高雄市明誠中學 高二(下)平時測驗 日期：95.04.10 班級 普二 班
範 圍
2-2、3
乘法加法原理、排列 座號
姓 名 一、選擇題(每題 10 分)
1.(複選)「庭院深深深幾許」等七個字重排，則 (A)三個「深」字相連的排列數 = 120 (B)同字不相鄰的排列數 = 240
(C)首末排「深」字且同字不相鄰的排列數 = 96
(D)「庭、院」兩字排在「深」之左(未必相鄰)的排列數= 84
(E)「庭、院」兩字排在「深」之左，「幾、許」兩字排在「深」之右的排列數 = 40
【解答】(A)(B)(D)
【詳解】
(A)三個「深」相連： 將三個「深」視為一體與其他字排列，排法有 5！ 3!
×3! = 120 種 (B)同字不相鄰：
先排「庭、院、幾、許」，再將三個「深」字插在 3 個間隔中 其排法有 4！× 240
3
5 3 =
！
P 種
(C)首末排「深」且同字不相鄰：
深 ○ ○ ○ ○ ○ 深 ↑ ↑ ↑
(三選一 排「深」) 其排法有 3× 4！= 72 種 (D)「庭、院」在「深」之左 ○○○○○幾許，排法有
！
！ 5 7
最左二個○位置填入「庭、院」有 2！種填法，其餘三個○位置填「深」字填法 1 種 故所有排法有 2 84
5
7 × ！=
！
！ 種
(E)「庭、院」在「深」之左，「幾、許」在深之右 ○○深深深○○
↓ ↓
「庭、院」 「幾、許」
排法有 1 × 2！× 2！= 4 種 2. (複選)下列各式何者正確？
(A) 6！= 720 (B) n！= P (C) P = n(n − 1)(n − 2)…(n − m + 1) (D) P =nn nm nm
)
( ！
！ m n
n
− (E) 0！= 1
【解答】(A)(B)(C)(D)(E)
二、填充題(每題 10 分)
1. 7200 之正因數中為 5 的倍數但不為 9 的倍數者有 個。
【解答】24
【詳解】
7200 = 25．32．52，d | 7200 且 5 | d，但 9 d
設d ，其中
則d共有 6 × 2 × 2 = 24 個 2p 3q 5
= × × r p=0,1, 2, 3, 4, 5 ; q=0,1 ; r=1, 2
2.如圖，用 4 種顏色著色，4 色都用，塗在下圖區域中，相鄰區域顏 色須相異，則有 種塗法。
【解答】72
【詳解】
依 A，B，C，D，E 的順序，分成兩類
cB，D 同色、塗法有 4 × 3 × 2 × 1 × 2 = 48 種 dB，D 異色、塗法有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 24 種 共有 48 + 24 = 72 種塗法
3.用一元硬幣 8 個，五元硬幣 1 個，十元硬幣 1 個，
(1)可付 種款項。(2)有 種付款方式。
【解答】(1) 23 (2) 35
【詳解】
(1) 大鈔換小鈔 ，有 1 元至 23 元，共 23 種款項
(2) = 35
8 5 1 10 1 23
⇒ + × + × = (8 1)(1 1)(1 1) 1+ + + −
4.某地街道圖如右，則由A → E走捷徑有 種走 法，A → C走捷徑有 種走法。
【解答】21 種；84 種
【詳解】
5.以 1000 元換成 500 元，100 元，50 元三種鈔票，其換法有 種，若其中 100 元 券至少一張，其換法有 種。
【解答】18；15
【詳解】
設 1000 元券換成 500 元 x 張，100 元 y 張，50 元 z 張
則 500x + 100y + 50z = 1000，x，y，z 為非負整數 ⇒ 10x + 2y + z = 20
