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中 華 大 學

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Academic year: 2022

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i

中 華 大 學 碩 士 論 文

以均勻設計與類神經網路作桁架最佳化設 計 Truss Optimization Using Artificial Neural

Network and Uniform Design

系 所 別:土木工程學系碩士班 學號姓名:M09904001 吳宗達 指導教授:苟 昌 煥 博士 葉 怡 成 博士

中 華 民 國 102 年 1 月

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ii

中文摘要

目前已有許多結構分析軟體,但這些軟體都是為結構分析而開發,而非為結 構最佳化設計開發。雖然可以使用數學規劃法達成最佳化,但因為套裝軟體的封 閉性,要整合數學規劃法與結構分析軟體並不容易。因此,本文提出一種基於類 神經網路與實驗計畫法的結構最佳化設計方法,這種方法不需整合數學規劃法與 結構分析軟體,而是將結構分析軟體視為一個實驗室,利用實驗計畫法的「實驗 -建模-最佳化」循環的概念達到結構最佳化設計的目的。最佳化過程如下:(1) 以 均勻亂數產生設計方案 (2) 以結構分析軟體進行結構分析 (3) 以類神經網路建 立預測模型 (4) 以數學規劃法進行最佳化設計 (5) 以結構分析軟體驗證最佳設 計。此一過程可以迭代數次以逼近最佳解。本文以三個桁架結構斷面尺寸之最佳 化設計為實例,實證結果顯示,只需三次到四次迭代即可逼近最佳解,顯示本方 法具有可行性。

關鍵詞:結構最佳化設計、類神經網路、實驗計畫法。

(3)

iii

ABSTRACT

Currently there are quite a few for software structural analysis, yet most of them have been developed for structural analysis rather than structural optimization. Even though optimization can be achieved by mathematical programming, the closure of software packages has made it difficult to integrate mathematical programming with structural analysis software. Therefore, in this research a structural optimization design method based on artificial neural network and design of experiments has been introduced without the need for integration of mathematical programming and structural analysis software. Instead, the structural analysis software is regarded as a laboratory, and the concept of “experiment-modeling-optimization” cycle of design of experiments has been used to achieve the structural optimization design. The process of optimization is as shown below: (1) the design is generated based on uniform random number, (2) the structural analysis is conducted by structural analysis software, (3) the prediction model is established by artificial neural network, (4) the optimization design is conducted by mathematical programming, and (5) the optimized design is verified by structural analysis software. This process can be iterated several times to approximate the optimal solution.

In this research the optimization designs of the cross-sectional dimensions of three truss structures have been used as examples, and the empirical results have indicated that the optimal solution can be approximated after three or four iterations, thus indicating the feasibility of this method.

Keywords: Structural optimization design, Artificial neural network, Design of experiments

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iv

誌 謝

轉眼瞬間,研究所的生活也即將進入尾聲,這兩年半的期間,說不上長久也 談不上短暫,如今離別在即,回憶起這兩年半的點點滴滴,感謝之意有如泉湧般 源源不絕的湧上心頭。

首先,承蒙恩師 苟昌煥博士、淡江大學土木工程學系 高金盛博士、葉怡成 博士在專業學術上的悉心指導,以及在待人處事上的諄諄教誨,使得學生在專業 學術上有了豐富的收穫、在待人處事上更佳的圓融,使學生有了質一般的飛躍成 長,即因有了老師們的指導,學生的論文才得以完成,在此智上最深的敬意與謝 意。

在研究所的期間裡,除了有老師們的指導外,更有學長、同學及學弟妹們的 大力幫助及陪伴,從生活瑣事到讓人焦頭爛額的課業,因為有你們,艱辛的學習 過程也吃苦當作吃補;因為有你們,研究室生活充滿著歡笑不再單調寂寥,在此 特別感謝馬世瑋(馬哥)學長教會了學生處理事情的態度、楊智榮(智榮)學長讓學 生瞭解了學術與現實的現況、黃煜恩(煜恩)學長教會了學生人際上的來往、楊明 長(阿長)學長教會了學生研究室的傳統以及餐桌上的禮儀、黃彥澤(老頭)學長教 會了學生如何當一位稱職的助教、黃郁迪(allen)學長教會了學生壘球的歡樂,以 及我的同學們,謝適任(適任)、龔國嘉(國家)、周家豪(小胖)、溫隆傑(XP)、劉傑 瑋(白肥)、曾友聖(油條)、許峻豪(細菌)、陳沛宏(小沛)、李侃穎(阿侃)、黃懷德 (AD)、蔣玉國(小玉)、劉俊成(成哥),學生永遠記得一起打球的日子、一起蹺課 的日子、一起出遊的日子、一起吃東西的日子以及一起抱怨的日子,還有我的直 屬學弟妹們,林珮玗(搗蛋)、賴孟緯(阿賴)、王逸民(逸民),有了你們,研究室充 滿著青春活力,一天一天的看到你們成長,也讓學生更放心把研究室交給你們了,

以及其他的學弟妹們張書華(書華)、林仔堯(阿金)、劉威巡(阿威)、黃泓仁(假資) 等,沒有你們的熱心幫助就沒有現在的學生,還有中華土木系壘的所有隊員以及 土木之友郭竹晏(小巨人)在此一併感謝,並祝他們身體健康、心想事成。

(5)

v

最後,感謝我的父親 吳棟清先生母親 李艷紅女士與哥哥 吳宗哲先生以及 好友們在求學過程中,給予我衣食無缺的環境,讓我能任性的完成碩士學位,沒 有你們的付出,就不會有今日的我。

僅以本文獻給所有關心我的人,你們在我生命中扮演著非常重要的角色。倘 若有因為我的疏忽而有所遺漏,請你們見諒,在我心中感謝之意永無不減。

吳宗達 謹誌 中華民國 102 年 2 月

(6)

vi

目錄

中文摘要... ii

ABSTRACT ... iii

誌 謝... iv

目錄... vi

表目錄... viii

圖目錄... xi

第一章 緒論 ... 12

1.1 研究背景 ... 12

1.2 研究動機與目的 ... 12

1.3 研究步驟及方法 ... 13

1.4 論文章節與架構 ... 14

第二章 文獻回顧 ... 15

2-1 結構最佳化 ... 16

2-2 類神經網路部分 ... 17

2-3 交叉驗證法之應用 ... 19

2-4 以類神經網路作結構最佳化設計 ... 19

第三章 理論分析 ... 20

3-1 桁架的有限元素分析 ... 20

3-1-1 直接建立桁架單元的平衡方程式... 21

3-1-2 由虛功原理建立桁架單元的平衡方程式 ... 22

3-1-3 局部座標到總體座標下桁架單元勁度矩陣的變換 ... 24

3-2 類神經網路 ... 25

3-2-1 類神經網路架構及基本原理 ... 26

3-2-2 類神經網路模式分類 ... 27

3-2-3 倒傳遞網路 ... 29

(7)

vii

3-3 交叉驗證法 ... 31

3-4 數學規劃法 ... 32

3-4-1 無限制最佳化 ... 33

3-4-2 限制最佳化 ... 34

第四章 桁架結構案例分析 ... 35

4-1 案例一:平面 10 根桿件桁架 ... 35

4-2 案例二:平面 17 根桿件桁架 ... 46

4-3 案例三:空間 25 根桿件桁架 ... 61

4-4 設計結果比較 ... 75

第五章 結論與建議 ... 77

5-1 結論 ... 77

5-2 建議 ... 78

參考文獻... 79

(8)

