1 第五章對流熱傳

1

第五章 對流熱傳

Convection Heat Transfer

2

§5-1 對流熱傳概述

1 對流熱傳的定義和性質

對流熱傳是指流體流經固體時流體與固體表面之間的 熱量傳遞現象。

● 對流熱傳實例︰1) 暖氣管道; 2) 電子器件冷卻；3)電 風扇

● 對流熱傳與熱傳導不同，既有熱對流，也有導熱；不 是基本傳熱模式

3

(1) 導熱與熱對流同時存在的複雜熱傳遞過程 (2) 必須有直接接觸（流體與壁面）和巨視運動；

也必須有溫差

(3) 由於流體的黏性和受壁面摩擦阻力的影響，緊 貼壁面處會形成速度梯度很大的邊界層 2 對流換熱的特點

3 對流換熱的基本計算式

[ ] W ) ( −

_∞

=

hA T T

Q _w

[ W m

²

]

) ( = −

_∞

=

T T h

A Q q

w 牛頓冷卻式:

4

4 表面傳熱系數（對流換熱系數）

── 當流體與壁面溫度相差1度時、每單位壁面面積 上、單位時間內所傳遞的熱量

)) (

( −

_∞

=

Q A T T

h w

[

^{W (m2}⋅^oC)

]

如何確定h及增強換熱的措施是對流換熱的核心問題

研究對流換熱的方法︰

（1）分析法

（2）實驗法

（3）比擬法

（4）數值法

5

5 對流換熱的影響原素

對流換熱是流體的導熱和對流兩種基本傳熱模式共同作用的 結果。其影響原素主要有以下五個方面︰(1)流動起因; (2)流 動狀態; (3)流體有無相變; (4)換熱表面的幾何原素; (5)流體的 熱物理性質

6 對流換熱的分類︰

(1) 流動起因

自然對流︰流體因各部分溫度不同而引起的密度差異所產 生的流動

強製對流︰由外力（如︰幫浦、風機、水壓頭）作用所產 生

的流動 h强制 > h自然

6

(2) 流動狀態

層流 紊流

h h >

(3) 流體有無相變

單相 相變

h h >

層流：整個流場呈一簇互相平行的流線 湍流：流体質點做複雜無規則的運動（紊流）

（Laminar flow）

（Turbulent flow）

單相熱傳：

相變熱傳：凝結、沸騰、昇華、凝固、融化等

（Single phase heat transfer）

（Phase change） （Condensation） （Boiling）

7

(4) 換熱表面的幾何原素︰

內部流動對流換熱︰管內或槽內

外部流動對流換熱︰外掠平板、圓管、管束

內部流動 外部流動

強迫對流

自然對流

熱面朝上 熱面朝下

8

(5) 流體的熱物理性質：

熱傳導係數k[W(m⋅^oC)] 密度 ρ[kg m³] 比熱 c[J (kg⋅^oC)] 動力粘度

μ

[N⋅s m²]

運動粘度 ν=ηρ [m²s] 體膨脹係數α [1K]

p

p T

T v

v ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ ρ

α ¹ ρ¹

自然對流換熱增 强 α ↑⇒

↑ λ↑⇒ h

携 ) (

單位體積流體能 帶更多能量

、c↑⇒ h↑

ρ

碍 ) (

有 流體流動、不利於熱對流

↓

μ

↑⇒ h

内 )

(流體 部和流體與壁面間導熱熱阻小 k

9

綜上所述，表面傳熱系數是眾多原素的函數︰

) , , , , , , , , ,

(

vT T k c l Ω f

h

=

_{w f p}

ρ α μ

10

對流換熱分類小結

11

7 對流換熱過程微分方程式

當黏性流體在壁面上流動 時，由於黏性的作用，流 體的流速在靠近壁面處隨 離壁面的距離的縮短而逐 漸 降 低 ； 在 貼 壁 處 被 滯 止 ， 處 于 無 滑 移 狀 態

（即︰y=0, u=0）

在這極薄的貼壁流體層中，熱量只能以導熱模式傳遞

根據傅立葉定律︰

[

²

]

,

, W m

x w x

w y

k T

q ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

=

[ ]

( )

—在坐標 處流體的 度梯度

流體的熱傳導係數

温 ,0)