(1)c當 x = 0 ⇒ 2y + z = 20，其解為 共有 11 組解 d當 x = 1 ⇒ 2y + z = 10，其解為 共有 6 組解 e當 x = 2 ⇒ 2y + z = 0，有 1 組解(2，0，0)
∴ 換法有 11 + 6 + 1 = 18 種 (2)限制 100 元至少一張時（即 y ≥ 1）
c當 x = 0 時 ⇒ 2y + z = 20，其解有 10 組 d當 x = 1 時 ⇒ 2y + z = 10，其解有 5 組 ∴ 換法有 10 + 5 = 15 種
6.設一室有 5 個門，兄弟二人由不同門進入，不同門出來，則 (1)自己可以由相同門進出時，其方法有 種。
(2)自己不可以由相同門進出時，其方法有 種。
【解答】(1)400 (2)260
【詳解】
(1)兄先進入方法有 5 種，弟再進入方法有 4 種 進入方法共有(5 × 4 )種 兄出來時方法有 5 種，弟出來時方法有 4 種 出來方法共有(5 × 4 )種 進出方法共有(5 × 4 ) × (5 × 4 )= 400 種
(2)進入： 兄先進入方法有 5 種，弟再進入方法有 4 種 進入方法共有(5 × 4 )種 出來：
①兄由弟進入時的門出來，其出來方法有 1 × 4 = 4 種 ②兄不經由弟進入時的門出來，其出來方法有 3 × 3 = 9 種 故進出方法有 20 × ( 4 +9 )= 260 種
⇒
⇒
⇒
7. 有 4 位男生及 3 位女生排成一列，若要求男生須排在一起，女生亦須排在一起，其排法 有 種，若只要求男生排在一起，其排法有 種。若男女相間隔則排 法有 種。
【解答】288；576；144
【詳解】
(1)將 4 位男生視為一體，3 位女生視為一體，排法有 2 ! 種
4 位男生交換位置，排法有 4 ! 種，3 位女生交換位置，排法有 3 ! 種 故排列數 = 2 ! × 4 ! × 3 ! = 288
(2)將 4 位男生視為一體與 3 位女生一起排法有 4 ! 種
4 位男生交換位置，排法有 4 ! 種，故排列數 = 4 ! × 4 ! = 576
(3)男生先排有 4 ! 種排法，3 位女生再插中間 3 個空隙 3 !排法，故排列數 =4 ! × 3 ! = 144 8. 3 瓶相同的汽水，4 個相同的果汁，分給 10 人，則每人至多一物的分法有 種。
【解答】4200
【詳解】
如同 AAABBBBXXX 之排列，
3 4 3
10
！
！
！
！ = 4200
9. 將ACCESS一字的字母重新排列，若限制A一定要排在E之前，但A，E不一定要相鄰，問 A，C，C，E，S，S六個字母共可排出 字。
【解答】90
【詳解】
先求□□CCSS 之排列為
! 2
! 2
! 2
!
6 ，再將 A，E 放入□□之方法只有 1 種(A 左，E 右 )
故所求為2!2!2!
!
6 × 1 = 90
10. 從 0，1，2，3，4，5 中取出三個不同數，寫成三位數，則其中 4 的倍數有 個。
【解答】24
【詳解】先取末兩位：04，12，20，24，32，40，52
兩位中①含 0 的有 3 個，其百位數有四個選擇，共 3 × 4 = 12 個 ②不含 0 的有 4 個，其百位數有三個選擇，共 4 × 3 = 12 個
∴ 所求 4 的倍數共有 12 + 12 = 24 個
11. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚共 7 人排一列，甲須排在乙、丙、丁之左，且戊須排在 己、庚之右的排法有 種。
【解答】420
【詳解】
! 3
! 4
!
