已知第一次打擊出現安打，則兩次打擊都出現安打的機率為何？

Ch 3.2 條件機率與獨立事件 習題 二年____班 座號：____ 姓名：

一、基本題：

1.(1) 老師宣佈要用抽籤的方式抽出 10 位同學在週末參加愛校打掃活動。班上一共有 40 位同學，小璿排在第 28 位抽籤，

已知前面27 位之中已經出現 4 位抽中的同學了。小璿提心吊膽，問他抽中的機率是多少？

(2) 小芬參加某寺廟的擲筊大賽，如果每只筊杯出現正面或反面的機率相同。若她已經連續八次擲出聖筊，試問第九次 也擲出聖筊的機率是多少？

2.假設 A，B 為樣本空間之兩事件。若 P(A∪B)＝¹

3，P(A)＝¹

4，P(B)＝¹

6，試求以下各機率：

(1) P(A∩B) (2) P(A∩B′) (3) P(AB) (4)P(BA) (5) P(B′A′)

3.一位打擊率 3 成的棒球選手，此次比賽共有兩次打擊機會，試求下列兩種情形的條件機率：

(1)已知至少出現一次安打，則兩次打擊都出現安打的機率為何？

(2)已知第一次打擊出現安打，則兩次打擊都出現安打的機率為何？

4.40 名球迷購買制霸紀念商品，有 30 人買帽子，有 15 人買毛巾，有 10 人兩種都買。今從這 40 名球迷中任選一人，則：

(1)若已知此人買帽子，則他也買毛巾的機率為何？

(2)若已知此人不買毛巾，則他買帽子的機率為何？

5.一袋中裝有編號 1，2，3，4，5，6，7，8 的球各一顆，今從袋中任取一球，每球被取出的機率相等。若事件 A 表示取 出球的編號是1 或 8 的事件，事件 B 表示取出球的編號是奇數的事件，事件 C 表示取出球的編號是 4 的倍數的事件，

試問：(1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？ (3) B 與 C 是否為獨立事件？

二、進階題：

6.連續投擲一顆公正的骰子兩次，在其點數和為 10 的條件下，試求第一次投擲出的點數大於第二次投擲出的點數機率為 何？

7.某班學生經過檢查，發現患有近視者占全班的 5

3，患近視且散光者占全班的 6

1。若由患有近視的學生中任選一人，

則此名學生同時也患有散光的機率為何？

8.袋中有相同的紅球 8 顆，白球 5 顆，假設每顆球被取出的機會均等，每次取 2 球，取後放回。記錄每次取出球的顏色，

試問連續取球2 次後，取出的 4 球恰為 2 紅 2 白的機率為何？

9.學校針對一個有 27 位男生和 18 位女生的高一班級進行入學一週的適應調查，調查結果如右表。結果有 15 人表示不適 應，老師同時發現學生的性別與適應狀況是獨立的，試求a，b，c，d 的值

適應狀況

性別 適應 不適應 男生 a 人 c 人 女生 b 人 d 人

三、挑戰題：

10.某校數學複習考有 400 位同學參加，評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低排序：

前100 人為 A 組，次 100 人為 B 組，再次 100 人為 C 組，最後 100 人為 D 組。

校方進一步逐題分析同學答題情形，將各組在填充第一題(考排列組合)和填充第二題(考空間概念)的答對率列表如下：

令Xi (i＝1，2)表示從所有同學中隨機選一人答對第 i 題的事件，每個人第一題及第二題的答題狀況互不影響，試求：

(1)從參加考試的同學中隨機選一人，在已知第一題答對的情況下，這位同學第二題也答對的機率為何？

(2) P(X1X2)：P(X2X1) 組別

題號 A 組 B 組 C 組 D 組 第一題答對率 100 ％ 80 ％ 70 ％ 20 ％ 第二題答對率 100 ％ 80 ％ 30 ％ 0 ％

Ch 3.2 條件機率與獨立事件 習題(HBR) 二年____班 座號：____ 姓名：

一、基本題：

1.(1) 老師宣佈要用抽籤的方式抽出 10 位同學在週末參加愛校打掃活動。班上一共有 40 位同學，小璿排在第 28 位抽籤，

已知前面27 位之中已經出現 4 位抽中的同學了。小璿提心吊膽，問他抽中的機率是多少？

(2) 小芬參加某寺廟的擲筊大賽，如果每只筊杯出現正面或反面的機率相同。若她已經連續八次擲出聖筊，試問第九次 也擲出聖筊的機率是多少？

解：(1)依題意輪到小璿抽籤時，尚有 13 人未抽籤，其中包含 6 支抽中的籤。因此，直觀可得小璿抽中的機率是 ⁶ 13 (2)令 A 表示「連續八次擲出聖筊」的事件，則 P(A)＝ )⁸

