運動常量 — 守 恆 定 律

三、守恆律

3.1 運動常量

若已知外力形式非為常數或時間之函數，亦非速度的函數，而是位置的函 數，則物體的運動狀態仍可由牛頓運動定律得到：

) (r F r m^•• =

由於上式難以直接分離，故兩邊各乘以位移的一次微分得

dt r dr dt F

r m d dt

r md

r ( ) = ( ²/2) = ( )

• •

•

∫

=

⇒

=













⇒ 

•

•

dr r r F

dr m r r F

d m ( )

) 2 2 (

2 2

　　 　

上列式子中，若我們定義F(r)dr ≡dW ，則由牛頓第二運動定律可得到 2 0

2 0

2

1

2

2 =















 −

⇒

 =













 −

∫

•

• r

r

r W d m r W

d m 　　 　　

t cons W

K mv K

r

m tan

2 2

2

2 = ≡ ⇒ − =

∴

•

　　 　　

這結果顯示，由牛頓的運動方程的首次積分預測，物體運動時存在著某一”運動 常量”(K-W)。雖然這”運動常量”難以賦予一直觀可領悟的解釋，但我們卻可由 對其特性掌握的角度來體會此不變量的意義。

運動常量 — 守 恆 定 律

”運動常量”的存在，代表此物理量於此動力系統中是”守恆”的。在上列牛 頓運動定律的演變式子中，我們定義了兩個新的物理量

∫

^⋅

≡

≡ mv W F r dr

K ; ( )

2

2

　　 　　

無論是 K 或 W，其個別的值於此動力系統中是會改變的。只有當此二物理量以 (T-W)的形式存在時，方成為一運動守恆量。這基本上至少告訴我們三件事

（一） 動力系統中存在有運動常量。

（二） 若 K 與 W 為上述所定義的形式，則(K-W)於牛頓所描述的運動世界中是 守恆的。

（三） K 與 W 所定義的形式雖不同，但所描述的卻為同一種物理量。亦即此物 理量不僅可以 K 或 W 的形式來表示，且彼此之間可以互相轉換的。

人們於是賦予這些物理量一新的名詞 —“能量”(energy)。習慣上我們稱 T 為”動 能”(kinetic energy)，W 為”功”(work)，而動能與功皆為能量的一種。

在此要強調的一點是，運動常量是數學計算的結果，因此所能得到的不變 量將不僅止一個。相對的，在這些許許多多不同的守恆量中，並非每一個都是 我們有興趣的。因此，於此章節中將只討論廣為接受與運用的幾個物理量。

3.2 功與功率

由上述的定義，功為力與位移的乘積。

dW≡F•dr 為一純量(scalar) [單位]=[Nm]=[joule(J)]焦爾

=[kg(m/s²)m]=[kg(m/s)²]

式子中，「•」代表向量內積(inner product, dot product)，其結果為純量。以 A,B 兩向量為例，其內積的結果為該二向量的大小，乘以其間夾角的餘弦函數值。

A•B=|A||B|cosθ 向量內積滿足

交換律

A•B=B• A

結合律

A•(B+C)= A•B+ A•C

若向量以直角座標系統來表示時，向量內積可寫為

A = Ax i + Ay j + Az k ; B = Bx i + By j + Bz k A•B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

所以 dW≡F•dr=Fdrcosθ=F//dr

F//為 F 在路徑方向（即速度方向）的分量

∫ ^⋅

=

^f

i

d W ^r

r F r(沿運動路徑積分)

例題一：一鋼珠沿一平滑凹球面畫下（如圖所示），球重力對它所作的功。

r(t)

r

_f

r

_i

O

F θ dr

F=mg dr r

F = mg k

r = rcosθ i + rsinθ k ; d r =- rsinθ dθ i + rcosθ dθ k

∫

∫ ^{⋅ = ⋅ ⋅}

=

∴

²

1

θ cos

θ r θ mg dθ

d W ^f

i

　