7 × 3！ × 2！= 420
↑ ↑
乙丙丁 3 人之排法 己庚 2 人之排法
12. 渡船三隻，每船可載 6 人，則 7 人過渡，
(1) 有 種安全渡法。(2)若甲坐A船，有 種安全渡法。
【解答】(1)2184 (2)728
【詳解】
(1) 全部 − ( 7 人同船) ：37 − 3 = 2187 − 3 = 2184 種
(2)甲坐A船，另 6 人均有 3 種選船法，故為 36法，但 6 人不可與甲同時選A船 故共有 36 − 1 = 729 − 1 = 728 種
13. 從 1、2、3、4、5、6、7 七個數中，組成數字不重複的三位數，則其中 3 的倍數有 個。
【解答】78
【詳解】將 7 個數字分三類：3 型者有 3，6，k 3k+1型者有 1，4，7，3k+2型者有 2，5 c3k型取 1 個，3k+1型取 1 個，3k+2型取 1 個排列，三位數有 2 × 3 × 2 × 3！= 72 個
d 型取 3 個排列，三位數有 1 × 3！= 6 個
∴ 三位數有 1 3k+
78 6
72+ = 個
14. aabbccdd排成一列，其中a與b不相鄰之排法有 種。
【解答】660
【詳解】先排 c，c，d，d，有
! 2
! 2
!
4 種方法，接著 a，a，b，b 插入 5 間隔排有四類
(1) a，a，b，b ⇒
! 2
! 2
!
4 ×
! 2
! 2
5
P4
= 180
(2) a a ，b，b ⇒
! 2
! 2
!
4 ×
! 2
5
P3
= 180
(3) a，a， b b ⇒
! 2
! 2
!
4 ×
! 2
5
P3
= 180 (4) a a ， b b ⇒
! 2
! 2
!
4 × P = 120
∴ 180 + 180 + 180 + 120 = 660
5 2
15.「tennessee」一字中，各字母重排，有 種排法，若同字母須相鄰，有 種排法。
【解答】3780；24
【詳解】
(1)4 2 2 9
！
！
！
！ = 3780（種）（9 個字母中，有 4 個 e，2 個 n，2 個 s，1 個 t）
(2)即 t，e，n，s 全取排列數 4！= 24（種）
16.甲，乙，丙，…等 10 人排成一列，
(1)甲不排首，乙不排第二位，丙不排末之排法有 種。
(2)甲，乙不排首，乙，丙，丁不排末之排法有 種。
【解答】(1) 2656080 (2) 2016000
【詳解】
(1) 全部 − (甲排首，乙排第二位，丙排末) + (甲排首且乙排第二位，乙排第二位且丙排 末，丙排末且甲排首) − (甲排首且乙排第二位且丙排末)
10！− ( 9！+ 9！+9！)+ ( 8！+ 8！+8！)− 7！=10！− 3 × 9！+ 3 × 8！− 7！= 2656080 (2) (甲，乙以外的 8 人先排首)，後(乙，丙，丁以外的 7 人排末)，其餘 8 人再排
但(戊、己、庚、辛、壬、葵等 6 人一人不可能同時排於首末) 8 × 7× 8！− 6× 8！ = ( 8 × 7 − 6 ) × 8！= 2016000
17.自 0，1，2，3，4，5 六個數字中，選取五個排成一五位數，
(1)共有五位數 個。(2)所得的五位數中，大於 31200 者有 個。
【解答】(1) 600 (2) 330
【詳解】
(1)首位數 0 以外可排 1~5⇒ 5 × P54 = 600
(2)首位數可為 3、4、5
3 1 F F 3．P = 18 3
3 2
F F F 3．P = 72 F F F F 2．P = 240
∴ 240 + 72 + 18 = 330
4 3
5
4 5
4
18.如圖，由A到B走捷徑，求下列之走法有幾種：
(1)任意走 。 (2)過C且過D 。 (3)不過C且不過D 。
【解答】(1) 126 種 (2) 36 種 (3) 32 種
【詳解】
(1) 4 5 ) 5 4 (
！
！ + ！
= 126（種）
