Let’s talk about infinity

Let’s talk about infinity

生活中的無限

Q. 請用「無限」或「無窮」造一個句子

◼

據說那家餐廳的飲料是無限供應

◼

小明這次考試成績突飛猛進，老師讚賞他 真是潛力無窮

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好的文章如果含蘊深遠，即具有「言有盡

而意無窮」的效果

古典文學中的無限

Q. 請舉出中西古典文學中使用到「無限」的 句子。

◼ 李清照《滿庭芳》中的「小閣藏春、閑窗銷晝、

畫堂無限深幽」

◼ 溫庭筠《更漏子》中的「春欲暮、思無窮、舊歡 如夢中」

◼ 英國詩人William Blake對無限的想像是「掌中握 無限，剎那即永恆」

◼ 法國文豪Hugo形容Shakespeare為「天才是伸向無 限的海涯」

自然界中的無限

◼ 長和寬之比為黃金比例 的矩形叫做黃金矩形

◼ 一個黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的 黃金矩形，通過這些正方形的端點，可以描出一 條等角螺線

自然界中的無限

◼ 碎形也是利用無限遞迴的特性而產生出自我相似 的結構，在數學上它是處處不可微分。在自然界 中，如閃電、雲朵、海岸線或冰的結晶都與碎形 有關。

中學課程中的無限

Q. 中學課程中有那些單元有提到無限？

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二元一次方程式

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無窮等比級數

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循環小數

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數學歸納法

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微積分

無限的迷思 ⁽¹⁾

Q. 0.9 和1的大小關係為何？

Q. 自然數與偶數何者比較多？

Q. 一皮球自離地面10公尺高度落下，每次返 跳高度為其落下高度的1/2 ，求此皮球至停 止時所經過的路程。

9

無限的迷思 ⁽²⁾

Q. 無窮級數1-1+1-1+1……的和為多少？

◼ Leibniz曾經認為，它的部分和數列為{1, 0, 1, 0, 1, 0……}，取1和0的平均值為 1/2

◼ Euler則曾經引用公式 +……

，當x=-1時，得到1/2=1-1+1-1+1……

◼ James Bernoulli曾令S=1-1+1-1+1……，則1-S=1-(1- 1+1-1+1……)=S，所以S=1/2

◼ 有人認為S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+……，所以應該為0

◼ 如果寫成S=1-(1-1)+(1-1)+(1-1)+……，就變成1

無限的迷思 ⁽³⁾

◼ 希臘哲學家Zeno曾提出一個悖論：Achilles是希臘 神話中最善跑的名將，而烏龜卻是行動最緩慢的 動物之一，但是，Zeno卻說「Achilles永遠也追不 上烏龜」。他的觀點是，假設Achilles的速度是烏 龜的10倍，而且烏龜在Achilles前面的100米處，

兩者同時起跑。當Achilles跑了100米到達烏龜的 出發點時，烏龜也向前爬了10米；當Achilles再追 10米時，烏龜又向前爬了1米；當Achilles繼續跑1 米，烏龜又向前爬了0.1米；Achilles跑完了0.1米，

烏龜又在他前面0.01米；這樣，他和烏龜永遠隔 著一小段距離，所以Achilles永遠也追不上烏龜。

無限的歷史 ⁽¹⁾

◼ Zeno曾提出四個關於運動的悖論，似乎超出了當 時代的人所能理解的範圍，也反映出無窮概念中 複雜且困難的本質，以致於談論無窮變成了一個 禁忌，甚至必須不惜代價的迴避它

◼ 中國春秋戰國時代的「墨家」，則大膽的提出對 無窮的解釋及理論。《經上》篇對無窮的解釋為

「窮，彧有前，不容尺也」，《經說上》的補充 為「窮，不容尺有窮，莫不容尺無窮也」。意思 是說，用尺來度量長度，如果量到前面只有不到 一尺的的剩餘，則長度是有限的；假如前面總是 超過一尺，則長度為無窮

無限的歷史 ⁽²⁾

◼ Archimedes採用正多邊形逼近的方式，這種方 法稱之為「窮盡法」(method of exhaustion)。

他利用外切正96邊形與內接正96邊形的周長求 得圓周率。

◼ 劉徵的「割圓術」將正六邊形的面積，利用勾 股定理計算出正十二邊形的面積，接著是正二 十四面積、正三十六面積……。這正是所謂的

「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不 能割者，則圓周合體而無所失矣」。

無限的歷史 ⁽³⁾

◼ 16世紀，法國業餘數學家Viete採用Archimedes的 方法計算到正393216邊形的周長，他還發現，圓 內接正n邊形與正2n邊形的周長比值會等於cosθ，

其中θ為正2n邊形其中一邊所對應的圓心角，再利 用半角公式，求出一個關於圓周率的無窮乘積

這應該是人類第一次以無窮乘積來敘述一個值，從 此人類開始朝高等三角恆等式與微積分發展

。

...