viii

表目錄

表 4-1 案例一,問題設定 ... 26

表 4-2 案例一,各桿件起始節點及終止節點之編號 ... 26

表 4-3 案例一,桁架受力情形 ... 26

表 4-4 案例一,Run 1 交叉驗證法誤差評估表... 27

表 4-5 案例一,Run 1 各桿件斷面... 28

表 4-6 案例一,Run 1 各桿件應力... 28

表 4-7 案例一,Run 1 各桿件位移... 29

表 4-8 案例一,Run 2 交叉驗證法誤差評估表... 30

表 4-9 案例一,Run 2 各桿件斷面... 30

表 4-10 案例一,Run 2 各桿件應力... 31

表 4-11 案例一,Run 2 各桿件位移 ... 31

表 4-12 案例一,Run 3 交叉驗證法誤差評估表... 32

表 4-13 案例一,Run 3 各桿件斷面... 33

表 4-14 案例一,Run 3 各桿件應力... 33

表 4-15 案例一,Run 3 各桿件位移... 34

表 4-16 案例一,最佳化斷面比較表 ... 34

表 4-17 案例二,問題設定 ... 35

表 4-18 案例二,各桿件起始節點及終止節點之編號 ... 36

表 4-19 案例二,桁架受力情形 ... 36

表 4-20 案例二,Run 1 交叉驗證法誤差評估表... 37

表 4-21 案例二,Run 1 各桿件斷面... 48

表 4-22 案例二,Run 1 各桿件應力... 49

表 4-23 案例二,Run 1 各桿件位移... 49

表 4-24 案例二,Run 2 交叉驗證法誤差評估表... 40

(9)

ix

表 4-25 案例二,Run 2 各桿件斷面... 41

表 4-26 案例二,Run 2 各桿件應力... 41

表 4-27 案例二,Run 2 各桿件位移... 42

表 4-28 案例二,Run 3 交叉驗證法誤差評估表... 43

表 4-29 案例二,Run 3 各桿件斷面... 44

表 4-30 案例二,Run 3 各桿件應力... 44

表 4-31 案例二,Run 3 各桿件位移... 45

表 4-32 案例二,Run 4 交叉驗證法誤差評估表... 46

表 4-33 案例二,Run 4 各桿件斷面... 47

表 4-34 案例二,Run 4 各桿件應力... 48

表 4-35 案例二,Run 4 各桿件位移... 48

表 4-36 案例二,最佳化斷面比較表 ... 49

表 4-37 案例三,問題設定 ... 50

表 4-38 案例三,各桿件起始節點及終止節點之編號 ... 51

表 4-39 案例三,桁架受力情形 ... 52

表 4-40 案例三,斷面分類情形 ... 52

表 4-41 案例三,Run 1 Cross-Validation Statistics ... 53

表 4-42 案例三,Run 1 各桿件斷面... 55

表 4-43 案例三,Run 1 各桿件應力... 55

表 4-44 案例三,Run 1 各桿件位移... 56

表 4-45 案例三,Run 2 Cross-Validation Statistics ... 57

表 4-46 案例三,Run 2 各桿件斷面... 58

表 4-47 案例三,Run 2 各桿件應力... 58

表 4-48 案例三,Run 2 各桿件位移... 59

表 4-49 案例三,Run 3 Cross-Validation Statistics ... 60

(10)

x

表 4-50 案例三,Run 3 各桿件斷面... 62

表 4-51 案例三,Run 3 各桿件應力... 62

表 4-52 案例三,Run 3 各桿件位移... 63

表 4-53 案例三,最佳化斷面比較表 ... 64

(11)

xi

圖目錄

圖 3-1 桁架單元示意圖 ... 10

圖 3-2 桁架單元座標轉換 ... 13

圖 3-3 人工神經元模型 ... 16

圖 3-4 前饋式網路架構 ... 17

圖 3-5 回饋式網路架構 ... 17

圖 3-6 倒傳遞神經網路架構 ... 19

圖 4-1 案例一,平面 10 根桿件桁架 ... 25

圖 4-2 案例二,平面 17 根桿件桁架 ... 35

圖 4-3 案例三,空間 25 根桿件桁架 ... 50

(12)

12

第一章 緒論

1.1 研究背景

桁架結構係由直桿所組成的,為一般具有三角形單元的平面或空間結構。以力 學的角度而言,在荷載作用下,理想化的桁架桿件主要承受軸向拉應力或壓應力。

另一方面,桁架結構具有材料輕、節省材料以及施工快速的特性,於大型大跨度結 構上,可充分的利用材料的強度、減輕自重和增大剛度,故廣泛的應用於較大跨度 的承重結構和高聳結構,如橋梁、電塔、起重機架及房屋結構等。

桁架結構為工程上常見的一種結構體系,由於結構設計較其他體系簡單,所以 在工程界裡經常被拿來探討結構最佳化(Structural Optimization)問題。

1.2 研究動機與目的

結構最佳化是指在一個有許多限制和條件相互衝突的環境下,找出一組滿足所 有約束且最適當答案的一個過程。經過最佳化後的結構體可以有效的降低自重、減 少材料、縮短施工時程,其最終目的在於降低金錢成本。桁架結構最佳化大致上可 分 為 斷 面 尺 寸 最 佳 化 (Size Optimization) 、 結 構 外 型 最 佳 化 (Configuration Optimization)、拓樸設計最佳化(Topology Optimization)等三種。斷面尺寸最佳化是 指不改變結構外型的前提下,僅對桿件斷面尺寸進行最佳化,以求得最小化桁架重 量;結構外型最佳化是指不改變桿件尺寸大小,僅對桁架的節點位置進行最佳化,

以求得最合適的外在形狀;拓樸設計最佳化是指,不考慮斷面尺寸及節點位置,僅 對桿件間的連接方式進行最佳化,以求得最佳的桿件配置。雖然桁架的結構分析較 其它的結構型式簡易,但在最佳化的過程中,設計值與限制條件仍會產生許多衝突,

為了尋求之間的平衡點,則需要龐大的計算量,如以人工計算的話,則耗時又耗工 也不易算出正確的設計值。而現今計算機發展快速、最佳化軟體種類繁多,利用計

(13)

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算機處理結構最佳化設計可縮短設計週期並提高設計的精確度,因此利用計算機處 理結構最佳化設計也成為最普遍的方式。

市面上結構分析軟體很多且最佳化設計方法也不勝枚舉,但是將結構分析與最 佳化設計方法整合卻十分稀少,彼此互相限制導致最佳化設計目標也有所侷限,所 設計出來的數值或許也稱不上最佳解,並且最佳化設計過程需要進行數百萬次結構 分析,而如果一次結構分析需耗時 1 分鐘,則需耗時數年。因此,結構分析與最佳 化設計方法分開進行仍是目前趨勢,但如何從中找出最符合效益的方法,也是目前 學術界所熱衷的目標之一。

均勻設計(Uniform Design)是指以均佈亂數產生設計,對這些設計進行實驗,

然後建模並最佳化。所以本文研究的目的主要是利用類神經網路(Artificial Neural Network, ANN)與交叉驗證法(Cross-validation Methodology)建立最佳化模型進行斷 面尺寸最佳化。類神經網路是由人類模仿生物神經網路所研發出來的一套資訊處理 系統,可單純憑藉著與系統相關之數入與輸出數據於網路中經過學習,就能得到一 推理模式用以協助我們解決問題,而交叉驗證法則是一種可以估測模型普遍性 (Generalization)的誤差評估法。之後利用敏感性分析(Sensitivity Analysis Method)與 帶狀結構圖改善類神經網路黑箱模型的缺點,最後採用非線性規劃(Nonlinear Programming)設計最佳品質因子的組合,以達到整體結構重量減輕之目標。

