高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.12.22 範

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.12.22 範

圍 3-3 對數(2) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 若 logx−1 (2x − x² + 3)有意義﹐則 x 之範圍為____________﹒

解答 1 < x < 3﹐但 x ≠ 2

解析 底 0 < x − 1 ≠ 1 ⇒ 1 < x ≠ 2……c

真數 2x − x² + 3 > 0 ⇒ x² − 2x − 3 < 0 ⇒ −1 < x < 3……d 由cd得 1 < x < 3﹐但 x ≠ 2

2. 4^−2log23+ 3^log92− 5

log 2

log 5 = ____________﹒

解答 1 81

解析 原式= (2²)^{−2 log 32} + 3^{log3 2}−5^{log5 2} =2^{log 32 −4} +3^{log3 2}−5^{log5 2} = 3⁻⁴ + 2− 2= 1 81 3. 設 log4

x = −

3

2﹐logy

16 4

81= ﹐則(1) x = ____________﹒ (2) y = ____________﹒ 3 解答 (1)1

8;(2) 8 27 解析 (1) log4

x = −

3

2 ⇒ x = 4 ²

−3

=2⁻³=1 8 (2) logy

16 4

81= ⇒ 3 16 81= y³

4

⇒ (2 3)⁴ = y³

4

⇒ y³

1

=2

3 ⇒ y = (2 3)³ = 8

27 4. 設 a = log23﹐b = log311﹐以 a﹐b 表示下列各式之值：

(1) log212 = ____________﹒ (2) log6618 = ____________﹒

解答 (1)2+a;(2) 1 2 1

a a ab

+ + +

解析 (1) a = log23﹐b = log311﹐ab = log23．log311 = log211 log212 = log2(2² × 3) = 2log22 + log23 = 2 + a (2) log6618 = ²

2

log 18

log 66= ^{2 2}

2

log (2 3 ) log (2 3 11)

×

× × = ²

2 2

1 2log 3 1 log 3 log 11

+

+ + = 1 2

1

a a ab

+ + +

5. 設 log23 = a﹐log35 = b﹐log57 = c﹐則以 a﹐b﹐c 表示 log10528 之值為____________﹒

解答 2

abc a ab abc

+

+ +

解析 log23 = a﹐ab = log23．log35 = log25﹐abc = log23．log35．log57 = log27 log10528 = ²

2

log 28

log 105= ^{2 2}

2 2 2

log 4 log 7 log 3 log 5 log 7

+

+ + = 2

abc

a ab abc

+

+ +

6. 化簡 log

2

1 2+ log2

4 3 3 − log4

1

6= ____________﹒

解答 1 2

解析 原式= 2log2

1 2+ log2

4 3 3 −1

2log2

1

6= log2 [(1

2)² ×4 3

3 × 6 ] = log2 2=1 2

7. log1.2

log8 log 27+ −log 1000= ____________﹒

解答 2 3

解析 原式= ₃

3 2

3 2

log12 10

2 3

log 10

⋅

=

2

2

2 3

log 10

3 2 3

2log 10

⋅

⋅ =2 3

8. 求值：log3

1

3 3+ (log 8 log 3−

2

1

log 3)．log2 3= ____________﹒

解答 1

− 2 解析 原式= log3 ₃

2

1 3

+ (3log 2 log 3 −

2

1

log 3)．log23²

1

= log33 ²

−3

+1

2(3log32 −

2

1

log 3)．log23 9. log (log_{2 2} 2 ) 之值為____________﹒

解答 1− 解析

1

2 2 2 2 2 2

log (log 2) log (log 2 ) log 1 1

= = 2 = − ﹒

10 . log2(log249) + 2log₄(log72)之值為____________﹒

解答 1

解析 原式= log2(log2 7²) + 2 log22( log7 2) = log2 (2 log2 7) + log2 (log7 2) = log22 = 1