2 (1

B 表示「第九次擲出聖筊」的事件，則 A∩B 表示「連續九次擲出聖筊」的事件

則P(A∩B)＝ )⁹ 2

(1 ，故P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P 

＝

8 9

2) (1

2) (1

＝2 1

2.假設 A，B 為樣本空間之兩事件。若 P(A∪B)＝¹

3，P(A)＝¹

4，P(B)＝¹

6，試求以下各機率：

(1) P(A∩B) (2) P(A∩B′) (3) P(AB) (4)P(BA) (5) P(B′A′) 解：(1) P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝^{1 1 1 1}

4 6 3 12   (2) P(A∩B')＝P(A)－P(A∩B)＝^{1 1 1}

4 12 6 (3) P(A B)＝

) (

) (

B P

B A P 

＝ 6 121

1

＝2 1

(4) P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P 

＝ 4 121

1

＝3 1

(5) P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P



 

 ＝

) ( 1

) (

1

A P

B A P





 ＝

4 1 1

3 1 1





＝9 8

3.一位打擊率 3 成的棒球選手，此次比賽共有兩次打擊機會，試求下列兩種情形的條件機率：

(1)已知至少出現一次安打，則兩次打擊都出現安打的機率為何？

(2)已知第一次打擊出現安打，則兩次打擊都出現安打的機率為何？

解：(1) ^{0.3 0.3 0.09 3} 1 0.7 0.7 0.51 17

  

  ，(2)

 

0.3 0.3 3 0.3 0.3 0.7 10

 

 

4.40 名球迷購買制霸紀念商品，有 30 人買帽子，有 15 人買毛巾，有 10 人兩種都買。今從這 40 名球迷中任選一人，則：

(1)若已知此人買帽子，則他也買毛巾的機率為何？

(2)若已知此人不買毛巾，則他買帽子的機率為何？

解：令A 為買帽子的事件，B 為買毛巾的事件，A∩B 為兩種都買的事件，則 n(A)＝30，n(B)＝15，n(A∩B)＝10 (1) P(BA)＝

) (

) (

A P

B A n 

＝30 10＝

3

1，(2) P(A B)＝

) (

) (

B P

B A n



 

＝40 15 10 30



 ＝

25 20＝

5 4

5.一袋中裝有編號 1，2，3，4，5，6，7，8 的球各一顆，今從袋中任取一球，每球被取出的機率相等。若事件 A 表示取 出球的編號是1 或 8 的事件，事件 B 表示取出球的編號是奇數的事件，事件 C 表示取出球的編號是 4 的倍數的事件，