1.3 研究步驟及方法

本研究利用一套結合類神經網路與交叉驗證法的程式(CAFÉ)進行最佳化研究,

研究的步驟及方法簡述如下:

1. 資料蒐集

首先蒐集和桁架最佳化設計相關的論文和研究報告,從中找出較多人利用的經 典案例以備之後案例分析之使用,並且 了解目前國內外相關的研究情形和成果。另

(14)

14

一方面,基於程式開發所需使用之理論,同時也蒐集類神經網路、交叉驗證法的相 關資料與研究成果。

2. 建立案例分析所需的樣本

本研究主要針對桿件斷面尺寸進行設計,因此需要配合有限元素分析軟體

(SAP2000)來進行設計變數及反應變數的分析,以供後續最佳化程式(CAFÉ)進行最 佳化。

3. 模型建構

確認類神經網路的輸入參數以及區分訓練集、測試集數據是否充足,並且設定 最佳化條件(目標函數與限制函數)。

4. 進行案例最佳化分析

分析數個文獻所提的桁架最佳化設計題目,對最佳化程式(CAFÉ)進行測試,

驗證方法的可行性。

5. 撰寫論文

彙整本研究之相關理論、成果及結論並撰寫成論文。

1.4 論文章節與架構

本論文研究內容一共分為五個章節,各個章節編排的順序與內容如下:

第一章:緒論。此章內容主要在說明桁架最佳化之研究動機與其研究目的和方法。

第二章:文獻回顧。此章針對目前現階段國內外桁架最佳化、類神經網路、交叉驗 證法之研究成果做一整理與敘述。

第三章:基本分析理論與分析模式。說明結構分析方法及最佳化方法的基本分析理 論與流程。

第四章:桁架結構最佳化案例探討。本章節選了 3 組桁架最佳化的案例來進行分析 並且與有做過相同案例之論文進行比較。

(15)

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第五章:結論與建議。針對各項分析結果提出結論,並建議後續之研究方向。

第二章 文獻回顧

本章節將就學術界相關之研究文獻來做回顧,包含有結構最佳化之相關文獻回顧、類

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神經網路(Artificial Neural Networks,ANN)及交叉驗證法(Cross-validation Methodology) 發展相關之文獻概述。

2-1 結構最佳化

2-1-1 桁架最佳化部分

鄭博育(2005)【1】提出一個新且簡單的啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計,其中 啟發式演算是由結構學中的單位載重所發展。在設計過程中,原本多變 數的問題被轉 換成單變數的搜尋,並且能夠在少量的搜尋次數下完成設計。

張巍贏(2007)【2】針對桁架結構最佳化問題提出一個窄化空間技術,利用縮小 搜尋空間的策略以提高基因演算法的收斂速度。首先以滿載應力設計 (Fully stress design, FSD)概念建立最佳桁架拓樸,接著將滿載應力桁架結構透過一組啟發式法則 放大其桿件斷面尺寸並將放大後的斷面尺寸作為搜尋空間的中心點,最後使用基因演 算法於中心點鄰近空間進行搜尋。

黃嘉進(2007)【3】針對桁架的形狀與構件的離散斷面積進行桁架結構輕量化設 計,文中以結構最佳化演算法(Evolutionary Structure Optimization method, ESO)搭配 Fully stress design(FSD)對桁架進行兩階段的最佳化設計,束制條件包括節點的位移、

構件的應力和挫屈應力束制。第二階段再以 FSD 進行桁架構件斷面尺寸最佳化設計,

其設計變數為構件斷面積。

邱兆宇(2009)【4】採用力法及遺傳演算法。以斷面積及節點座標為設計變數。

在改良式的遺傳演算法中,同時導入了無參數化適應懲罰策略的懲罰函數法及減少設 計變數字串長度的設計空間窄化技術。其拘束條件包括元件應力、細長比、節點位移 及挫曲應力。除此,考量到結構及其負荷皆具有其不確定性,將桁架的參數、負荷與 強度視為隨機變數,採用可靠度拘束進行最佳化。

林舒淇(2010)【5】主要在研究桁架結構承載負荷下之多目標尺寸及型態最佳化 設計。利用有限元素法分析桁架結構,搭配偏導規則(partial derivative rule)計算出節 點位移與桿件應力之平均值與變異數,並以改良式粒子族群演算法來加速最佳化的收 斂速度。

2-1-2 其它結構最佳化部分

(17)

17

林奕鴈(1997)【6】發展出一種應用於結構最佳設計之兩點近似方法.模擬結構最 佳設計問題,藉著比較目前參考點與最接近之前兩個參考點的設計變數值,以發展一 種新的介入變數階數調整方法。配合此種新的近似方法之運用,許多參考文獻中的結 構設計問題都能在較少次的迭代過程內獲得收歛的結果。

胡芳斌(2008)【7】應用模糊理論的觀念,建立適當的歸屬函數以求得結構多目 標拓樸最佳化問題的 Pareto 最佳解。研究中使用 ANSYS 做為結構分析的工具,並利 用拓樸設計方法中之複合材料分配法配合線性規劃法以獲得最佳結構外形。

林廷釗(2009)【8】以六個不同結構範例應用類免疫基因演算法於結構拓樸最佳 化設計之研究。研究中使用 ANSYS 做為結構分析的工具,並利用拓樸設計方法中之 複合材料分配法配合線性規劃法與類免疫基因演算法以獲得最佳結構。

吳啟誠(2009)【9】利用基因演算法二進位編碼的特性於求解單一材料的結構拓 樸最佳化設計問題,並探討相關參數對拓樸最佳化的影響。由於基因演算法屬於零階 的最佳化方法,迭代計算過程中無須計算目標函數和限制式的導數,故利用懲罰函數 的觀念地在結構拓樸最佳化設計中考慮不同的功能限制式。

許劭睿(2010)【10】對結構重量的最小化為目標,在滿足位移或頻率束制條件下,

配合正常化材料密度關係式,並搭配幾種不同材料剛性之變化對正常化密度關係式,

使用 MATLAB 撰寫序列二次規劃法(Sequential Quadratic Programming)之最佳化程式,

並應用 MSC/PATRAN 及 MSC/NASTRAN 有限元素分析軟體作為前後級處理工具,

進行結構拓樸最佳化設計。

2-2 類神經網路部分

類神經網路於 1943 年由數學家 Pitts 和心理學家 McCulloch【32】共同提出類神 經網路最早的數學模式(即 M-P),並不具有學習能力,但開創了類神經科學研究的 時代。Minsky 和 Papert (1969)【33】合著的“Perceptron”中指出感知器無法處理現實 複雜的邏輯運算問題(XOR),因此類神經網路研究從 70 年代趨於沒落。直到 1982 年美國加州工學院物理學家 John Hopfield【34】提出了 HNN 網路,引入了能量函數 的觀念,作為判定網路的穩定性的依據,同時也推動了類紳經網路的研究。

葉怡成(1993)【11】提出類神經網路模式具有相當多的優點,包括 1.強大的學習能

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力, 能修正自身的行為反映出環境的變化,並依輸入自我調整,以產生正確的輸出。

2.採分散式(distributed)資料處理的方式來儲存資料,也就是將資料分散在網路各連 結上,相較於傳統耗費記憶體較少。3.歸納能力極佳, 可依本身的網路架構,將以前 未曾見過或是不完整的輸入加以歸納分類的能力,並不一定需要明確的輸出當作參考。

