明誠中學 假日輔導數學講義 日期：2003/03/27

明誠中學 假日輔導數學講義 日期：2003/03/27

一. 單一選擇題

1、( C ) log 0.436= −0.3605，則log 0.00436=

(Ａ) -0.003605 (Ｂ) -1.3605 (Ｃ) -2.3605 (Ｄ) -2.6395 (Ｅ) -3.3605 解

解析析：： log 0.436= −0.3605，∴，∴log 0.00436= −2.3605 2、( A ) log 851.1=2.930，則logx= −1.07，則x=

(Ａ) 0.08511 (Ｂ) 0.8511 (Ｃ) 8.511 (Ｄ) 847.1 (Ｅ) 條件不足 解解析析：： log 851.1=2.930 ∴∴log 8.511=0.930

∴

∴log 0.08511= − +2 0.930= −1.07 ∴∴x=0.08511

3、( A ) 假設 400 ( )³ 4

n

gn = ⋅ ，n 是自然數，則g_n <10⁻³時，n 最少是 (Ａ) 45 (Ｂ) 46 (Ｃ) 47 (Ｄ) 48 (Ｅ) 49

解解析析：： 400 ( )³ 10 ³ 4

n −

⋅ < ∴∴( )⁴ 4 10⁵ 3

n > × , , (log 4 log 3) 2 log 2 5

n − > + 5.6020

44.8...

0.1249 n> =

4、( E ) ，則下列何者為真

(Ａ)

logx= −1.2345

log x的首數為-1 (Ｂ) log x的尾數為 0.2345 (Ｃ) 小數 x 從小數點向右第 1 位出現非 0 之數字

(Ｄ) 小數 x 從小數點向右第一個出現非 0 之數字為 1 (Ｅ) ^{1 1} 100 < <x 10 解解析析：：

∴∴首首數數為為--22，，尾尾數數為為0.0.77665555，，小小數數點點後後第第二二位位出出現現非非00之之數數字字k k

∵∵l ,, ∴∴

logx= −1.2345= − +2 0.7655

og 5=0.6990 log 6=0.7781 k =5

∵∵− <2 logx< −1 ∴∴ 1 1 100< <x 10

5、( D ) N，若lo 的首數為 7，則此種正整數 n 共有 (Ａ) 1 (Ｂ) 7 (Ｃ) (Ｄ) (Ｅ)

n∈ g n

9 10× 6 9 10× ⁷ 9 10× ⁸ 解解析析：： log n首數首數為為7 7 ∴n∴n之位之位數數為為88位數位數共共9 10× ⁷個 個

6、( C ) n∈N，若 1

logn的首數為 ，則此種正整數 n 共有 (Ａ) 1 (Ｂ) k (Ｃ) (Ｄ) (Ｅ)

−k

9 10× ^k−1 9 10× ^k 9 10× ^k+1 解解析析：： log¹

n之首之首數數為為−k ∴∴ 1

log 1

k k

− ≤ n< − + , ,

log 1

k ≥ n> −k 10^k ≥ >n 10^k−1，，共共10^k−10^k−1= ×9 10^k−1 二. 填充題

1、設n∈N， (n+1)ⁿ為 8 位數，則n=______。

答答案案：：88

解解析析：： 7 l ∴∴

∵

∵n N N ∴∴7 l (不(不合合)),, og(n 1)ⁿ 8

≤ + < 7≤nlog(n+1)<8

∈ × og 8<7 8 log 9× =7.6336,,9 log10× =9 (不(不合合)) ∴∴n=8

2、已知log 4.37=0.6405, log 4.38=0.6415，若logx= −2.3588，則x之值為______。

答答案案：：4.377 10× ⁻³ 解

解析析：：l

已已內內插插法法

og 4.370=0.6405 log 0.6412 log 4.380 0.6415

x=

=

7 7

10 10

x = ∴ =x

logx= − +3 0.6412= − +3 log 4.377=log 4.377 10× ⁻3，，∴ =x 4.377 10× ⁻³

3、設n∈N，n>2，則比較 (2n)ⁿ與n²ⁿ之大小，則較大者為______。

答答案案：：n²ⁿ

解解析析：：n>2,, ² ( ) 1

(2 ) 2 2

n n n

n

n n n

n n n n

n n

= ⋅ =

⋅ >

0

, , ∴∴n²ⁿ >(2 )n ⁿ ∴∴n²ⁿ較大較大

4、設1< <x 1 且log 2x的尾數為log x之尾數的 3 倍，則x=______。

答

答案案：： 2或 20或

解解析析：：∵∵1< < 0x 1 ∴∴0<logx<1

log 2x−3logx∈Z,Z, logx+log 2 3 log− x∈

− =

ZZ

∴∴lo 或或lo ∴∴

log 2 2− <log 2 2 log− x<log 2⇒ −1.699<log 2−2 logx<0.3010 g 2 2 log− x= 1 g 2−2 logx 0 x= 2或 20或 5、若11⁴⁰為 42 位數，且13⁶⁰為 67 位數，則143¹⁰為______位數。