(

C) (m W

, x

y T k

x

∂ w

∂

− ^o

12

根據傅力葉定律：

x w x

w y

k T q

,

, ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

=

根據牛頓冷卻公式︰? q_w,x=h_x(T_w-T_∞)

[

Wm²

]

[

^{W m C)}

]

x處局部表面熱對流係數 （ ²⋅^o 壁面

x— h

由傅力葉定律與牛頓冷却公式：

[

W (m C)

]

²

,

⋅o

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

− −

=

∞ wx

w

x y

T T T h k

對流換熱過程 微分方程式

13

溫度梯度或溫度場取決于流體熱物性、流動狀況（層流或 紊流）、流速的大小及其分佈、表面粗糙度等 　 溫度場 取決于流場

速度場和温度場由對流換熱微分方程组確定：

質量守恒方程、質量守恒方程、動動量守恒方程、能量守恒方程量守恒方程、能量守恒方程

x w w

x y

T T T h k

,

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

− −

=

∞

對流換熱微分方程式

hx 取決于流體熱導系數、溫度差和貼壁流體的溫度梯度

14

§5-2 對流換熱問題的數學描述

b) 流體為不可壓縮的牛頓型流體 為便于分析，只限于分析二維對流換熱

即︰服從牛頓黏性定律的流體；

而油漆、泥漿等不遵守該定

律，稱非牛頓型流體 y

u

∂

= μ ∂ τ

c) 所有物性參數（k、cp、

μ

、

ρ

）為常量 4個未知量:：速度 u、v；温度 T；壓力 p

連續性方程(1)、動量方程(2)、能量方程(3) 需要4個方程:

a) 流體為連續性介質 假設︰

15

1 質量守恆方程(連續性方程)

M 為質量流量 [kg/s]

流體的連續流動遵循質量守恆規律

從流場中 (x, y) 處取出邊長為 dx、dy 的微元體

udy M_x =ρ 單位時間內、沿x軸方向、

經x表面流入微元體的質量

x dx M M

M_{x dx x} ^x

∂ +∂

+ = 單位時間內、沿x軸方向、經 x+dx表面流出微元體的質量

單位時間內、沿x軸方向流入微元體的淨質量︰

x dxdy dx u

x M M

M_{x x dx} ^x

∂

−∂

∂ =

−∂

=

− ₊ (ρ )

16

x dx M_x+∂M∂ ^x

vdx M_y

= ρ

Mx =ρudy

y y

M M dy

y +∂

∂

17

單位時間內、沿 y 軸方向流入微元體的淨質量︰

y dxdy dy v

y M M

M_{y y dy} ^y

∂

−∂

∂ =

−∂

=

− ₊ (ρ )

t dxdy t

dxdy

∂

= ∂

∂

∂ ( ρ ) ρ

單位時間內微元體 內流體質量的變化:

微元體內流體質量守恆︰

流入微元體的淨質量 = 微元體內流體質量的變化 (單位時間內)

t dxdy y dxdy

dxdy v x

u

∂

= ∂

∂

−∂

∂

−∂(ρ ) (ρ ) ρ

18

∂

t

∂ρ

x

u

∂ +∂(

ρ

)

) 0

( =

∂ +∂

y

ρ

v _{二維連續性方程}

x u

∂

∂ =0

∂ +∂

y v

∂t

∂

ρ

x

u

∂ +∂(

ρ

)

y v

∂ +∂(ρ )

) 0 ( =

∂ +∂

z ρw

三維連續性方程 t dxdy

y dxdy dxdy v

x u

∂

=∂

∂

−∂

∂

−∂(

ρ

) (

ρ

)

ρ

對于二維、穩態流動、密度為常數時︰

19

2 動量守恆方程

牛頓第二運動定律: 作用在微元體上各外力的總和等于控 制體中流體動量的變化率

動量微分方程式描述流體速度場

作用力 = 質量 　 加速度（F=ma）

作用力︰體積力、表面力 體積力: 重力、離心力、電磁力 法向應力 　 中包括了壓力 p 和法 向黏性應力 　

壓力 p 和法向黏性應力τii的區別︰

a) 無論流體流動與否， p 都存在；而τii只存在于流動時 b) 同一點處各方向的 p 都相同；而τii與表面方向有關

20

動量微分方程 ─ Navier-Stokes方程（N-S方程）

(4) (3) (2) (1)

