第三章 一維穩態穩流熱傳導

第三章 一維穩態穩流熱傳導 3-1 一維熱傳導系統

考量一維系統物體的溫度僅隨時間及 x 方向變化，當物體內有熱 源(即物體內產生能量，Heat source)或熱沉(即物體消耗或吸收能 量，Heat sink)，根據能量守恆可得。

dt dx CA dT E_St   _x

取 dx 之控制容積(control volume)，故

(傳入控制容積之能量)＋(控制容積內產生之能量)＝(傳出控制容 積之能量)＋(控制容積內能量的變化)

E_in + E_g = E_out +E_st 所以傳入控制容積能量：

dx kdT A q

E_in  _x  _x

控制容積能量內產生的能量：E_g  qA_xdx qA_xdx q=單位體積所產生能量，W/m³或 Btu/hrft³ 傳出控制容積能量：

x q q

dx

dq _{x dx x}

x x



 ^ 



lim0

dx dx dx kdT A d dx k dT A dx dx

q dq q

E

x x

x x dx x out

)

 (









 _

控制容積內能量變化： dx dt CA dT E_St  _x

C 為控制容積內材料之比熱，Ws/kgm℃或 Btu/lbmF

密度，kgm/m³或 lb_m/ft³。

Z Y

X qx qx+dx

Eg=qAdx

.

Ax

dx

故 dt CdT dx q

k dT dx A

d

A1_x ( ^x ) 

若系統為穩態(steady-state)則 dT/dt = 0，而若為暫態(Transient)則 dT/dt  0。

所以系統為穩態熱傳 1 ( ) q 0 dx

kdT dx A

d

A_x ^x 

若 C.V.內無熱源或熱沉，即q0所以方程式可改寫為 0

)

1 ( 

dx k dT dx A

d A_x ^x 又若 Ax＝常數，則 ( )0

dx kdT dx

d

若 A_x、k 均為常數，則 ₂ 0

2

dx  T k d 例題 Ax、k 均為常數

2 0

2 

dx T

kd 之通解為 T(x) = c1x + c2

x = 0 ，T = T1

x = L， T = T2， c2 = T1，c₁ = (T2－T₁)/L

1 1

2 )

( )

( T

L T x T x

T   

由傅利葉定律，熱傳遞率為

kA L

T T L

T kA T

dx kAdT

q_{x x} ( ^{2 1}) ^{1 2}

|    





因為均質內，熱傳遞率與 x 函數無關，即 q_x在 x 方向並無變化

R I V

kA L

T

q_x T   

 ^{1 2}

R(熱阻，thermal resistance) = L/kA，qx(熱流，熱通量)  I 電流 T1－T2(溫差)  V(電壓)

同理，牛頓冷卻定律(熱對流) R I V

hA T T T

T hA

q_x  _w  _  ^W  ^   ) 1

(

所以 R = 1/hA

L

T1

T2

T(x)

x qx

R=L/kA

例題 3-1

若 k常數，即 k 與 T 成線性關係(大部分固體) )

1

0( T

k

k   

k0表再溫度為零時的導熱度為一常數，為熱導度之溫度係數。

因此由傅利葉式積分可得





x

x dx kdT

A q

)]

2 ( 1 )[

( )

1

( _{0 1 2 1 2}

0

2

1

T T T

T k dT T A k

L

q ^T

T

x 



以平均溫度計之 T_m = (T₁＋T₂)/2

則平均熱導度 k_m = k₀[1＋( T1＋T₂)/2]，所以 q_x在線性化後

m m

m

x R

V

A k

L T T L

T A T

k

q  ( ¹  ²)  ¹  ² 

3-1-3 具有熱源之平面壁：

若物體所生熱源乃由電能所生，則 E_g = I²R 換為功率強度(W/m²) 為

V R I V q E^g

 2







假設熱導度為常數，熱傳導方程式

2 0

2  

 k q dx

T

d 

其通解為

2 1 2

) 2

( x c x c k

x q

T   



  見 63 頁圖 3-3(a-c)。

Case a. 代入邊界條件 T(-L) = T₁，T(+L) = T₂，得

2 , 2

2

2 2 1

2 1 2 1

T L T

k c q

L T

c T   

 

 

代入通解方程式可得

2 ) 2

1 2 ( )

( ₂ ^{2 1 2 1}

2

2 T T

L x T T L x k

L x q

T 



 



 

 

因此若欲求壁內的任一點熱傳遞率，可由傅利葉定律獲得

L T k x T

dx q k dT

q_{x x x}  

 





 

2 )

|  ( ^{1 2}

Case b. 若 T₁ = T₂ = T_S，則T(x)為

TS

L x k

L x q

T   

 (1 )

) 2

( ₂

2

 2

以中央溫度最高，即在x = 0 時

TS

k L T q

T  



 2

) 0 (

2 0



因中央溫度梯度為0，即dT/dx = 0，所以可以絕熱面替代。

Case c. x = 0為絕熱面，x = L時 T(L) = T2，由能量平衡 )

