母體

母體 VS. 樣本

例子：臺灣公民的科學素養

母體：臺灣全體民眾 梁淑坤

國立中山大學教育所 103.04.19

leung@mail.nsysu.edu.tw

http://www2.nsysu.edu.tw/leung/home.html

大綱

1. 遺傳學&機率

2. 考80分算好嗎？

3. 圖案：對稱 碎形 tessellation

4. 黃金比

5. 盧羅克斯三角形

6. BMI：你夠標準嗎？

酒窩

耳垂分離

天生捲頭髮

可捲舌

下巴有酒窩

直拇指

彎小拇指

第二腳趾比大腳趾長

•

、有的卻是乾扁。

•

比對，作有系統的統計，

這些記錄的植物個體數超 過二萬一千株以上。

•

將一高莖和一矮莖進 行雜交，所得到的第 一代子代皆為高莖。

再將第一代子代互相 交配得到第二代子代，

則觀察到第二代子代 中有高莖也有矮莖，

比例為3:1。

以純種的高莖矮莖為例

生物組織之內都有一個基因，透過這個基因，

親代的特性可以傳給下一代 。

每一種單獨的特徵，例如：豌豆的顏色或高 矮，都是由一對基因決定，而這對基因是由 上一代的一對基因中，各繼承一個基因湊成 一對。

孟德爾遺傳學的整理

子代繼承來的基因如果是有不同性狀的區別，

例如：一個基因會顯現高莖的特性、另一個 會顯現低莖，那麼只有強勢的特性會顯現出 來（我們稱為顯性），這種現象叫做「優性 定律」。

親代的基因經過分配，再傳給子代，哪個基 因和哪個基因配成一對，完全是隨機偶然發 生的。

孟德爾遺傳學的整理

孟德爾的紀錄發現，不論是哪一種性狀都呈現出大約是3：1的比例。

孟德爾所作實驗之統計

雙親基因型

AA×aa

a a

A Aa Aa

A Aa Aa

第一代子代基因型

（ 100 ﹪）

第一代子代表現型

全顯

雙親基因型

Aa×Aa

A a

A AA Aa

a Aa aa

第二代子代基因型 AA：Aa：aa＝ 1：2：1

第二代子代表現型 顯：隱＝ 3：1

第一代 第二代

+

孟德爾所作實驗之統計

親代 第一子代 第二子代 比例

圓形種子×皺皮種子 圓形種子 5474圓形種子 1850皺皮種子

2.96：1

黃色種子×綠色種子 黃色種子 6022黃色種子 2001綠色種子

3.01：1

灰色種皮×白色種皮 灰色種皮 705灰色種皮

224白色種皮

3.15：1

飽滿豆莢×癟縮豆莢 飽滿豆莢 882飽滿豆莢

299癟縮豆莢

2.95：1

綠色豆莢×黃色豆莢 綠色豆莢 428綠色豆莢

152黃色豆莢

2.82：1

腋生花×頂生花 腋生花 651腋生花

207頂生花

3.14：1

高莖×矮莖 高莖 787高莖 2.84：1

孟德爾的第一定律—分離律

性狀的遺傳是由細胞中的某種因子所控制 的(今天我們稱為基因)，控制一種性狀的 因子有二種型式：一為顯性，一為隱性。

此種因子在細胞中是成對存在的，當形 成精子和卵子時，便互相分離，各帶一個 受精時，若顯性因子和隱性因子相結合，

便表現出顯性性狀 。

孟德爾的第一定律—分離律

精

卵

A a

A AA (顯) Aa (顯)

a Aa (顯) aa (隱)

Aa

Aa

例：如果一對父母皆為耳垂分離(Aa，A為 顯性因子)，其子女可能性狀如下：

卵 精

A

母親卵子

a 母親卵子 A

父親精子

AA 耳垂分離

Aa 耳垂分離 a

父親精子

Aa 耳垂分離

aa 耳垂緊貼

例：人類的 A, B, O 血型遺傳，這個性狀有三個因 子( A、B、i )，A、B 相對於 i 為顯性基因。

￭又因為 A、B 之間為共顯性

(即共同表現而無顯隱性之分 ) 所以 AB 型的基因組合為 AB。

血型

基因組合

A 型 AA 或是 Ai

B 型 BB 或是 Bi

O 型 ii

AB

例：如果有一對父母，其血型的基因配對情形

為 A (Ai) × B (Bi)，則其子女可能血型如下：

精

卵

A i

B AB

(AB型) Bi

(B型)

i Ai

(A型) ^{(O型) ii}

孟德爾的第二定律—獨立分配律

孟德爾提出解釋(假說)，控制不同性狀的 成對因子都會獨立地分配到精子和卵子。

例如：

親代是黃色圓形種子(顯性；因子為YYRR)和 綠色皺皮種子(隱性；因子為yyrr)

