高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.10.07 範

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.10.07 範

圍 2-1 多項式 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 設二次函數 y = 2x² + 2x − 1 之圖形為 Γ﹐若將圖形 Γ 沿坐標軸向右平移 3 個單位﹐再向下平移 2 個單位﹐則所得新圖形的函數為 y =____________﹒

解答 2x² − 10x + 9

解析 圖形右移 3 單位﹐下移 2 單位

則原式 ⇒ y + 2 = 2 (x − 3)² + 2(x − 3) − 1 ⇒ y + 2 = 2(x² − 6x + 9) + 2x − 6 − 1 得 y = 2x² − 10x + 9

2. 若二次函數 y = 2x² − x + 4﹐當− 4 ≤ x ≤ 0 時﹐y 之最大值為 M﹐最小值為 m﹐

則 M + m 之值為____________﹒

解答 44 解析

y = 2x² − x + 4 = 2(x² −

2 1

x) + 4

= 2(x −

4

1

) ² + 4 − 2．

16 1

= 2(x −

4 1

) ² +

8

31 ，

頂點為(

4 1

﹐

8 31

)

⇒ 由圖知﹐當 x = 0 時﹐有最小值 m = 4；當 x = − 4 時﹐有最大值 M 而 M = 2(− 4)² − (− 4) + 4 = 2．16 + 4 + 4 = 40 ∴ M + m = 44

3. 設 k 為實數﹐若二次函數 f (x) = x² − 4x + (k + 1)﹐在 0 ≤ x ≤ 3 時﹐有最大值 2003﹐求 k 之值為 ____________﹒

解答 2002

解析 f (x) = x² − 4x + (k + 1)（0 ≤ x ≤ 3）= (x − 2)² + (k − 3) 當 x = 0 時﹐有最大值 k + 1 = 2003 ⇒ k = 2002 4. 拋物線 y = ax² + bx + c，若 a < 0，b > 0，c < 0，則

(1)頂點在第____________象限內。 (2)拋物線必不通過第____________象限。

解答 (1)一或四;(2)二 解析 y = ax² + bx + c = a (x +

a b 2

⁾

2 −

a

ac b

4

2

− 4

，頂點(−

a b

2

^，−

a ac b

4

2

− 4

)

∵ a < 0，b > 0 ∴ −

a b

2

> 0 ⇒ 頂點在 y 軸右邊 a < 0 ⇒ 開口向下，c < 0 ⇒ 與 y 軸交點在 x 軸下方

但 b² − 4ac 正負不定，故頂點在一或四象限內，拋物線不過第二象限

5. 已知二次函數 y = f (x) = ax² + bx + c﹐圖形以(2﹐3)為頂點﹐又通過點(3﹐1)﹐則數對(a﹐b﹐c)

=____________﹒

解答 (− 2﹐8﹐− 5)

解析 y = f (x) = ax² + bx + c

令 f (x) = a (x − 2)² + 3 ……c﹐(3﹐1)代入c ⇒ a = − 2

∴ f (x) = − 2(x − 2)² + 3 = − 2x² + 8x − 5 比較係數 即數對(a﹐b﹐c) = (− 2﹐8﹐− 5)

6. 設一拋物線 y = x² + ax + b﹐其中 a﹐b 皆為實數﹐若通過(3﹐2)且頂點在直線 L：x − y − 1 = 0 上﹐

求數對(a﹐b) =__________________﹒（有兩組解）

解答 (− 4﹐5)﹐(− 6﹐11)

解析 (3﹐2)代入 y = x² + ax + b ⇒ b = − 3a − 7 ……c 則 y = x² + ax + b = x² + ax + (− 3a − 7) = (x +

2

a

)² − 3a − 7 −

4 a

2

頂點(

2

− a

﹐− 3a − 7 −

4 a

2

)代入 x − y − 1 = 0 ⇒ a² + 10a + 24 = 0 即(a + 4)(a + 6) = 0﹐a = − 4 或− 6 代入c得 b = 5 或 11 ，