4.類神經網路本質上即屬平行式處理的架構,易於在平行處理的電腦上執行,可作為 未來發展更高速計算工具的參考。

近年來類神經網路應用於土木工程上的研究日益增加,Lee(1991)【35】提出加 強式學習法則,以 ACN(Associative Critic Neuron)與 ALN(Associative Learning Neuron)為神經網路學習價購之主體,負責修改模糊控制規則之參數,其控制對象為 倒單擺。Jang(1992)【36】利用 ANFIS 做倒單擺之時序自我學習式控制,已無經驗的 認知,亦可瞬間完成學習,堪稱為最佳化的控制效果。

劉蔚琦(1996)【12】以神經網路模式控制法,結合類神經網路與 VSS 控制系統應 用於橋梁結構控制,此方法具有強健性和自我學習能力,可依實際情況自我修正控制 律,具有 VSS 之穩定性而無切換之抖動現象,對橋梁控制上可達到非常好效果。

蔡元耀(2005)【13】利用倒傳遞類神經網路,以案例的現地土壤鑽探資料及土壤 參數,進行 TORSA 程式之正算分析,並依此分析結果建立類神經反算模式,輸入現 地監測之壁體變位反算,推估符合現地監測值之土壤設計參數,以預估下一階開挖施 工造成擋土壁體變形量。

林旺春(2006)【14】將類神經網路與 RARX 模型做一結合,衍生出 RARX-ANN 模型。最後利用加裝阻尼器之鋼構架試驗與台東消防分隊大樓,分析非線性時變行為。

結果顯現,因塑性行為增加與主結構破壞,會導致頻率遞減與阻尼比突增之現象。

李元宏(2008)【15】搜集了歷年世界各地地震之現地液化觀察資料共 208 組,分 為 146 組訓練資料(70 %)及 62 組測試資料(30 %)分別放入所架構之倒傳遞類神經網路 系統。並用螞蟻演算法來最佳化類神經網路架構,找出土壤輸入參數與現地液化資料 間之最佳化連結。

黃廷堅(2010)【16】應用倒傳遞類神經網路建立一個工程造價預估模式。收集業 界建築工程造價實際案例,將工程直接成本劃分為十個工程主項,並依專案初期可取 得或預測的 12 筆資訊作為輸入變數,分析檢討與各主項工程相關的輸入變數,透過 網路的學習訓練及參數改進修正,進行工程造價的預估。

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2-3 交叉驗證法之應用

廖宜倫(2003)【17】利用淨最小平方法(Partial least squares method, PLS)對交叉驗 證法、估計均方誤差法、外部驗證法、校正殘差法與變數轉換法,這 5 種方法進行最 佳化因子數的比較,結果顯示,使用外部驗證法跟交叉驗證法對模式中最佳因子數目 的估計能獲得不錯的效果,而交叉驗證法在各種情形下對模式中最佳因子數目的估計 最為準確。

衛強(2003)【18】利用日本 GMS-5 同步氣象衛星三個紅外光頻道之影像資料與 相對應地面測站雨量紀錄,探討兩者在不同時空尺度對以衛星資料推估降雨量之影響,

其次以影像分類方法與發展「時空雨量分配模式」,對臺灣北部淡水河流域進行空間

與時間上之雨量估計。最後以交叉驗證法驗證摺合積分模式之建模結果,研究結果顯 示以權重核心函數為基礎之時變性線性模式,確實可描述雲系降水過程,應用於雨量 預報極具發展潛力。

吳沛儒(2007)【19】利用類神經網路取代迴歸分析來建構反應曲面,並且利用交 叉驗證法在不需增加實驗資料的數目下,建立精確之模型,並得到可靠的模型評估。

李昌謀(2008)【20】利用隨機抽樣法(Random Sampling)及 5 次交叉驗證法(5-fold Cross-Validation),並配合決策樹(Decision Tree)及類神經網路技術,以資料探勘(Data Mining)方法建立海運進口貨櫃走私行為預測模型,並與海關專家系統貨物通關選案 查核的績效做比較。

黃敏慈(2010)【21】利用 BBR 與 PAM 做為分析工具,用以分析基因表現量資 料庫,並對兩種分析工具在訓練樣本與測試樣本的錯誤率比較其優劣;其次藉由 PAM 和 BBR 做為分析工具並且重複抽取樣本,探討訓 練樣本的組成對於測試樣本錯誤率 的影響,並且使用交叉驗證法做為選擇參數的標準。

2-4 以類神經網路作結構最佳化設計

Manolis 和 Nikos(2002)【37】提出一種混合類神經網路與結構最佳化的均勻設計 法,並對鋼桁架結構進行抗側向荷載的結構最佳化設計。

Li 和 Ganesh(2002)【38】提出了兩種類神經的訓練方法套用在二次規劃演算法、

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萊文貝格-馬夸特演算法以及遺傳演算法並測試 5 個現有的結構案例。結果顯示,利 用類神經網路進行結構最佳化設計是具有效率的。

柯星竹(2006)【22】利用遺傳演算法優越的搜尋能力,搜尋出較適合類神經網路 訓練的權重值,並透過遺傳演算法的演算過程,使類神經網路的訓練過程能夠更快速、

更準確,以利於執行結構的最佳化設計。

林大為(2009)【23】針對連續變數、離散變數、混合變數之最佳化設計問題,提 出以結合改良過後的粒子群演算法(MPSO)與模擬退火法(SA)的混合高階啟發式演算 法,藉 SA 的跳躍機制,使得於搜尋過程中能有效地進行全域和局部搜尋,加強整體 的搜尋性能。

鄭永發(2010)【24】利用七種不同類神經網路模組預測輕質混凝土抗壓強度之最 佳化,其中採用的類神經網路模組為複回歸分析模組、傳統倒傳遞類神經網路模組、

田口倒傳遞類神經網路模組、模糊自適性倒傳遞類神經網路模組、灰關聯倒傳遞類神 經網路模組、粒子群倒傳遞類神經網路模組、及遺傳倒傳遞類神經網路模組七種模組,

擬找出一套最適用於預測輕質混凝土抗壓強度之最佳化理論模組。

第三章 理論分析

首先介紹桁架的有限元素分析,再介紹 CAFÉ 軟體使用到的類神經網路以及交叉 驗證法原理。

3-1 桁架的有限元素分析

【25】

在荷載作用下,理想化的桁架桿件主要承受軸向拉應力或壓應力,而不考慮彎矩 及剪應力。考察一直桿單元,桿長為 l,截面面積 A 為常數,彈性係數為 E。桿的兩 端點 i、j 稱為節點。考慮桿在軸向力作用下的軸向變形。

(21)

21

圖 3-1 桁架單元示意圖

3-1-1 直接建立桁架單元的平衡方程式

取 x 軸沿節點 i、j 連線方向,原點在節點 i 處。桿件兩端分別受軸向力 Fi和 Fj

作用,在節點 i 和 j 分別產生位移 ui和 uj。 由靜力平衡條件得到

∑𝐹𝑥= 0 ,𝐹𝑖 + 𝐹𝑗 = 0 (3-1)

𝐹𝑖 = −𝐹𝑗 (3-2)

考慮桿件變形,單元的平均應變為

𝜀𝑥= 𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖 (3-3)

由虎克定律得到應力

𝜎𝑥= 𝛦𝜀𝑥 =𝛦𝑙�𝑢𝑗 − 𝑢𝑖� (3-4)

於是 j 端節點力為

𝐹𝑗 = 𝛢𝜎𝑥= 𝛦𝛢𝑙 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑗) (3-5)

寫成矩陣形式為 𝐹𝑗 = 𝛦𝛢𝑙 (−1,1) �𝑢𝑖

𝑢𝑗� (3-6)

由(3-2)式及(3-6)式,可得 𝐹𝑖 = 𝛦𝛢𝑙 (−1,1) �𝑢𝑖

𝑢𝑗� (3-7)

將(3-6)式和(3-7)式合在一起,並交換等式兩端可得 𝐹𝑖 = 𝛦𝛢𝑙 (−1,1) �𝑢𝑖

𝑢𝑗� (3-8)

或寫成

(22)

22

[𝛫]𝑒{𝑞}𝑒 = [𝐹]𝑒 (3-9)

其中

[𝛫]𝑒 = 𝛦𝛢𝑙 � 1 −1

−1 1 � (3-10)

{𝑞}𝑒 = �𝑢𝑖

𝑢𝑗� (3-11)

{𝐹}𝑒 = �𝐹𝑖

𝐹𝑗� (3-12)

這是桁架單元有限元素的的平衡方程式,{𝑞}𝑒是節點位移向量,{𝐹}𝑒是節點力向 量,[𝛫]𝑒是單元勁度矩陣。

3-1-2 由虛功原理建立桁架單元的平衡方程式

對於兩節點單元,單元的位移函數可設為線性函數:

𝑢(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 (3-13)

𝑢(0) = 𝑢𝑖, 𝑢(𝑙) = 𝑢𝑗 (3-14)

可寫出

𝑎 = 𝑢𝑖 , 𝑎 + 𝑏𝑙 = 𝑢𝑗

解得

𝑎 = 𝑢𝑖 , 𝑏 =𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖 (3-15)

代入(3-13)式,得到

𝑢(𝑥) = 𝑢𝑖 +𝑢𝑗−𝑢𝑙 𝑖𝑥 (3-16)

這和應用插值函數得到的結果是一致的:

𝑢(𝑥) = 𝑁1 (𝑥)𝑢𝑖+ 𝑁2 (𝑥)𝑢𝑗 (3-17)

𝑁1 (𝑥) = 1 −𝑥𝑙 , 𝑁2 (𝑥) =𝑥𝑙 (3-18)

由(3-16)式得到應變力 𝜀 =əə𝑢

𝑥= 𝑢𝑗−𝑢𝑥 𝑖 = �−1𝑙 ,1𝑙� �𝑢𝑖

𝑢𝑗� = [𝐵]{𝑞}𝑒 (3-19)

[𝐵] = �−1𝑙 ,1𝑙� (3-20)

(23)

23

應力應變關係為

σ𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 (3-21)

彈性矩陣為

[𝐷] = 𝐸 (3-22)

利用勁度矩陣的一般式可得

[𝐾]𝑒 = � [𝐵]𝑙 𝑇

0 [𝐷][𝐵]𝐴𝑑𝑥 = 𝐸𝐴 � �−1 1𝑙

𝑙

𝑙

0 �−1

𝑙 , 1 𝑙� 𝑑𝑥

=𝛦𝛢𝑙 � 1 −1

−1 1 � (3-23)

下面討論等效節點力的計算:

1.若考慮沿 x 方向作用有分布力𝑓1𝐵(𝑥)的情況,則為下列算式所示計算等效節點 力:

�𝐹𝑦� = ∫ [𝑁]0𝑙 𝑇𝑓1𝐵𝑑𝑥 = ∫ �1 −𝑥𝑙

𝑥 𝑙 𝑙

0 𝑓1𝐵𝑑𝑥 (3-24)

若為均布力,則

𝐹𝑥𝑖 = 𝐹𝑥𝑗 =1 2 𝑓1𝐵𝑙

2.如果桿上有橫向分布力作用,則在虛功原理中考慮橫向位移υ及橫向虛位移 δυ(x)同樣可用插值函數表示:

δυ = �1 −𝑥𝑙� δυ𝑖 +𝑥𝑙δυ𝑗 (3-25)

可以推出 y 方向的等效節點力為

�𝐹𝑦� = ∫ [𝑁]0𝑙 𝑇𝑓2𝐵𝑑𝑥 = ∫ 𝑓2𝐵�1 −𝑥𝑙

𝑥 𝑙 𝑙 � 𝑑𝑥

0 (3-26)

3.另外,若單元有均勻熱膨脹,當材料線膨脹係數為 a、升溫 T 時,則單元有初 應變為

𝜀0 = 𝑎𝑇 (3-27)

由初應變引起的等效節點力為 {𝐹𝑇} = � [𝐵]𝑙 𝑇𝐷

0 𝜀0𝐴𝑑𝑥 = 𝐸𝐴𝑎𝑇 � (−1 𝑙 ,

1 𝑙)𝑇𝑑𝑥

𝑙 0

(24)

24

= 𝐸𝐴𝑎𝑇 �−11 � (3-28)

3-1-3 局部座標到總體座標下桁架單元勁度矩陣的變換

上述是單獨考慮一個桁架單元時的關係,這時取 x 軸沿桿軸線方向。當結構是由 多個鉸接桿組成的桁架時,必須考慮整個系統的平衡,在各節點建立平衡方程組。如 果各桁架單圓軸線方向不同,可以先在各單元的局部座標系下建立勁度矩陣和等效節 點力,然後轉換到統一的總體座標系中。

如下圖所示,設所考慮的單元軸線方向𝑥´與總體座標系的 x 軸之間成 a 角,則在 𝑥´− 𝑦´與𝑥 − 𝑦座標系下位移分量之間有下列關係:

圖 3-2 桁架單元座標轉換

⎩⎪

⎪⎧𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´⎭⎪⎬

⎪⎫

= [L] � 𝑢𝑖

υ𝑖 𝑢𝑗

υ𝑗� ,

⎩⎪

⎪⎧𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗

𝐹𝑦´𝑗⎭⎪⎬

⎪⎫

= [L]

⎩⎪

⎪⎧𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑖 𝐹𝑥𝑗 𝐹𝑦𝑗⎭⎪⎬

⎪⎫

(3-29)

其中 [𝐿] = �𝐿1 0

0 𝐿1� , [𝐿1] = � 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑎

−𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑎� (3-30)

若將局部座標下的勁度矩陣擴充到包括 y´方向,並記為[𝐾´]𝑒

[𝐾´]𝑒(𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇= (𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 (3-31)

(25)

25

[𝐾´]𝑒 =𝐸𝐴𝑙

0 01 0 −1 0

−1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

� (3-32)

將(3-29)、(3-30)代入(3-31)式後可得到

[𝐾´]𝑒[𝐿](𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇 = [𝐿](𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 兩端乘以[𝐿]−1,並注意到[𝐿]是正交矩陣:

[𝐿]−1 = [𝐿]T 就得總體座標下的平衡方程式:

[𝐾´]𝑒(𝑢𝑖´ υ𝑖´ 𝑢𝑗´ υ𝑗´)𝑇= (𝐹𝑥´𝑖 𝐹𝑦´𝑖 𝐹𝑥´𝑗 𝐹𝑦´𝑗)𝑇 (3-33)

剛度矩陣為

[𝐾]𝑒 = [𝐿]T[𝐾´]𝑒[𝐿] (3-34)

由(3-29)式可得到總體座標下的節點力:

{F} = [𝐿]T{F´}

完成(3-34)式中矩陣乘法運算,得到

[𝐾]𝑒 = �

c2 sc

sc s2 −c2 −sc

−sc −sc

−c2 −sc

−sc −s2 c2 sc sc s2

� (3-35)