試問：(1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？ (3) B 與 C 是否為獨立事件？

解：依題意，P(A)＝²

8，P(B)＝⁴

8，P(C)＝² 8 (1)因為 A∩B＝{1}，故 P(A∩B)＝¹

8，P(A∩B)＝P(A)P(B)，所以 A，B 為獨立事件 (2)因為 A∩C＝{8}，故 P(A∩C)＝¹

8，因為 P(A∩C)  P(A)P(C)，所以 A，C 不為獨立事件

(3)因為 B∩C＝，故 B，C 為互斥事件且 P(B∩C)＝0，因為 P(B∩C)  P(B)P(C)，所以 B，C 不為獨立事件

二、進階題：

6.連續投擲一顆公正的骰子兩次，在其點數和為 10 的條件下，試求第一次投擲出的點數大於第二次投擲出的點數機率為 何？

解：令點數和為10 的事件為 A＝{(4，6)，(5，5)，(6，4)}

第一次投擲出的點數大於第二次投擲出的點數的事件為B

則點數和為10 且第一次投擲出的點數大於第二次投擲出的點數的事件為 A∩B＝{(6，4)}，得 P(BA)＝

) (

) (

A n

B A n 

＝3 1

7.某班學生經過檢查，發現患有近視者占全班的 5

3，患近視且散光者占全班的 6

1。若由患有近視的學生中任選一人，

則此名學生同時也患有散光的機率為何？

解：令A 表示某人患有近視的事件，B 表示某人患有散光的事件，依題意得 P(A)＝³

5，P(A∩B)＝¹ 6 故所求為P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P 

＝ 5 36 1

＝18 5

8.袋中有相同的紅球 8 顆，白球 5 顆，假設每顆球被取出的機會均等，每次取 2 球，取後放回。記錄每次取出球的顏色，

試問連續取球2 次後，取出的 4 球恰為 2 紅 2 白的機率為何？

解：由題意，取一次取出2 紅球的機率為 ₁₃²⁸

2

14 39 C

C  ，2 白球的機率為 ₁₃²⁵

2

5 39 C

C  ，1 紅球 1 白球的機率為 ¹⁸ ₁₃ ¹⁵

2

20 39 C C

C

  (1)第 1 次取出 2 紅，第 2 次取出 2 白的機率為^{14 5 70}

39 39 1521  (2)第 1 次取出 2 白，第 2 次取出 2 紅的機率為 ^{5 14 70}

39 39 1521  (3)兩次皆取出 1 紅 1 白的機率為^{20 20 400}

39 39 1521  ，故得 ^{70 70 400 540 60} 1521 1521 1521 1521 169   

9.學校針對一個有 27 位男生和 18 位女生的高一班級進行入學一週的適應調查，調查結果如右表。結果有 15 人表示不適 應，老師同時發現學生的性別與適應狀況是獨立的，試求a，b，c，d 的值

解：P(男生∩適應)＝P(男生)P(適應) 即^{27 27 30 18}

45 45 45 45

   c ，得c＝9 故a＝18，b＝12，c＝9，d＝6

三、挑戰題：

10.某校數學複習考有 400 位同學參加，評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低排序：

前100 人為 A 組，次 100 人為 B 組，再次 100 人為 C 組，最後 100 人為 D 組。

校方進一步逐題分析同學答題情形，將各組在填充第一題(考排列組合)和填充第二題(考空間概念)的答對率列表如下：

令Xi (i＝1，2)表示從所有同學中隨機選一人答對第 i 題的事件，每個人第一題及第二題的答題狀況互不影響，試求：

(1)從參加考試的同學中隨機選一人，在已知第一題答對的情況下，這位同學第二題也答對的機率為何？

(2) P(X1X2)：P(X2X1)

解：n(X1)＝100×100％＋100×80％＋100×70％＋100×20％＝270 n(X2)＝100×100％＋100×80％＋100×30％＋100×0％＝210

n(X1∩X2)＝100×100 ％×100％＋100×80％×80％＋100×70％×30％＋100×20％×0％＝185 (1)P(X2X1)＝

) (

) (

1 2 1

X n

X X

n 

＝270 185 ＝

54 37

(2) P(X1X2)：P(X2X1)＝

) (

) (

2 2 1

X n

X X

n 

： ( ) ) (

1 2 1

X n

X X

n 

＝270：210＝9：7

適應狀況

性別 適應 不適應 男生 a 人 c 人 女生 b 人 d 人 適應狀況

性別 適應 不適應 合計

男生 27－c 人 c 人 27 人 女生 3＋c 人 15－c 人 18 人 合計 30 人 15 人 45 人

組別

題號 A 組 B 組 C 組 D 組 第一題答對率 100 ％ 80 ％ 70 ％ 20 ％ 第二題答對率 100 ％ 80 ％ 30 ％ 0 ％

108 綱前

3.某一班級，參加音樂性社團的有 20％，參加體育性社團的有 30％，兩種社團均參加的有 10％，試問：

(1)從音樂性社團中任選一人，則此人也有參加體育性社團的機率是多少？

(2)從體育性社團中任選一人，則此人也有參加音樂性社團的機率是多少？

4.袋中有 4 顆紅球、5 顆白球與 2 顆黑球。假設每球被選取的機會均等，今從袋中連續取兩球，取後不放回，試問：

(1)第一次取到白球且第二次取到紅球的機率是多少？

(2)兩球同色的機率是多少？

6.假設 A，B 為樣本空間之兩事件，且已知 A，B 為獨立事件，若 P(AB)＝¹

3，P(B)＝¹

4，試求P(BA′)

7.小芬出門度假前，拜託小璿幫忙照顧魚缸裡的魚。已知沒有餵食飼料魚會死亡的機率是 0.8；若有餵食飼料，則魚會死 亡的機率是0.1。若小璿八成會記得餵魚，試問當小芬度假回來後，發現魚缸裡的魚還活著的機率是多少？

8.在某公司員工中行政人員有 15 人，技術人員有 35 人，研發人員有 50 人。這些員工中，60％的行政人員有大學文憑，

40％的技術人員有大學文憑，80％的研發人員有大學文憑。則：

(1)該公司員工中具有大學文憑的比例是多少？

(2)從有大學文憑的員工中隨機抽選一人，則他(或她)是行政人員的機率有多少？

9.依據過去經驗：小如作答數學本單元的題目，10 題會做 7 題，當小如不會時，就用猜的。某次考試有一個 4 選 1 的選 擇題，小如這題答對，試問這題她是真正會作答的機率為何？