第一子代即為

黃色圓形種子(顯性；因子為YyRr)。精子或 卵子即分配為YR或Yr或yR或yr。

精 卵

YR Yr yR yr

YR YYRR 黃圓 YYRr 黃圓 YyRR 黃圓 YyRr 黃圓

Yr YYRr 黃圓 YYrr 黃皺 YyRr 黃圓 Yyrr 黃皺

yR YyRR 黃圓 YyRr 黃圓 yyRR 綠圓 yyRr 綠圓

yr YyRr 黃圓 Yyrr 黃皺 yyRr 綠圓 yyrr 綠皺

黃色圓形：綠色圓形：黃色皺皮：綠色皺皮

= 9：3：3：1

則第二子代為

如果有三種特徵：

例如顏色有黃綠(二種選擇);

種皮有圓皺(二種選擇);

莖有高矮(二種選擇)，

所以父代及母代各有八種組合方式，

二者相配可以產生 64種情形。

其各種特徵子代的比例為

27:9:9:9:3:3:3:1

考慮以下問題：

有一個班有 20 個人，若考了 80 分，請 問這個分數在班上算好嗎？

如果 A 班的同學成績如下：

98, 91, 97, 90, 92, 98, 86, 79, 77, 99, 78, 85, 84, 84, 85, 75, 74, 96, 90, 80.

請問考 80 分在班上算好嗎？

狀況一

狀況二

如果 B 班的同學成績如下：

29, 58, 61, 27, 93, 45, 93, 82, 21, 79, 40, 80, 29, 96, 97, 27, 74, 73, 69, 27.

請問考 80 分在班上算好嗎？

狀況三

如果 C 班的同學成績如下：

86, 48, 74, 66, 30, 58, 72, 38, 80, 71, 73, 75, 54, 39, 40, 42, 30, 90, 78, 56.

請問考 80 分在班上算好嗎？

A班： 74, 75, 77, 78, 79, 80, 84, 84, 85, 85, 86, 90, 90, 91, 92, 96, 97, 98, 98, 99.

B班： 21, 27, 27, 27, 29, 29, 40, 45, 58, 61, 69, 73, 74, 79, 80, 82, 93, 93, 96, 97.

C班： 30, 30, 38, 39, 40, 42, 48, 54, 56, 58, 66, 71, 72, 73, 74, 75, 78,

80, 86, 90.

把資料排序後…

有沒有比較清楚呢？

資料量少還可以用排序來看

若資料量大呢？排序？不一定有用！

有一些統計量可以幫助瞭解資料的分布：平均 數、變異數與標準差

由公式可知：

平均數可看出資料大略的集中位置；

標準差可看出資料的分散情況。

標準差越大表示資料越分散，標準差越小表示 資料越集中。

狀況三

如果 C 班的同學成績如下：

86, 48, 74, 66, 30, 58, 72, 38, 80, 71, 73, 75, 54, 39, 40, 42, 30, 90, 78, 56.

請問考 80 分在班上算好嗎？

A班： 74, 75, 77, 78, 79, 80, 84, 84, 85, 85, 86, 90, 90, 91, 92, 96, 97, 98, 98, 99.

B班： 21, 27, 27, 27, 29, 29, 40, 45, 58, 61, 69, 73, 74, 79, 80, 82, 93, 93, 96, 97.

C班： 30, 30, 38, 39, 40, 42, 48, 54, 56, 58, 66, 71, 72, 73, 74, 75, 78,

80, 86, 90.

把資料排序後…

有沒有比較清楚呢？

資料量少還可以用排序來看

若資料量大呢？排序？不一定有用！

有一些統計量可以幫助瞭解資料的分布：平均 數、變異數與標準差

由公式可知：

平均數可看出資料大略的集中位置；

標準差可看出資料的分散情況。

標準差越大表示資料越分散，標準差越小表示 資料越集中。

常態分佈Normal Distribution

關於 A, B, C 三班的成績可整理如下：

班級 ^{A B C}

86.9 60 60 8.143 27.02 18.97

再利用常態分佈圖的概念即可知道，考 80 在 C 班已經大於平均數的 1 個標準差以上，所以考 80 分在 C 班算是較好的

只要稍微注意一下，就會發現自己生活在一 個充滿對稱的世界裡

雪花晶 體

蝴蝶雙 翼

symmetry

請舉例說明你所認識的對稱

The simplest symmetry is

Reflection Symmetry

It is easy to recognise, because one half is the reflection of the other half.