(

|  ₂  _

 h T T

dx k dT _L

代入3-24式得表面溫度

h L T q

T 



 _ 

2

3-2 均質圓筒面的熱傳導：

基本假設

1. L(長度)＞＞rO，ri且 qL = 0。

2. 圓筒材料內溫度變化為r的函數，即與圓周方位(向)無關。

3. 一維熱傳導。

dr rL dT dr k

k dT A q

E_in  _r  _r  (2 )

dr rL q

E_g  ^(2



dr dr q dq q

E_out  _rdr  _r  ^r

] ) (

[

2 dr

dr dr rk dT d dr kr dT

L 



 

dt dr rL dT C

E_St   (2 )

能量守恆Ein + Eg = Eout +Est

Est控制容積內能變化，C材料比熱，材料密度 各項代入能量守恆，並簡化成

dt dr rL dT C dr dr

krdT dr

d dr krdT L dr

rL dr q

rL dT

k(2 )  (2 ) 2 [  ( ) ] (2 )

 

dt CdT dr q

kr dT dr

d

r ( )    1

穩態dT/dt = 0

1 ( ) q0 dr

krdT dr

d

r 

L rO

ri

dr qr

qr+dr

若控制容積內無熱源或熱沉，則q 0。且 1 0

2

2  

dr dT r dr

T

d 或 ( ) 0

dr krdT dr

d

3-2-1 無熱源之均質圓筒面的熱傳導：

由3-2方程式 ( ) 0 dr krdT dr

d 直接積分可得其通解T(r)c₁lnrc₂ 邊界條件r = ri時T = Ti且r = rO，T = TO代入通解得

i i

i c r c T

r

T( ) ₁ln  ₂  和T(r_O) c₁lnr_O c₂ T_O解聯立方程式得

) ln(

1

i O

i O

r r

T c T 

 及

) ln(

) ln

2 (

i O

i i O i

r r T r T T

c   

 ^{( )}

) ln(

) ln(

)

( _{O i}

i O i

i T T

r r

r r T

r

T   

且 ^{( )}

) ln(

2

O i

i O r

r T T

r r Lk dr

k dT A

q    

由I = V/R知

Lk r r

R ⁱ

O

 2

) ln(



若qr = 常數則可以由直接積分圓筒熱傳遞率及溫度分佈方程式 dr

rL dT k

q_r  (2 )





r r k dT

rL q dr

 2

) (

) ln(

2

O i

i O

r T T

r r

q  Lk 

同理當rrO且TTO ，所以

) (

) ln(

2 T T

r r

q Lk _i

i

r   

L

2rO

2ri

qr

 ^{( )} )

ln(

) ln(

)

( _{O i}

i O

i

i T T

r r r r T

r

T    化簡成無因次式，改寫成

) ln(

) ) ln(

(

i O i i

O i

r r r r

T T

T r

T 





3-2-2 具有熱源之均質圓筒面的熱傳導：即q0

若k = 常數，則

0 )

(  

k rq dr rdT dr

d 

積分一次 1

2

2

1 c

k r q dr

rdT   

 r

r c k q dr

dT ₁

2 

 

積分兩次 1 2

2 ln

) 4

( r c r c

k r q

T    

空心圓筒柱體的邊界條件：r = ri時 T = Ti；r = rO，T = TO

 1 2

2 ln

4 r c r c

k

T_i   q _i  _i 

和 1 2

2 ln

4 r c r c

k

T_O  q _O  _O 

解聯立

) ln(

4 ] ) ) (

[(

2 2

1

i O

i O i

O

r r

k r r T q

T c

 







而

) ln(

)] ln 4 (

) [(

4 )

( ^{2 2}

2 2

i O i i

O i

O i

i

r r r r

k r T q

k T r T q

c        

所以圓筒溫度分佈

)]

( ) ln(

) ln(

) 4 [(

) ln(

) ln(

) (

)

( ^{2 2 2} _i²

i O i i

O

i O i i

O

i r r

r r

r r r

k r q

r r

r r T

T T r

T        

由熱傳導 dr

rL dT k

q_r  (2 ) ，求 dT/dr = ???

r = ri

] 1 ) ln(

) 1 2(

1 [ )

ln(

) (

2 ²

2

2 



 

 

i O i O

i

i O

O i r

r

r r r r q L r r

r T T q kL

i   

r = rO

] ) ln(

) 1

2( 1 1 [ )

ln(

) (

2 ²

2

2

i O O

i

i

i O

O i r

r

r r

r r q

L r r

r T T q kL

O





 

    

若考慮實心圓柱體，則r = ri = 0，溫度函數在圓柱體中央必須是 連續的dT/dr = 0 故r = 0時 c₁ = 0且r = r_OT = T_O，其解與實心 圓柱體同：

2 1

2 ln

) 4

( r c r c

k r q

T    

當r  0時，ln r ，因此c₁ = 0

 O

O T

k r c  q 

4

2 2



圓筒之溫度分佈

) 1

4 ( )

( ₂

2 2

O O

O r

r k

r T q

r

T    

所以圓內最高溫Tmax位於r = 0，即dT/dr = 0 處

k r T q

T _O ^O

4

2 max

 

