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# 中 華 大 學

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i

(2)

ii

(3)

iii

## ABSTRACT

Currently there are quite a few for software structural analysis, yet most of them have been developed for structural analysis rather than structural optimization. Even though optimization can be achieved by mathematical programming, the closure of software packages has made it difficult to integrate mathematical programming with structural analysis software. Therefore, in this research a structural optimization design method based on artificial neural network and design of experiments has been introduced without the need for integration of mathematical programming and structural analysis software. Instead, the structural analysis software is regarded as a laboratory, and the concept of “experiment-modeling-optimization” cycle of design of experiments has been used to achieve the structural optimization design. The process of optimization is as shown below: (1) the design is generated based on uniform random number, (2) the structural analysis is conducted by structural analysis software, (3) the prediction model is established by artificial neural network, (4) the optimization design is conducted by mathematical programming, and (5) the optimized design is verified by structural analysis software. This process can be iterated several times to approximate the optimal solution.

In this research the optimization designs of the cross-sectional dimensions of three truss structures have been used as examples, and the empirical results have indicated that the optimal solution can be approximated after three or four iterations, thus indicating the feasibility of this method.

Keywords: Structural optimization design, Artificial neural network, Design of experiments

(4)

iv

(5)

v

(6)

vi

### 目錄

ABSTRACT ... iii

1.1 研究背景 ... 12

1.2 研究動機與目的 ... 12

1.3 研究步驟及方法 ... 13

1.4 論文章節與架構 ... 14

2-1 結構最佳化 ... 16

2-2 類神經網路部分 ... 17

2-3 交叉驗證法之應用 ... 19

2-4 以類神經網路作結構最佳化設計 ... 19

3-1 桁架的有限元素分析 ... 20

3-1-1 直接建立桁架單元的平衡方程式... 21

3-1-2 由虛功原理建立桁架單元的平衡方程式 ... 22

3-1-3 局部座標到總體座標下桁架單元勁度矩陣的變換 ... 24

3-2 類神經網路 ... 25

3-2-1 類神經網路架構及基本原理 ... 26

3-2-2 類神經網路模式分類 ... 27

3-2-3 倒傳遞網路 ... 29

(7)

vii

3-3 交叉驗證法 ... 31

3-4 數學規劃法 ... 32

3-4-1 無限制最佳化 ... 33

3-4-2 限制最佳化 ... 34

4-1 案例一：平面 10 根桿件桁架 ... 35

4-2 案例二：平面 17 根桿件桁架 ... 46

4-3 案例三：空間 25 根桿件桁架 ... 61

4-4 設計結果比較 ... 75

5-1 結論 ... 77

5-2 建議 ... 78

(8)

viii

(9)

ix

(10)

x

(11)

xi

(12)

12

(13)

13

### 1.3 研究步驟及方法

1. 資料蒐集

(14)

14

2. 建立案例分析所需的樣本

(SAP2000)來進行設計變數及反應變數的分析，以供後續最佳化程式(CAFÉ)進行最 佳化。

3. 模型建構

4. 進行案例最佳化分析

5. 撰寫論文

(15)

15

(16)

16

(17)

17

### 2-2 類神經網路部分

(18)

18

2.採分散式（distributed）資料處理的方式來儲存資料，也就是將資料分散在網路各連 結上，相較於傳統耗費記憶體較少。3.歸納能力極佳, 可依本身的網路架構，將以前 未曾見過或是不完整的輸入加以歸納分類的能力，並不一定需要明確的輸出當作參考。

4.類神經網路本質上即屬平行式處理的架構，易於在平行處理的電腦上執行，可作為 未來發展更高速計算工具的參考。

(19)

19

### 2-4 以類神經網路作結構最佳化設計

Manolis 和 Nikos(2002)【37】提出一種混合類神經網路與結構最佳化的均勻設計 法，並對鋼桁架結構進行抗側向荷載的結構最佳化設計。

Li 和 Ganesh(2002)【38】提出了兩種類神經的訓練方法套用在二次規劃演算法、

(20)

20

【25】

(21)

