星空燦爛的數學

星空燦爛的數學 _(I)

一一托勒密如何編製弦表 _?

蔡聰明

摘要: 古希臘的偉大天文學家托勒密說:「平凡若我者, 本應如蜉蝣一般朝生暮死。 但是, 每當 我看到滿天的繁星, 在不朽的天空, 按照自己的軌道井然有序地運行時, 我就情不自禁地有 身在天上人間的感動, 好像是天帝宙斯 (Zeus) 親自饗我以神饌。」 這種激情 (passion) 就 是支持托勒密不息工作的動力泉源, 他用數學來捕捉星空的規律、 對稱、 恆常與美。 然而, 星 空的規律 (如周轉圓、 天動說) 短暫, 會過時, 留下的數學卻萬古長青。

天文現象離人類最遙遠, 但是星空卻 最容易令人產生秩序感、 敬畏、 驚奇與美 感 (sense of order、awe、wondering and beauty), 加上制訂曆法和農耕的需要, 這 些就導致天文學變成是最早發展的一門學問, 同時也促動了 (平面與球面) 幾何學和三角學 的誕生。

圖一. 托勒密 (與天文女神)。“我 們只報告曾被古人嚴格證明的事

實。”

天文學與幾何學、 算術、 音樂形成古希 臘的四藝 (quadrivium); 到了中世紀再加 上三藝 (trivium): 文法 (grammar)、 修 辭 (rhetoric)、 辯證 (dialectic), 合成七藝 (seven liberal arts and sciences)。

需要為發明 (或發現、 創造) 之母。 在接 受地球中心說 (geocentric theory) 之下, 天 文學家托勒密 (Claudius Ptolemy, 約西元 100-178年, 請不要跟古埃及托勒密王朝的托 勒密一世、 二世· · ·混淆), 參見圖一, 為了天 文學的 「測星」 與幾何學 「測地」 之需要, 必 須知道各種圓心角θ所對應的弦AB之長, 參 見圖二。 我們不妨假設圓的半徑R = 1, 因為 一切都是比例問題。

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...

θ O

A

B

圖二

詳言之, 在同一個球面上兩個星球的 距離就是一根全弦的長, 即圖三的AB。 另 外, 星球與地平面的距離是半弦之長, 即圖四 的AC, 它是圓心角之半

¹ ₂

θ的正弦, 即sin

¹ ₂

θ, 半徑R已取為 1。 在使用上, 全弦與半弦只差 個 2 的因子, 所以並沒有區別。

A

地球 θ

B 圖三

圖四

A 行星

1 2

θ 地球 C 子

午 線

托勒密在西元 150 年出版 13 冊的數學 文集, 蒐集當時已知的數學與天文學知識, 加 上自己的獨創, 並且利用離心圓 (eccentric circles) 與周轉圓 (epicycles, 即一個轉動 圓, 其圓心又在另一個轉動圓的圓周上), 成 功地描述了行星運動的軌道, 保住了行星運 動的現象, 並且鞏固了地球中心說。 這使得 在他之前的三角學與天文學著作都黯然失色, 甚至失傳, 真正發揮了 「良幣驅逐劣幣」 的功 能。

後來, 托勒密這套書傳到阿拉伯世界, 約 在西元800年被翻譯成阿拉伯文, 阿拉伯人尊 稱為 「Almagest」, 意指 「最偉大的書」。 後世 的數學史家也稱讚它具有完備性 (complete- ness)、 緊緻性 (compactness) 以及典雅性 (elegance)。 歐幾里得 (Euclid)13 冊的 「幾 何原本」 之於幾何學, 就相當於托勒密 13 冊 的 「Almagest」 之於天文學。