11. log2(log232 + log

2 1

3

4+ log436) = ____________﹒

解答 3

解析 原式= log₂(log22⁵ + log ₁

2⁻

3

4+ log226²) = log₂(5 − log₂3

4+ log₂6) = log₂(5 + log₂ 6

3 　　4

)= log₂ (5 + 3) = 3

12. 方程式 log2(x − 1) = log₄(2 − x) + 1 之解為____________﹒

解答 1 2 2− +

解析 原式化為 log4(x − 1)² = log4(2 − x) + log44

⇒ (x − 1)² = 4(2 − x) ⇒ x² + 2x − 7 = 0 ⇒ x = −1

± 2 2

但真數 1 0

2 0

x x

− >

⎧⎨ − >

⎩ ， x = −1 + 2 2 13. 方程式 log

2

1(x + 3) − 2 log

2

1(x − 1) = 1 之解為____________﹒

解答 x = 5 解析

log

2

1(x + 3) − 2 log

2

1(x − 1) = 1 ⇒ log

2

1 2

3 ( 1)

x x

+

− = log

2 1

1

2 ⇒ 3₂ ( 1)

x x

+

− =1 2

⇒ x² − 2x + 1 = 2x + 6 ⇒ x² − 4x − 5 = 0 ⇒ x = 5 或 − 1 但真數 3 0 1 0

x x

+ >

⎧⎨ − >

⎩ ，得 x = 5

14. 方程式 logx9 − log₃

x = 1 之所有根的和為____________﹒

解答 28 9

解析 令 log3

x = t﹐∴ log

x3 =1

t

﹐

原式 ⇒ 2 logx3 − log₃

x = 1 ⇒ 2 ×

1

t

− t = 1 ⇒ t² + t − 2 = 0 ⇒ (t + 2) (t − 1) = 0 ⇒ t = −2 或 1﹐∴ x = 3⁻² =1

9或 x = 3¹ = 3 ⇒ 二根之和=1

9+ 3 =28 9 ﹒

15. 設 log 2 (log3 (log4

x)) = log

3 (log4 (log2

y)) = log

4 (log2 (log3

z)) = 0﹐則 x − y + z = ____________﹒

解答 57

解析 由已知 ⇒ log 3 (log4

x) = log

4 (log2

y) = log

2 (log3

z) = 1 ⇒ log

4

x = 3﹐log

2

y = 4﹐log

3

z = 2

⇒ x = 4³ = 64﹐y = 2⁴ = 16﹐z = 3² = 9 ⇒ x − y + z = 64 − 16 + 9 = 57﹒

16.設方程式 3^x − 3^−x = 2 的解為 x = log9

k﹐則 k = ____________﹒

解答 3 2 2+

解析 3^x − 3^−x = 2 ⇒ 3^x − 1

3^x = 2 ⇒ 3^2x − 2 × 3^x − 1 = 0﹐

令 t = 3^x > 0 ⇒ t² − 2t − 1 = 0﹐∴ t =1± 2（負不合）

⇒ 3^x =1+ 2﹐∴ x = log 3 (1+ 2) = log 9 (1+ 2)² = log 9 ( 3+2 2)﹐∴ k = 3+2 2﹒ 17.若 3^logx．x^log3 − 2(3^logx + x^log3) − 45 = 0﹐則 x = ____________﹒

解答 100

解析 令 3^logx = t ⇒ x^log3 = t﹐∴ t > 0﹐

原式 ⇒ t × t − 2(t + t) − 45 = 0 ⇒ t² − 4t − 45 = 0 ⇒ (t − 9) (t + 5) = 0﹐

∴ t = 9 或−5（不合） ⇒ 3^logx = 9 = 3²﹐∴ logx = 2﹐∴x = 100﹒

18.若

x

^{1 log x+ 3} = 27x³﹐則 x = ____________﹒

解答 27 或1 3

解析 兩邊同取 log3 ⇒ log3

x

^{1 log x+ 3} = log3 (27x³) ⇒ (1 + log3

x) log

3

x = log

327 + log3

x

³ = 3 + 3 log3

x﹐

令 t = log3

x﹐∴ (1 + t) t = 3 + 3t ⇒ t

² − 2t − 3 = 0 ⇒ (t + 1) (t − 3) = 0 ⇒ t = −1 或 3 1

19.方程式 x² + (2 log5) x + log5

2= 0 之解為____________﹒

解答 −1 + 2 log2 或−1

解析 原式 ⇒ x² + (2 log5)x + (log5 − log2) = 0 ⇒ x² + 2(1 − log2)x + (1 − 2 log2) =0﹐