21

### 3-1-1 直接建立桁架單元的平衡方程式

∑𝐹𝑥= 0 ，𝐹𝑖 + 𝐹𝑗 = 0 （3-1）

𝐹𝑖 = −𝐹𝑗 （3-2）

𝜀𝑥= 𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖 （3-3）

𝜎𝑥= 𝛦𝜀𝑥 =𝛦𝑙�𝑢𝑗 − 𝑢𝑖� （3-4）

𝐹𝑗 = 𝛢𝜎𝑥= 𝛦𝛢𝑙 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑗) （3-5）

𝑢𝑗� （3-6）

𝑢𝑗� （3-7）

𝑢𝑗� （3-8）

(22)

22

[𝛫]𝑒{𝑞}𝑒 = [𝐹]𝑒 （3-9）

[𝛫]𝑒 = 𝛦𝛢𝑙 � 1 −1

−1 1 � （3-10）

{𝑞}𝑒 = �𝑢𝑖

𝑢𝑗� （3-11）

{𝐹}𝑒 = �𝐹𝑖

𝐹𝑗� （3-12）

### 3-1-2 由虛功原理建立桁架單元的平衡方程式

𝑢(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 （3-13）

𝑢(0) = 𝑢𝑖, 𝑢(𝑙) = 𝑢𝑗 （3-14）

𝑎 = 𝑢𝑖 , 𝑎 + 𝑏𝑙 = 𝑢𝑗

𝑎 = 𝑢𝑖 , 𝑏 =𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖 （3-15）

𝑢(𝑥) = 𝑢𝑖 +𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖𝑥 （3-16）

𝑢(𝑥) = 𝑁1 (𝑥)𝑢𝑖+ 𝑁2 (𝑥)𝑢𝑗 （3-17）

𝑁1 (𝑥) = 1 −𝑥𝑙 , 𝑁2 (𝑥) =𝑥𝑙 （3-18）

𝑥= 𝑢𝑗−𝑢𝑥 𝑖 = �−1𝑙 ,1𝑙� �𝑢𝑖

𝑢𝑗� = [𝐵]{𝑞}𝑒 （3-19）

[𝐵] = �−1𝑙 ,1𝑙� （3-20）

(23)

23

σ𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 （3-21）

[𝐷] = 𝐸 （3-22）

[𝐾]𝑒 = � [𝐵]𝑙 𝑇

0 [𝐷][𝐵]𝐴𝑑𝑥 = 𝐸𝐴 � �−1 1𝑙

𝑙

𝑙

0 �−1

𝑙 , 1 𝑙� 𝑑𝑥

=𝛦𝛢𝑙 � 1 −1

−1 1 � （3-23）

1.若考慮沿 x 方向作用有分布力𝑓1𝐵(𝑥)的情況，則為下列算式所示計算等效節點 力:

�𝐹𝑦� = ∫ [𝑁]0𝑙 𝑇𝑓1𝐵𝑑𝑥 = ∫ �1 −𝑥𝑙

𝑥 𝑙 𝑙

0 𝑓1𝐵𝑑𝑥 （3-24）

𝐹𝑥𝑖 = 𝐹𝑥𝑗 =1 2 𝑓1𝐵𝑙

2.如果桿上有橫向分布力作用，則在虛功原理中考慮橫向位移υ及橫向虛位移 δυ(x)同樣可用插值函數表示:

δυ = �1 −𝑥𝑙� δυ𝑖 +𝑥𝑙δυ𝑗 （3-25）

�𝐹𝑦� = ∫ [𝑁]0𝑙 𝑇𝑓2𝐵𝑑𝑥 = ∫ 𝑓2𝐵�1 −𝑥𝑙

𝑥 𝑙 𝑙 � 𝑑𝑥

0 （3-26）

3.另外，若單元有均勻熱膨脹，當材料線膨脹係數為 a、升溫 T 時，則單元有初 應變為

𝜀0 = 𝑎𝑇 （3-27）

0 𝜀0𝐴𝑑𝑥 = 𝐸𝐴𝑎𝑇 � (−1 𝑙 ,

1 𝑙)𝑇𝑑𝑥

𝑙 0

(24)

24

= 𝐸𝐴𝑎𝑇 �−11 � （3-28）

### 3-1-3 局部座標到總體座標下桁架單元勁度矩陣的變換

⎩⎪

⎪⎧𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´⎭⎪⎬

⎪⎫

= [L] � 𝑢𝑖

υ𝑖 𝑢𝑗

υ𝑗� ,

⎩⎪

⎪⎧𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗

𝐹𝑦´𝑗⎭⎪⎬

⎪⎫

= [L]