「Almagest」 在西方失傳, 到了十三世 紀末, 由阿拉伯傳回西方, 譯成拉丁文, 使得 歐洲人重新認識古希臘文化的精神, 開始了 文藝復藝運動。 托勒密的天文體系, 一直沿用 到十六、 七世紀, 才逐漸被哥白尼 (Coperni- cus, 1473-1543) 與刻卜勒 (Kepler, 1571- 1630) 的太陽中心說 (heliocentric theory) 所取代, 這就是著名的哥白尼革命, 接著啟動 十七世紀的科學革命, 十八世紀的啟蒙運動、

政治革命, 十九世紀的工業革命, 以至於二十 世紀今日的資訊與分子生物學之革命。

托勒密在 「Almagest」 的第一冊中 編製了一個數值表, 對於圓心角θ從0

^◦

開始, 以0.5

^◦

的間隔變到180

^◦

, 列出全弦AB =

Crd(θ)之長, 叫做弦表 (a table of chords), 參見圖二。 因為

Crd(θ) = 2 sinθ 2

所以弦表就相當於從0

^◦

開始, 以0.25

^◦

為間隔 變到90

^◦

之正弦函數表。 事實上, 托勒密選取 圓的半徑R = 60, 即採用巴比侖的六十分 制。 托勒密的弦表在天文學界使用了大約一 千年之久, 直到三角函數表出現為止。

天文學是數學 (也是物理學) 的故鄉。 托 勒密對於 「一根弦的秘密」 與 「行星的運行」

之追尋, 除了產生幾何學與三角學之外, 進 一步變成往後一些數學發展的泉源。 例如, 周 轉圓的概念是十九世紀傅立葉分析 (Fourier Analysis) 的胚芽之一。 因此, 托勒密的工作 堪稱為 「有源頭活水」。 宋朝的朱熹, 在 「觀書 有感」 中說得好:

半畝方塘一鑒開, 天光雲彩共徘徊, 問渠哪得清如許?

為有源頭活水來。

本文我們要用一系列的文章, 介紹托勒 密的偉大工作, 背後所牽涉的數學, 以及一些 後續的數學發展。 現在我們就先從 「托勒密如 何編製弦表」 談起。

一 . 特別角所對應的弦長

托勒密要編製的弦表, 就是完成下面的 表格:

圓心角θ 0

^◦

, 0.5

^◦

, 1

^◦

, 1.5

^◦

, · · ·, 180

^◦

相應的弦長 0, · · · ·, 2 AB = Crd(θ)

按常理, 當然是從簡易處著手。

大家都知道, 正多邊形有無窮多種; 但 是正多面體不多也不少, 恰有五種, 叫做柏拉 圖 (Plato) 五種正多面體。 在正多邊形中, 以 正三、 四、 五、 六、 十邊形之邊長, 較容易求 得, 只需用一點兒平面幾何的知識。

(i) 圓內接正三角形, 參見圖五。

θ= 120

^◦

, 由畢氏定理知 Crd(120

^◦

) = AB = √

2

²

− 1

²

=√

3

⁺

1.732 (ii) 圓內接正方形, 參見圖六。

θ= 90

^◦

, 由畢氏定理知 Crd(90

^◦

) = AB=√

1

²

−1

²

=√

2

⁺

1.414 (iii) 圓內接正六邊形, 參見圖七。

θ= 60

^◦

, Crd(60

^◦

) = AB = 1。

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... ... ..

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... 120◦

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...

...

. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. ..

O A

B

圖五

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... 90◦

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... ...

...

...

O

A

B

圖六

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... ... ...

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...

60◦

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...

O

A

B

圖七

二 . 正五邊形與正十邊形

正五邊形與正十邊形的關係密切, 我們 由後者切入較容易。

在圖八中, 令 AB = x 表示正十邊形 一邊之長, 它所對應的圓心角為36

^◦

。 由三角 形三內角和為180

^◦

之定理知

∠

OAB=

^∠

OBA= 72

^◦

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36◦

36◦

72◦

.36◦

.. .. .. . .. .. .

...

...

. .. ...