令 log2 = a ⇒ x² + 2(1 − a)x + (1 − 2a) = 0 ⇒ [x + (1 − 2a)] [x + 1] = 0

⇒ x = −(1 − 2a) = −1 + 2 log2 或 x = −1﹒

20.已知(log3x) (logax) = 1 之二根乘積為 1

18﹐則 a = ____________﹒

解答 6

解析 原式 ⇒ (log3 + logx) (loga + logx) = 1 ⇒ (logx)² + (log3 + loga) logx + log3 loga − 1 = 0﹐

令 t = logx ⇒ t² + (log3a)t + log3 loga − 1 = 0﹐設

α

﹐

β

為 x 的二根﹐

∴ t 的二根為 log

α

﹐log

β

⇒ log

α

+ log

β

= −log3a﹐

∴ log

αβ

= log 1

3a ⇒

αβ

= 1 3a= 1

18﹐∴ a = 6﹒

21.x 的方程式

x

^(log2x)−a= 32 有一根為1

2﹐則(1) a = _________﹒ (2)此方程式的另一根為_________﹒

解答 (1) 4;(2) 32 解析 (1)∵ 1

2為

x

^(log2x)−a= 32 之一根 ⇒ 1 ^(log212) ( )2

−a

= 32 ⇒ 1 ( )2

−1−a = 2⁵ ⇒ −1 − a = −5 ⇒ a = 4 (2)

x

^{(log2x) 4−} = 32 ⇒ log₂

x

^{(log2x) 4−} = log2 32 ⇒ (log2

x − 4)(log

2

x) = 5

⇒ (log₂

x)

² − 4log₂

x − 5 = 0 ⇒ (log

₂

x − 5)(log

₂

x + 1) = 0 ⇒ log

₂

x = 5﹐−1

⇒ x = 2⁵﹐2⁻¹ ⇒ x =1

2﹐32 ∴ 另一根為 32

22.若

α

﹐

β

為(logx)² − logx² − 6 = 0 之兩根﹐則 log_α

β + log

_β

α 之值為____________﹒

解答 8

− 3

解析 令 t = logx﹐得 t² − 2t − 6 = 0 之兩根為 log

α

﹐log

β ⇒

log

α + log β =2﹐(log α

)(log

β ) = −6

∴ logα

β + log

β

α =

log log log log

β α

α

⁺

β

⁼

(log log )2 2(log )(log ) (log )(log )

α β α β

α β

+ −

=4 2 ( 6) 8

6 3

− × − = −

− 23.二次方程式 2x² − 5x + 1 = 0 的二根為 loga﹐logb﹐則 loga

b + log

b

a 值為____________﹒

解答 21 2

解析 loga 與 logb 為 2x² − 5x + 1 = 0 之二根 ∴

log log 5 2 log log 1

2

a b

a b

⎧ + =

⎪⎪⎨

⎪ =

⎪⎩

則 loga

b + log

b

a =

log log

b a

+log

log

a

b

=(log )² (log )² log log

a b

a b

+

=(log log )² 2 log log log log

a b a b

a b

+ −

=

5 2 1

( ) 2

2 2

1 2

− × =21 2

24.log₁₀

x + a log

x10 = b﹐甲看錯 a﹐解得兩根為 100﹐100﹐乙看錯 b﹐解得兩根為 100 及 1000 ﹐ 則正確之解為____________﹒

解答 10 或 1000 解析 原式 ⇒ log₁₀

x +

log10

a

x

= b ⇒ (log₁₀

x)