⎩⎪

⎪⎧𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑖 𝐹𝑥𝑗 𝐹𝑦𝑗⎭⎪⎬

⎪⎫

（3-29）

0 𝐿1� , [𝐿1] = � 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑎

−𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑎� （3-30）

[𝐾´]𝑒(𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇= (𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 （3-31）

(25)

25

[𝐾´]𝑒 =𝐸𝐴𝑙

0 01 0 −1 0

−1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

� （3-32）

[𝐾´]𝑒[𝐿](𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇 = [𝐿](𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 兩端乘以[𝐿]−1，並注意到[𝐿]是正交矩陣:

[𝐿]−1 = [𝐿]T 就得總體座標下的平衡方程式:

[𝐾´]𝑒(𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇= (𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 （3-33）

[𝐾]𝑒 = [𝐿]T[𝐾´]𝑒[𝐿] （3-34）

{F} = [𝐿]T{F´}

[𝐾]𝑒 = �

c2 sc

sc s2 −c2 −sc

−sc −sc

−c2 −sc

−sc −s2 c2 sc sc s2

� （3-35）

𝑠 = 𝑠𝑖𝑛𝑎 , 𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 （3-36）

(26)

26

1

( )

n

j ij i j

i

Y f W X θ

=

=

### ∑

− （3-37）

Y ：模仿生物神經元的模型的輸出訊號； j

f ：模仿生物神經元的模型的轉換函數(Transfer Function)；

W ：模仿生物神經元的模型的神經強度，又稱連結加權值； ij

Xi：模仿生物神經元的模型的輸入訊號；

θj：模仿生物神經元的模型的閥值。

e net

f

= + 1

1 （3-38）

(27)

27

### 一、 依網路架構分類

1. 前饋式網路架構(Feed Forward Network)：神經元分層排列，形成輸入層、隱藏層 及輸出層。每一層只接受前一層的輸出當作輸入者，稱為前饋式網 路，如圖3-4所 示，倒傳遞網 路與機率神經網路(Probabilistic Neural Network, PNN)皆屬之【29】。

(28)

28

2.回饋式網路架構(Feedback Network)：從輸出層回饋到輸入層，或是層內各處 理單元 間有連結者，或神經元不分層排列，只有一層，各神經元均可相互連結者稱回饋 式網路，如圖3-5所示，Hopfield 神經網路(Hopfield Neural Network, HNN)與退火 神經網路(Annealed Neural Network, ANN)即屬之【29】。

### 二 、依學習策略分類

【29】

1.監督式學習網路(Supervised Learning Network)：從問題 領域中取得訓練範例(有輸入 變數值，也有輸出變數)，並經由網路訓練以學習輸入變數與輸出變數的內部對應 規則，以應用於新的案例 (只要輸入變數值，即可推論輸出變數值的應用)。經由 網路調整權重以減少目標輸出值與推論輸出值之差距為監督式學習的主要目的，

2.無監督式學習網路(Unsupervised Learning Network)：從問題 領域中取得訓練範例(只 有輸入變數值)，並從中學習範例的內在集群規則，以應用於新的案例(有輸入變 數值，而須推論它與那些訓練範例屬同一集群的應用)。非監督式網路可應用於樣 本識別及分類問題。

(29)

29

3.聯想式學習網路(Associated Learning Network)：從問題領域中取得訓練範例(狀態變 數值)，並從中學習範例的內在記憶規則，以應用於新的案例 (只有不完整的狀態 變數值，而需推論其完整的狀態變數值的應用)，資料擷取應用與雜訊過濾應用等 屬之。

4.最適化應用網路(Optimization Application Network)：對於問題決定其設計變數值，

### 3-2-3 倒傳遞網路(Back-Propagation Network, BPN)

(30)

30

（3-39）所示：

（3-39）

f：轉換函數。

𝑛𝑒𝑡𝑗𝑛 = ∑ 𝑊𝑗 𝑖𝑗𝐴𝑗𝑛−1− 𝜃𝑗 （3-40）

：神經元i與神經元j間的連結強度，即連結加權值；

：神經元j的閥值。

nj

n

j

### A =

Wij

θj

(31)

31

（3-41）

：目標輸出值；

：推論輸出值。

（3-42）

：神經元i與神經元j間的連結加權值修正量；

：學習速率（Learning Rate）。

（3-43）

### ∑

=

j

j

j A

T

E ( )2

2 1

Tj

Aj

ij

ij W

W E

− ∂

=

∆ η.