O

A

C B

x

圖八

以 A 點為圓心, AB 為半徑作一圓弧交 OB 於 C 點, 則 AC = x, 從而 △ABC 與

△ACO 皆為等腰三角形。 因此, OC = AC = x, CB = 1 − x 因為△OAB 與△ABC相似, 所以

1

x = x 1 − x x

²

+ x − 1 = 0

解得

x= −1 ±√ 5 2 負根不合, 棄之, 故得

x=

√5 − 1 2 這就是正十邊形一邊之長。

(iv) 圓內接正十邊形 θ= 36

^◦

, Crd(36

^◦

) = AB =

√5 − 1 2

+

0.618

注意:△OAB叫做黃金三角形,

^{√ 5−1} 2

叫做黃 金數。

接著, 我們考慮正五邊形。 如圖九, 假 設AB與AC分別為正五邊形與正十邊形之 一邊。 令OD = x, 則CD = 1 − x。 因 為AB⊥OC, 故由畢氏定理知

AO

²

= OD

²

+ AD

²

AC

²

= CD

²

= AD

²

兩式相減得

AO

²

− AC

²

= OD

²

− CD

²

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...

O

A B

C D 1

圖九 又因為AC =

^{√ 5−1} ₂

, 故

1 − (

√5 − 1

2 )

²

= x

²

− (1 − x)

²

解得

x= OD =

√5 + 1 4 又AD

²

= OA

²

− OD

²

, 故

AD

²

= 1 − (

√5 + 1

4 )

²

= 10 − 2√ 5 16 AB = 2AD =

q

10 − 2√ 5 2

(v) 正五邊形

θ= 72

^◦

, Crd(72

^◦

) = AB = 1

2

q

10 − 2√ 5

+

1.176

由上述結果, 我們順便可得到正五邊形 與正十邊形的尺規作圖方法: 如圖十, 作一單 位圓, 圓心為O, 再作互相垂直的兩直徑 AC 與 BD。 取半徑 OC 的中點 E, 以 E 為 圓心, EB 為半徑, 作圓弧交 OA 於 F 點, 則易驗知 OF 與 BF 分別為圓內接正十邊 形與正五邊形的一邊, 從而可作出正五邊形 與正十邊形。 由此更容易求得 Crd(36

^◦

) 與 Crd(72

^◦

)

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A O

B

C

D E F

圖十

三 . 托勒密定理及其應用

為了探求更多圓心角所相應的弦長, 我 們要先準備一個基本的建構工具: 從已知兩 個角的弦長, 求出和角與差角的弦長。 這必須 用到下面著名的幾何定理:

定理1 (托勒密定理, 西元 150 年):

設 ABCD 為圓的內接四邊形, 則 AC · BD = AB · CD + BC · AD 亦即兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之 和, 參見圖十一。

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... ..

.. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . ..

... .

..

A

B C

D

圖十一

對於這個定理的發現、 證明以及相關的 發展, 我們留待以後另文解說。 現在我們就利 用這個定理來幫忙編製弦表。

問題1: 如圖十二, 在單位圖中, 已知兩 弦AB與BC, 試求弦AC。

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...

A

B C

O •

圖十二

過 B 點作直徑BD, 連結CD與AD, 那 麼上述問題就相當於: 已知兩圓周角α與β所

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對應的弦AB 與BC, 欲求和角α + β所對應 的弦AC, 參見圖十三。

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..

... .. .. .. ...

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. .. . .. .

... .. . . ...

...

A

B C

D

• O α β

圖十三 由托勒密定理知

AC· BD = AB · CD + BC · AD (1) 又由BD = 2及畢氏定理知

CD =

q

4 − BC

²

AD=

q

4 − AB

²

代入 (1) 式得到:

推論1: 在單位圓內, 已知兩弦 AB 與 BC, 則

AC = AB 2

q

4 − BC

²

+BC 2

q

4 − AB

²

(2) 進一步, 利用正弦定律 (Law of sine) 可知, (1) 式等價於正弦函數的和角公式 (或 複角公式)

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (3) 請讀者補上證明。

問題2: 如圖十四, 在單位圓中, 已知兩 弦AB 與 AC, 試求弦BC。

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... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. ..