其中

𝑠 = 𝑠𝑖𝑛𝑎 , 𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 (3-36)

3-2 類神經網路

類神經網路是一種計算系統,包括軟體與硬體,它使用大量簡單的相連人工神經 元(Artificial neuron)來模仿生物神經網路的能力。人工神經元是生物神經元的簡單模 擬,它從外界環境或者其他人工神經元取得資訊,並加以非常簡單的運算,並輸出其 結果到外界環境或者其他人工神經元【26】。

(26)

26

3-2-1 類神經網路架構及基本原理

類神經網路是由許多的人工神經細胞所組成,人工神經細胞又稱為神經元、人工 神經元或處理單元(Processing element),人工神經元模型如圖3-3所示【27】,其輸入 值與輸出值的關係式,可用輸入值的加權乘積和函數如式(3-37)表示:

1

( )

n

j ij i j

i

Y f W X θ

=

=

− (3-37)

其中:

Y :模仿生物神經元的模型的輸出訊號; j

f :模仿生物神經元的模型的轉換函數(Transfer Function);

W :模仿生物神經元的模型的神經強度,又稱連結加權值; ij

Xi:模仿生物神經元的模型的輸入訊號;

θj:模仿生物神經元的模型的閥值。

其中本研究輸入層與隱藏層之間的轉換函數如式(3-38)所示:

e net

f

= + 1

1 (3-38)

圖3-3 人工神經元模型

(27)

27

介於處理各單元間訊號的傳遞路徑稱為連結(Connection)。每一個連結上有一個 數值的加權值W ,用以表示第i個處理單元對第j個處理單元影響強度。一個類神經ij 網路是由許多人工神經元與其連結所組成,並且可以組成各種網路模式(Network model)【26】。

3-2-2 類神經網路模式分類

類神經網路是由一些簡單相連的處理單元(人工神經元)所連結而成。神經元連接 的方式及特性而決定類神經網路之架構,而其加權值的修正方式則由學習法則來決定。

一般來說,類神經網路可由其網路架構及學習方式分類【28】。

一、 依網路架構分類

1. 前饋式網路架構(Feed Forward Network):神經元分層排列,形成輸入層、隱藏層 及輸出層。每一層只接受前一層的輸出當作輸入者,稱為前饋式網 路,如圖3-4所 示,倒傳遞網 路與機率神經網路(Probabilistic Neural Network, PNN)皆屬之【29】。

圖3-4 前饋式網路架構

(28)

28

2.回饋式網路架構(Feedback Network):從輸出層回饋到輸入層,或是層內各處 理單元 間有連結者,或神經元不分層排列,只有一層,各神經元均可相互連結者稱回饋 式網路,如圖3-5所示,Hopfield 神經網路(Hopfield Neural Network, HNN)與退火 神經網路(Annealed Neural Network, ANN)即屬之【29】。

圖3-5 回饋式網路架構

二 、依學習策略分類

【29】

1.監督式學習網路(Supervised Learning Network):從問題 領域中取得訓練範例(有輸入 變數值,也有輸出變數),並經由網路訓練以學習輸入變數與輸出變數的內部對應 規則,以應用於新的案例 (只要輸入變數值,即可推論輸出變數值的應用)。經由 網路調整權重以減少目標輸出值與推論輸出值之差距為監督式學習的主要目的,

其 可 應 用 於 分類 ( 如 疾 病 診 斷 ) 與 預 測 ( 如 經 濟 預 估 ) , 倒 傳 遞 網路 與 感 知 器 (Perceptron)皆屬監督式學習網路。

2.無監督式學習網路(Unsupervised Learning Network):從問題 領域中取得訓練範例(只 有輸入變數值),並從中學習範例的內在集群規則,以應用於新的案例(有輸入變 數值,而須推論它與那些訓練範例屬同一集群的應用)。非監督式網路可應用於樣 本識別及分類問題。

(29)

29

3.聯想式學習網路(Associated Learning Network):從問題領域中取得訓練範例(狀態變 數值),並從中學習範例的內在記憶規則,以應用於新的案例 (只有不完整的狀態 變數值,而需推論其完整的狀態變數值的應用),資料擷取應用與雜訊過濾應用等 屬之。

4.最適化應用網路(Optimization Application Network):對於問題決定其設計變數值,

使其在滿足設計限制條件的情況下,達到最佳設計目標的應用。此類應用的網路 架構大都與聯想式學習網路相似,設計應用與排程等屬該類網路。

3-2-3 倒傳遞網路(Back-Propagation Network, BPN)

倒傳遞類神經網路模式,如圖3-4所示【26】,是目前類神經網路學習模式中最具 代表性,應用最普遍的模式。由Rumelhart、Hintonand Williams 在1986年發展了Minsky 的多層網路構想而得【30】。

圖3-6 倒傳遞神經網路架構

(30)

30

一個BPN包含許多層,每一層包含若干個處理單元。輸入層處理單元用以輸入外 在的環境訊息,輸出層處理單元用以輸出訊息給外在環境。此外,另包含一重要之處 理層稱為隱藏層(Hidden layer),隱藏層提供神經網路各神經元交互作用與問題的內在 結構處理能力【26】。對於輸入訊號,要先向前傳播到隱藏層節點,經過激發函數作 用後,再把隱藏層節點的輸出訊號傳播到輸出點,再經由激發作用,最後由輸出層輸 出結果。

就整個演算法的學習過程是由正、反傳播所組成。在正向傳播過程中,輸入訊號 由輸入層經隱藏層單元逐層處理並傳向輸出層。每一層神經元的狀態只影響下一個神 經元的狀態。如果在輸出層節點所計算輸出值不能得到期望的數值,則進行反向傳遞 步驟,將誤差訊號沿原來的連接通路,返向透過修改各層神經元的權值,使得整體系 統誤差最小。

就基本概念而言,BPN仍然是利用最陡坡降法(Gradient descent algorithm):對 每一個神經元來說,可接收連結之輸入訊號,並經轉換函數與閥值計算輸出其反應值,

以第n層的第j個單元得輸出值 𝐴𝑗𝑛為例,其為第n-1層單元輸出值的轉換函數值如式

(3-39)所示:

(3-39)

其中:

f:轉換函數。

而集成函數 𝑛𝑒𝑡𝑗𝑛定義如式(3-40)

𝑛𝑒𝑡𝑗𝑛 = ∑ 𝑊𝑗 𝑖𝑗𝐴𝑗𝑛−1− 𝜃𝑗 (3-40)

其中:

:神經元i與神經元j間的連結強度,即連結加權值;

:神經元j的閥值。

) (

nj

n

j

f net

A =

Wij

θj

(31)

31

根據神經元連結的關係,以最陡坡降法來調整神經元間的連結加權值,期望達到 誤差函數的最小值。誤差函數定義如式(3-41)所示:

(3-41)

其中:

:目標輸出值;

:推論輸出值。

若未達到設定之誤差量則網路權值需要修正方程式如式(3-42)所示:

(3-42)

其中:

:神經元i與神經元j間的連結加權值修正量;

:學習速率(Learning Rate)。

另外為避免網路收斂時產生震盪情形,可增加慣性量(Momentum)的設計,如 式(3-43)

(3-43)

其中 =慣性量。

3-3 交叉驗證法 (Cross-validation Methodology)

類神經網路需要區分訓練集與測試集之數據,以準確估計其模型誤差,以避免產 生過度學習之現象。在不增加實驗數目下,區分訓練集、測試集將會導致數據不足,

難以產生精確之模型,因此需要足夠的數據。但實驗數據取得十分費時或昂貴,故需 要較大量的實驗數據是其缺點之一。所以本研究採用「交叉驗證法」以克服類神經網

=

j

j

j A

T

E ( )2

2 1

Tj

Aj

ij

ij W

W E

− ∂

=

∆ η.