Wij

∆ η

ij ij

ij W

W E

W

+ ∂

=

∆ α η.

α

(32)

32

(1) 每一回合中幾乎所有的樣本皆用於訓練模型，因此最接近母體樣本的分佈，估測 所得的普遍化誤差比較可靠。

(2) 實驗過程中沒有隨機因素會影響實驗數據，確保實驗過程是可以被複製的。

### 3-4 數學規劃法

(33)

33

(Nonlinear Programming)，整數規劃(Integer Programming)等。因為二階反應曲面為非 線性連續值函數，因此以使用非線性規劃為主。非線性規劃依其用途可分成二類：(1) 無限制最佳化 (2)限制最佳化，以下分二節來介紹。

### 3-4-1 無限制最佳化

Min F(x) (或Max F(x) 或Min (F(x)-m)2 ) （3-44）

(1)零階方法

(2)一階方法

(3)二階方法

(1)在搜尋範圍內以隨機方式產生設計變數設計值，形成一個設計點。

(2)計算目標函數。

(3)重複(1)到(2) M次。

(4)依目標函數值找出最佳解。

(5)以最佳解為中心縮小搜尋範圍，重複(1)到(4) N次，輸出最佳解。

(34)

34

### 3-4-2 限制最佳化

Min F(x) (或Max F(x) 或Min (F(x)-m)2 ) （3-45）

Subject gj(x )≦0 j=1，2，…，m （3-46）

(1) 間接法

### κ

=懲罰係數。

(2) 直接法

(35)

35

(1) 將限制最佳化問題轉換成無限制最佳化問題：

2

1

) ( , 0 )

(

### ∑

=

= m

j

gj

Max

P x x

（3-47）

(2) 以無限制最佳化方法求解。

(3) 放大懲罰係數κ=cκ (其中c>1)，回到步驟(1)，直到收斂為止。

(36)

36

(37)

37

1 1 2

2 2 3

3 4 5

4 5 6

5 2 5

6 3 6

7 4 2

8 1 5

9 5 3

10 2 6

### 桁架受力情形(kips)

2 0 0

3 0 0

5 0 -100

6 0 -100

(1) 產生設計方案：首先將斷面皆設為 1 in2進行結構分析，受力最大者，以容許應力 反推設計斷面 Amax，取兩倍 Amax 設為上限；受力最小者，以容許應力反推設 計斷面 Amin，設為下限。再用 Excel 以介於 Amin 與 Amax 間的亂數做為桁架各 斷面面積，產生 100 筆設計。

(2) 進行結構分析：接著對其進行結構分析，產生 100 筆初始 DATA。

(38)

38

(3) 建立預測模型：以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。基本上 Test Coore.

Coef.的數值以 0.5 為一個基準，越高於 0.5 代表預測模型越精準；反之，越低於 0.5 則誤差越大。表 4-4 為交叉驗證法之評估表，Test Coore. Coef.的部分皆有良好 的數值，代表預測模型準確。

(4) 進行最佳化設計：利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計，結果如表 4-5。

(5) 進行驗證分析：將表 4-5 設計斷面經結構分析後，得表 4-6 與表 4-7。可知桿件皆 滿足容許應力±25 ksi，位移量皆滿足容許位移±2 in。但總重量為 7161.593 lb，高 於文獻的最輕載重 5080 lb【2】。

Variable

Train Corre.

Coef.

Train Root Mean Sqrt

Test Corre.

Coef.