...

A

B C

O •

圖十四

過 A 點作直徑AD, 連結BD 與CD, 那麼上述問題就相當於: 已知兩圓周角的α 與β 所對應的弦AC 與AB, 欲求差角α − β 所對應的弦BC, 參見圖十五。

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... .

. .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..

...

.. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. . ..

. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .

. .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . ..

...

.. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . .. . ..

...

A

B C

• D O

α β

... .. .. .. . .. .. .. . ...

圖十五

由托勒密定理與畢氏定理可以推得:

推論2: 在單位圓內, 已知兩弦AB 與 AC, 則

BC = AC 2

q

4 − AB

²

− AB 2

q

4 − AC

²

(4) 習題1: 在圖十五中, 試證托勒密定理等價於 正弦函數的差角公式

sin(α−β) = sin α cos β−cos α sin β (5) 問題3: 如圖十六, 在單位圓中, 已知一 弦BD, 並且C 為弧

^z

BD 的中點, 試求弦BC

^{

(或CD)。

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...

...

O •

... .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. ...

B

D C

圖十六

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. ...

...

O •

... . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . ...

B

D C A

...

...

... ...

α α/2

...

圖十七

過 C 點作直徑AC, 連結AB, AD 與BD, 則上述問題就相當於: 已知圓周 角α 所對應的弦BD, 欲求半角

^α ₂

所對應的 弦BC, 參見圖十七。

由托勒密定理得知

AC· BD = AB · CD + AD · BC (6) 又AC = 2, BC = CD, 再由畢氏定理知

AB = AD =

q

4 − BC

²

代入 (6) 式得到

2 · BD = 2BC

q

4 − BC

²

(7) 於是

BC

⁴

− 4BC

²

+ BD

²

= 0 解出 BC

²

得到

BC

²

= 2 ±

q

4 − BD

²

(8)

正號不合。 因此, 我們得到:

推論3: 在單位圓, 已知弦BD 並且C為 弧

^z

BD之中點

^{

, 則

BC = CD =

r

2 −

q

4 − BD

²

(9)

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

...

O •

... . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . . .. ...

B

D C

A M

... ...

...

... .

...

α/2

...

α

...

圖十八

復次, (9) 式等價於半角公式, 我們 證明如下: 在圖十七中, 連結BO, 令 BD與AC之交點為M, 得到圖十八。

(9) 式等價於

(BC

2 )

²

=2 −

q

4 − BD

²

4

=1 −

^q

1 − (

^{BD 2}

)

²

2

=1 −

q

1 − BM

²

2

=1 − OM

2 (10)

又因為

sinα

2 = BC

AC = BC 2 並且

cos α = OM

BO = OM

64

數學傳播

₂₃

卷

₂

期 民

₈₈

年

₆

月

所以 (10) 式又等價於半角公式 sin

²

α

2 = 1 − cos α

2 (11)

總結上述, 托勒密定理的一些特例: 圓內 接四邊形為鳶形, 或有一對角線為直徑, 或有 一邊為直徑, 就分別等價於半角公式, 正弦的 和角公式與差角公式。 因此, 托勒密定理可以 說是三角學的結晶。

四 . 初步編製弦表

利用推論 1、 推論 2 與推論 3, 托勒密 求出更多圓心角θ所對應的弦長Crd(θ)。 他 由θ = 72

^◦

(正五邊形) 與θ = 36

^◦

(正十邊 形) 出發, 逐步算出其它角的弦長。

(i) 補角相應的弦長

如圖十九, 已知Crd(θ) = BC, 利用畢 氏定理可求得補角180

^◦

− θ之弦長為

Crd(π − θ) = AB =

q

2

²

− BC

²

=

^q

4 − Crd

²

(θ) (12)

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. ..