(2) A → C → D → B：
1 1
) 1 1 (
！
！ + ！
× 2 2 ) 2 2 (
！
！ + ！
× 2 1 ) 1 2 (
！
！ + ！
= 2 × 6 × 3 = 36 (3)利用加法原理
有 32 種
19.由二年 1 班至 8 班的八個班級中，任選出三個班級代表學校參加合唱比賽，
(1)若選出的三個班級號碼均相連，則其選法有 種。
(2)若選出的三個班級號碼兩兩均不相連，則其選法有 種。
【解答】(1)6 (2)20
【詳解】
(1)在 8 個班級中，選 3 個相連號碼的方法
有(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(5，6，7)，(6，7，8)共 6 種選法 (2)
8 個班級號碼選 3 個兩兩均不相連，可視為 5 個空位的前後共 6 個間隔任取 3 個來擺
班級號碼，故有
! 3
6
P3
= 20 種
20.將「pallmall」一字中，所有字母全取而排列之，依下列條件，求其排列數，
(1)所有 均相鄰A 。 (2) 均不相鄰A 。(3)同字母不相鄰 。
【解答】(1) 60 種 (2) 60 種 (3) 54 種
【詳解】
(1) 4 個 相鄰視為一個字母，有A 2 5
！
！ = 60 種 (2)
∨ ∨ ∨ ∨ ∨ p a m a
4
5 4
P ×！ 2 4
！
！ = 60（種）
pama 之排法 A插入「∨」中之排法
(3)即 不相鄰且 a 不相鄰= 不相鄰 − 不相鄰但 a 相鄰 A A A
∨
∨
∨
∨
p m aa
不相鄰且 a 相鄰有
A 4！
4
P × 3！= 6 種，故所求= 60 −4
4
4 4
P × 3！= 54（種） ！ 21.樓梯有 12 階，一人上樓，一步一階或一步二階，走法有 種。
【解答】233
【詳解】
設一步一階有 x 次，一步二階有 y 次，則 x + 2y = 12，其中 x，y 為非負整數，
故有下列情形
c d e f g h i
∴ 走法有
⎩⎨
⎧
=
= 6 0 y x
⎩⎨
⎧
=
= 5 2 y x
⎩⎨
⎧
=
= 4 4 y x
⎩⎨
⎧
=
= 3 6 y x
⎩⎨
⎧
=
= 2 8 y x
⎩⎨
⎧
=
= 1 10 y x
⎩⎨
⎧
=
= 0 12 y x
! 6 ! 0
6! +
! 5 ! 2
7! +
! 4 ! 4
8! +
! 3 ! 6
9! +
! 2 ! 8
! 10 +
! 1 ! 10
! 11 +
! 0 ! 12
!
12 =233 種
22.兄弟二人在排成一列的 20 個空位中，
(1)選坐相鄰的兩個座位就坐，則有 種坐法。
(2)選坐不相鄰的兩個座位就坐，則有 種坐法。
【解答】(1)38 (2)342
【詳解】
(1) 選其中相鄰座位的選法有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，…，(19，20)共 19 種 又兄弟可以互換，∴兄弟二人相鄰而坐的坐法有 19 × 2！= 38
(2)(從 20 個座位任選兩個入坐) − (選中兩相鄰座位的坐法)
全部坐法有 P202 = 380， ∴兄弟二人不相鄰而坐的坐法有 380 − 38 = 342 23.A，B，C，D，E，F，G，H等 8 人排成一列，求下列排法：
(1) A，B相鄰，C，D不相鄰 。(2) A，B，C均與D不相鄰 。
【解答】(1) 7200 (2) 14400
【詳解】
(1) A B ，E，F，G，H 先排，再將 C，D 插入空隙⇒( 5！× 2 )× P26= 240 × 30 = 7200 (2)先排 D，E，F，G，H ⇒ 5！= 120
4 5 6 A
B C
→ ⎫
→ ⎪⎬
→ ⎪⎭ 放入 (空隙) 種 再放入(空隙) 種 再放入(空隙) 種
4 × 5 × 6 = 120，∴ 所求 = 120 × 120 = 14400
