高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.09.15 範

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.09.15 範

圍 1-1 實數 班級 姓

座號 名 一、單選題 ( 每題 5 分 )

（ ）1.設 a﹐b﹐c﹐d ∈ R﹐若 a < b﹐c < d﹐則下列敘述何者正確﹖

(1) a − c < b − d (2) ac < bd (3) bd < ac (4) ad < bc (5) a + c < b + d 解答 5

解析 (1)若 a = − 1﹐b = 0﹐c = − 3﹐d = − 2﹐則 a < b﹐c < d

a − c = − 1 − ( − 3) = 2﹐b − d = 0 − ( − 2) = 2 ∴ a − c < b − d 不成立 (2)同(1)﹐ac = ( − 1)．( − 3) = 3﹐bd = 0．( − 2) = 0 ∴ ac < bd 不成立 (3)若 a = − 1﹐b = 0﹐c = 1﹐d = 2﹐則 a < b﹐c < d

bd = 0．2 = 0﹐ac = ( − 1)．1 = − 1 ∴ bd < ac 不成立

(4)同(1)﹐ad = ( − 1)．( − 2) = 2﹐bc = 0．( − 3) = 0 ∴ ad < bc 不成立 (5)若 a < b﹐c < d﹐則 a + c < b + d 恆成立

（ ）2.設 a﹐b﹐c﹐d ∈ R﹐則下列敘述何者正確﹖

(1)若a

b>1﹐則 a > b (2)若 a > b﹐ab ≠ 0﹐則1 a<1

b (3)若 a > b﹐c > d﹐則 a − c > b − d (4)若 a > b﹐c > d﹐則 ac > bd (5)若 a < x < b﹐c < y < d﹐則 a − d < x − y < b − c

解答 5

解析 (1)當 b < 0 時﹐由a

b> 1 ⇒ a < b (2)c當 ab > 0 時﹐a > b ⇔ a( 1

ab) > b( 1

ab) ⇔ 1 b>1

a ⇔ 1

a<1 b

d當 ab < 0 時﹐a > b ⇔ a( 1

ab) < b( 1

ab) ⇔ 1 b<1

a ⇔ 1

a>1 b (3)不一定﹐例：若 a = 3﹐b = 2﹐c = − 1﹐d = − 3﹐則 a − c = 4 < b − d = 5 (4)不一定﹐例：若 a > 0﹐b < 0 且 c < 0﹐d < 0﹐則 ac < 0﹐bd > 0 ∴ ac < bd (5)由 c < y < d ⇒ − c > − y > − d﹐而 b > x > a ∴ b − c > x − y > a − d

（ ）3.若 11− 72的整數部分為 a﹐小數部分為 b﹐則 1 a+b+ 1

5 b− 的值為 (1)6

7 (2)4

3 (3)1

2 (4) 2 (5) 3 解答 1

解析 11− 72= 11 2 18− = (3− 2 )² = 3 − 2

= 1. ~

a = 1﹐一個數減去整數部分就是小數部分

⇒

a+b+ 1

5 b− = 1

3− 2+ 1

3+ 2=(3 2) (3 2) (3 2)(3 2)

+ + −

+ − =6

7

（ ）4.下列何者為真﹖

(1)無理數與無理數之和必為無理數 (2)無理數與無理數之積必為無理數 (3)有理數與無理數之積必為無理數 (4)有理數與無理數之和必為無理數 (5)以上皆非

解答 4

解析 (1)╳；例： 2+ −( 2)= ∈Q 0 (2)╳；例： 2× 2= ∈ Q 2 (3)╳；例： 0× 2= ∈Q 0 (4)○

（ ）5.若分數315 21 24

a 可化為有限小數﹐則 a 之值有幾組解﹖

(1) 4 (2) 5 (3) 6 (4) 7 (5)無限多組 解答 1

解析 若b

a為有限小數﹐則 a 只能有 2 或 5 的質因數

∵ 24 = 3 × 2³ ∴ 315 21 24

a 為有限小數 ⇒ 3 整除 315a21

⇒ 3 + 1 + 5 + a + 2 + 1 = 12 + a 為 3 的倍數 ∴ a 可為 0﹐3﹐6﹐9 共 4 個

（ ）6.設 x 為正整數﹐將 x 的整數部分以 f (x)表示﹐則 f (1) + f (2) + … + f (100)之值為 (1) 621 (2) 622 (3) 623 (4) 624 (5) 625

