數學科陳清風／桃園高中

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(1)大考風向球. 數學科. 陳清風／桃園高中. 戰地記者龍騰報導近幾年來，學測儼然成為升上大學的主要管道，尤其今年的試題難度增高，題幹敘述更是歷年學測最長。因而，這份學測試題更受到多方關注。今年試題是採用 99 課綱的第三年，整體而言，題目靈活、題幹長、計算複雜，在「解題能力」方面的題目也偏多，是一份相當具有鑑別度的試題。學生不僅需要靈活應用基本概念、加強問題與教材連結的能力，還須培養閱讀題目的耐心及理解題意，才可取得高分。. 2. 104 年 2 月 10 日. 1030340. 4 8 3.

(2) 大考風向球. 104 學測命題特色前言甄選入學已成升大學主流，今年大學甄選入學招生達六萬七千多個名額，占招生名額近六成，創史上新高，臺大等多所頂尖大學甄選比率都超過五成，交大近七成，清大近八成。使得這份學測試題受到多方的關注。 99 課綱將數學課程的內容簡化，102 年首次採用此課綱命題，一般預測考題會比往年簡單，但卻是出乎大家意料之外的難。而 103 年第二次採用，則將難易度調回來了，是一份難易適中的試題。今年第三次採用，又擺盪回較難的一方。現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。. 歷年題型分配今年試題的題型沒有改變，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數略有更動，但總題數（20 題）及配分（每題 5 分）則維持不變。題型年度. 22. 單選題. 多選題. 選填題. 總題數. 102 年. 6. 6. 8. 20. 103 年. 6. 6. 8. 20. 104 年. 4. 6. 10. 20.

(3) 大考風向球. 104 學測試題分布今年試題的分布如下表（單元名稱的劃分是依據 99 課綱）：冊章 1 一2. 二. 單元名稱. 題號. 配分. 數與式. 無. 0. 多項式函數. 6. 5. 2，7，F. 15. 3. 指數、對數函數. 1. 數列與級數. 1. 5. 2. 排列、組合. 10， C. 10. 3. 機率. 3 ，B. 10. 4. 數據分析. 5. 5. 1. 三角. A， J. 10. 三2. 直線與圓. 4. 5. 3. 平面向量. 9，E. 10. 1. 空間向量. H. 5. 四. 2. 空間中的平面與直. D， I. 線. 10. 3. 矩陣. G. 5. 4. 二次曲線. 8. 5. 小計 20. 30. 25. 25. 觀察上表後，有以下看法： 1. 若以冊來分類，配分還算平均，每一冊各約占四分之一。 2. 若以章來分類，除第一冊第 1 章數與式外，試題的分布涵蓋每一單元，這應是歷年學測的命題原則吧！. 試題評析底下針對今年數學考題作評析： 1. 第 1 題：這個難度很適合放第 1 題。 2. 第 3 題：題目中「串接」一詞容易讓考生與電路的「串聯」混淆，而誤選(5)。若改為其他情境或不要用「串接」這個詞，會更佳。 3. 第 4 題：有創意的線性規劃題，具鑑別度，可分辨出只會用頂點法而忽略平行線法的考生。 4. 第 5 題：簡單並結合時事，且是屬於不須煩雜計算的數據分析題。但選項(2)的語意容易看成是「每公里的每步平均距離」。 5. 第 8 題：不錯的雙曲線題，但符號宜配合大家慣用的符號，例如：方程式中的 r 用 a 或 b ，點.  a, b  用  x1, y1  。. 3.

