
1
m#{k : 1 ≤ k ≤ m, ϕk(x0) ∈ A}, A ⊂ S;
上式中 # 表集合之元素個數。 此測度之質 量集中處 (即, 台集 (support)) 為系統 的奇異吸子 (strange attractor) — 為一 碎形 F 。 經由精密的觀測, 他們發現測度 µ 在吸子 F 上呈現出高度不均勻的特性。
即, µ 在不同之小塊區域上呈現出不同“強 度”(讀者自行思考, 如何描述強度一詞), 再 者, 吸子 F 由一些 Fα “交織”而成, 而 Fα
表示由有相同強度之小塊區域構成。 電腦螢 幕上呈現一個有藍 (強度低) 紅 (強度高) 交 織而成的碎形。 他們也敘述, 利用凸分析中 之 Legendre 法, 可構繪出一條曲線 α → f (α) = dim Fα, α ∈ [α−, α+], dim 表維 度。
Frisch 與 Parisi 之研究則可描述如下:
考慮紊流的流速場 ~v(x), 於場中某點 x, 若
|~v(x + x′) −~v(x)| 呈現形如 |x′|−α 之形, 則 稱 α 為流速場在 x 的奇異指標 (| · | 表 x 之 歐氏距)。 較精密的觀測, 得知指標 α 為隨點 x 而異, 而非想像中的指標是處處相同。 將有 相同指標 α 的 x 所成區域名為 Sα, 則紊流 區所在 — 其亦為碎形 — 可表成 Sα 之交織
。 他們也發現 Legendre 法可用來描繪曲線 α → h(α) = dim Sα。 此曲線可視為 A. N.
Kolmogorov 在 1941 年所提出有關紊流場 冪律之假說 (此假說中, 冪律為一恆常數) 的 一大突破性發現。 在 Frisch 與 Parisi 之論
文中, 他們使用了“multifractal”一詞來描述 他們的發現, 這是多重碎形一詞之首次登場。
三 . 多重碎形 — 一個數學例子
我們考慮 Cantor 集上的一個多重碎形 結構。 如眾所知, Cantor 集 F 可表成 F =
S
∞k=0Ek, E0 = [0, 1], 而 Ek, k = 1, 2, . . ., 是 2k 個長度為 3−k 的小區間聯集。 將 E0 想像成質量為 1 的均勻密度質量棒。 分割 此質量如下: 將 1/3 質量壓到 E1 的左小 間[0, 1/3] 上, 且將 2/3 質量壓到 E1 之右 小區間 [2/3, 1]上。 則形成兩個小質量棒, 兩 者的密度比為 1 : 2。 再次分解質量如下: 將 [0, 1/3] 所具有的 1/3 質量壓到 E2 的兩個 左小區間 [0, 1/9] 與 [3/9, 4/9] 上, 而使兩 者質量比仍為 1 : 2 (是以, [0, 1/9] 分配到原 有質量的 1/3· 1/3 = 1/9 , 而 [3/9, 4/9] 則 分配到原有質量的 1/3 · 2/3 = 2/9 ); 另將 [2/3, 1] 所具有的 2/3 質量壓到 E2 的兩個 右小區間 [5/9, 6/9] 與 [8/9, 1] 上, 而使兩 者質量比亦仍為 1 : 2 (是以, [5/9, 6/9] 分配 到原有質量的 2/3 · 1/3 = 2/9, 而 [8/9, 1]
則分配到原有質量的 2/3 · 2/3 = 4/9)。 依 此方式重覆進行, 以使 Ek 中每個小區間被 分割成 Ek+1 之兩個更小區間恆有質量密度 比 1 : 2。 這重覆進行程序的“極限”為台集 是 Cantor 集 F 上的一個測度 µ (即, 一個 質量分配)。 對此測度 µ, 由上述的構造程序, 即可察知其具有不均勻的質量 “強度” 特性。
如圖 1 所示者。 我們作較精密的估計如下。 將
µ0on E0
µ1on E1
µ2on E2
µ3on E3
µ4on E4
圖1
[0, 1]分成長度為 δ 之小區間 Ii, 對 q : −∞
< q < ∞, 令
Sδ(q) =
X
i
µ(Ii)δ
當然, 若 Ii ∩ F = φ , 則 µ(Ii) = 0。 當 δ = 3−k, k = 1, 2 . . ., 由二項分佈
Sδ(q) =
k
X
j=1
k j
!