Test Root Mean Sqrt y1 0.9953 0.2978 0.9916 0.3977 y2 0.9503 0.5305 0.9195 0.6699 y3 0.9961 0.3798 0.9932 0.507 y4 0.9874 0.2898 0.979 0.3718 y5 0.9804 0.7081 0.9621 0.9788 y6 0.8904 0.3804 0.831 0.4661 y7 0.981 0.1898 0.9716 0.2318 y8 0.987 0.2705 0.9772 0.3554 y9 0.9882 0.1848 0.9793 0.2445 y10 0.9249 0.613 0.8978 0.7112 y11 0.9953 0.0106 0.9917 0.0142 y12 0.9891 0.0217 0.9794 0.0297 y13 0.9871 0.0235 0.9782 0.0305 y14 0.9947 0.0378 0.9907 0.05 y15 0.9961 0.0138 0.9931 0.0183 y16 0.9946 0.0165 0.9906 0.0218 y17 0.9934 0.0194 0.9873 0.027 y18 0.9947 0.0377 0.9903 0.0514 y19 0.991 839.68 0.9882 965.69

(39)

39

2

1 31.098

2 0.211

3 24.081

4 29.692

5 1.6195

6 0.3962

7 16.689

8 30.182

9 31.872

10 0.3366

1 6.910

2 1.914

3 -8.039

4 -3.405

5 6.129

6 0.964

7 7.803

8 -5.313

9 4.506

10 -1.714

(40)

40

### 各節點位移(in)

1 0.000 0.000

2 0.248 -0.631

3 0.317 -1.580

4 0.000 0.000

5 -0.289 -0.851

6 -0.412 -1.615

(1) 產生設計方案：以 Run 1 得出的最佳化設計為基準，每根桿件以上下各取 0.5 倍 為新的上下限，利用 Excel 跑出第二組 100 筆設計。

(2) 進行結構分析：接著對其進行結構分析，產生 100 筆初始 DATA。

(3) 建立預測模型：以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。表 4-8 為交叉驗證 法之評估表，Test Coore. Coef.的部分，y2、y5、y6 數值較低，代表此模型建立有 一定之誤差。

(4) 進行最佳化設計：利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計，結果如表 4-9。

(5) 進行驗證分析：將表 4-9 設計斷面經結構分析後，得表 4-10 與表 4-11。可知桿件 皆滿足容許應力±25 ksi，節點 6 的位移量為 2.044 in 往下，超出容許位移±2 in，

(41)

41

Variable

Train Corre.

Coef.

Train Root Mean Sqrt

Test Corre.

Coef.

Test Root Mean Sqrt y1 0.9432 10.7830 0.7190 22.9300 y2 0.9028 2.0470 0.5221 4.1885 y3 0.9710 6.7186 0.9132 11.6620 y4 0.9660 2.8173 0.6708 8.1624 y5 0.8891 4.5436 0.4522 10.4490 y6 0.9587 3.1418 0.5364 9.6396 y7 0.9495 3.8467 0.8562 6.3518 y8 0.9680 3.3776 0.9067 5.7445 y9 0.9367 2.3389 0.7818 4.2403 y10 0.9019 2.0864 0.7000 3.5413 y11 0.9878 0.1514 0.9695 0.2429 y12 0.9827 0.2081 0.9207 0.4411 y13 0.9875 0.1607 0.9571 0.3044 y14 0.9904 0.3541 0.9403 0.8751 y15 0.9767 0.2154 0.9053 0.4406 y16 0.9847 0.2036 0.9099 0.4918 y17 0.9625 0.2920 0.8551 0.5718 y18 0.9894 0.3698 0.9350 0.9096 y19 0.9178 4591.5000 0.8783 5576.6000

2

1 31.982

2 0.213

3 24.125

4 19.531

5 1.613

6 0.415

7 16.523

8 15.832

9 23.724

(42)

42

10 0.214

1 6.391

2 3.553

3 -8.370

4 -5.136

5 0.773

6 1.8

7 8.633

8 -9.250

9 5.999

10 -5.018

### 各節點位移(in)

1 0.000 0.000

2 0.230 -0.896

3 0.366 -1.977

4 0.000 0.000

5 -0.301 -0.924

6 -0.486 -2.044

(1) 產生設計方案：以 Run 2 得出的最佳化設計為基準，每根桿件以上下各取 0.25 倍 為新的上下限，利用 Excel 跑出第三組 100 筆設計。

(2) 進行結構分析：接著對其進行結構分析，產生 100 筆初始 DATA。

(3) 建立預測模型：以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。表 4-12 為交叉驗 證法之評估表，Test Coore. Coef.的部分皆有良好的數值，代表此模型建立準確。

(4) 進行最佳化設計：利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計，結果如表 4-13，可知斷面桿件 2、5、6、10 依舊為極小斷面。

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