∴ (a﹐b) = (− 4﹐5)或(− 6﹐11) 7. 設 f (x) = 2345x + 56789﹐則

3210 4321

) 3210 ( ) 4321 (

−

− f

f

之值為____________﹒

解答 2345

解析 線型函數

y = ax b +

，其中

a

為斜率

∵ f (x)圖形為一直線﹐通過點 A(

4321

﹐f (

4321

))﹐B(

3210

﹐f (

3210

))

∴ 其斜率為

3210 4321

) 3210 ( ) 4321 (

−

− f

f

= 2345

8. x ∈ R﹐則 f (x) = (x² + 2x + 5) ² + 2(x² + 2x + 5) + 7 的最小值為____________﹒

解答 31

解析 設 k = x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 ≥ 4 f (x) = k² + 2k + 7 = (k + 1)² + 6

∵ k ≥ 4 ∴ k + 1 ≥ 5 ⇒ (k + 1)² ≥ 25 ⇒ (k + 1)² + 6 ≥ 31，即 f (x) ≥ 31

∴ f (x)之最小值為 31

9. 二次函數y=ax²+bx在x= 時有最大值2 1

− ﹐求序對 ( , )a a b = ____________﹒

解答 1 ( , 2)

−2

解析 ∵在x= 有最大值2 1

−a

，

∴設 ² 1

( ) ( 2) f x a x

= − − 且a a< 0

展開

⇒ ² 1

( )= −4 +(4 − )

f x ax ax a

a

，比較係數

⇒ ²

4

4 1 0 4 1 0

b a

a a a

⎧ = −

⎪ ⇒ − =

⎨ − =

⎪⎩ ∴ (2a+1)(2a− = 1) 0

∴ 1

a= − 或2 1

2（不合） ∴ 1

4 ( 4) ( ) 2

b= − a= − × −2 =

，

故序對 1 ( , ) ( , 2)

a b = −2 10.若二次函數 f x( )=ax²+bx+ 圖形過 ( 2, 11)c A − ﹐ ( 1, 1)B − ﹐ (2,C − 三點﹐求 5) (1) ( )f x = ____________﹒ (2)頂點為____________﹒ (3)對稱軸為____________﹒

解答 (1)2x²−4x− ;(2) (1,5 − ;(3)7) x= 1

解析 (1)∵y=ax²+bx+ 圖形過 ( 2, 11)c A− ﹐ ( 1, 1)B − ﹐ (2,C − 5)

∴

4 2 11

1

4 2 5

a b c a b c

a b c

− + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ + + = −

⎩

""

""

""

1 2

3

3 10

3 3 6

a b a b

− ⇒ − =

− ⇒ + = − 1 2

3 2 ⇒ 2

4

⎧ =

⎨ = −

⎩ a

b ⇒ c= − ， ∴5 f x( )=2x²−4x− 5 (2) f x( )=2x²−4x− =5 2(x−1)²− ∴頂點 (1,7 − 7)

(3)對稱軸x= 1

11.對任意實數 x ﹐ f x( )= −2x²+3x− 函數值恆為負數﹐求實數 k 的範圍為____________﹒ k 解答 9

k> 8

解析 函數恆負 ⇒ ₂

2 0

3 4 ( 2)( ) 0 9 8 0 9

D k k k 8

− <

⎧⎪

⎨ = − × − − < ⇒ − < ⇒ >

⎪⎩

領導係數 （顯然成立）

12. f x( )= −2x²+3x− （ k 為實數）﹐若 ( ) 0k f x ≥ 無解﹐求 k 的範圍為____________﹒

解答 9 k> 8

解析 ( ) 0f x ≥ 無解 ⇒ 沒有 x 會使得 ( ) 0f x ≥ ⇒ 所有 x 會使得 ( ) 0f x <

⇒ ( ) 0f x < 恆成立

⇒ D=3²− × − × − < 4 ( 2) ( k) 0 ⇒ 9

k> 8

13.設 (g x+6)= f x( )且 ²

2 3 1

( ) 5 1 9

2 1 9

x x

f x x x x

x x

⎧ − <

=⎪⎪⎨ + − ≤ <

⎪− + ≥

⎪⎩

，

，

，

﹐則 ( (2))g f = ____________﹒

解答 13

解析

f (2) = 2

²

+ − = 2 5 1

( (2)) (1) ( 5 6) ( 5) 2 ( 5) 3 13 g f =g = − +g = f − = × − − = 14.(1)y=ax²+bx在x= 時﹐有最小值1 1