(4) 大考風向球. 6. 第 9 題：初看到題目會嚇一跳，但只要能建立坐標系就容易解出。此題對學過圓參數式的同學應較有利，但圓參數式是數甲上及數乙上的內容。 7. 第 10 題：利用文氏圖列出等式不難，但要定出 4 個變數的範圍則難度較高，放在選擇題的最後一題是合理的安排。 8. 第 A 題：此題不難，但數據真的很嚇人。若將角度改為特別角或美化數據，會更適合放在選填題的第一題。 9. 第 B 題：題目中出現「條件」又是機率題，自然會用條件機率解題，但這樣反而會陷入數字陣中。若能想到抽籤原理，則會是相當簡單的一題。 10. 第 D 題：若依題目敘述的方向解題，須作三次兩面式改參數式，再算三次直線與平面的交點，最後求出三角形的周長，這將是一場災難。若能將示意圖畫出，看出頂點就是三平面的交點，就能減少很多的計算。這或許是命題者為了避開「三平面幾何關係的代數判定」不在學測命題範圍內所想出的題目敘述方式吧！ 11. 第 E 題：若依題目敘述的方向想，會試著去求 Q1 , Q2 點移動時， P 點軌跡的兩條直線，而這兩條直線的交點就是 P 點，這樣的解法難度頗高。若是能改為先設 P 點坐標，而得 Q1 , Q2 點坐標，再分別代入兩直線的方程式，將會是較佳的解題策略。 12. 第 F 題：現實生活都用複利計算，而且並非所有版本的課本都有提及單利（龍騰版課本有提，在第二冊的 3-5），題目中也沒定義單利，所以這題會讓不知道單利的考生很吃虧。 13. 第 G 題：這題直接分發人數，會比用轉移矩陣解更簡單。這題會讓學會使用轉移矩陣的考生沒優勢。 14. 今年缺「概念題」：往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」，今年很缺乏。 15. 計算量大：多步驟計算的題目偏多。 16. 數據煩雜：部分題目取近似值，必須計算精確，因此一些比較粗心的學生只要有一點閃失，會整題都錯。 17. 應用題多：部分用來包裝題目的文字敘述過長，會嚇到比較害怕數學的考生。 18. 跨章節的題目較往年少。. 結語整體而言，題目靈活，出現好幾題不錯的題目（如第 4、5、8、C、E 題），是一份有鑑別度的試題可是缺乏基本題、計算量大、數據不好計算等，恐怕會使中等以下程度的考生很受挫。這也意味著數學將是決定今年總級分高低的關鍵科目。. 22.

(5) 大考風向球. 未來命題趨勢大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主，較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面知能的試題各約占三分之一，但今年「解題能力」題偏多，「概念性」題偏少，是難度增加的主因。相信大考中心會審慎檢視這份試卷，讓明年的試題更符合學測評量的目標。在 99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法： 1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法，加強基本概念的練習是必做的基本功夫。 2. 情境題：生活化的試題年年都有，也是必然的命題趨勢，由於這類試題往往會比一般題目為長，所以應培養仔細閱讀題目的耐性，以及加強將問題與教材連結的能力。 3. 熱門單元：有幾個預期會考的單元沒出現，反而可能會成為明年的大熱門，值得注意。例如：拉格朗日插值法、迴歸直線、貝氏定理等。 4. 三星以下的單元：指考對標示三星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例如：二次曲線（一星），數列與級數（二星）等。 5. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題涵蓋兩個單元以上，也藉此提高試題的鑑別度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。. 3.

(6) 試題大剖析. 第壹部分：選擇題（占 50 分）（此份試卷解題係依據大學考試中心於 104 年 2 月 2 日所公告之答案為主）. 一、單選題（占20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。. 1. 數列的遞迴關係式. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度﹐連續五週的數據為 a1  1 ﹐ a2  2 ﹐ a3  6 ﹐ a4  15 ﹐ a5  31 ﹒. 請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子﹖ (1) at 1  3at  1 ﹐ t  1, 2, 3, 4 (2) at  t ! ﹐ t  1, 2, 3, 4, 5 (3) at 1  at  t 2 ﹐ t  1, 2, 3, 4 (4) at  2t  1 ﹐ t  1, 2, 3, 4, 5 (5) at 1  tat  1 ﹐ t  1, 2, 3, 4 ﹒ 出處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 4 單元數列與級數解題觀念：能知道遞迴關係式的定義﹐便可解出﹒ 答案：(3) 解析：(1) a2  2 ﹐ a3  6 不滿足 a3  3a2  1 ﹒ (2) a4  4!  24  15 ﹒ (3) a1 到 a5 均滿足此遞迴關係﹒ (4) a2  22  1  3  2 ﹒ (5) a2  2 ﹐ a3  6 不滿足 a3  2a2  1 ﹒ 故選(3)﹒. 22.