答答案案：：2222

解解析析：：41 , , , , 40 log11 42

≤ < 10.25 10 log11 10.5≤ <

66≤60 log13<67 11 10 log13 11.16≤ <

21.25 10 log143≤ <21.6 ∴∴143¹⁰為為2222位數位數

6、若10^0.8887 =7.74, 10^3.8882=7730，則10^−2.1117 =______，又10^x =77.34，則x=______。

答答案案：：00..000077773366,, 11..88888844 解

解析析：：l

設設l ，，l 以以內內插插法法⇒

og 7.74=0.8887 log 7.73=0.8882

og 7.734=a ogb=0.8883 0.8884

a= b=7.736

2.1117= −

log10⁻ 2.1117= − +3 0.8883= − +3 log 7.736 =log 0.007736 ⇒10^−2.1117=00..000077773366 10^x =77.34⇒ = log 77.34 1.8884x = ∴∴10^1.8884 =77.34，∴，∴x=1.8884

7、設a b, ∈N，且500< <a 1000, 100< <b 1000，若log a之尾數為log b尾數的三倍，則a=______, ______。

b=

答答案案：：880000,, 220000

解解析析：：∵∵loga−3logb∈Z，，又又2<logb<3 ∴∴令令logb= +2 α loga= +2 3α

∴∴log 3log 4 log a₃ log10 ⁴

a b

b

− = − ⇒ = − ∴∴10⁴⋅ =a b³ ∴設∴設a=k³×10²，，其其中中k∈N

3 2

500<k ×10 <1000 ∴∴k=2，，a=800,, b=200

8、若

10 30

(5

7 ) 以小數表示時，小數點後第 m 位開始出現不為 0 的數字 a，則m=_____ , a=_____。

答

答案案：：1199,, 44 解

解析析：：

10 30

log(5 ) 18.363 19 0.637

7 = − = − + ，∴，∴m=19, , log 4=0.6020<0.637<0.6990=log 5

10 30

(5 ) 4.

7 = "∴∴a=4

9、2⁵⁰ +3²⁵為______位數的正整數。

答

答案案：：1166

解解析析：：log 2⁵⁰ =15.05, , log 3²⁵ =11.9275∴∴3²⁵為為1212位數位數，，2⁵⁰為為1616位位數數，，∴∴2⁵⁰ +3²⁵亦為亦為1616位數位數 10、一存款按年利率 20%複利計算，每年為一期，則至少要______年(取整數年數)，其本利和

才會超過本金的 3 倍。

答答案案：：77

解解析析：：本本金金為為P,P, P(1 20%)+ ⁿ >3P ∴∴nlog1.2>log 3，∴，∴n>6.03...，至，至少少要要77年 年

11、log x 之尾數與² log¹

x之尾數和為⁵

4 ，則 log x 之尾數為______。 答案答案：：1

4

解析解析：：設設 log x= +n α ∴∴ 1

log logx (n ) (n 1) (1 )

x = − = − +α = − + + −α ，，logx² =2n+2α 又尾數和為又 5

4 log1

x尾數尾數 log x 尾數²

α =0 0 0 0 0 (不(不合合)) 0 1

α 2

< < 1−α 2α 5

1 2

α α 4

− + = ∴∴ 1

α = 4

1 1

2≤ <α 1−α 2α−1 5

1 2 1

α α 4

− + − = ∴∴ 5

α = 4(不(不合合))

∴∴log x之尾之尾數數為為¹ 4

12、(1)log1.125=______。(2)設S = +1 (1.125) (1.125)+ ²+ +" (1.125)¹⁰，則log(S+8)=______。

答案答案：：((11)) 00..00551122 (2(2)) 11..44666622 解析解析：：((11))log1.125= 9

log 2 log 3 3log 2 0.0512

8= − = (2(2))

11

(1.125) 1 11

8 (1.125) 8 1.125 1

S = − = × −

− log(S+8)= log[8 (1.125) ]× ¹¹ =log 8 11 0.0512 1.4662+ × =

13、設7⁵⁰為 位數之整數，其個位數字為 ，最高位數字為 ，則n k a a=______ , ______ , ______。

k= n=

答案答案：：11,, 99,, 4433

解析解析：：log 7⁵⁰ =50 0.8451× =42.255，，∵∵log1<0.255<log 2 ∴∴a=1,, 4433

∵

∵

, ,

∴ k∴ 9 9

n=

1 2 3 4

5 6 7 8

2

7 7; 7 9; 7 3; 7 1 7 7; 7 9; 7 3; 7

50 4 12 2 7 9

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

÷ = ⇒ ⇒

""""""""""""