− ﹐則 ( , )a a b = ____________﹒

(2)將此二次函數向上平移 3 單位﹐向左平移 2 單位﹐所得新方程式為____________﹒

解答 (1) (1, − ;(2)2) y=(x+1)²+ 2 解析 (1) ² 1

( 1) y a x

= − − 且a a> 0

⇒ ² 1

2 y ax ax a

= − + − a ⇒

2 1 0

b a

a a

⎧ = −

⎪⎨ − =

⎪⎩ ⇒a= ± （負不合） ⇒ 1 a= ⇒ 1 b= − 2

15.設 1− ≤x 則 (1) ( ,a M) 解答

解析

16.某次考試 30 分調高 原本 42 分 解答 解析

17.在一棟建 於牆壁的平 尺處落到地

解答 解析

18.已知拋物

∴ ( ,a b (2)y=(x−

3

x≤ ﹐ ( )f x

)= ________

(1) ( 1, 8)− ;(

( ) 2

f x =x −

x −

( ) f x 8

圖形如右

(1)當 x= − (2)當 5

x=2 試分數普遍不 高成 60 分﹐原 分調整後成為

(1)4

3x+20; (1)設此線型

f(60)=

(2) (42)f = 建築物裡﹐從

平面上﹐畫 地面﹐則水

5 3

建立坐標系 設 y = a(x

∴ 5 = a

x = 1 代入

物線 y = ax²

) (1, 2) b = −

1)2 1

− − 平移

2 5 2

x x

= − +

_____﹒(2) ( (2) 5 17

( ,2 − 4

5x+ =2 (x−

1 3

− 4

右：

− ﹐ ( )1 f x 有 5

2時﹐ ( )f x 有 不理想﹐但因 原本最高 60 為_________

;(2)76 型函數 ( )f x

=100 ⇒ a 4 42 20

= ×3 + 從 5 公尺高

出一條拋物 水柱之最高點

系如圖 ⇒

− 3)(x + 1)﹐

( − 3)(1)

入 ∴ y = −

+ bx + c 的圖

移 ( 2, 3)−

，

得 2 的最大值 M

( ,b m)= ___

)

5 2 17 2) 4

− −

有最大值 8﹐

有最小值− 因為大家平 0 分調高為 1 __分﹒

ax b

= + 由題 4

a= ﹐3 b=2 0=76

的窗口﹐用 物線如下圖；

點高度比發射

交 x 軸於(3 a < 0﹐又過

∴ a = −5 3

−5

3× ( − 2) ×

圖形經水平左

得

y − = 3 ( x

M ﹐此時 x

__________

故 ( ,a M)= 17

4 ﹐故 ( ,b 常都很努力 100 分﹐求

題意知 (30f 20 ∴ f x( )

用水管斜著向 其頂點距離 射點高度高出

3﹐0)﹐( − 1 過(0﹐5)

⇒ y = −5 3

× 2 =20 3 ⇒ 可

左移 2 單位

2 )

2

1 x + − − ⇒

值為 a ﹐ (f

﹒

( 1, 8)

= − ) ( ,5 m = 2 − 力﹐許老師想

(1)此線型函

)=60 ) 4 20

3x

= +

向外噴水﹐噴 離牆 1 公尺﹐

出__________

﹐0)

5

3(x − 3)(x + 可求 =20

3 −

﹐鉛直上移

⇒

y=(x+ ( )x 的最小值

17) 4

想用一個線型 函數 ( )f x = _

噴出的水在垂 並在離牆 3 ___公尺﹒

1)

5 =5 3（公尺

5 單位後的 1)2+ 2 值 m ﹐此時 x

型函數﹐將原 __________

垂直 3 公

尺）

的頂點為( − 1

x 值為b ﹐

原本最低 __﹒ (2)