Wij

∆ η

ij ij

ij W

W E

W

+ ∂

=

∆ α η.

α

(32)

32

路必須區隔實驗數據集為訓練集、測試集,導致訓練數據不足之缺點。

交叉驗證法是抽樣與建立模型的方法之一,也是一種可有效的估計模型普遍性的 誤差評估法,為Lachenbruch和Mickry於1968年所提出的。它是將一組具有獨立且相 同分配的樣本資料以隨機抽樣的方式分成訓練集與測試集兩集合,接著進行訓練與測 試 , 並 重 複 執 行 多 次 【 31 】。 故 此 方 法 可 稱 之 為 Leave-Some-Out Cross-Validation(LSO-CV)。

交 叉 驗 證 法 的 子 集 數 的 極 限 即 等 於 資 料 集 的 資 料 數 , 此 時 可 稱 之 為 Leave-One-Out Cross-Validation(LOO-CV)。即將每一個樣本單獨作為一次測試集,剩 餘 n-1 個樣本做為訓練集,如此進行 n 次,建立 n 個模型,最後整合這 n 次的測 試集的預測值來估算誤差【26】。

相較於前面介紹的LSO-CV,採用LOO-CV有兩個明顯的優點【26】:

(1) 每一回合中幾乎所有的樣本皆用於訓練模型,因此最接近母體樣本的分佈,估測 所得的普遍化誤差比較可靠。

(2) 實驗過程中沒有隨機因素會影響實驗數據,確保實驗過程是可以被複製的。

但由於LOO-CV的缺點則是計算成本高,因為需要建立的模型數量與總樣本數相 同。當樣本數量相當多時,LOO-CV在實作上便有困難,除非每次訓練模型的速度夠 快,或是可以用平行化計算減少計算所需的時間【26】。而交叉驗證法發展的種類也 不少,有n-fold Cross-Validation【39】【40】之稱,它係將資料集切成 n個大小相等 的子集,每次取一個子集做為測試集,其餘子集做為訓練集,如此進行 n次,建立 n 個模型,最後整合這 n次的測試集的預測值來估算誤差,然而10-fold Cross-Validation 是最常用的。

3-4 數學規劃法

數學規劃法是一種最佳化技術,包括線性規劃(Linear Programming),非線性規劃

(33)

33

(Nonlinear Programming),整數規劃(Integer Programming)等。因為二階反應曲面為非 線性連續值函數,因此以使用非線性規劃為主。非線性規劃依其用途可分成二類:(1) 無限制最佳化 (2)限制最佳化,以下分二節來介紹。

3-4-1 無限制最佳化

無限制最佳化問題是指只有目標函數需優化(最大化或最小化)的最佳化問題:

Min F(x) (或Max F(x) 或Min (F(x)-m)2 ) (3-44)

非線性規劃中用以解無限制最佳化問題的技術依其原理可分成三類:

(1)零階方法

不使用微分導數來搜尋最佳解,典型的方法如區間搜尋法與共軛方向法(The Conjugate Direction Method,又稱Powell’s Method)。

(2)一階方法

使用一階微分導數來搜尋最佳解,典型的方法如最陡坡度法(The Steepest Descent Method)與共軛梯度法。

(3)二階方法

使用二階微分導數來搜尋最佳解,典型的方法如牛頓法(Newton’s Method)與準牛 頓法(Quasi- Newton’s Method)。

以下簡介本研究使用的方法「區間搜尋法」。區間搜尋法的演算法如下:

(1)在搜尋範圍內以隨機方式產生設計變數設計值,形成一個設計點。

(2)計算目標函數。

(3)重複(1)到(2) M次。

(4)依目標函數值找出最佳解。

(5)以最佳解為中心縮小搜尋範圍,重複(1)到(4) N次,輸出最佳解。

簡言之,其搜尋過程為以隨機搜尋所得的最佳解為中心,縮小搜尋範圍,迭代進

(34)

34

行,逐步逼近最佳解。

3-4-2 限制最佳化

限制最佳化問題是指有目標函數需優化(最大化或最小化),且有限制函數須滿足 的最佳化問題:

Min F(x) (或Max F(x) 或Min (F(x)-m)2 ) (3-45)

Subject gj(x )≦0 j=1,2,…,m (3-46)

非線性規劃中用以解限制最佳化問題的技術依其原理可分成二類:

(1) 間接法

當一設計點違反限制函數時,加一「懲罰函數」(penalty function)於目標函數,

形成「準目標函數」(pseudo-objective function):

最小化問題:Minϕ(x)=F(x)+κP(x) 最大化問題:Maxϕ(x)=F(x)κP(x)

其中ϕ(x)=準目標函數;P(x)=懲罰函數;

κ

=懲罰係數。

這種將限制最佳化問題轉換成限制最佳化問題來求解的方法稱「間接法」。典型

的方法如懲罰函數法(Penalty-Function Methods)。

(2) 直接法

除了間接法以外的方法統稱「直接法」,典型的方法如可行方向法(Method of Feasible Directions)與序列線性規劃法(Sequential Linear Programming)。

上述方法中以「懲罰函數法」最為簡單可行,懲罰函數法依其採用之懲罰函數之 不同分成許多變形,其中以「外懲罰函數法」(Exterior Penalty-Function Method)最為 簡單可行,本章只介紹這種方法。外懲罰函數法之演算法如下:

(35)

35

(1) 將限制最佳化問題轉換成無限制最佳化問題:

最小化問題:Minϕ(x)=F(x)+κP(x)

最大化問題:Maxϕ(x)=F(x)κP(x) 其中懲罰函數

( )

( )

2

1

) ( , 0 )

(

=

= m

j

gj

Max

P x x

(3-47)

(2) 以無限制最佳化方法求解。

(3) 放大懲罰係數κ=cκ (其中c>1),回到步驟(1),直到收斂為止。

第四章 桁架結構案例分析

本章節將藉由文獻蒐集而來的數個平面與空間桁架案例,驗證本研究方法是否可 用在桁架最佳化設計問題上。本研究在完成各案例最佳化設計後,以表格方式來呈現 各桿件應力及節點位移,以證明設計斷面滿足限制條件。最後將其結果與文獻上的結 果進行比較。

4-1 案例一:平面 10 根桿件桁架

如圖 4-1 所示,為一 6 節點、10 根桿件的懸臂桁架結構。先前已有一些研究對此 案例進行最佳化設計,如:Gellatly and Berke【41】、張巍贏【2】、Rajeev and Krishnamoorthy【42】、邱兆宇【4】等人。因此,本研究將此案例作為第一個測試案 例。表 4-1 為 10-bar 的問題設定,表 4-2 為 10-bar 各桿件起始節點及終止節點之編號,

(36)

36

表 4-3 為 10-bar 桁架受力情形。

圖 4-1 案例一,平面 10 根桿件桁架

(37)

37

表 4-1 案例一,問題設定

負載(kips) 100

材料密度(lb/in3) 0.1 楊氏系數(ksi) 10000

容許應力(ksi) ± 25

容許位移(in) ± 2

表 4-2 案例一,各桿件起始節點及終止節點之編號

桿件編號 起始節點編號 終止節點編號

1 1 2

2 2 3

3 4 5

4 5 6

5 2 5

6 3 6

7 4 2

8 1 5

9 5 3

10 2 6

表 4-3 案例一,桁架受力情形

桁架受力情形(kips)

節點編號 X方向 Y方向

2 0 0

3 0 0

5 0 -100

6 0 -100

最佳化過程如下:

(1) 產生設計方案:首先將斷面皆設為 1 in2進行結構分析,受力最大者,以容許應力 反推設計斷面 Amax,取兩倍 Amax 設為上限;受力最小者,以容許應力反推設 計斷面 Amin,設為下限。再用 Excel 以介於 Amin 與 Amax 間的亂數做為桁架各 斷面面積,產生 100 筆設計。

(2) 進行結構分析:接著對其進行結構分析,產生 100 筆初始 DATA。

(38)

38

(3) 建立預測模型:以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。基本上 Test Coore.