(7) 試題大剖析. 2. 首數與尾數的特性. 第 1 天獲得 1 元﹑第 2 天獲得 2 元﹑第 3 天獲得 4 元﹑第 4 天獲得 8 元﹑依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍﹐如此進行到第 30 天﹐試問這 30 天所獲得的錢﹐總數最接近下列哪一個選項﹖ (1) 10,000 元 (2) 1,000,000 元 (3) 100,000,000 元 (4) 1,000,000,000 元 (5) 1,000,000,000,000 元﹒ 出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元指數﹑對數函數解題觀念：能利用等比級數和公式﹐及首數與尾數的特性﹐便可解出﹒ 答案：(4) 解析：利用等比級數求和公式﹐得總數  1  2  22  23    2 29 ﹐ . 1   1  230  1 2.  230  1 ﹒. 又因為 log 230  30log 2  30  0.3010  9.03  9  0.03 ﹐ 即其首數為 9 ﹐尾數為 0.03 ﹐所以 230  a  109 ﹐其中 1  a  2 ﹐ 得知總數是最高位數字為 1 的十位數﹒ 故選(4)﹒. 3. 機率的性質. 有兩組供機器運作的配件 A ﹑ B ﹐其單獨發生故障的機率分別為 0.1 ﹑ 0.15 ﹒只有當 A, B 都發生故障時﹐此機器才無法運作﹒ A ﹑ B 兩配件若用串接方式﹐前面故障會導致後面故障﹐但若後面故障則不會影響前面的故障情形﹔若用並列方式﹐則故障情形互不影響﹒若考慮以下三種情形﹕ (一)將 B 串接於 A 之後 (二)將 A 串接於 B 之後 (三)將 A, B 獨立並列在情況(一)﹑(二)﹑(三)之下﹐機器無法運作的機率分別為 p1 ﹑ p2 ﹑ p3 ﹒ 請選出正確的選項﹒ (1) p1  p2  p3 (2) p2  p1  p3 (3) p3  p2  p1 (4) p3  p1  p2 (5) p1  p2  p3 ﹒ 出處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元機率解題觀念：看懂題意﹐再利用機率的性質便可解出﹒ 答案：(2). 3.

(8) 試題大剖析. 解析：(一) 因為 B 串接於 A 之後﹐且前面故障會導致後面故障﹐ 所以機器運作與否完全取決於 A ﹒因此﹐ p1  0.1 ﹒ (二) 同(一)﹐機器運作與否完全取決於 B ﹒因此﹐ p2  0.15 ﹒ (三) 因為 A, B 獨立並列﹐且兩配件都故障時機器才會停止運作﹐ 所以 p3  0.1 0.15  0.015 ﹒ 得知 p2  p1  p3 ﹐故選(2)﹒. 4. 線性規劃原理. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部﹐如右圖﹒已知目標函數 ax  by  3 （其中 a, b 為實數）的最大值只發生在 B 點﹒請問當目標函數改為 3  bx  ay 時﹐最大值會發生在下列哪一點﹖ (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E ﹒. 出處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元直線與圓解題觀念：了解線性規劃原理﹐便可解出﹒ 答案：(1) a k 3 解析：令 L1 : ax  by  3  k ﹐即 L1 : y   x  ﹐ b b. . 因為最大值只發生在 B 點﹐且 AB 的斜率為 1 ﹐ 所以 L1 斜率 . a  1 ﹐ x 項係數 a  0 ﹐ y 項係數 b  0 ﹒ b. b 3 h 再令 L2 : 3  bx  ay  h ﹐即 L2 : y   x  ﹐ a a b 因為 L2 斜率 0    1 ﹐ x 項係數 b  0 ﹐ y 項係數  a  0 ﹒ a 所以最大值只發生在 A 點﹒ 故選(1)﹒. 二、多選題（占30 分） 22.