﹐6)﹐且

過點(5﹐2 解答 解析

19.設x﹐y 解答 解析

20.某電影院 則每張票價 解答 解析

21.一果園中 樹﹐則每棵 解答 解析

22.矩型AB AB ﹐ BC 形 EFGH 解答 解析

2)﹐則 2b + 4

3

利用反向思 即 (1﹐1) 同理：(5﹐

即(7﹐− 3 設 y = a(x

∴ − 3 =

∴ b =2 9 為實數﹐2x 5

∵ 2x − y =

⇒ x² + y

∴ 當 x = 院每張票價為

價訂為____

85

設票價減 x 則 y = (12

∴ 當 x = 中每單位面積 棵平均收穫量

31

設每單位面

⇒ y = (2

∵ x∈N BCD 如下圖 C ﹐ CD ﹐ DA

之最小面積 47

48 設 AE= x

∴ BF=

∴ EB=

⇒ 四邊形

= 1 × 2 −1 2

c 之值為___

思考 ⇒( − 1 )為y = ax² +

﹐2)經水平右 )在y = ax² +

− 1)² + 1﹐將

= a × 36 + 1

﹐c =8 9 ⇒ x − y = 5﹐則

= 5 ∴ y² = x² + (2x

= 2 時﹐x² + 為 120 元﹐每 _________元

元﹐可得收 0 − x)(500 +

= 35 時﹐y = 積種橘子樹 量少 12 個﹐

面積加種 x 棵 25 + x)(450 − ∴ x =

﹐AB= ﹐1 A 上移動且 積為________

∵ AE:

=2x﹐ CG= 1 x

= − ﹐ CF 形 EFGH 面 1

2× x × (2 − 4

__________

1﹐6)經水平 + bx + c 頂點 右移 2 單位﹐

+ bx + c 上 將(7﹐− 3)代

， a = −1 9⇒

⇒ 2b + c = 則 x² + y²的最

y = 2x − 5

− 5)² = 5x² − + y²有最小值

每場觀眾平均 元時﹐每場電

收入 y 元為最 + 10x) = − 10

= 72250 為最 25 棵﹐每棵 則每單位面

棵﹐總產量為

− 12x) = − 12

= 6 時﹐y 有最 2 BC= ﹐若

: : AE BF CG _____﹒

: : BF CG DH

=3x﹐ DH = 2 2x

= − ﹐ D 面積= 矩形 A

4x) −1 2(1 − x

﹒

平右移 2 單位 點

﹐鉛直下移

代入

⇒ y = −1 9(

=4 8 4 9+ =9 3 最小值為____

− 20x + 25 = 值為 5

均 500 人﹐

電影票價收入

最多

0x² + 700x + 最大值﹐故每 棵平均可收穫 面積應種植__

為 y 個橘子 2(x −25

4 )² + 最大值 31 × 若動點 E﹐F

: 1: 2 G DH =

1: 2 : 3 : 4 H =

=4x

1 3 DG= − x﹐ ABCD − △AE

x)(2x) −1 2×

位﹐鉛直下移

5 單位後在

(x − 1)² + 1 =

_________

5(x − 2)² + 5

若票價每減 入為最多﹒

60000 = − 10 每張票價應訂

穫橘子 450 個 ___________

+46875 4

× 378 = 1171

﹐G﹐H 分別 2 : 3 : 4 ﹐則四

4

﹐AH = −2 4 EH − △BEF (2 − 2x) × 3x

移 5 單位後在

y = ax² + bx

= −1 9x² +2

9x

﹒

5

減 5 元﹐每場

0(x − 35) ² + 訂為 85 元

個﹐若每單位 _棵橘子樹時

8（個）⇒

別在 四邊

4x

F − △CFG − x −1

2× (1 −

在 y = ax² + b

x + c 上﹐

x +8 9

場觀眾就增加

72250

位面積加種 時﹐可得最大

所求= 25 +

− △DGH 3x)(4x)

bx + c 上﹐

加 50 人﹐

1 棵橘子 大收穫量﹒

+ 6 = 31

= 12x² − 7x + 2 = 12(x − 7

24)² +47 48

∴ 當 x = 7

24時﹐有最小面積47 48

23.若雪山隧道入口的建造為一拋物線圖形﹐地面 AB 寬為 12 公尺﹐隧道正中央高 度為 18 公尺﹐試問地面上距洞口 A 點 4 公尺處的高度為____________公尺﹒