 _{可化為無因次式}

1 ) ( ) 1

(

2

max

O O

O r

r

T T

T r

T 

 



實心圓筒表面的熱傳流率

q L dr r

rL dT k

q_{r r r r O}

O

O  (2 ) | _  ² 



例題3-2

3-3 合成壁面之熱傳導：

在工程上的應用，熱傳導通過多層材料，各層各具有不同的 熱導度，如高溫設備或管線外面包覆保溫材料等等，即所謂合成 壁面之熱傳導問題。

考慮三層不同的材料組成，各層接觸熱阻不計：

a. 串聯



c b

a

x R

T T R

T T R

T

q T^{0 1 1 2 2}  ³

 

 



a xR q T T₀  ₁ 

b xR q T T₁  ₂ 

c xR q T T₂  ₃ 

即T₀ T₃ q_x(R_a R_b R_c)

所以 總電阻

 溫差

 



q_x T^{0 3} 而^總電阻



b. 並聯

b a

b a

b a

R R

R R R

R

R  





c. 串-並聯

d

c b

a R

R R R

R 







3-4 合成圓筒之熱傳導：

總電阻

 總溫差

 



q_r T^{1 4}

3 2

1 R R

R

R  





總電阻

1 1 2

1 2

) ln(

Lk r r

R ^  ^， ₂

2 3

2 2

) ln(

Lk r r R ^ 

3 3 4

3 2

) ln(

Lk r r R ^ 

3-5 對流邊界條件：

當有流體運動存在或自由對流或強制對流；將在物體表面形成熱 L_a L_b L_c

T₀

T1

T₂

T3

k_a k_b k_c

qx

Aa，ka

A_b，k_b

T1 T2

A B

C

D

T1 T2

r4

r3

r2

r1

qr

T1 T2

T3

T4

邊界層及動力邊界層，並使物體表面與流體兼具有溫差，其物體與流 體間之熱傳遞率為

R I V

hA T T T

T hA q

h W

w

x   _   ^  

) 1

( _，

R_h hA1



a. 平板對流邊界條件

2 2 , 2 2

2 3 1

3 1 1

1 1 ,

h w k

w k

w h

w

x R

T T R

T T R

T T R

T

q T^  ^

 

 

 

 A R_h h

1 1

 1

A k R_k L

1 1 1 

A k R_k L

2 2 2 

A R_h h

2 2

 1

2 2 1 1

2 , 1 ,

h k k h

x R R R R

T q T







 ^  ^ ，

2 2 2 1 1 1

2 , 1 ,

1 1

h k L k L h

T T A

q_x q^x







 

   

(反求Tw1，Tw2，T3) b. 圓筒對流邊界條件

O h

O O

w k

O w k

i w i

h i w i

r R

T T R

T T R

T T R

T q T

, , ,

2 , 1 1

1 , ,

,

, 

 

 

 

 



i i i

h rLh

R 2 1

, 

1 1

1 2

) ln(

Lk r r

R_k ⁱ

 

2 1

2 2

) ln(

Lk r r R

O

k ^  ^，R^hO r_OLh_O

 2

1

,  ，

O h k

k i h

O i

r R R R R

T q T

, 2 1

,

, ,







 ^  ^

單位管長之熱傳率

O O O

i i

i

O r i

r

h r k

r r k

r r h

r

T T L

q q

) 1 / ln(

) / 1 ln(

) (

2

2 1 1

1

, ,







 

    

L1

Tw1

L2

Tw2

T,1

h1

T_,2 h2

T3

qx

T_,O hO

ri,TW,i

r1,T1

k1

rO,TW,O

T,i

hi

k₂

3-6 接觸熱阻(thermal contact resistance)

兩材料的接觸之間所造成的溫度突降，此乃接觸熱阻所造成的結果；

由能量平衡可得

2 2 2 2 2 1 1

1 1

1 1 x

T AT

k A h

T T x

T AT k

q ^c

c c c c

x 

 

 



 

A k

x A h A k

x

T q T

c x

2 2 1

1

3 1

1  

 

 

其中1/hcA稱為接觸熱阻

，hc接觸係數(contact coefficient)。 接觸熱阻的傳導機構

1. 在接觸點上固體與固體間的傳導。

2. 經由接觸空隙的氣體傳導。(熱阻主要來源) 3-7 臨界絕緣厚度：

絕緣厚度r0 – r1

圓管之熱損失

k r r h

r

T T q_r L

) / 1 ln(

) (

2

1 0 0

0 1



   ^

對不同r0(insulation radius, 絕緣半徑)，最大熱損失dqr/dr = 0

2

0 1 0

0 0

2 0 0 0

0 1

0 1 ln( / )]

[

1 ) )( 1

( 2

k r r r

h

r r h T k T L dr

dq_r











 



0 0

0 h

r k r_cr  

當r₀＜r_cr，r₀則q_r 當r0＞rcr，r0則qr

k1 k2

T1 T2

qx

T2

T1

Tc1

Tc2

x