(9) 試題大剖析. 說明：. 第 5 題至第10題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。. 5. 二維數據分析. 小明參加某次路跑 10 公里組的比賽﹐下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間﹑平均心率及步數﹕ 完成時間平均心率步數 5:00 161 990 第一公里 4:50 162 1000 第二公里 4:50 165 1005 第三公里 4:55 162 995 第四公里 4:40 171 1015 第五公里 4:41 170 1005 第六公里 4:35 173 1050 第七公里 4:35 181 1050 第八公里 4:40 171 1050 第九公里 4:34 188 1100 第十公里在這 10 公里的比賽過程﹐請依據上述數據﹐選出正確的選項﹒ (1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為 188 (2)小明此次路跑﹐每步距離的平均小於 1 公尺 (3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關 (4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關 (5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關﹒ 出處：龍騰版《數學 2》第 4 章數據分析《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 7 單元數據分析解題觀念：能讀表及了解相關係數的意義﹐便可解出﹒ 答案：(2)(4)(5) 解析：(1)平均心率最高 188 ﹐並不表示最高心率是 188 ﹒ (2)因為路跑總長 10 公里  10,000 公尺﹐總步數超過 10,000 步﹐ 所以每步距離的平均 . 10,000公尺  1 公尺﹒ 總步數. (3)觀察第一到十公里﹕完成時間有減少的趨勢﹐但平均心率有增加的趨勢﹐ 因此兩數據為負相關﹒. 3.

(10) 試題大剖析. (4)觀察第一到十公里﹕步數有增加的趨勢﹐平均心率也有增加的趨勢﹐ 因此兩數據為正相關﹒ (5)觀察第一到十公里﹕完成時間有減少的趨勢﹐但步數有增加的趨勢﹐ 因此兩數據為負相關﹒ 故選(2)(4)(5)﹒. 6. 多項式函數. 設 f  x  是首項係數為 1 的實係數二次多項式﹒請選出正確的選項﹒ (1)若 f  2   0 ﹐則 x  2 可整除 f  x  (2)若 f  2   0 ﹐則 f  x  為整係數多項式 (3)若 f.  2   0 ﹐則 f   2   0 (4)若 f  2i   0 ﹐則 f  2i   0. (5)若 f  2i   0 ﹐則 f  x  為整係數多項式﹒ 出處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元多項式函數解題觀念：能應用多項式的定理﹐便可解出﹒ 答案：(1)(4)(5) 解析：(1)因為 f  2   0 ﹐所以 f  x  有 x  2 的因式﹐即 x  2 可整除 f  x  ﹒.     (3)錯﹗例如﹕ f  x    x  2   x  2  滿足 f  2   0 ﹐但 f   2   0 ﹒. 2 (2)錯﹗例如﹕ f  x    x  2  x  2  x  2  2 x  2 2 非整係數多項式﹒. (4)根據虛根成雙定理﹐得知若 2i 是一根﹐則另一根必為 2i ﹒ (5)承(4)﹐得 f  x    x  2i   x  2i   x 2  4 為整係數多項式﹒ 故選(1)(4)(5)﹒. 7. 指數函數的圖形. 坐標平面上﹐在函數圖形 y  2 x 上﹐標示 A ﹑ B ﹑ C ﹑ D 四個點﹐其 x 坐標分別為 1 ﹑ 0 ﹑ 1 ﹑ 2 ﹒請選出正確的選項﹒ (1)點 B 落在直線 AC 下方 (2)在直線 AB ﹑直線 BC ﹑直線 CD 中﹐以直線 CD 的斜率最大. (3) A ﹑ B ﹑ C ﹑ D 四個點﹐以點 B 最靠近 x 軸 (4)直線 y  2 x 與 y  2 x 的圖形有兩個交點 (5)點 A 與點 C 對稱於 y 軸﹒. 22.