) (

)

) (

)

2 2 2 2

2 2 2 2

y v x

v y F p y v v x u v t v

y u x

u x F p y v u x u u t u

y x

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

μ ρ

μ ρ

（

（

(1)─ 慣性項（ma）；(2) ─ 體積力；(3) ─ 壓強梯 度；(4) ─ 粘滯力

對于穩態流動︰ 0 =0

∂

= ∂

∂

∂

t v t

u ；

y y x

x g F g

F =ρ ; =ρ 只有重力場時︰

21

3 能量守恆方程

微元體（見圖）的能量守恆︰ ──描述流體溫度場 [導入與導出的淨熱量] + [熱對流傳遞的淨熱量] + [內熱源發熱量] = [總能量的增量] + [對外作膨脹功]

　

熱源 對流

— 傳導 _内

Q Q Q

Q + +

（動能）

熱力學內能

— _K

U U

E Δ +Δ

Δ

W — 體積力(重力)作的功、表面力作的功 假設︰（1）流體的熱物性均為常量，流體不做功

（2）流體不可壓縮

（4）無化學回應等內熱源

ΔU_K=0、

μΦ

=0 Q_内熱源=0

（3）一般工程問題流速低

W＝0

22

Q導熱 + Q對流 = ΔU熱力學能

T dxdy k x dxdy k T

Q ₂

2 2

2

∂y

∂

∂

= ∂ ＋

傳導

單位時間內、 沿 x 方向熱對流傳遞到微元體的淨熱量︰

x dxdy c uT x dx

dx Q x Q Q Q Q

Q_{x x dx x x} ^{x x} _p

∂

− ∂

∂ =

−∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

−

=

− "₊ " " ^{" "} ( )

" ρ

單位時間內、 沿 y 方向熱對流傳遞到微元體的淨熱量︰

y dydx c vT y dy

dy Q y Q Q Q Q

Q_{y y dy y y} ^{y y} _p

∂

− ∂

∂ =

−∂

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

−

=

− +

)

" (

"

"

"

"

" ρ

23

y dxdy v T x u T c

y dxdy T v x T u y v T x u T c

y dxdy c vT x dxdy

c uT Q

p p

p p

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂

− ∂

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

∂

− ∂

∂

− ∂

=

ρ ρ

ρ

ρ ^{( ) ( )}

對流

Tdxdy k x dxdy k T

Q ₂

2 2

2

∂y

∂

∂

= ∂ ＋

傳導

t T y v T x u T T x

T c k

p ∂

+∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2

＋ y ρ

能量守恆方程 t dt

dxdy T c

U _p

∂

= ∂

Δ

ρ

24

對流換熱微分方程組:(常物性、無內熱源、二維、不可 壓縮牛頓流體)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2 2

y T x k T y v T x u T t cp T ρ

) (

)

) (

)