...

O •

... .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . . ...

B

C A

...

.. . .. . ...

.. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. ..

π − θ

.

θ 1

圖十九

例 1: 已知 Crd(36

^◦

) =

^{√ 5−1} ₂ ⁺

0.618, Crd(72

^◦

) =

¹ ₂ ^q

10 − 2√

5

⁺

1.176, 於是 Crd(144

^◦

) = Crd(180

^◦

− 36

^◦

)

=

^q

2

²

− Crd

²

(36

^◦

)

= 1 2

q

10 + 2√

5

⁺

1.902 Crd(108

^◦

) = Crd(180

^◦

− 72

^◦

)

=

^q

2

²

− Crd

²

(72

^◦

)

=1 2

q

6 + 2√

5

⁺

1.618

(ii) 差角相應的弦長

例2: 已知 Crd(72

^◦

) =

¹ ₂ ^q

10 − 2√ 5

+

1.176 與 Crd(60

^◦

) = 1, 由推論 2 知, Crd(12

^◦

) = Crd(72

^◦

− 60

^◦

)

=1

2Crd(72

^◦

)

^q

4 − Crd

²

(60

^◦

)

−1

2Crd(60

^◦

)

^q

4 − Crd

²

(72

^◦

)

=1 4(

q

30 − 6√ 5 −

q

6 + 2√ 5)

+

0.209

習題2: 求Crd(24

^◦

) 之值。

(iii) 半角相應的弦長

利用推論 3, 我們就可以求得半角相應 的弦長。

例3:

Crd(6

^◦

) =

r

2 −

^q

4 − Crd

²

(12

^◦

)

+

0.105 Crd(3

^◦

) =

r

2 −

q

4 − Crd

²

(6

^◦

)

+

0.052 Crd(1.5

^◦

) =

r

2 −

^q

4 − Crd

²

(3

^◦

)

+

0.0262 Crd(0.75

^◦

) =

r

2 −

^q

4 − Crd

²

(1.5

^◦

)

+

0.0131

習題3: 試求 Crd(4.5

^◦

), Crd(7.5

^◦

) 及 Crd(9

^◦

) 之值。

五 . Crd(1

^◦

)之計算

為了要編造間隔為0.5

^◦

之弦表, 我們必 須求出Crd(1

^◦

)以及Crd(0.5

^◦

)之值。

到目前為止, 我們已求得Crd(1.5

^◦

), 如 何求出Crd(0.5

^◦

)?

因為1.5

^◦

是0.5

^◦

的三倍, 所以欲解決這 個問題, 我們必須知道Crd(θ)與Crd(3θ)的 關係, 這就涉及三倍角公式

sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin

³

θ (13) 利用Crd(θ) = 2 sin

^θ ₂

, 將上式改成托勒密的 弦公式

Crd(3θ) = 3Crd(θ) − Crd

³

(θ) (14) 因此, 若已知Crd(3θ), 欲求Crd(θ), 我們必 須求解一個三次方程式。 但是, 三次方程式的 求解, 直到 1545 年, 卡丹 (Cardan) 公式出 現才獲得解答, 在托勒密時代還是無能為力。

為了克服這個困難, 我們可以採用線性 插值法 (linear interpolation)。

首先觀察

Crd(1.5

^◦

) = 0.0262, Crd(0.75

^◦

) = 0.0131

我們發現 Crd(1.5

^◦

) 大約是 Crd(0.75

^◦

) 的 兩倍, 而 1.5

^◦

恰好是 0.75

^◦

的兩倍。 因為 1

^◦

是 1.5

^◦

的

² ₃

, 所以

Crd(1

^◦

) = Crd(1.5

^◦

)×2

3 = 0.0175 (15)

所謂線性插值法就是將Crd(θ)看成是θ的一 次函數, 以探求函數值的方法, 參見圖二十。

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

... ...