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 =  +  + + 



...

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1

2 =  +  + + 



無限的歷史 ⁽⁴⁾

◼ 西方的工業革命使得航海、天文與軍事領域有 長足的進步，但是也產生了許多待解的數學問 題，例如，自由落體是變速度的運動，那要如 何求瞬時速度？ 「瞬間」其實就是無窮小

(infinitesimal)的想法，平均速度的時間差如果 是無窮小就是瞬時速度。

Q. 微積分是採用什麼方法求瞬時速度？

無限的歷史 ⁽⁵⁾

◼ 微積分成功地應用在其他領域後，數學家傾向 於直觀的合理解釋而忽略了數學上的嚴謹性，

這樣不嚴格的邏輯基礎會經常的受到挑戰，例 如，Berkley主教曾經攻擊無窮小的概念，他 表示，如果無窮小比零大，瞬時速度的定義就 無法定義任何發生於一瞬間的事；如果無窮小 等於零，瞬時速度的定義就無法定義任何像速 度的東西 ，這就是因為缺乏無窮小的定義。

無限的歷史 ⁽⁶⁾

◼ Cauchy定義了無窮小為「當一個變量的數值無 限減小，使之收斂到極限0，那麼就稱這個變 量為無窮小」，定義極限為「若代表等變量的 一連串數值無限地趨向某一固定值時，其差可 以隨意小，則該固定值稱為這一串數值的極限」

然而，他所使用的「無限逼近、無窮遞增和任 意小」，仍然是連續運動的直觀語言；

Weierstrass提出「ε-δ」的術語，即成為現今 分析學的共通術語。

無限的歷史 ⁽⁷⁾

◼

自Aristotle時代以來，無窮就被分為潛無窮 (potential infinity) 與實無窮(actual infinity)。

Aristotle 曾表示，無窮大是一個潛在的存在，

實無窮並不存在；數學王子Gauss也強烈反 對使用無窮大作為某種完善的東西，因為 這是數學上從來不允許的。

Q. 那一位數學家首先在實無窮的概念上有革

命性的進展？

無限的歷史 ⁽⁸⁾

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Cantor先確定了「兩個集合等價即表示，它 們的元素之間存在一一對應」

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一個無限集合會與它的一個真子集等價

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自然數、整數、偶數、奇數、平方數和質 數都等價，也就是有相同的基數(cardinal number) ；實數集合則和自然數不等價。

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Cantor’s theory & continuum hypothesis

無限的歷史 ⁽⁹⁾

◼ 無窮也有大小之分，這種先進的想法，引起當 時數學界強烈的批判

◼ Cantor的不朽功績，在他敢於向無窮大冒險邁 進，他對似是而非之論、流行的成見、與哲學 的教條做了長期不懈的爭鬥，由此使他成為一 門新學科的創造者，這門學科今天已經成為整 個數學的基礎 ~Kolmogorov

結語

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數學是「關於無限的科學」~ Hilbert

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數學的核心是無限的概念 ~ Goetz

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無限概念是現代數學研究基本且必要的知

識 ~王惠中

後記:無限間房間的宇宙旅館

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Hilbert是 20 世紀數學發展的領航人，特別

是他在 1900 年於國際數學會議上提出 23

個重要問題。以下，我們要介紹他提出的

一個有趣的例子：無限間房間的宇宙旅館。

無限間房間的宇宙旅館

◼ 宇宙裡有一間旅館，特色是擁有無限多個房間，

不過，當碰到重大節日時，依舊會客滿。今天是 四年一度的宇宙奧運會，來自各地的旅客已經住 滿了這間旅社，而來自某星球的一位奧會貴賓欲 住進此旅館，他希望旅館經理可以幫他安排一間 房間。旅館經理說這沒問題，於是，他想了一個 辦法，只要請第一間房間的旅客搬到第二間房間 去，第二間房間的旅客搬到第三間房間去，以此 類推，每一個旅客都可以住到隔壁房間，而第一 間房間自然可以騰出來。