(11) 試題大剖析. 出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元指數﹑對數函數解題觀念：了解指數函數圖形的特性﹐便可解出﹒ 答案：(1)(2)(4) 1  解析：依題意﹐得 A  1,  ﹐ B  0,1 ﹐ C  1, 2  ﹐ D  2, 4  ﹒ 2 . . (1)因為 y  2 x 的圖形凹口向上﹐所以 B 在 AC 下方﹒. . (2)由右圖﹐得知 CD 的斜率最大﹒ (3)由右圖﹐得知點 A 最靠近 x 軸﹒ (4)兩圖形恰交於 C , D 兩點﹒ (5)因為 A, C 兩點不等高﹐所以不對稱於 y 軸﹒ 故選(1)(2)(4)﹒. 8. 雙曲線的特性. 坐標平面上有一雙曲線﹐其漸近線為 x  y  0 和 x  y  0 ﹒關於此雙曲線的性質﹐請選出正確的選項﹒ x2 y 2 x2 y2 或   1   1 ﹐其中 r 為非零實數 r2 r2 r2 r2 (2)此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長 (1)此雙曲線的方程式為. (3)若點  a, b  為此雙曲線在第一象限上一點﹐則當 a  1000 時﹐ a  b  1 (4)若點  a, b  ﹐  a, b  為此雙曲線在第一象限上兩點且 a  a ﹐則 b  b (5)此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y 軸﹒ 出處：龍騰版《數學 4》第 4 章二次曲線《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 14 單元二次曲線解題觀念：能知道雙曲線的特性﹐便可解出﹒ 答案：(1)(2)(4)(5) 解析：(1)因為漸近線的斜率為 1 ﹐所以圖中的矩形為正方形﹐ 即貫軸長  共軛軸長﹒ 因此若是左右開﹐則為. x2 y2  1﹐ r2 r2. x2 y2   1 ﹒ r2 r2 (2)由(1)知此選項正確﹒ 若是上下開﹐則為. 3.

(12) 試題大剖析. (3)錯﹗例如﹕當. x2 y2   1 時﹐ 10002 10002. 若 a  1001 ﹐則 b 2  10012  10002   1001  1000   1001  1000   2001 ﹐ 即 b  2001  45 ﹐不滿足 a  b  1 ﹒ (4)因為不論左右開或上下開﹐在第一象限的圖形都是遞增的﹐所以此選項正確﹒ (5)因為 x 軸與 y 軸為貫軸或共軛軸所在的直線﹐所以此選項正確﹒ 故選(1)(2)(4)(5)﹒. 9. 三角函數與向量. 如圖﹐以 M 為圓心﹑ MA  8 為半徑畫圓﹐ AE 為該圓的直徑﹐ B ﹑ C ﹑ D 三點皆在圓上﹐且 AB  BC  CD  DE ﹒.  . 若 MD  8  cos    90  ,sin    90   ﹒請選出正確的選項﹒.  . . (1) MA  8  cos ,sin   (2) MC  8  cos    45  ,sin    45   (3)（內積） MA  MA  8. . (4)（內積） MB  MD  0 (5) BD  8  cos  cos    90  ,sin   sin    90   ﹒ 出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角﹔第 3 章平面向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元三角﹔第 10 單元平面向量解題觀念：能知道三角函數的定義﹐及向量內積的性質﹐就能解出﹒ 答案：(2)(4) 解析：依題意建立坐標系﹐如右圖﹐其中 PMB   ﹐ 且每一弧的圓心角 45 ﹒ (1)有向角 PMA    45       45 ﹐根據三角函數的定義﹐得. . MA  8  cos    45  ,sin    45   ﹒. (2)因為有向角 PMC    45 ﹐所以.        . MC  8  cos    45  ,sin    45   ﹒ 2. (3) MA  MA  MA  82  64 ﹒. . (4)因為 MB  MD ﹐所以 MB  MD  0 ﹒ (5) BD  MD  MB  8  cos    90  ,sin    90    8  cos ,sin    8  cos    90   cos  ,sin    90   sin   ﹒. 故選(2)(4)﹒. 22.