Crd(θ)

θ

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .

...

...

0.75 1 1.5

圖二十

事實上, 托勒密並不是採用線性插值 法, 而是利用下面直觀的一個幾何定理來求 得Crd(1

^◦

)。

定理2: 在一圓中, 見圖二十一, 如果弦 BC 大於弦 AB 並且

^z

BC 與

^{{ z}

AB 是相應的

^{

劣弧, 則

BC AB <

z {

BC

z {

AB

(16)

.. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

...

•

... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .

.

C

B

A

圖二十一

這個定理的證明與各種等價敘述, 包括 更直觀的結果, 我們留待另文介紹。

托勒密利用定理 2 探求Crd(1

^◦

) 如下:

因為

Crd(1

^◦

)

Crd(0.75

^◦

) < 1 0.75 且

Crd(0.75

^◦

) = 0.0131

66

數學傳播

₂₃

卷

₂

期 民

₈₈

年

₆

月 所以

Crd(1

^◦

) < 0.0175 (17) 又因為

Crd(1.5

^◦

) Crd(1

^◦

) < 1.5

1 且Crd(1.5

^◦

) = 0.0262 所以

Crd(1

^◦

) > 0.0175 (18) 由 (17) 與 (18) 兩不等式得到

Crd(1

^◦

) = 0.0175 (19) 接著, 利用推論 3,

Crd(0.5

^◦

) =

r

2 −

^q

4 − Crd

²

(1

^◦

) 求得

Crd(0.5

^◦

) = 0.00875 (20)

六 . 弦表之完成

利用上述基本數據, 透過和差角與半角 公式, 就可以編製出以0.5

^◦

為間隔的弦表。

托勒密選取圓的半徑R = 60, 並且採用 60 進位法, 按上述的方法, 求得如下之弦表。

這個表結晶著古希臘時代的數學文明, 反應了歐幾里得 (Euclid) 之後數學的再一 次登峰造極, 尤其是幾何學、 代數學與三角 學。

以托勒密定理為核心所編製的弦表 (相 當於正弦函數表), 好比是精巧的手工藝產品;

十七世紀微積分出現後, 利用泰勒展開公式 (Taylor expansion) 所編製的三角函數表, 有如機器文明的產品。 後法雖更具威力, 但我 們不要忘了欣賞前法的簡潔漂亮。

七 . 結語: 教室外與教室內

對於 「教室外」 的天文、 大自然與日常生 活等現象, 經過長期的觀察和體驗, 形成 「教 室內」 的數學問題, 然後提出概念與方法, 加 以解決, 再組織成有系統的數學, 將教室外與 教室內連結在一起, 打成一片。 這樣才是科知 識發展的常理。 托勒密的工作正體現著這種 視野與過程, 所以更令人激賞。

大自然是數學問題的泉源。

托勒密的工作可以用來統合目前的高中 數學, 進一步提供豐富的歷史、 人文與數學之 美。

參考資料

1. Eves, H., Great moments in Math- ematics (Before 1650), The Math- ematical Association of America, 1983.

2. Crowe, M. J., Theories of the World from Antiquity to the Copernican Revolution, Dover, 1990.

3. Lloyd, G. E. R., Greek Science Af- ter Aristotle, W. W. Norton & Com- pany, 1973.

4. Heath, T. L., History of Greek Math- ematics, 2 Vols., Dover, 1981.

5. Aaboe, A., Epsiodes from the Early History of Mathematics, Random House, New York, 1964.

6. Neugebauer, O., The Exact Sciences in Antiquity, Dover, 1969。

7. Bunt, L. N. H., Jones, P. S., Bedient, J. D., The Historical Roots of Ele- mentary Mathematics, Dover, 1988.

8. 片野善一郎, 數學史の利用, 共立出版株 式會社, 1995。

—本文作者任教於台灣大學數學系—