² − b × log₁₀

x + a = 0﹐

甲看錯 a﹐得二根為 100﹐100 ⇒ b 正確﹐ log₁₀100 + log10100 = b﹐∴ 2 + 2 = b ⇒ b = 4﹐

乙看錯 b﹐得二根為 100﹐ 1000 ⇒ a 正確﹐ log₁₀100 × log₁₀ 1000 = a﹐

∴ 2× 3

2= a ⇒ a = 3﹐即原式為(log₁₀

x)

² − 4 log₁₀

x + 3 = 0 ⇒ (log

₁₀

x − 1) (log

₁₀

x − 3) = 0

⇒ log₁₀

x = 1 或 3﹐

∴ x = 10 或 1000﹒

25.設實數 x 滿足 0 < x < 1﹐且 logx4 − log₂

x = 1﹐則 x＝____________﹒（化成最簡分數）

解答 1 4

解析 令

t

=log 2_x ﹐

由log 4_x −log₂

x

= 1 ² 1

log 2 1

log 2

x

x

⇒ − = 1

2log 2 1

log 2

x

x

⇒ − = 1

2

t

1

⇒ − =

t

2

t

2

t

1 0

⇒ − − = ⇒(2

t

+1)(

t

− =1) 0 1

t

2

⇒ = − 或 1 1

log 2

x 2

⇒ = − 或 1 1

x

4

⇒ = 或 2﹐

但 0< < ﹐故

x

1 1

x

= ﹒ 4

26.若 a﹐b﹐c 為正整數﹐已知

a

log₂₇₀2+

b

log₂₇₀3+

c

log₂₇₀5= ﹐則 a 為____________﹒ 2 解答 2

解析

a

log₂₇₀2+

b

log₂₇₀3+

c

log₂₇₀5=log₂₇₀2^a⋅ ⋅ ﹐得3 5^{b c}

2 3 2 2 6 2

2^a⋅ ⋅ =3 5^{b c} 270 = ⋅ ⋅(2 3 5) =2 ⋅ ⋅ ﹐知3 5

a

= ﹒ 2 27.設 log_a

α

=log_b

β

=log _ab10﹐已知

α β

≠ ﹐則

αβ

=____________﹒

解答 100

解析 令 log_a

α

=log_b

β

=log _ab10= ﹐

k α

=

a

^k﹐

β

=

b

^k﹐10 ( ) ²

k

ab

k

ab

= = ﹐

2 2

( ) [( ) ]2 10 100

k

k k k

a b ab ab

αβ

= ⋅ = = = = ﹒

28.設 a = log₇ 4﹐b = 1

2log ₂3﹐c = log

3

10.5﹐d = log₄ 7﹐試比較 a﹐b﹐c﹐d 之大小順序為____________﹒

解答 b > d > a > c 解析 b = 1

2log ₂3 = log₂3 = log₄ 9 > log₄ 7 > 1﹐c = log

3

10.5 = log

3 1 1

2= log₃ 2 = log₉ 4 < log₇ 4 < 1

故 b > d > a > c

29.比較下列 a﹐b﹐c﹐d﹐e 的大小：

(1) a = (1.7)^3.1﹐b = (1.7)⁻²﹐c = 1﹐d = 0﹐e =³1.7 ：____________﹒

(2) a = log_0.6 2﹐b = log_0.6 0.6 ﹐c = log_0.6 0.5﹐d = 0﹐e = 1：____________﹒

解答 (1) a > e > c > b > d;(2) c > e > b > d > a

解析 (1)a = (1.7)^3.1﹐b = (1.7) ⁻²﹐c = 1 = (1.7)⁰﹐d = 0﹐e = (1.7)³

1

∵ 1.7 > 1 ∴ a > e > c > b > d

(2)a = log_0.6 2 < log_0.6 1 = 0﹐b = log_0.6 0.6= 1

2﹐c = log_0.6 0.5 > log_0.6 0.6 = 1﹐d = 0﹐e = 1 ∴ c > e > b > d > a