Heap/Flood Fill/Basic Graph

Heap/Flood Fill/Basic Graph

2021/03/20

Lecture By lawfung

目錄

• 合併Heap

• Heap黑魔法

• 建立Heap的時間複雜度

• 左偏樹

• 思考題

• Number of binary tree

Heap

Heap 小知識

世界上的Heap有很多種

• 影片中介紹的Binary heap

• Binomial heap

• Pairing heap

• Thin heap

• Fibonacci heap

• ……

Heap 小知識

• 為什麼會有這麼多種Heap?

• 有的常數比較小

• 有的可以O(1)插入

• 有的可以O(1)刪除

• 有的可以O(logN)合併??

• 有的可以O(1)合併??!!

• 有興趣請自行上網查詢資料

Heap 合併

Heap 合併

• Heap合併是什麼?

• 簡單來說就是把兩個Heap變成一個Heap

模擬情況

• 現在有N個Heap，有三種操作

• Push : 把一個元素放進其中一個Heap

• Pop : 從一個Heap中取出最小的元素

• Merge : 合併兩個Heap

• 假設總操作數最多Q次，其中Push最多N次

Heap 合併

• 先不管複雜度，來想個最天真的作法吧~

• Push和Pop就照一般的做法做

• 合併呢?

• 開一個新的Heap，把原先兩個Heap的元素一個一個的push進去

• 複雜度O(Q*NlogN)

Heap 合併

• 那我們換一種方式

• 把其中一個Heap的元素一個一個的push進另外一個Heap

• 複雜度?

• O(Q*NlogN)

• QQ

Heap 合併

• 那…如果我們把比較小的Heap慢慢加到另外一個Heap中呢?

• 複雜度?

• O(Q*NlogN)…?

• O(Nlog^2(N)+QlogN) ??!!

• 啟發式合併!

• 考慮對於每一個元素，它每次被併入一個新的集合，它所處集合的大 小至少是原來的兩倍。所以對每個元素至多進行logN次合併操作，總 複雜度N*logN*logN

示意圖

黑色 : 需要拿出再放入其他Heap

紅色 : 當今在的Heap被使用為合併後的Heap

魔法

• 幾個在C++中關於Heap的魔法

• STL

• std::priority_queue

• 黑魔法

• __gnu_pbds::priority_queue

std::priority_queue

• #include <queue>

• std::priority_queue<int> pque;

• priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > lque

__gnu_pbds::priority_queue

• #include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>

• __gnu_pbds::priority_queue<int> pque;

• priority_queue<int, greater<int> > lque

• h1.join(h2);

Building Heap

• 如果一開始就已經有所有元素了，要建造出一個Heap

• Insertion of Heap: O(logN)

• 所以Build a heap of N element: O(NlogN)

• 其實這個bound不夠緊，可以壓到O(N)

• https://www.geeksforgeeks.org/time-complexity-of-building-a-heap/

作法

• 從底層往上，將小的子Heap建好後，再將大Heap也完成。

• 接下來是要證明複雜度是O(N)

•

• 然後使用公式 at x=¹

2

示意圖

Height Count

3 1

2 2

1 3

0 8

Leftist Tree

為什麼要左偏樹

• 可合併堆

• 雖然其實黑魔法也可以

• 合併多快

• O(log(N)+log(M))

定義

• 外節點 :

• 二元樹中，如果X的左子樹是空的，

我們就視為X的左兒子接了一個外節點。

• 右子樹亦然

S-value

• 也叫做rank (秩)

• S(X) 定義為距離X最近的外節點的距離

• 重要性質 :

• 一棵樹至少有 𝟐^{𝒔(𝒓𝒐𝒐𝒕)} − 𝟏 個點

• 證明 :

• 至少有 1 個點的S-value是 s(root)

• 至少有 2 個點的S-value是 s(root)-1

• ……

左偏樹

1. 它是一顆二元樹 (堆的性質)

2. 每個節點的數值不大於其父親之值 (堆的性質)

3. 對於每個點，右子樹的S-value不大於左子樹的S-value

• 因此才叫做左偏

• 根據這個性質，左偏樹上的S-value，等於一直往右小孩走，走到外節 點的距離。

示意圖

右邊很短!

• 𝑛 ≥ 2^{𝑠 𝑟𝑜𝑜𝑡} − 1

• 𝑠 𝑟𝑜𝑜𝑡 ≤ log₂ 𝑛 + 1

• 也就是 O(log N)

• 左偏樹上的S-value，等於一直往右小孩走，走到外節點的距離。

• 所以右邊很短!

