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“C40N311” — 2016/8/31 — 20:57 — page 83 — #1
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✐ 數學傳播 40 卷 3 期, pp. 83-84
一道不等式的再證
劉才華
命題: 若 a1, a2, . . . , an 為滿足
n
P
i=1
ai = 1 的正數, λ ≥ 1 n2, 則
a1+ λ a1
a2+ λ a2
· · ·
an+ λ an
≥
1
n + nλn .
在 142 期的 [從 Cauchy 不等式的一種證法談起] 和 151 期的 [回響 : 一道不等式的另 一種證法] 兩文中, 作者給出了兩種不同的證法, 這裡筆者採用 「以直代曲」 的思想, 給出一種 新的證法。
證明: 首先證明, 當 t > 0, λ ≥ 1
n2 時, 有 ln
t+λ t
≥ n − λn3 1 + λn2
t − 1
n
+ ln1
n + nλ . 構造函數 F (t) = ln
t+ λ t
−n − λn3 1 + λn2
t − 1
n
−ln1
n + nλ
(t > 0), 則
F′(t) = t2−λ
t3+ λt−n − λn3
1 + λn2 = n(λn2 −1)t3 + (λn2+ 1)t2+ λn(λn2−1)t − λ − λ2n2 (t3 + λt)(λn2+ 1) . 令 G(t) = n(λn2−1)t3 + (λn2+ 1)t2 + λn(λn2 −1)t − λ − λ2n2 (t > 0), 則
G′(t) = 3n(λn2 −1)t2+ 2(λn2+ 1)t + λn(λn2−1).
由 t > 0 和 λ ≥ 1
n2 得 G′(t) > 0, 函數 G(t) 在 t ∈ (0, +∞) 上單調遞增。
又 G1 n
= 0 可知: 當 t ∈ 0,1
n
時, G(t) < 0, F′(t) < 0, F (t) 在 t ∈ 0,1
n
上 單調遞減; 當 t ∈1
n,+∞
時, G(t) > 0, F′(t) > 0, F (t) 在 t ∈1
n,+∞
上單調遞增。
從而 F (t) 的最小值 Fmin(t) = F1 n
= 0, 進而
ln t+λ
t
≥ n − λn3 1 + λn2
t − 1 n
+ ln1
n + nλ .
83
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“C40N311” — 2016/8/31 — 20:57 — page 84 — #2
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✐ 84 數學傳播 40 卷 3 期 民 105 年 9 月
於是 ln
a1+ λ a1
+ln a2+ λ
a2
+· · ·+ln an+ λ
an
≥ n − λn3 1 + λn2 h
n
X
i=1
ai−1i
+n ln1 n+nλ
,
則
lnh
a1+ λ a1
a2+ λ a2
· · ·
an+ λ an
i
≥ln1
n + nλn , 故
a1+ λ a1
a2+ λ a2
· · ·
an+ λ an
≥
1
n + nλn .
—本文作者任教山東省泰安市甯陽縣第一中學—
105 學年度周鴻經獎學金即日起開始申請
截 止 日 期 : 2016 年 11 月 15 日止 (以郵戳為憑)
申 請 辦 法 : 檢附周鴻經獎學金申請書、 志向說明書、 在學各學年之成績單 (碩士 班一年級研究生須繳大學之成績單)、 周鴻經獎學金推薦書、 及數學 相關系所之教授二人以上之推薦書, 由校方函送中央研究院數學研 究所申請。
詳見本刊封底裡及中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw 備註: 本獎學金只限在台就讀學生申請。