(13) 試題大剖析. 10 集合的個數某一班共有 45 人﹐問卷調查有手機與平板電腦的人數﹒從統計資料顯示此班有 35 人有手機﹐ 而有 24 人有平板電腦﹒設﹕ A 為同時有手機與平板電腦的人數 B 為有手機﹐但沒有平板電腦的人數 C 為沒有手機﹐但有平板電腦的人數 D 為沒有手機﹐也沒有平板電腦的人數請選出恆成立的不等式選項﹒ (1) A  B (2) A  C (3) B  C (4) B  D (5) C  D ﹒ 出處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列﹑組合《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 5 單元排列﹑組合解題觀念：能利用文氏圖做分析﹐及推得各區域人數的範圍﹐就能解出﹒ 答案：(2)(3)(4) 解析：依題意畫出文氏圖﹐如右圖﹐且  A  B  35 C  D  10   A  C  24  ﹐  A  B  C  D  45  B  D  21  因為 35  24  A  45 ﹐所以 A  14 ﹒ 又 A  24 ﹐得 14  A  24 ﹒ 再由上列等式﹐推得 11  B  21 ﹐ 0  C  10 ﹐ 0  D  10 ﹒ 故選(2)(3)(4)﹒. 3.

(14) 試題大剖析. 第貳部分：選填題（占 50 分）說明： 1. 第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（ 11– 37）。 2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。. A. 三角測量. 如圖﹐老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13 ﹒老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 B ﹐再測得山頂點 P 的仰角為 15 ﹒則山高約為公丈﹒ （四捨五入至個位數﹐ tan13  0.231 ﹐ tan15  0.268 ）. 出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：能知道正切函數的定義﹐就能解出﹒ 答案： 62 解析：設 B 到山腳為 x 公丈﹐山高為 h 公丈﹐則 h   tan13  37  x  0.231  ﹐  tan15  h  0.268  x h  0.231   0.231  h  h 1   h   37    0.231  h  37  0.231    37  0.231 0.268  0.268   0.268   h  37  0.231 . B. 0.268  61.908  62 ﹒ 0.037. 機率的性質. 不透明袋中有 3 白 3 紅共 6 個球﹐球大小形狀相同﹐僅顏色相異﹒甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊 5 人依甲第一﹑乙第二﹑……﹑戊第五的次序﹐從袋中各取一球﹐取後不放回﹒試問在甲﹑乙取出不同色球的條件下﹐戊取得紅球的機率為. ﹒（化為最簡分數）. 出處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元機率解題觀念：能利用抽籤是公平的原理﹐便可解出﹒ 1 答案： 2. 22.

(15) 試題大剖析. 解析：因為甲﹑乙取出不同色球（即 1 白球 1 紅球）﹐所以袋中剩 2 白球 2 紅球﹒ 又因為丙﹑丁二人無任何限制﹐所以根據抽籤是公平的原理﹐得知戊取得紅球的機率為. C. 2 1  ﹒ 4 2. 重複組合. 小燦預定在陽台上種植玫瑰﹑百合﹑菊花和向日葵等四種盆栽﹒如果陽台上的空間最多能種 8 盆﹐可以不必擺滿﹐並且每種花至少一盆﹐則小燦買盆栽的方法共有種﹒ 出處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列﹑組合《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 5 單元排列﹑組合解題觀念：能將題目轉為方程式﹐再利用重複組合公式﹐便可解出﹒ 答案： 70 解析：設買玫瑰﹑百合﹑菊花和向日葵各 x, y, z, u 盆﹐空位 w 盆﹐則 x  y  z  u  w  8 ﹐其中 x  1 ﹐ y  1 ﹐ z  1 ﹐ u  1 ﹐ w  0 ﹒ 5 5 8 其整數解有 H 84  H 4  C 4  70 組﹒. 故買法共有 70 種﹒. D. 三平面的交點. 平面 x  y  z  0 與三平面 x  2 ﹐ x  y  2 ﹐ x  y  2 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形﹒此三角形之周長化成最簡根式﹐可表為 a b  c d ﹐其中 a, b, c, d 為正整數且 b  d ﹐ 則 a  ﹐ b  ﹐ c  ﹐ d  ﹒ 出處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 11 單元空間向量解題觀念：能知道三平面聯立方程式的解就是交點﹐即能解出﹒ 答案： 6, 2, 2, 6 解析：如右圖﹐此三角形的三頂點就是平面 x  y  z  0 ﹐ 與另三平面之任二平面的交點﹐ 解三個聯立方程式﹕ x  2  x  y  2 x  2     x  y  2 ﹐  x  y  2 ﹐ x  y  2 ﹒ x  y  z  0 x  y  z  0 x  y  z  0    得三頂點為 A  2, 4, 2  ﹐ B  0, 2, 2  ﹐ C  2,0, 2  ﹒ 故周長為 AB  BC  CA  2 2  2 6  4 2  6 2  2 6 ﹒ 即a  6 ﹐b  2﹐c  2 ﹐d  6 ﹒. 3.