解答 5

解析 整數部分 = 1 者有 1 ﹐ 2 ﹐ 3 共 3 個﹐

整數部分 = 2 者有 4 ﹐ 5 ﹐ 6 ﹐ 7 ﹐ 8 共 5 個 # #

依此類推﹐則所求 = 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 7 + … + 9 × 19 + 10 × 1

= 3 + 10 + 21 + 36 + 55 + 78 + 105 + 136 + 171 + 10 = 625

（ ）7.介於 1

2+ 3與 11

13 4 3− 之間的整數共有幾個﹖ (1) 3 (2) 4 (3)5 (4) 6 (5) 7 解答 2

解析 1

2 3 1. ~ 2 3 = − =

+ ﹐ 11 11 11

12 1 4. ~ 13 4 3 13 2 12 12 1

= = = + =

− − −

則介於 2− 3與 12 1+ 之間的整數為 1﹐2﹐3﹐4 共 4 個

（ ）9.設a= 5+ 31﹐則 a 之值在哪兩個連續整數之間？

(1) 0 與 1 (2) 1 與 2 (3) 2 與 3 (4) 3 與 4 (5) 4 與 5﹒

解答 4

解析 由 5< 31< ﹐得10 56 < + 31 11< ﹐因此 3< 10< 5+ 31< 11< ﹒ 4

二、填充題 (每題 10 分 )

1.設 x﹐y∈R 且(2x + 3y)² + (4x − y − 1)² = 0﹐則 x + y = ____________﹒

解答 1 14

解析

a b ,

且 b = 0

2 3 0

4 1 0

x y

x y

+ =

⎧ ⎨ − − =

⎩

3 14 1

1 14

7 x

x y y

⎧ = ⎪⎪

⇒ ⎨ ⇒ + =

⎪ = −

⎪⎩

2.x﹐y∈R﹐且 x² + 4xy + 5y² − 2x − 8y + 5 = 0﹐則數對(x﹐y) = ____________﹒

解答 ( − 3﹐2) 解析 先對 x 作配方

原式 ⇒ [x² + 2(2y − 1)x + (2y − 1)²] + (5y² − 8y + 5) − (2y − 1)² = 0

⇒ [x + (2y − 1)]² + (y² − 4y + 4) = 0 ⇒ (x + 2y − 1)² + (y − 2)² = 0 2 1 0

2 0

x y

y

+ − =

⎧⎨ − =

⎩ ⇒ 3

2 x y

⎧ = −

⎨ =⎩ ﹐即數對(x﹐y) = ( − 3﹐2)

3.設 a﹐b 為有理數且滿足(4a + 3b) + 3 3 = 1 + (2a − 6b) 3 ﹐則 a + b 的值為____________﹒

解答 1 6

解析 (4a + 3b) + 3 3 = 1 + (2a − 6b) 3 ⇒ 4 3 1

2 6 3

a b

a b

+ =

⎧⎨ − =

⎩ ⇒

1 2 1 3 a

b

⎧ =⎪⎪

⎨ −

⎪ =⎪⎩

，a + b =1 2+ 1

3

− =1 6

4.把循環小數 8.15 374 化為最簡分數得____________﹒

解答 814559 99900

解析 設 r = 8.15 374 ﹐則 100000r = 815374. 374 = 815374 + 0. 374 ﹐ 100r = 815. 374 = 815 + 0. 374