2 2 2 2

2 2 2 2

y v x

v y F p y v v x u v t v

y u x

u x F p y v u x u u t u

y x

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

μ ρ

μ ρ

（

（

x u

∂

∂ =0

∂ +∂

y v

25

x w

x y

T T h k

,

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

−Δ

=

前面4個方程求出溫度場之后，可以利用牛頓冷卻 微分方程︰

計算當地對流係數 h_x

4個方程，4個未知量 ── 可求得速度場(u,v)和溫度 場(T)以及壓力場(p), 既適用于層流，也適用于紊流

（瞬時值）

26

4 表面傳熱系數的確定方法

（1）微分方程式的數學解法

a）精確解法（分析解）︰根據邊界層理論，得到 邊界層微分方程組 常微分方程 求解

b）近似積分法︰

假設邊界層內的速度分佈和溫度分佈，解積分方程 c）數值解法︰近年來發展迅速

可求解很複雜問題︰三維、紊流、變物性、跨音速

（2）動量傳遞和熱量傳遞的類比法

利用湍流時動量傳遞和熱量傳遞的類似規律，由湍流時 的局部表面摩擦系數推知局部表面傳熱系數

（3）實驗法 用相似理論指導

5 對流換熱過程的單值性條件

單值性條件︰能單值地反映對流換熱過程特點的條件

單值性條件包括四項︰幾何、物理、時間、邊界 完整數學描述︰對流換熱微分方程組 + 單值性條件

(1) 幾何條件

平板、圓管；豎直圓管、水準圓管；長度、直徑等 說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小

(2) 物理條件

如︰物性參數 　k、h、c 和 ρ的數值，是否隨 溫度和壓力變化；有無內熱源、大小和分佈

說明對流換熱過程的物理特徵

(3) 時間條件

穩態對流換熱過程不需要時間條件 ─ 與時間無關 說明在時間上對流換熱過程的特點

(4) 邊界條件 說明對流換熱過程的邊界特點

邊界條件可分為二類︰第一類、第二類邊界條件 a 第一類邊界條件

已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的溫度值

b 第二類邊界條件

已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的熱流密度值

29

§5-3 邊界層概念及邊界層換熱微分方程組

邊界層概念︰當黏性流體流過物體表面時，會形成速度梯 度很大的流動邊界層；當壁面與流體間有溫差時，也會產 生溫度梯度很大的溫度邊界層（或稱熱邊界層）

1 流動邊界層（Velocity boundary layer）

1904年，德國科學家普朗特 L.Prandtl

由於黏性作用，流 體流速在靠近壁面 處隨離壁面的距離 的縮短而逐漸降 低；在貼壁處被滯 止，處于無滑移狀 態

30

從 y = 0、u = 0 開始，u 隨著 y 方向離壁面距離的增加而 迅速增大；經過濃度為 　 的 薄層，u 接近主流速度 u　

　 薄層 ─ 流動邊界層 或速度邊界層 δ ─ 邊界層厚度 定義︰u/u∞　=0.99 處離壁的距離為邊界層濃度

δ小︰空氣外掠平板，u∞=10m/s︰

mm 5 . 2

; mm 8 .

