數學的內容、 方法和意義
丘 成桐
丘成桐教授應北京大學邀請, 出席北大百週年校慶, 並於一九九八年五月五日, 與另外三位傑出華人科學家, 楊振寧教授、 李遠哲教授和朱棣文教授在北京大學舉 行學術講座, 上千名北大師生反應熱烈, 三小時的講座, 座無虛席。
今天要講的是數學的內容、 方法和意義, 這原是蘇聯人寫的一本書的書名, 和今天的 演講內容切合, 因此借過來作為演講的名稱。
今天是北大百週年校慶, 五四運動便是 北大學生發動的。 作為演講的引子, 讓我們先 簡略地回顧一下“五四”前後中西文化之爭。
十九世紀中業以後, 中國對西方科技的認識, 是”船堅炮利”, 在屢次戰爭失利後, 張之洞提 出了“中學為體、 西學為用”的主張, 即以傳統 儒家精神為主, 加入西方的技術。 到了五四運 動前後便有了科玄論戰。 以梁漱溟為主的一 派以東方精神文明為上, 捍衛儒學, 以為西方 文明強調用理性和知識去征服自然, 缺乏生 命之道, 人變成機械的奴隸; 而中國文化自適 自足, 行其中道, 必能發揚光大。 其時正值第 一次世界大戰結束, 西方哲學家羅素等對西 方物質文明深惡痛絕, 也主張向東方學習。 另 一派以胡適為首者則持相反意見, 他們以為
在知識領域內科學萬能, 人生觀由科學方法 統馭, 未經批判及邏輯研究的, 皆不能成為知 識。
科玄論戰最終不了了之, 並無定論。 兩 派對近代基本科學皆無深究, 也不收集數據, 理論無法嚴格推導, 最後變得空泛。 其實這便 是中國傳統文化之一特質。 一方面極抽象, 有 質而無量, 儒道皆云天人合一, 禪宗又云不 立文字, 直指心性。 另一方面則極實際, 莊子 說“六合之外, 聖人存而不論”, 荀子批評莊子
“蔽於天而不知人”。 古代的科學家講求實用, 一切為人服務, 四大發明之一指南針、 造紙、
印刷術、 火藥莫不如此。 要知道西方技術之基 礎在科學, 實際和抽象的橋樑乃是基本科學, 而基本科學的工具和語言就是數學。
歷代不少科學家對數學都有極高的評 價。 我們引一些物理學家的話作為例子。 R.
Feyman[1] 在 「物理定律的特性」 一書中說
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我們所有的定律, 每一條都由深奧的數學中 的純數學來敘述, 為甚麼? 我一點也不知道。
E. Wigner[1] 說數學在自然科學中有不合常 理的威力。 F. Dyson[1] 說: 在物理科學史 歷劫不變的一項因素, 就是由數學想像力得 來的關鍵貢獻, 基本物理既然由高深的數學 來表示。 應用物理, 流體等大自然界的一切現 象, 只要能得到成熟的了解時, 都可以用數學 來描述。 寫過 「湖濱散記」 的哲人梭羅[1]也說 有關真理最明晰, 最美麗的陳述, 最終必以數 學形式展現。
其實數學家不只從自然界吸收養分, 也 從社會科學和工程中得到啟示。 人類心靈中 由現象界啟示而呈現美的概念, 只要能夠用 嚴謹邏輯來處理的都是數學家研究的對象。
數學和其他科學不同之處是容許抽象, 只要 是美麗的, 就足以主宰一切, 數學和文學不同 之處是一切命題都可以由公認的少數公理推 出。 數學正式成為系統性的科學始於古希臘 的歐幾里德, 他的 「幾何原本」 是不朽名作。
明末利瑪竇和徐光啟把它譯成中文, 並指出
“十三卷中五百餘題, 一脈貫通, 卷與卷, 題 與題相結倚, 一先不可後, 一後不可先, 累累 交承· · · 漸次積累, 終竟乃發奧微之義”。 複 雜深奧的定理都可以由少數簡明的公理推導, 至此真與美得到確定的意義, 水乳交融, 再難 分開。 值得指出, 歐幾里德式的數學思維, 直 接影響了牛頓在物理上三大定律的想法, 牛 頓鉅著 「自然哲學的數學原理」 與 「幾何原 本」 一脈相承。 從愛因斯坦到現在的物理學家 都希望完成統一場論, 能用同一種原理來解 釋宇宙間的一切力場。
數學的真與美, 數學家的體會深刻。
Sylvester[1] 說“它們揭露或闡明的概念世界, 它們導致的對至美與秩序的沉思, 它各部分 的和諧關聯, 都是人類眼中數學最堅實的根 基”。 數學史家 M. Kline[1]說 “一個精彩巧妙 的證明, 精神上近乎一首詩”。 當數學家吸收 了自然科學的精華, 就用美和邏輯來引導, 將 想像力發揮的淋漓盡致, 創造出連作者也驚 嘆不已的命題。 大數學家往往有宏偉的構思, 由美作引導, 例如 Weil 猜想促成了重整算 數幾何的龐大計劃, 將拓撲和代數幾何融入 整數方程論中。 由 A. Grothendieck 和 P.