""

1

=

三. 計算與證明題 1、

1 2

(28.44) 0.5828 3

[ 345.6

N = ] ，求 N 之值？

答案答案：： log ¹(2 log 28.44 ¹log 0.5828 log 345.6)

3 2

N = + −

1 1

[2(1 0.4539) ( 1 0.7655) (2 05386)]

3 2

= + + − + − +

(2.9078 0.11725 2.5386)1

=3 − − =0.0840

故故N ≒≒11..22113333。。

2、志明參加郵局零存整付之儲蓄存款，每月月初須付 10000 元，若依年利率 6%複利計算，每 月為 1 期，存滿 2 年後，本利和共有多少元？

, ;l

log1.005=0.0021 log1.06=0.253 og1.12=0.0492, log1.13=0.0532 答答案案：：10000 (1 ⁵ )²⁴ 10000 (1 ⁵ )²³ 10000 (1 )¹

1000 1000 1000

× + + × + + +" × + 5

24

10000 1.005 [(1.005) 1] 24

2010000 [(1.005) 1]

1.005 1

× × −

= = ×

− −

，由，由內內插插法法 ∴∴

∴∴

(

( )

log 1.005 =24 log(1.005)× =0.0504

log1.12 0.0492 log 0.0504 log1.13 0.0532

k

⎛ = ⎞

⎜ = ⎟

⎜ ⎟

⎜ = ⎟

⎝ ⎠

1.123

⇒ =k

)

1.005

4、(1)log(2.16)=？(2)設n∈N，若(2.16)ⁿ的整數部分為 3 位數，則合於條件之所有 之和為何？ n 答答案案：：((11))log 2.16 log²¹⁶ 3(log 2 log 3) 2 0.3343

= 100 = + − =

(

(22)) 2 3

2 log 2.16 3

log 2.16 log 2.16

n n

≤ < ⇒ ≤ < , , 5.9≤ <n 8.9，，⇒ =n 66,, 77,, 88 ⇒ + + =6 7 8 21

5、設10< <x 100且log x 的尾數為² log¹

x的尾數的 3 倍，則x=？ 答答案案：：10< <x 100, , logx= +1 α, , 0< <α 1

logx2 =2 logx= +2 2α, , log¹ 1 x = − −α

若

若0 ¹

α 2

< < ，，則則2α =3(1−α), , ∴∴ ³

α =5 (不(不合合)) 若若¹ 1

2≤ <α ，則，則2α− =1 3(1−α),, ∴∴ ⁴ α = 5，，∴∴

9

105

x=

6、設 ^{3 4.21 0.013}

a= 71.9× ，又知log 4.21=0.6243, log1.3=0.1139, log 7.19=0.8567，則log a=？ 又利用下表求a=？

常用對數表

表 尾 差 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14

0000 0414 0792 1139 1461

0043 0453 0828 1173 1492

0086 0492 0864 1206 1523

0128 0531 0899 1239 1553

0170 0569 0934 1271 1584

0212 0607 0969 1303 1614

0253 0645 1004 1335 1644

0294 0682 1038 1367 1673

0334 0719 1072 1399 1703

0374 0755 1106 1430 1732

4 4 3 3 3

8 8 7 6 6

12 11 10 10 9

17 15 14 13 12

21 19 17 16 15

25 23 21 19 18

29 26 24 23 21

33 30 28 26 24

37 34 31 29 27

… …. …. …. …. …. …. …. ….. …. …. … … … … .. … ..

90 91 92 93 94

9542 9590 9638 9685 9731

9547 9595 9643 9689 9736

9552 9600 9647 9694 9741

9557 9605 9652 9699 9745

9562 9609 9657 9703 9750

9566 9614 9661 9708 9754

9571 9619 9666 9713 9759

9576 9624 9671 9717 9763

9581 9628 9675 9722 9768

9586 9633 9680 9727 9773

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 95

96 97 98 99

9777 9823 9868 9912 9956

9782 9827 9872 9917 9961

9786 9832 9877 9921 9965

9791 9836 9881 9926 9969

9795 9841 9886 9930 9974

9800 9845 9890 9934 9978

9805 9850 9894 9939 9983

9809 9854 9899 9943 9987

9814 9859 9903 9948 9991

9818 9863 9908 9952 9996

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 3

4 4 4 4 4 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

答

答案案：：log ¹[0.6243 0.1139 2 1 0.8567] 1.0395 2 0.9605

a=3 + − − − = − = − +

loga= − +2 log 9.13⇒ =a 0.00913