解答 16

解析 建立坐標系如圖﹐A ( − 6﹐0)﹐B (6﹐0)﹐C (0﹐18) 設 y = f (x) = ax² + 18﹐a < 0

過(6﹐0) ∴ 0 = a × 36 + 18 ∴ a = −1

2⇒ y = −1

2x² + 18 又距 A 點 4 公尺處的點 H ( − 2﹐0)

x = − 2 代入 ∴ y = −1

2× 4 + 18 = 16，即所求高度為 16 公尺 24.一農夫想用 70 公尺長之竹籬圍成一底角為 60°的等腰梯形菜圃﹐並在其中上

底正中央留著寬 2 公尺的出入口﹐如圖所示﹒問此農夫所能圍成的最大面積 為____________平方公尺﹒

解答 162 3

解析 令 BG CH= = （∵ ABCD 為等腰梯形） x

⇒ AG=DH= 3x﹐AB=CD=2x（∵ ∠ABG=60° ）

⇒ 1

GH = [(70 + 2) − 2(x + 2x)] = 36 − 3x 2

∴ BC= (36 − 3x) + 2x = 36 − x

∴ 梯形面積=1

2[(36 − 3x) + (36 − x)] × 3x = 3 (36 − 2x) × x = 3 ( − 2x² + 36x) = − 2 3 [(x − 9)² − 81]

⇒ 當 x = 9 時有最大面積= ( − 2 3 )( − 81) = 162 3

25.假設 f (x) = − x² + ax + b 的最大值為 9﹐且其圖形與 x 軸交於 A﹐B 二點﹐且頂點為 C﹐則△ABC 的面積為____________﹒

解答 27

解析 f (x) = − x² + ax + b = − (x − 2

a)² + ² a + b 4

∵ 最大值為 9 ∴

2

a + b = 4 9 ∴ a² + 4b = 36 又頂點 C (

2 a﹐

2

4

a + ) = (b 2 a﹐9)

26.一農夫想 寬 2 公尺的 平方公尺 解答 解析

27.設a 為實 (1)當 a= _ 解答 解析

設 A (

α﹐

0

⇒ AB =

∴ △AB

想用 66 公尺 的出入口﹐如

﹒ 289

如下圖﹐設 入口 2 公尺 則

2 x + 2 y

由

2 < < y

長方形面積 當

x = 17

時

實數﹐若 ,

α

___________

(1)3;(2)2 因α ﹐

β

為

又判別式為 所以 |

α β

− 故當a=3

0)﹐B (

β﹐

0)

= |

α

−

β

| =

BC 面積 =1 2

尺長之竹籬圍 如下圖示﹒此

設長方形兩邊 尺）

2 66 y − =

^﹐

34

得

0 < x

積

= xy = x (

時﹐長方形面

β

為二次方 __時﹐(2) |

為x²+(a−1)x 為(a−1)²−

|2 (

β

=

α β

−

時﹐ |

α β

−

) ⇒

α

﹐

β

(

α β

− )2 =

× 6 × 9 = 27

圍成一長方形 此農夫所能圍

邊長 x 公尺﹐

即

y = 34 −

< 32

34 − = − x ) (

面積等於 28

方程式x²+(a

α β

− |有最

( 3) x+ a− = 4(a− =3) a2

2 2

) ( )

β

=

α β

+

β

|有最小值為

β

表 − x² + (

α β

+ )2−

7

形菜圃﹐並在 圍成的最大面

另兩邊長 y

x

2 34 )

( x

− x

= −

89（平方公尺

1) ( a− x+ −a

小值為____

0 兩根﹐所以

2−6a+13=

2−4

αβ

= −[ ( 為 4= ﹒2

ax + b = 0 之 4

αβ

= a2+

在其中一邊正 面積為_____

y 公尺（含下

( x 17)

2

− − +

尺）最大

3) 0

− = 的兩個 _________﹒

以 a

α β αβ

+ = −

⎧⎨ = −

⎩

(a−3)2+ >4 (a−1)]2−4(

之二根 ∴ 4b 36

+ = =

正中央留著 ______

下方出

+ 289

個根﹐則

( 1) 3

− −a

− ﹐

> ﹐故0

α

﹐ 3) ( a− = a−

α

+

β

= a﹐

= 6

β

為實根﹐

3)2+ ﹐ 4

αβ

= − b