10.一個抽獎活動依排隊順序抽獎，抽獎的人只有一次抽獎機會，抽獎方式為投擲一顆公正的四面體骰子一次，當底面出 現1 點為中獎，其餘為沒中獎。獎品有兩份，活動直到兩份獎品都被抽中為止。則在排第三位的人可以抽獎的情況下，

排第四位的人可以抽獎的條件機率為多少？

單元4 條件機率 習題 二年____班 座號：____ 姓名：

觀念澄清

下列敘述對的打「」

□ (1)若事件 A 與 B 滿足 P(A)＞0，且 P(B)＞0，則 P(AB)＝P(BA)

□ (2)兩事件 A 與 B 同時發生的機率為 P(AB)＝P(A) P(BA)

□ (3)若事件 A 與 B 為獨立事件，則 AB＝

解：

一、基礎題

1.同時擲兩粒公正骰子一次。已知這兩粒骰子的點數和為 6，求其中一粒骰子出現 2 點的機率 解：

2.某社區的住戶中，有 15

1 的住戶養狗，有 30

1 的住戶養貓，有 40

1 的住戶兩種都養。今任選該社區一住戶，

試回答下列問題：

(1)已知此住戶養狗，求該住戶也養貓的機率 (2)已知此住戶養貓，求該住戶也養狗的機率 解：

3.已知事件 A 與 B 滿足 P(A)＝

3

2，P(AB)＝

12

11，P(AB)＝

8

3，試求下列各機率：

(1) P(B) (2) P(AB) 解：

4.在一箱 12 顆燈泡中，已知有 5 顆不良品。現逐一取出檢查，取出後不再放 回。設每顆燈泡被取到的機率都相等，

求下列各事件的機率：

(1)第一次與第二次都取到不良品

(2)第一次取到良品，但第二次取到不良品 解：

5.袋內裝有紅球 3 顆，白球 2 顆。甲、乙兩人依序從袋內各取 1 球，取後不放回。設每顆球被取到的機會相等，

求下列各事件的機率：(1)甲取到紅球 (2)乙取到白球 解：

6.箱中裝有編號 1~6 的卡片各一張。從箱中任取一張卡片，考慮下列兩事件：

事件A：號碼為質數：事件 B：號碼為 6 的正因數。 試問 A 與 B 是否為獨立事件？

解：

7.設 A 與 B 為獨立事件，且 P(A)＝

3

1，P(B)＝

4

3。選出所有正確的選項：

(1) P(AB)＝

4

1 (2) P(BA)＝

3

1 (3) P(BA)＝

4

1 (4) P(AB)＝

12 1 解：

8.設甲、乙兩人能解出數學問題的機率分別為 0.4 與 0.5。已知兩人各自解同一題數學問題，且兩人解出與否為獨立事件，

求下列各事件的機率：

(1)兩人都解出 (2)恰有一人解出 (3)至少有一人解出 解：

9.甲、乙兩人比賽下棋，約定 5 戰 3 勝制(即先勝 3 局者贏得比賽)。設兩人實力相當，且每局比賽的結果互不影響。已知 前兩局皆由甲獲勝，求甲贏得比賽的機率。

解：

10.電視台闖三關遊戲規則如下：答對每題獎金為 5000 元，並可繼續回答下一題，直到答錯或三題皆答完為止。已知某挑 戰者答題的正確率為

5

3，且每一題答對與否皆為獨立事件，求該挑戰者獲得獎金的期望值 解：

二、進階題

11.丟一枚均勻硬幣五次，已知正面至少出現 3 次，求恰出現 4 次正面的機率 解：

12.袋中有 1 到 9 號共 9 顆整數號碼球。今從袋中取球二次，每次取出 1 球，取 出的球不放回。設每顆球被取到的機率都 相等，已知兩次取到的號碼之和為偶數，求兩次取到的號碼皆為偶數的機率。

解：

13.箱中有紅球 4 顆，白球 3 顆。今從箱中取球三次，每次取出 1 球， 取出的球 不放回。設每顆球被取到的機率都相等，

求第一次為紅球且第三次為紅球的機率。

解：

14.設兩事件 A 與 B 滿足 P(A)＝0.5，P(AB)＝0.8，則：

(1)已知 AB＝，求 P(B)

(2)已知 A 與 B 為獨立事件，求 P(B) 解：

15.已知 A，B 是兩獨立事件，P(A)＝

7

1且A 和 B 都不發生的機率是 14

5 ，求P(B) 解：