1 3 qj2 3 qk−j
=
h
(13)q+ (2 3)q
i
k= δ{ln[( 13 )ln 3q +( 23 )q ]} 我們有興趣於 f (α) = dim Fα, 而
Fα = {x : lim
δ→0
ln µ(I(x, δ))
ln δ = α}, 其中 I(x, δ) 表包含 x 之長度 δ 的小區間。
由維度之意義, 我們知, 使 δα+ǫ < µ(Ii) <
δα (ǫ : 小的正數) 之小區間 Ii 之個數為
δ−f (α), 將和以積分代之, 我們得關係式 Sδ(q) ∼
Z
∞0 δqαδ−f (α)dα
=
Z
∞0 δ−(f(α)−qα)dα
∼ δ−τ (q)
而 τ (q) 為對應於使 f (α) − qα 為極大之 α 的極大值。 因其為極值, 故
d
dα(f (α) − qα) = 0, 即
q = df
dα(α(q)) 而
τ (q) = f (α(q)) − qα(q) 故有
dτ dq = df
dα dα
dq − α − qdα dq, 設 α 對 q 可微分, 是以
dτ
dq(q) = −α(q)
上述關係是一般表式。 而在我們所在之情況, τ (q) 已被計算得
τ (q) = ln[(13)q+ (23)q] ln 3 , 是以
α(q) = −[(13)qln(13) + (23)qln(23)]
[(13)q+ (23)q] ln 3
因而, 得到 f (α) = f (α(q)) 的明確表示與 圖形, 圖 2, 如下:
q = 0 q = 1
q = 2 q = −2
q = 4 q = 4
f (a)
a
圖2
f (α(q))
=ln[(13)q+ ln(23)q] −q[(13)qln((113)+(23)qln(23)]
3)q+(23)q
ln 3
註: α 雖然為 q 的函數, 但在凸分析中, α 可 視為自變數。
四 . 多重碎形 — 一個物理實驗
我們考慮一個簡單的電解實驗。 在一個 圓形淺皿中裝入硫酸銅溶液, 在皿正中置一 銅棒作為陰極, 在皿周圍圍一銅絲作為陽極。
通電後, 硫酸銅分解成正二價銅離子與負二 價硫酸根, 兩者皆在溶液中“隨機地運動”, 正 二價銅離子在陰極收到二個電子而還原成銅 (設銅離子撞擊到陰極), 逐漸地, 在陰極周遭 形成一個銅聚落。 此聚落狀如一個有若干“樹 枝”往外延伸的形體, 且樹枝的尖端部增長得 較樹枝根部迅速, 因此, 時間愈長, 則樹枝形 結構愈明顯。 我們可作一個 xy 平面的模擬 如下: 令含原點 O 的一小塊方形區為核心, 在一個以 O 為中心之大圓圓周上釋放粒子, 粒子在圓周上之位置為“隨機”, 讓此粒子從
事 Brown 運動, 直到其撞擊到核心, 它就粘 附於核心。 再次進行釋放粒子、 進行 Brown 運動, 撞擊核心且粘附其上的程序, 設若我們 進行 N = 50, 000 次, 則可獲得一形體; 如 圖 3 所示。 令結構之直徑為L,
圖3
則有冪律
N ∼ LD
而 D 值為1.71 是以此結構為“維度”為 D = 1.71 的碎形。 我們方才提到, 樹枝尖端部增 長較根部迅速 (何故?), 是以此碎形應有某種 多重碎形結構。 將形體環周作個 δ-分割, 以 Nk 表第 k 區的受撞粒子數, 且令 pk = Nk/N 此為“撞擊機率”。 則我們可估計
N(q, L) =
X
k
pqk∼ (δ
L)−τ (q)∼ Lτ(q) 再利用 Legendre 法求則曲線 f (α), 如圖 4 所示。 詳見參考資料 1, 第六章 11節。
f
a
圖4
五 . 結語 — 燦爛的混沌
多 重 碎 形 討 論 一 個 碎 形 的 細 部 結 構。
這個主題大大地豐富了碎形的內涵。 是以, 1985 年以降, 幾乎所有有關碎形的研究論文, 是以討論多重碎形為標的。 Mandelbrot 也 宣稱, 他的一篇 1972 年發表於流體力學期 刊的論文, 才是多重碎形理論的起點。 對數 學者而言, 這也是值得作“數學研究”的主題。
此與 1970 年代, 數學者冷眼看待碎形有相當 地不同。 此乃因, 以數學者而言, 多重碎形 確是一個“新”領域; 不若碎形, 僅是 20 世紀 初期若干數學者的“圖形遊戲”(或云“病態特 例”), 而被 Mandelbrot 妙手闡示而已。 在 1998 年與 1999 年, 分別在德國格來瓦大學 與英國劍橋大學, 都有以數學者為主的碎形 理論與應用的大型會議。 此會議中, 確立了碎 形理論的五個研究方向, 概與多重碎形有關。
此五個方向分別是: 幾何測度與碎形、 迭代 函數系、 隨機碎形、 動力系與碎形、 相關於碎 形的微分方程。 我們不僅僅是認知碎形與估 計維度而已, 細部結構與相關研究才是主要
的關切。 K. Falconer (英國聖安德魯大學講 座教授, 劍橋大學 Corpus Christi 學院院 士) 的新著 (詳見參考資料 3), 其封面即是 一幅彩色的螺旋展開的多重碎形結構, 其中 包含兩個自相似但強度不同的子結構, 兩者 交織共構。 我們若讚嘆碎形的繁複之美, 則對 多重碎形結構, 我想最好的稱述語, 或許是:
燦爛的混沌。