• 這讓我們想往右邊合併去

操作

1. 合併兩棵左偏樹 2. 插入

• 把新節點視為一棵樹，將兩棵樹合併

3. 刪除最小值

• 將根刪除，把左右子樹合併

合併

• 合併𝑇₁, 𝑇₂ 兩棵左偏樹 (假設𝑇₁的根較小)

1. 將 𝑇₁ 的根保持為新左偏樹的根，𝑇₁的右子樹和𝑇₂遞迴合併 2. 檢查𝑇₁是否還符合左偏樹性質

(右子樹的S-value不大於左子樹的S-value)，

若否，交換左右子樹

為什麼很快

• 令𝐾為需要合併的兩棵左偏樹的S-value和

• K 一開始是 O(log(N)+log(M))

• 每次遞迴下去一次，K就會減少1

• 所以複雜度是 O(log(N)+log(M))

練習題

• https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1429

• 可以用啟發式合併

• 可以用左偏樹

• 可以用黑魔法

• 本人實測

• 左偏樹最快

• 黑魔法次之

• 啟發式合併最慢

• 但是其實也沒差多少XD

Flood fill

淹水

• 模擬「淹水」的過程很麻煩，幾個方向就要寫幾個很大串的 if，

怎麼辦？

• 提示：有沒有發現所有的 if 其實都長得很像？

淹水

int dx[4] = [-1,0,0,1];

int dy[4] = [0,-1,1,0];

for(int i = 0 ; i < 4; i++)

if(check(x + dx[i], y + dy[i]))

queue.push(x + dx[i], y + dy[i]);

Graph

存圖

• 當我們需要動態加邊的時候，該怎麼做?

• 當我們需要刪邊的時候，該怎麼做?

• 還有很多有趣的存圖方式!

• 其實應該算是原本那兩種的變種

• 其實也沒有很有趣

存圖

• 相鄰串列

• 相鄰矩陣

• 二元搜尋樹

比較

• 相鄰矩陣

• 空間複雜度：O(V²)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(1)

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(V)

• 增加一條邊：O(1)

• 刪除一條邊：O(1)

• 相鄰串列

• 空間複雜度：O(V+E)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(deg)

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(deg)

• 增加一條邊：O(1)

• 刪除一條邊：O(deg)

比較

• 二元搜尋樹

• 空間複雜度：O(V+E)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(log(deg))

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(deg)

• 增加一條邊：O(log(deg))

• 刪除一條邊：O(log(deg))

• 通常會使用相鄰串列

• 點數很少時會使用相鄰矩陣

• 特殊需求時(?)會使用二元搜尋樹

用不太到的思考題

Alice and Bob

• 有一個遊戲，Alice跟Bob要有限度的心電感應。

• Alice跟Bob可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。

• 主持人會公開N，代表圖中有N個點。

• Alice會看到主持人的圖，Bob則看不到

Alice and Bob

• 有一個遊戲，Alice跟Bob要有限度的心電感應。

• Alice跟Bob可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。

• 主持人會公開N，代表圖中有N個點。

• Alice會看到主持人的圖，Bob則看不到

• ROUND 1:主持人給定一張圖，Alice可以傳一個𝑁²個字元的 0/1字串給Bob，而Bob必須要還原出主持人的圖

Alice and Bob

• 有一個遊戲，Alice跟Bob要有限度的心電感應。

• Alice跟Bob可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。

• 主持人會公開N，代表圖中有N個點。

• Alice會看到主持人的圖，Bob則看不到

• ROUND 2:主持人給定一棵樹，Alice可以傳一個𝑁𝑙𝑔𝑁個字元 的0/1字串給Bob，而Bob必須要還原出主持人的樹

Alice and Bob

• 有一個遊戲，Alice跟Bob要有限度的心電感應。

• Alice跟Bob可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。

• 主持人會公開N，代表圖中有N個點。

• Alice會看到主持人的圖，Bob則看不到

• ROUND 3:主持人給定一棵樹，Alice可以傳一個2𝑁個字元的 0/1字串給Bob，而Bob必須要還原出主持人的樹的長相

Number of binary tree

想想看

• 今天給你N個相異元素，要求你用這些元素做出一個Heap

• 這個Heap必須是binary tree

• 但是不必是complete binary tree

• 這是合法的

• 請問可以做出幾種Heap

• 答案是 𝑁! 為甚麼呢?

想想看

• 今天給你N個相異元素，要求你用這些元素做出一個BST (binary search tree)

• 請問可以做出幾種BST

• 卡塔蘭數

• 有興趣請自行上網搜尋