(16) 試題大剖析. E. 向量的坐標表示. 坐標平面上﹐直線 L1 與 L2 的方程式分別為 x  2 y  0 與 3x  5 y  0 ﹒為了確定平面上某一定點 P. . 的坐標 ﹐ 從 L1 上的一點 Q1 偵測得向量 Q1P   7,9  ﹐ 再從 L2 上的點 Q2 偵測得向量. . Q2 P   6, 8 ﹐則 P 點的坐標為( , )﹒ 出處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量解題觀念：能利用向量坐標表示法的運算﹐便可解出﹒ 答案：  9,1. . . 解析：設 P  a, b  ﹐因為 Q1P   7,9  ﹐ Q2 P   6, 8 ﹐所以 Q1  a  7, b  9  ﹐ Q2  a  6, b  8 ﹒ 將 Q1 ﹐ Q2 分別代入 x  2 y  0 及 3x  5 y  0 ﹐得  a  7   2  b  9   0 a  2b  11   ﹒ 3 a  6   5  b  8   0 3a  5b  22 解得 a  9 ﹐ b  1 ﹐即 P 點坐標為  9,1 ﹒. F. 單利與複利. 小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金﹐其年利率為 3% ﹐約定三年期滿一次還清貸款的本利和﹒銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款﹐但給小華創業優惠改以單利計息還款﹒試問在此優惠下﹐小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳元﹒ 出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元指數﹑對數函數解題觀念：能知道單利與複利的公式﹐就能解出﹒ 答案： 8181 解析：單利的本利和為 3,000,000   1  3%  3   3, 270,000 元﹒ 複利的本利和為 3,000,000   1  3%   3, 278,181 元﹒ 3. 故少繳 3, 278,181  3, 270,000  8,181 元﹒. 22.

(17) 試題大剖析. G. 轉移矩陣. 某一公司﹐有 A﹑B﹑C 三個營業據點﹐開始時各有 36 位營業員﹐為了讓營業員了解各據點業務狀況﹐所以進行兩次調動﹒每次調動都是﹕ 1 1 將當時 A 據點營業員中的調到 B 據點﹑ 調到 C 據點﹔ 6 6 1 1 將當時 B 據點營業員中的調到 A 據點﹑ 調到 C 據點﹔ 6 3 1 1 將當時 C 據點營業員中的調到 A 據點﹑ 調到 B 據點﹒ 6 6 則兩次的調動後﹐ C 據點有位營業員﹒ 出處：龍騰版《數學 4》第 3 章矩陣《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 13 單元矩陣解題觀念：能依題意分入﹐或利用轉移矩陣分入﹐就能解出﹒ 答案： 44 解析：依題意﹐利用轉移矩陣﹐得 2 3  1 第一次調動後為  6 1   6. 1 6 1 2 1 3. 1 6  36  36   1    36  30 ﹐ 6     36   42  2      3 . 2 3  1 第二次調動後為  6 1   6. 1 6 1 2 1 3. 1 6  36  36   1    30  28 ﹒ 6      42   44  2      3 . 故 C 有 44 位營業員﹒. 3.