二式相減⇒ 100000r − 100r = 815374 − 815 ⇒ 99900r = 814559 ∴ r =814559 99900 5.設 4 2 3 2 5 12 3 2 2+ + + + = a + b﹐a ∈ Z﹐0 ≤ b < 1﹐則數對(a﹐b) = ____________﹒

解答 (3﹐ 2− 1)

解析 由最內層多次雙重根號化簡

a + b = 4 2 3 2 5 12( 2 1)+ + + + = 4 2 3 2 17 2 72+ + + = 4 2 3 2(3 2 2)+ + +

= 4 2(2 2 1)+ + = 2 + 2 = 3 + ( 2 − 1) ∴ a = 3﹐b = 2 − 1 6.x﹐y∈R﹐− 2 ≤ x ≤ 5﹐1 ≤ y ≤ 3﹐令x

y 之最小值為 c﹐最大值為 d﹐則 c + d = ____________﹒

解答 3

解析 − 2 ≤ x ≤ 5﹐

1 ≤ y ≤ 3

1 1 3 y 1

⇒ ≤ ≤

比較兩端 4 個乘積大小

1 2 1 5

( 2) ; ( 2) 1 2; 5 ; 5 1 5;

3 3 3 3

− × = − − × = − × = × =

∴ − ≤2 x

y≤ 5 ⇒ c = − 2﹐d = 5 7.求介於1

8與1

7之間的有理數形如

280

k （k ∈ N）者共有____________個﹒

解答 4 解析 1

8<

280k < 1

7 通分⇒ 35 280<

280k < 40

280﹐k ∈ N ∴ k = 36﹐37﹐38﹐39 共 4 個 8.化簡下列各式：

(1) 2 3+ 27− 48= ________﹒ (2) 24− 3( 18+ 6)= __________﹒

(3)( 12− 18)² = _________﹒

解答 (1) 3 ;(2)− 6−3 2;(3) 30 12 6−

解析 (1) 2 3+ 27− 48=2 3+ 9 3× − 16 3× =2 3+ 9× 3− 16× 3 =2 3+3 3−4 3= 3

(2) 24− 3( 18+ 6)= 24− 54− 18 = 4 6× − 9 6× − 9 2× =2 6−3 6−3 2= − 6−3 2

(3)( 12− 18)² =( 12)²− ×2 12× 18+( 18)² =12 2− × 4 3× × 9 2 18× + =12 2 2 3 3 2 18− × × + =30 12 6−

9.化簡 (1) 4+ 12 = ____________﹒ (2) 2+ 3 = ____________﹒

解答 (1) 3 1+ ;(2) 6 2 2 +

解析 (1) 4+ 12= 4+2 3= 3 1 2 3 1+ + × = 3 1+

(2) 4 2 3

2 3

2

+ = + 4 2 3 3 1 6 2

2 2 2

+ + +

= = =

10.設a=³ 5− ﹐2 b=³ 5+ ﹐則 2

(1) a b⋅ = ____________﹒ (2) x a b= + ﹐則x³−3x= ____________﹒

解答 (1)1;(2) 2 5

解析 (1)ab=³( 5−2)( 5+2)=³5− =4 ³1 1=

(2)x³=a³+3a b² +3ab²+b³=a³+b³+3ab a( +b)=( 5− +2) ( 5+ + × ×2) 3 1 x ⇒ x³−3x=2 5

11.設 x﹐y﹐z 為整數﹐若 2| x | + | y + 1| + 3 | z − 3| = 1﹐則數對(x﹐y﹐z) = ____________﹒

解答 (0﹐0﹐3)或(0﹐− 2﹐3)

解析 由整數的離散性知：若 a﹐b∈Z 且 a b≠ ﹐則|a − b| 1≥ ﹐

依題意 ⇒ |x| = 0﹐|y + 1| = 1﹐|z − 3| = 0 ∴ x = 0﹐y = 0 或− 2﹐z = 3 即(x﹐y﹐z) = (0﹐0﹐3)﹐(0﹐− 2﹐3)