1 ₂₀₀

100 = ₌ =

= mm x mm

x

δ

δ

邊界層內︰平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大

31

由牛頓黏性定律︰

邊界層外︰ u　 在 y 方向不變化， 　　

流場可以劃分為兩個區︰邊界層區與主流區

邊界層區︰流體的黏性作用起主導作用，流體的運動可用 黏性流體運動微分方程組描述（N-S方程）

主流區︰速度梯度為0，　=0；可視為無黏性理想流體；

歐拉方程

y u

∂

= μ ∂

τ 速度梯度大，粘滯應力大

粘滯應力為零 ─ 主流區

──邊界層概念的基本思想

32

流體外掠平板時的流動邊界層 臨界距離︰由層流邊界層開 始向湍流邊界層過渡的距 離，xc

平板︰

紊流邊界層：

臨界雷諾數︰Rec

ν μ ρ

c c c

x u

x u

∞

∞

=

=

=

Re 粘性力

慣性力

5 6

5~3 10; Re 5 10 10

3

Re_c= × × 取 _c= ×

黏性底層（層流底層）︰緊靠壁面處，粘滯力會占絕對優勢，使 黏附于壁的一極薄層仍然會保持層流特徵，具有最大的速度梯度

∞

= u x_c Re^cν

33

流動邊界層的幾個重要特性

(1) 邊界層厚度δ與壁的定型尺寸L相比極小，　

(2) 邊界層內存在較大的速度梯度

(3) 邊界層流態分層流與湍流；湍流邊界層緊靠壁面處 仍有層流特徵，黏性底層（層流底層）

(4) 流場可以劃分為邊界層區與主流區 邊界層區︰由黏性流體運動微分方程組描述

主流區︰由理想流體運動微分方程─歐拉方程描述

34

邊界層概念也可以用于分析其他情況下的流動和換熱︰

如︰流體在管內受迫流動、流體外掠圓管流動、流體 在豎直壁面上的自然對流等

邊界層理論的基本論點

2 熱邊界層（Thermal boundary layer）

當壁面與流體間有溫差時，會產生溫度梯度很大的溫 度邊界層（熱邊界層）

35

Tw

= ∞

−

=

=

=

−

=

=

θ θ

δ θ

99 . 0

,

0

, 0

w t

w w

T T y

T T

y 溫度T範圍 ─ 熱邊界層

或溫度邊界層

δt ─ 熱邊界層濃度 δ與δt 不一定相等

流動邊界層與熱邊界層的狀況決定了熱量傳遞過程和邊 界層內的溫度分佈

36

層流︰溫度呈拋物線分佈

δ 與 δt 的關係︰分別反映流體分子和流體微團的動量 和熱量擴散的深度

故︰湍流換熱比層流換熱強﹗

湍流邊界層貼壁處的溫度 梯度明顯大于層流 湍流︰溫度呈冪函數分佈

L w t

w y

T y

T

, ,

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

> ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

) 50 Pr 6 . 0 (

Pr ¹³ ≤ ≤

≈ ⁻ 层流、

δ δ_t

37

邊界層概念的引入可使換熱微分方程組得以簡化

數量級分析︰比較方程中各量或各項的量級的相對大小；保留 量級較大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化 3 邊界層換熱微分方程組

5個基本量的數量級︰ 主流速度：u∞~0(1);

温度：t~0(1); 壁面特徵長度：l~0(1);

邊界層厚度：

δ

~0(

δ

);

δ

_t ~0(

δ

)

x 与 l 相当，即：x~ l~0(1); 0≤y≤

δ

∴ y~0(

δ

) 0(1)、0(δ)表示数量级為1和δ，1>> δ。 “~” — 相当于 例︰二維、穩態、強製對流、層流、忽略重力

38

u沿邊界層濃度由0到u　 由連續性方程︰

) 1 ( 0

~

~

u_∞ u

) 1 ( 0

~

~ l u x u y

v _∞

∂

=∂

∂

−∂

) ( 0

~

v

δ

∴

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2 2

y T x k T y v T x u T c_p ρ

) (

)

) (

)

2 2 2 2

2 2 2 2

y v x

v y F p y v v x u v

y u x

u x F p y v u x u u

y x

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

∂

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

∂

μ ρ

μ ρ

（

（

x u

∂

∂ =0

∂ +∂

y v

39

(a)

=0

∂ + ∂

∂

∂ y v x u

(b) ) (

)

₂

2

2 2

y u x

u x

p y v u x u u

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂ μ

ρ （

(c) ) (

)

₂

2

2 2

y v x

v y

p y v v x u v

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂ μ

ρ（

δ δ 1 1

）

（

）

（ ₂ 1₂

1 1 1 1 1 1

1 δ δ δ

）

（

）

（ 2 2

2 1

1 1

1 δ

δ δ δ

δ δ δ δ

δ2

1

δ

40

=0

∂ +∂

∂

∂ y v x u

2 2

) y

u x p y v u x u u

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

∂

μ

ρ

（

(d) ) (

)

₂

2

2 2

y T x k T y v T x u T c_p

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

（ ∂ ρ

）

（

）

（ ₂ 1₂

1 1 1 1 1 1

1 δ δ

δ

_t² δ

2 2

) y

k T y v T x u T c

_p

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

（ ∂

ρ

41

表明︰邊界層內的壓力梯度僅沿 x 方向變化，而邊界層內法 向的壓力梯度極小。

邊界層內任一截面壓力與 y 無關而等于主流壓力 )

( 0

~ δ y p

∂

∂ ~0(1)

x p

∂

∂

dx dp xp =

∂

∴ ∂

dx u du dx

dp _∞

= ∞

−

ρ

由上式：

2 2

) y

u x p y v u x u u

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

∂

μ

ρ

（

) ( 0

~ δ y p

∂

∂ 可視為邊界層的又一特性

42

層流邊界層對流換 熱微分方程組︰

3個方程、3個未知 量︰u、v、T，方 程封閉

如果配上相應的定 解條件，則可以求 解

=0

∂ +∂

∂

∂ y v x u

2

1

2

y u dx

dp y

v u x u u

∂ + ∂

−

∂ = + ∂

∂

∂

ρ μ ρ

2 2

y T y

v T x u T

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ α

dx u du dx

dp _∞

= ∞

−

ρ

^∞

= 0 = 0

dx dp dx

du

，則

若

}

43

例如︰對于主流場均速 、均溫 ，並給定恆定壁溫的 情況下的流體縱掠平板換熱，即邊界條件為

∞

∞ =

=

=

=

=

=

=

T T u u y

T T v u

y _w

, , 0 , 0 0 δ

求解上述方程組(層流邊界層對流換熱微分方程組)，

可得局部表面傳熱系數 的表達式 u∞ T_∞

hx 3 1 2 1

332 .