Coef.的數值以 0.5 為一個基準,越高於 0.5 代表預測模型越精準;反之,越低於 0.5 則誤差越大。表 4-4 為交叉驗證法之評估表,Test Coore. Coef.的部分皆有良好 的數值,代表預測模型準確。

(4) 進行最佳化設計:利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計,結果如表 4-5。

(5) 進行驗證分析:將表 4-5 設計斷面經結構分析後,得表 4-6 與表 4-7。可知桿件皆 滿足容許應力±25 ksi,位移量皆滿足容許位移±2 in。但總重量為 7161.593 lb,高 於文獻的最輕載重 5080 lb【2】。

表 4-4 案例一,Run 1 交叉驗證法誤差評估表 Output

Variable

Train Corre.

Coef.

Train Root Mean Sqrt

Test Corre.

Coef.

Test Root Mean Sqrt y1 0.9953 0.2978 0.9916 0.3977 y2 0.9503 0.5305 0.9195 0.6699 y3 0.9961 0.3798 0.9932 0.507 y4 0.9874 0.2898 0.979 0.3718 y5 0.9804 0.7081 0.9621 0.9788 y6 0.8904 0.3804 0.831 0.4661 y7 0.981 0.1898 0.9716 0.2318 y8 0.987 0.2705 0.9772 0.3554 y9 0.9882 0.1848 0.9793 0.2445 y10 0.9249 0.613 0.8978 0.7112 y11 0.9953 0.0106 0.9917 0.0142 y12 0.9891 0.0217 0.9794 0.0297 y13 0.9871 0.0235 0.9782 0.0305 y14 0.9947 0.0378 0.9907 0.05 y15 0.9961 0.0138 0.9931 0.0183 y16 0.9946 0.0165 0.9906 0.0218 y17 0.9934 0.0194 0.9873 0.027 y18 0.9947 0.0377 0.9903 0.0514 y19 0.991 839.68 0.9882 965.69

(39)

39

表 4-5 案例一,Run 1 各桿件斷面

各桿件斷面(in

2

)

桿件編號 桿件斷面

1 31.098

2 0.211

3 24.081

4 29.692

5 1.6195

6 0.3962

7 16.689

8 30.182

9 31.872

10 0.3366

表 4-6 案例一,Run 1 各桿件應力

各桿件應力(ksi)

桿件編號 桿件應力

1 6.910

2 1.914

3 -8.039

4 -3.405

5 6.129

6 0.964

7 7.803

8 -5.313

9 4.506

10 -1.714

(40)

40

表 4-7 案例一,Run 1 各桿件位移

各節點位移(in)

節點編號 X方向 Y方向

1 0.000 0.000

2 0.248 -0.631

3 0.317 -1.580

4 0.000 0.000

5 -0.289 -0.851

6 -0.412 -1.615

第二回合(Run 2)最佳化過程如下:

(1) 產生設計方案:以 Run 1 得出的最佳化設計為基準,每根桿件以上下各取 0.5 倍 為新的上下限,利用 Excel 跑出第二組 100 筆設計。

(2) 進行結構分析:接著對其進行結構分析,產生 100 筆初始 DATA。

(3) 建立預測模型:以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。表 4-8 為交叉驗證 法之評估表,Test Coore. Coef.的部分,y2、y5、y6 數值較低,代表此模型建立有 一定之誤差。

(4) 進行最佳化設計:利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計,結果如表 4-9。

(5) 進行驗證分析:將表 4-9 設計斷面經結構分析後,得表 4-10 與表 4-11。可知桿件 皆滿足容許應力±25 ksi,節點 6 的位移量為 2.044 in 往下,超出容許位移±2 in,

其餘位移量皆滿足容許位移±2 in。但總重量大幅下降為 5564.585 lb,接近文獻最 輕載重 5080 lb【2】。

(41)

41

表 4-8 案例一,Run 2 交叉驗證法誤差評估表 Output

Variable

Train Corre.

Coef.

Train Root Mean Sqrt

Test Corre.

Coef.

Test Root Mean Sqrt y1 0.9432 10.7830 0.7190 22.9300 y2 0.9028 2.0470 0.5221 4.1885 y3 0.9710 6.7186 0.9132 11.6620 y4 0.9660 2.8173 0.6708 8.1624 y5 0.8891 4.5436 0.4522 10.4490 y6 0.9587 3.1418 0.5364 9.6396 y7 0.9495 3.8467 0.8562 6.3518 y8 0.9680 3.3776 0.9067 5.7445 y9 0.9367 2.3389 0.7818 4.2403 y10 0.9019 2.0864 0.7000 3.5413 y11 0.9878 0.1514 0.9695 0.2429 y12 0.9827 0.2081 0.9207 0.4411 y13 0.9875 0.1607 0.9571 0.3044 y14 0.9904 0.3541 0.9403 0.8751 y15 0.9767 0.2154 0.9053 0.4406 y16 0.9847 0.2036 0.9099 0.4918 y17 0.9625 0.2920 0.8551 0.5718 y18 0.9894 0.3698 0.9350 0.9096 y19 0.9178 4591.5000 0.8783 5576.6000

表 4-9 案例一,Run 2 各桿件斷面

各桿件斷面(in

2

)

桿件編號 桿件斷面

1 31.982

2 0.213

3 24.125

4 19.531

5 1.613

6 0.415

7 16.523

8 15.832

9 23.724

(42)

42

10 0.214

表 4-10 案例一,Run 2 各桿件應力

各桿件應力(ksi)

桿件編號 桿件應力

1 6.391

2 3.553

3 -8.370

4 -5.136

5 0.773

6 1.8

7 8.633

8 -9.250

9 5.999

10 -5.018

表 4-11 案例一,Run 2 各桿件位移

各節點位移(in)

節點編號 X方向 Y方向

1 0.000 0.000

2 0.230 -0.896

3 0.366 -1.977

4 0.000 0.000

5 -0.301 -0.924

6 -0.486 -2.044

第三回合(Run 3)最佳化過程如下:

(1) 產生設計方案:以 Run 2 得出的最佳化設計為基準,每根桿件以上下各取 0.25 倍 為新的上下限,利用 Excel 跑出第三組 100 筆設計。

(2) 進行結構分析:接著對其進行結構分析,產生 100 筆初始 DATA。

(3) 建立預測模型:以 100 筆初始 DATA 建立神經網路預測模型。表 4-12 為交叉驗 證法之評估表,Test Coore. Coef.的部分皆有良好的數值,代表此模型建立準確。

(4) 進行最佳化設計:利用預測模型配合最佳化方法進行斷面最佳設計,結果如表 4-13,可知斷面桿件 2、5、6、10 依舊為極小斷面。

參考文獻

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