碎形幾何圖形的主要特性：

在有限區域以自我規則複製的一種 無限過程

這些圖型除美觀之外，

也具備某些有趣的數學性質，

例如雖然他們是平面圖形，

但其空間維度卻不是二維，

而是分數維度

講到數學立體藝術當然不能錯過從古希臘流 傳至今的五個柏拉圖立體

什麼是黃金比例

古希臘人把它認為是最完美的比例而活用於視覺造形中，

而其分比例的基本方法是把一條線分割成大小二段時，

「全段長：長段長＝長段長：短段長」，

這種比例分割方法就是黃金比例，

此數據為1.6180339…是個無窮小數，

在文藝復興時代，

義大利以神聖比例來稱呼它，

認為黃金比例是最完美的比例。

a+b：a ＝ a：b

＝ 1.6180339：1

美麗又神奇的 1.618

= 1.618

a + b a

a + b L a

在黃金比例切割下，

長段會占全段的多少呢?

= 0.618

L a

用數學來說黃金比例

A B

如何找到一點 C ，

使得 ?

(全段：長段 = 長段：短段)

AB

CB AC

AC

AB : = :

C

1

x 1-x

把 設為1 ； 則

AC

^AB

BC

 x = x ( 1-x )

²

 x =

2 1± 5

−

_{≒ 0.618}

( 負不合 )

618 .

2

1

1 5 5

1 2 1

2 5

1₊

=

=

≈

−

造就黃金比例的視覺效果

在人體軀幹與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點。

如果我們的身高與下半身長度（腳底到肚臍）的比值是 1.618，

就是最完美的身材

= 1.618

a b

班上同學誰最接近黃金比例

請兩人一組互相幫忙量出身高 與下半身長度（腳底到肚臍）

的比值

想想看…

身高174cm的志玲姊姊，

如果她的下半身長105cm，

那麼她擁有黃金比例的 身材嗎?

如果沒有，該如何改善 呢^?

首先…

174105

= 1.657

＞ 1.618

假設鞋跟高為 x

174 + x 105 + x

1.618 =

1.618 ·（105 + x ）= 174 + x 169.89 + 1.618x = 174 + x 1.618x - x = 174 - 169.89 0.618x = 4.11

x = 4.11 0.618 ≒ 6.65

所以…

穿上了 6~7公分的高跟鞋後 就接近完美的黃金比例了 !

或者改穿高腰洋裝也可以

達到相同效果

︱ 艾菲 爾鐵塔 舉世聞 名的巴 黎鐵塔

117M 203M

≒ 0.576 117

203

≒ 0.634 203

320

生活中的黃金比例

米勒畫筆下的黃金比例

【 晚禱 】

Golden proportion in art

達文西作品：蒙娜麗莎的微笑

※

如何畫出黃金矩形…

A

B C

D

M F

1

12

2 1

5

12

2 5

2 1+ 5

∴

CD : CF

2 5

:

1

1

⁺

=

像專家一樣使用黃金比例來剪裁相片

- PhotoImpact的應用

像專家一樣使用黃金比例來剪裁相片

- PhotoImpact的應用

逼近黃金比例的數列

1 1 3 2

5

8

費波納奇數列 (Fibonacci Progression)

1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，...

F = F _{n n-2} + F _n-1

156 cm

94 cm

★黃金分割

①畫一個等邊三角形

B

②把各邊長20等分

B

20 1

③選取第一組相鄰兩邊

﹙ ﹚

用直尺連接

1-1，2-2，3-3，4-4，

5-5，……，17-17，

18-18，19-19，20-20。

B BC

AB,

④選取第二組相鄰兩邊

﹙ ﹚

用直尺連接

1-1，2-2，3-3，4-4，

5-5，……，17-17，

18-18，19-19，20-20。

B BC

AC,

⑤選取第三組相鄰兩邊

﹙ ﹚

用直尺連接

1-1，2-2，3-3，4-4，

5-5，……，17-17，

18-18，19-19，20-20。

B

AC

AB,

⑥三角網完成!

三角網中央就是

『盧羅克斯三角形』

B

http://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle

Thank you