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ^∞ a x u x hx k

ν ν

注意︰層流

3 1 2 1

332 .

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ^∞ a x u k

x

h_x ν

⇒

ν

3 1 2 1 Pr Re 332 .

0 ⋅

= x

Nux

⇓ ⇓ ⇓

44 3

1 2 1

332 .

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ^∞ a x u k

x

hx ν

⇒

ν

3 1 2 1 Pr Re 332 .

0 ⋅

= _x

Nux

⇓ ⇓ ⇓ 特徵數方程

或 準則方程

式中： k

x

Nu_x=h^x 紐塞爾(Nusselt)數

ν x u

x= ∞

Re 雷諾(Reynolds)數

α

=ν

Pr 普朗特數

}

^{注意：特注意：特徵}_度度為當為當地坐地坐標^徵尺尺標 xx

一定要注意上面準則方程的適用條件︰

外掠等溫平板、無內熱源、層流

45

δ 與 δt 之間的關係 對于外掠平板的層流流動:

2 2

y T y

v T x u T

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

α

此時動量方程與能量方程的形式完全一致:

0

, ∴ − =

∞= dx

const dp u

2 2

y u y v u x u u

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ ν

动量方程：

表明︰此情況下動量傳遞與熱量傳遞規律相似

特別地︰對于 　

ν

=

α

的流體（Pr=1），速度場與無量 綱溫度場將完全相似，這是Pr的另一層物理意義︰表示流

動邊界層和溫度邊界層的厚度相同(

δ ~ δt

) ₄₆

§5-4 邊界層積分方程組及比擬理論

1 邊界層積分方程

1921年，馮‧卡門提出了邊界層動量積分方程。

1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。

近似解，簡單容易。

47

用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想:

(1) 建立邊界層積分方程 針對包括固體邊界及邊界層外邊 界在內的有限大小的控制容積；

(2) 對邊界層內的速度和溫度分佈作出假設，常用的函數 形式為多項式；

(3) 利用邊界條件確定速度和溫度分佈中的常數，然後將 速度分佈和溫度分佈帶入積分方程，解出 和 的計 算式；

(4) 根據求得的速度分佈和溫度分佈計算固體邊界上的 δ δt

Nu y c

t y

u

f y

y

和

及 ⇒

∂

∂

∂

∂

=

=0 0

48

(1) 邊界層積分方程的推導

(2) ──以二維、穩態、常物性、無內熱源的對流換熱為 建立邊界層積分方程有兩種方例

法︰控制容積法和積分方法，

我們採用前者，控制體積見圖 所示，

X 方向 dx y方向 l >　 ， z 方向去單位長度，在邊界層數 量級分析中已經得出

因此，只考慮固體壁面在y方向 的導熱。

2 2 2 2

y t x

t

∂

<<∂

∂

∂ dΦ

u∞ t_∞

dx

l

y

x

u

t

a b

c d

49

a 單位時間內穿過ab面進入控制容積的熱量︰

dy tu c_p ^l

ab⁼

∫

Φ ρ 0

b 單位時間內穿過cd面帶出控制容積的熱量︰

dx dy x tu c

x dx

l p ab ab ab cd

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛

∂ + ∂ Φ

=

∂ Φ +∂ Φ

= Φ

∫

0

ρ

50

淨熱流量為︰ tudy dx

dx

c_p d ⎜⎝⎛ ^l ⎟⎠⎞

=

ΔΦ ρ

∫

0

c 單位時間內穿過bc面進入控制容積的熱量︰

dx v t c_{p t}

bd=−ρ _∞ δ Φ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛

−

∂ =

− ∂

=

⇒

∂ = +∂

∂

∂_x^u _y^v 0 ^v_δt

∫

0^{l u}_x^dy _dx^d

∫

0^ludy

dx dx udy t d

c_p ^l

bd= ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

Φ ^{ρ ∞}

∫

₀

d 單位時間內穿過ac面因貼壁流體 層導熱進入控制容積的熱量︰

=0

∂

− ∂

= Φ

y f

ac y

dx t λ 這裡假設︰Pr 　

51

dx dy dx tu c_p d ⎜⎝⎛ ^l ⎟⎠⎞

−

=

ΔΦ ρ

∫

0 udy dx

dx t d

c_p ^l

bd= ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

Φ ^{ρ ∞}

∫

₀

=0

∂

− ∂

= Φ

y f

ac y

dx t

λ

ΔΦ + Φ

_bd

+ Φ

_ac

= 0

0

0 0

0 =

∂

− ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛

⎟ +

⎠⎞

⎜⎝

− ⎛

=

∞

∫

∫

y

f l

p l

p y

dx t dx dy dx u t d c dx dy dx tu

c d ρ λ

ρ

0 0( )

∞ ∂ =

= ∂

∫

−

y l

y a t dy u t dx t

d 整理后︰

0 0 ( )

∞ ∂ =

= ∂

∫

−

yy

a t dy u t dx t

d δt

即︰

52

0 0 ( )

=

∞ ∂

= ∂

∫

−

yy

a t dy u t dx t

d δt

能量積分方程︰

相似地，動量積分方程︰

0 0( )

∞ ∂ =

= ∂

∫

−

yy

dy u u u dx u

d ^δ ν

兩個方程，4個未知量︰u, t, 　　t 。要使方程組封 閉，還必須補充兩個有關這4個未知量的方程。這就是 關於u 和 t 的分佈方程。

53

(2) 邊界層積分方程組求解

在常物性情況下，動量積分方程可以獨立求解，即 先求出　，然後求解能量積分方程，獲得　T 和 h 邊界條件︰

0 0

0

∂ =

= ∂

=

=

=

∞ y

and u u u y

and u y

δ

假設速度u為三次多項式，即 u=a+by+cy²+dy³

由邊界條件可以得出︰

2 3

, 0 2 , , 3

0 ⁼ δ^{∞ = =−} δ^∞

= b u c d u a

3

2 1 2

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∞ δ δ

y y u

u

54

δ δ

δ ₌ ^∞

∞ ⎟ ⇒ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= u

dy du y

y u

u

y 2

3 2

1 2 3

0 3

0( ) 0

=

∞ ∂

= ∂

∫

−

yy

dy u u u dx u

d ^δ ν

帶入動量積分方程︰

x x

u or x

Re 64 . 64 4

.

4 =

=

∞

δ δ ν

X處的局部壁面切應力為︰

y x

w u

x u u

dy du

Re 323 . 0 64 . 4

1 2

3 ²

0

∞

∞ ∞

=

=

=

= ρ

νρ ν η

τ

55

在工程中場使用局部切應力與流體動壓頭之比這個無量 綱量，並稱之為范寧摩擦系數，簡稱摩擦系數

2 Re1 646 . 0 2 1

−

∞

=

= ^w _x

f u

c ρ τ

2

Re1

292 .

1 ⁻

= _x

cfm 平均摩擦系數︰

上面求解動量積分方程獲得的是近似解，而求解動量微分 方程可以獲得 δ xandc_f的精確解，分別為︰

x Rex

0 .

= 5

δ 12

Re 664 .

0 ⁻

= _x

cf

2 Re1 646 .

0 ⁻

= _x

cf

x Rex

64 .

= 4

δ ^{可見二者非常接近}

56

可以採用類似的過程，並假設 求解能量積分方程，可得 無量綱過余溫度分佈︰

4 2 dy cy by a

t

= + + +

3

2 1 2

3 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

− ⎛

=

− =

−

∞

∞ w t t

w y y

t t

t t

δ δ θ

θ

t= ⁻ = ^{− −2}⋅x

1 3 3 1

1

Re Pr 52 . 026 4 . 1 Pr δ 熱邊界層濃度︰ δ

再次強調︰以上結果都是在 Pr 　1 的前提下得到的 局部對流換熱系數︰

3 1 2 1

0

Pr Re 332 . 2 0 3

x y t

w

x y x

t t

h t λ

δ λ

λ = =

∂

∂

− −

=

∞ =

3 1 2 1

Pr Re 332 . 0 _x

xx Nux

h = =

λ