Deligne 完成的 Weil 猜想, 可說是抽象方法 的偉大勝利。 回顧數學的歷史, 能夠將幾個不 同的重要觀念自然融合而得出的結果, 都成 為數學發展的里程碑。 愛因斯坦將時間和空 間的觀念融合, 成為近百年來物理學的基石;
三年前 A. Wiles 對自守型式和 Fermat 最 後定理的研究, 更是扣人心魄。 數論學家能夠 不依賴自然科學的啟示得出來的成就, 令人 驚異, 這是因為數字和空間本身就是大自然 的一部份, 它們的結構也是宇宙結構的一部 份。 然而, 我們必須緊記, 大自然的奧秘深不 可測, 不僅僅在數字和空間而已, 它的完美無 處不在, 數學家不能也不應該抗拒這種美。
本世紀物理學兩個最主要的發現: 相對 論和量子力學對數學造成極大的衝擊。 廣義 相對論使微分幾何學“言之有物”, 黎曼幾何 不再是抽象的紙上談兵。 量子場論從一開始 就讓數學家迷惑不已, 它在數學上作用仿如 魔術。 例如 Dirac 方程在幾何上的應用使人 難以捉摸, 然而它又這麼強而有力地影響著
幾何的發展。 超對稱是最近二十年物理學家 發展出來的觀念, 無論在實驗或理論上都頗 為詭秘, 但藉著超弦理論的幫助, 數學家竟能 解決了百多年來懸而未決的難題。 超弦理論 在數學上的真實性是無可置疑的, 除非造化 弄人, 它在物理上終會佔一席位。
上世紀末數學公理化運動使數學的嚴格 性堅如盤石, 數學家便以為工具已備, 以後工 作將無往而不利。 本世紀初 Hilbert 便以為 任何數學都能用一套完整的公理推導出所有 的命題。 但好景不常, Godel在 1931 年發表 了著名的論文“「數學原理」 中的形式上不可 斷定的命題及有關系統 I”。 證明了包含著通 常邏輯和數論的一個系統的無矛盾性是不能 確立的。 這表示 Hilbert 的想法並非是全面 的, 也表示科學不可能是萬能的。 然而由自然 界產生的問題, 我們還是相信 Hilbert 的想 法是基本正確的。
數學家因其品稟各異, 大致可分為下列 三種:
(一) 創造理論的數學家。 這些數學家工 作的模式, 又可粗分為七類。
• 從芸芸現象中窺見共性。 從而提煉出一套 理論, 能系統地解釋很多類似的問題。 一 個明顯的例子便是上世紀末 Lie 在觀察 到數學和物理中出現大量的對稱後, 便創 造出有關微分方程的連續變換群論。 李群 已成為現代數學的基本概念。
• 把現存理論推廣或移植到其它結構上。 例 如將微積分由有限維空間推廣到無限維 空間, 將微積分用到曲面而得到連絡理論 等便是。 當 Ricci, Christofel等幾何學
家在曲面上研究與座標的選取無關的連 絡理論時, 他們很難想像到它在數十年後 的 Yang-Mills 場論中的重要性。
• 用比較方法尋求不同學科的共通處而發 展新的成果。 例如: Weil 比較整數方 程和代數幾何而發展算數幾何: 三十年前 Langlands 結合群表示論和自守形式而 提出“Langlands 綱領”, 將可交換的類 域理論推廣到不可交換的領域去。
• 為解釋新的數學現象而發展理論。 例如:
Gauss發現了曲面的曲率是內蘊 (即僅與 其第一基本形式有關) 之後, Rie- mann 便由此創造了以他為名的幾何學, 成就 了近百年來的幾何的發展; H. Whit- ney 發現了在纖維叢上示性類的不變性 後, Pontryagin和陳省身便將之推廣到 更一般的情況, 陳示性類在今日已成為拓 撲和代數幾何中最基本的不變量。
• 為解決重要問題而發展理論。 例如 J.
Nash 為解決一般黎曼流形等距嵌入歐 氏空間而發展的隱函數定理, 日後自成 學科, 在微分方程中用處很大。 而 S.