12.有一最簡分數﹐其分子﹑分母之和為 70﹐將其化為小數並四捨五入後為 0.6﹐則此分數為_________﹒

解答 27 43

解析 設此分數為70 x x

− ﹐x∈N﹐70 − x∈N 且(x﹐70 − x) = 1 即互質

四捨五入後

70 x 0.6 x

− 

≤ − < ⇒ 11 70 13

20 20

x x

≤ − <

分子分母同乘以 20

x > 0 ⇒ 11 x ≤ 20(70 − x ) 13 < x

⇒ 11x≤ 20(70 − x)且 20(70 − x) < 13x（∵ x > 0）

1400 x 31

⇒ ≤

1400

x > 33

33 < ≤x 31 ∴ x = 43﹐44 或 45

⇒ 此分數為27

43 或26

44 或25 45 （不合）（不合）

13.設 x∈N﹐若 3 介於 x 5 x

+ 與 6

1 x x +

+ 之間﹐則 x 之值為____________﹒

解答 6

解析 ∵ 化為帶分數

x x

+ = +

﹐

1 1

x

x x

+ = +

+ +

且 x

N

∴

1

x x

+ < < +

+

⇒

1 5 3 1 5

x x

x x

< < − < ⇒ + > >

+ −

去分母 1 3 1

5 3 1 5

x + + x

⇒ > >

− (倒數改變開口方向)

⇒ 2 x + > 2 5 3 + > 5 2 x

又 5 3 5 + = 75 + = 5 8. ~ 5 13. ~ + = ⇒ 2 x + > 2 13. ~ 2 > x ∴ x = 6

(1) 1 1 1

3+ 27 − 48 = ____________﹒ (2) 24− 3( 18+ 6)= ____________﹒

(3) 5 3

5 3

− =

+ ____________﹒ (4) 2 ² 6 ²

( ) ( )

3 6 + 2 1 =

+ + ____________﹒

解答 (1)13

36 3;(2)− 6−3 2;(3) 4− 15;(4) 40

20 2

− 3

解析 (1)原式 1 1 1 3 3 3 1 1 1 13

3( ) 3

3 9 12 3 9 12 36

3 3 3 4 3

= + − = + − = + − = ﹒

(2)原式=2 6−3 6−3 2= − 6−3 2﹒ (3)原式

( 5 3)2 8 2 15

4 15

5 3 2

− −

= = = −

− ﹒

(4)原式 2 ₂ 6 ₂ 2 6 3₂ 20 20(3 2 2 )

3(9 8) 3(1 2 ) ( 2 1) 3(1 2 ) 3(3 2 2 )

+ × −

= + = = =

+ + + + −

20 40 2

= − 3 ﹒

15. 設 2 6 7 x 7

− < < ﹐化簡 (7x+2)² + (7x−6)² = ____________﹒

解答 8

解析 當 2 6 7 x 7

− < < 時﹐−2 < 7x < 6﹐故 7x + 2 > 0 且 7x − 6 < 0﹐

原式= | 7x + 2 | + | 7x − 6 | = 7x + 2 − (7x − 6) = 8﹒

16.設 x∈N﹐若 3 介於 x 5 x

+ 與 6

1 x x +

+ 之間﹐則 x 之值為____________﹒

解答 6

解析 同第 13 題

17.x﹐y∈Z﹐且 x² + 4xy + 5y² − 2x − 8y + 4 = 0﹐則 x − y 的最小值 = ____________﹒

解答 − 8

解析 先對 x 作配方

原式 ⇒ [x² + 2(2y − 1)x + (2y − 1)²] + (5y² − 8y + 4) − (2y − 1)² = 0

[x + (2y − 1)]² + (y² − 4y + 4) = 1 ⇒ (x + 2y − 1)² + (y − 2)² = 1﹐其中 x﹐y∈Z

x + 2y − 1 1 − 1 0 0

y − 2 0 0 1 − 1

^x − 2 − 4 − 5 − 1

y 2 2 3 1

故當(x﹐y) = ( − 5﹐3)時﹐x − y = − 8 為最小值