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範例 1. 已知沙鹿中心有30位學生參加博幼認證考，考試的科目為數 學和英文，已知有15位學生通過數學認證、14位學生通過英 文認證、數學和英文認證都通過的學生有9位，請問：
(1) 有幾位學生通過數學認證但沒通過英文認證？
(2) 有幾位學生通過英文認證但沒通過數學認證？
(3) 至少通過一科認證的學生有幾位？
(4) 數學和英文兩科認證都沒通過的學生有幾位？
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詳解： 利用集合的概念解題：
圖(一)
(1) 我們將沙鹿中心參加博幼認證考的30位學生分成四大類，並用圖 (一)表示這四類學生人數間的關係：
→ 第一類：數學和英文認證都通過的學生有𝑎位。
第二類：通過數學認證但沒通過英文認證的學生有𝑏位。
第三類：通過英文認證但沒通過數學認證的學生有𝑐位。
第四類：數學和英文兩科認證都沒通過的學生有𝑑位。
→ (𝑎 + 𝑏)表示通過數學認證的學生人數。
(𝑎 + 𝑐)表示通過英文認證的學生人數。
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)表示至少通過一科認證的學生人數。
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)表示沙鹿中心參加博幼認證考的30位學生。
(2) 根據題意「數學和英文認證都通過的學生有9位」：
→ 𝑎 = 9
(3) 根據題意「有15位學生通過數學認證」：
→ 𝑎 + 𝑏 = 15
→ 𝑏 = 6
→ 有6位學生通過數學認證但沒通過英文認證。
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(4) 根據題意「有14位學生通過英文認證」：
→ 𝑎 + 𝑐 = 14
→ 𝑐 = 5
→ 有5位學生通過英文認證但沒通過數學認證。
(5) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20
→ 至少通過一科認證的學生有20位。
(6) 根據題意「已知沙鹿中心有30位學生參加博幼認證考」：
→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 30
→ 𝑑 = 10
→ 數學和英文兩科認證都沒通過的學生有10位。
答： (1) 有6位學生通過數學認證但沒通過英文認證。
(2) 有5位學生通過英文認證但沒通過數學認證。
(3) 至少通過一科認證的學生有20位。
(4) 數學和英文兩科認證都沒通過的學生有10位。
練習 1. 已知濁水中心有25位學生參加博幼檢定考，考試的科目為數學和英文，
已知有14位學生通過數學檢定、16位學生通過英文檢定、數學和英文檢 定都通過的學生有10位，請問：
(1) 有幾位學生通過數學檢定但沒通過英文檢定？
(2) 有幾位學生通過英文檢定但沒通過數學檢定？
(3) 至少通過一科檢定的學生有幾位？
(4) 數學和英文兩科檢定都沒通過的學生有幾位？
答：
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範例 2. 博幼檢定考，所有博幼的學生均參加考試，考試的科目為數學 和英文，已知通過數學檢定的學生占全體博幼學生人數的 、 通過英文檢定的學生占全體博幼學生人數的 、數學和英文檢 定都通過的學生占全體博幼學生人數的 ，請問：
(1) 通過數學檢定但沒通過英文檢定的學生占全體博幼學生人 數的幾分之幾？
(2) 通過英文檢定但沒通過數學檢定的學生占全體博幼學生人 數的幾分之幾？
(3) 至少通過一科檢定的學生占全體博幼學生人數的幾分之 幾？
(4) 數學和英文檢定都沒通過的學生占全體博幼學生人數的幾 分之幾？
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詳解： 利用集合的概念解題：
圖(二)
(1) 我們將參加考試的博幼學生分成四大類，並用圖(二)表示這四類 學生占全體博幼學生比例的關係：
→ 第一類：數學和英文檢定都通過的學生，其占全體博幼學生的比 例用符號𝑎表示。
第二類：通過數學檢定但沒通過英文檢定的學生，其占全體博幼 學生的比例用符號𝑏表示。
第三類：通過英文檢定但沒通過數學檢定的學生，其占全體博幼 學生的比例用符號𝑐表示。
第四類：數學和英文檢定都沒通過的學生，其占全體博幼學生的 比例用符號𝑑表示。
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→ (𝑎 + 𝑏)表示通過數學檢定的學生占全體博幼學生的比例。
(𝑎 + 𝑐)表示通過英文檢定的學生占全體博幼學生的比例。
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)表示至少通過一科檢定的學生占全體博幼學生的比 例。
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)表示參加考試的博幼學生占全體博幼學生的比例。
(2) 根據題意「數學和英文檢定都通過的學生占全體博幼學生人數的
」：
→ 𝑎 = 9 20
(3) 根據題意「通過數學檢定的學生占全體博幼學生人數的 」：
→ 𝑎 + 𝑏 = 3 4
→ 𝑏 = 3 10
→ 通過數學檢定但沒通過英文檢定的學生占全體博幼學生人數的
。
(4) 根據題意「通過英文檢定的學生占全體博幼學生人數的 」：
→ 𝑎 + 𝑐 = 3 5
→ 𝑐 = 3 20
→ 通過英文檢定但沒通過數學檢定的學生占全體博幼學生人數的
。
(5) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9 10
→ 至少通過一科檢定的學生占全體博幼學生人數的 。
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(6) 根據題意「所有博幼的學生均參加考試」：
→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→ 𝑑 = 1 10
→ 數學和英文檢定都沒通過的學生占全體博幼學生人數的 。 答： (1) 通過數學檢定但沒通過英文檢定的學生占全體博幼學生人數
的 。
(2) 通過英文檢定但沒通過數學檢定的學生占全體博幼學生人數 的 。
(3) 至少通過一科檢定的學生占全體博幼學生人數的 。
(4) 數學和英文檢定都沒通過的學生占全體博幼學生人數的 。
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練習 1. 博幼認證考，所有博幼的學生均參加考試，考試的科目為數學和英文，
已知通過數學認證的學生占全體博幼學生人數的 、通過英文認證的學生 占全體博幼學生人數的 、數學和英文認證都通過的學生占全體博幼學生 人數的 ，請問：
(1) 通過數學認證但沒通過英文認證的學生占全體博幼學生人數的幾分 之幾？
(2) 通過英文認證但沒通過數學認證的學生占全體博幼學生人數的幾分 之幾？
(3) 至少通過一科認證的學生占全體博幼學生人數的幾分之幾？
(4) 數學和英文認證都沒通過的學生占全體博幼學生人數的幾分之幾？
答：