Smale 用 h- 協邊理論解決了五維或以 上的 Poincare 猜想後, 此理論成為微分 拓撲的最重要工具。
• 新的定理證明後, 需要建立更深入的理 論。 如 Atiyah-Singer 指標定理, Don- aldson理論等提出後, 都有許多不同的證 明。 這些證明又引起重要的工作。
• 在研究對象上賦予新的結構。 Kahler在 研究複流形時引入了後來以他為名的尺 度; 近年 Thurston 在研究三維流形
時, 也引進了“幾何化”的概念。 一般而言, 引進新的結構使太廣泛的概念得到有意 義的研究方向。 有時結構之上還要再加限 制, 如 Kahler 流形上我們要集中精神考 慮 Kahler-Einstein 尺度, 這樣研究才 富有成果。
(二) 從現象中找尋規律的數學家。 這些 數學家或從事數據實驗, 或在自然和社會現 象中發掘值得研究的問題, 憑藉美和經驗把 其中精要抽出來, 作有意義的猜測。 如 Gauss 檢視過大量質數後, 提出了質數在整數中分 佈的定律; Pascal和 Fermat 關於賭博中賠 率的書信, 為現代概率論奠下基石。 五十年代 期貨市場剛剛興起, Black 和 Scholes 便提 出了期權定價的方程, 隨即廣泛地應用於交 易上。 Scholes 亦因此而於去年獲得諾貝爾的 經濟學獎。 這類的例子還有很多, 不勝枚舉。
話說回來, 要作有意義的猜測並非易事, 必須對面對的現象有充分的了解。 以紅樓夢 為例, 只要看了前面六七十回, 就可以憑想像 猜測後面大致如何。 但如果我們對其中的詩 詞不大了解, 則不能明白它的真義。 也無從得 到有意義的猜測。
(三) 解決難題的數學家。 所有數學理論 必須能導致某些重要問題的解決, 否則這理 論便是空虛無價值的。 理論的重要性必與其 能解決問題的重要性成正比。 一個數學難題 的重要性在於由它引出的理論是否豐富。 單 是一個漂亮的證明並不是數學的真諦, 比如 四色問題是著名的難題, 但它被解決後我們 得益不多, 反觀一些難題則如中流砥柱, 你必 須將它擊破, 然後才能登堂入室。 比如一日不
能解決 Poincare 猜測, 一日就不能說我們了 解三維空間! 我當年解決 Calabi 猜測, 所遇 到的情況也類似。
數學家要承先啟後, 解掉難題是“承先”, 再進一步發展理論, 找尋新的問題則是“啟 後”。 沒有新的問題數學便會死去, 故此“啟 後”是我們數學家共同的使命。 我們最終目標 是用數學為基礎, 將整個自然科學, 社會科學 和工程學融合起來。
自從 A Wiles 在 1994 年解決了 Fer- mat 大定理後, 很多人都問這有什麼用。 大 家都覺得 Fermat 大定理的證明是劃時代的。
它不僅解決了一個長達350年的問題, 還使我 們對有理數域上的橢圓曲線有了極深的了解;
它是融合兩個數論的主流—自守式和橢圓曲 線—而迸發出來的火花。 值得一提的是, 近十 多年來橢圓曲線在編碼理論中發展迅速, 而 編碼理論將會在電腦貿易中大派用場, 其潛 力無可估計。
最後我們談談物理學家和數學家的差 異。 總的來說, 在物理學的範疇內並沒有永恆 的真理, 物理學家不斷努力探索, 希望能找出 最後大統一的基本定律, 從而達到征服大自 然的目的。 而在數學的王國裡, 每一條定理都 可以從公理系統中嚴格推導, 故此它是顛撲 不破的真理。 數學家以美作為主要評選標準, 好的定理使我們從心靈中感受大自然的真與 美, 達到“天地與我並生, 萬物與我為一”的悠 然境界, 跟物理學家要征服大自然完全不一 樣。
物理學家為了捕捉真理, 往往在思維上 不斷跳躍, 雖說是不嚴格和容易犯錯, 但他們
卻能把自然現象看得更透更遠, 這是我們十 分欽佩的。 畢竟數學家要小心奕奕、 步步為 營, 花時間把所有可能的錯誤都去掉, 故此這 兩種做法是互為表裡, 缺一不可的。
在傳統文化中, 我們說立德, 但卻從不 討論如何求真, 不求真, 則何以立德? 我們又 說“溫柔敦厚, 詩教也”, 但只是含糊的說美, 數學兼講真美, 是中華民族需要的基本科學。
參 考資料:
1. Ossermen 原著, 葉李華, 李國偉譯, 宇宙 的詩篇, 天下文化出版社, 人文科學 29, 1997, 台北。
—本文作者為中央研究院院士—