(18) 試題大剖析. H. 空間概念. 有一底面為正方形的四角錐﹐其展開圖如右圖所示﹐其中兩側面的三角形 . 邊長為 3, 4, 5 ﹐則此角錐的體積為. 3. ﹒（化為最簡根式）. 出處：龍騰版《數學 4》第 1 章空間向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 11 單元空間向量解題觀念：能將立體圖組出﹐再代體積公式﹐就能解出﹒ 答案： 1, 6, 5 解析：立體圖﹐如右﹒ 因為高 PM  32  22  5 ﹐ 1 16 5 所以體積為  42  5  ﹒ 3 3. I. 兩平面的交角. 在空間中﹐一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角  的正切值 tan  ﹒ 若一金字塔（底部為一正方形﹐四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡 2 度皆為 ﹐如圖﹒則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 5 （化為最簡分數）出處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 11 單元空間向量解題觀念：能建立空間坐標系﹐並寫出兩斜平面方程式﹐就能解出﹒ 25 答案： 29 解析：建立空間坐標系﹐如右圖﹒ 依題意﹐得兩斜面方程式為. 22. E1 : z . 2 y  E1 : 2 y  5 z  0 ﹐ 5. E2 : z . 2 x  E2 : 2 x  5 z  0 ﹒ 5. ﹒.

(19) 試題大剖析.   . . 利用兩法向量 n1   0,2, 5  ﹐ n2   2,0, 5  ﹐得 cos . n1  n2. n1 n2. J. . 25 25  ﹒ 29  29 29. 三角函數的定義. 下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐ 圖中 A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直﹐ B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距 AB 為 2.85 公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為 .. 公尺﹒ （小數點後第一位以下四捨五入﹐ sin 28  0.4695 ﹐ cos 28  0.8829 ）. 出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：了解題意﹐再根據三角函數的定義﹐便可解出﹒ 答案： 6.1 2.85 解析：依題意﹐得 cos 62  ﹐即 BC BC . 2.85 2.85 2.85    6.1 ﹒ cos62 sin 28 0.4695. 3.

(20) 試題大剖析. 參考公式及可能用到的數值 1.. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S . n  2a   n  1 d  2. 首項為 a ﹐公比為 r （ r  1 ）的等比數列前 n 項之和為 S  2.. ﹔. a  1 r n  1 r. ﹒. 三角函數的和角公式﹕ sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B ﹐ cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B ﹐ tan  A  B  . 3.. r ABC 的正弦定理﹕. tan A  tan B ﹒ 1  tan A tan B. a b c    2 R （ R 為 r ABC 外接圓半徑）﹔ sin A sin B sin C. r ABC 的餘弦定理﹕ c 2  a 2  b 2  2ab cos C ﹒. 4.. 一維數據 X ﹕ x1 ﹐ x2 ﹐…﹐ xn ﹐ 算術平均數  X . 標準差  X  5.. 1 1 n x  x    x   1 2  xi ﹐ n n n i 1. 1 n 1  n 2  2 2 x         xi   n X  ﹒  i X n i 1 n   i 1  . 二維數據  X , Y  ﹕  x1 , y1  ﹐  x2 , y2  ﹐…﹐  xn , yn  ﹐ n. 相關係數 r. X ,Y. .  x     y    ﹐ i 1. i. X. i. Y. n X  Y. 迴歸直線（最適合直線）方程式 y  Y  rX ,Y. Y  x  X  ﹒ X. 6.. 參考數值﹕ 2  1.414 ﹐ 3  1.732 ﹐ 5  2.236 ﹐ 6  2.449 ﹐   3.142 ﹒. 7.. 對數值﹕ log10 2  0.3010 ﹐ log10 3  0.4771 ﹐ log10 5  0.6990 ﹐ log10 7  0.8451 ﹒. 8.. 角錐體積 . 22. 1 底面積  高 3.

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數學科 陳清風／桃園高中

數學科陳清風／桃園高中