　 ^r

r F r

想像兩除了裝配不同引擎外，為一模一樣的車子。此二車子自一樣的起點，沿 著一樣的山坡道路徑，花費不同的時間，到達同樣的山坡頂終點。若只從作功 的角度來看，此二車子對抗重力所作的功是一樣的，但是人們除此之外，對需 花多少時間去做完這些功（到達山頂）存有相當大的興趣。這之間的差別在於 所作功對時間變化率的大小。根據此觀念，人們定義工對時間的變化量為”功 率”(power)。平均功率的定義為

t dr F t P W

∆

= ⋅

≡∆

∫

而瞬間功率(instantaneous power)則為

v dt F

F ds dt dW t P W

t = = ⋅ = ⋅

≡ ∆

→

∆lim0

例題二：一小型車的重量為 800kg，而它的引擎效率只有 18%（亦即燃燒汽油 後所得到的能量僅有 18%能傳輸出去）。利用已知數據，燃燒一加侖汽油能得到 1.3 ×10⁸ Joule，問該汽車由靜止加速到 27 m/s (60 mi/h)需耗費多少汽油？

假設所需耗費汽油 x 加侖，則

2

) / 27 )(

800 ( 2

% 2 18 10 3 . 1

2 2

0

2

8 mv mv kg m s

d W j

x ^v = =



=

=

×

×

×

∫

計算可得 x = 0.013 gal。

若此汽車以速度 60 mi/h 行進時所測得的耗油量為 35 mi/gal。問此時引擎的輸 出功率為何？

由於汽車受力的情況不明，故我們可先計算每小時耗油量，再轉換成功率。

每小時耗油量 (60 mi/h)/(35mi/gal)=12/7 gal/h

功率 1.3×10⁸ j/gal×18%×12/7gal/h=62kW

3.3 功- 動能定理(Work-Kinetic Energy Theorem)

根據第一節的描述，(K-W)為一運動守恆量。故

K K

K

mv mv

v m mvdv dr

F d

W

i f

i f

v v v

v

f i f

i f

i f

i

∆

=

−

=

−

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

= ∫

^{rr F r}

∫

^{rr //}

∫

₂^{1 2 1}₂ ² ₂^{1 2}

這關係稱為功-動能定理(Work-Kinetic Energy Theorem) 例題三：Spring-Mass System (彈簧重物系統)

當彈簧受外物影響而產生形變時，彈簧會對此外 物產生一與形變量成正比且方向相反的阻力 F=-kx

考慮初態 xi=-D, vi=0 末態 1 xf1=0, vf1=?

末態 2 xf2=?, vf2=0

末態 1：由功-動能定理

m D v k

mv K

K kD kx

kxdx Fdx

W

f

f i

f D D

x D x

±

=

=

−

=

=

−

=

−

=

=

₋

−

=

−

=

∫

∫

1

2 1 1

2 0

0 2 0

1

2

1 2

1 2

1

或由微分方程式

x

m x & = − k

&

的解 x(t)=-Dcosωt，其中

m

=

k

ω ，

v(t)=Dωsinωt

要求 x=0，可得

ω t = π + n π

2

^{，n 為整數}

此時 v=±Dω 末態 2：

D x

kD mv

K K

kx kxdx

W

f

f f

f f

x_f

±

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

= ∫

2

2 2

1 1

2 2

0 2

2

2

1 2

1 2

1

2

或由微分方程式的解可得

要求 v(t)=0，ωt=nπ，此時之 x=±D

another thought!

我們將動能對位置的關係圖畫出可得：

K 反覆出現又消失，但在同一位置 K 均相同。

假如起始時 x=0, v=0，系統保持靜止。如 上頁圖(a)。

然後慢慢地施力 Fext壓縮彈簧至 x=-D 多慢呢？要求 v~0 且維持不變，即 a=0。

（這步驟要用無限久的時間完成）

Fspring+Fext=0 → Fext=-Fspring=kx 計算 Fext所做的功：

2 0

2 0

0

2

1 2

1 kx kD

kxdx dx

F

W

_ext

= ∫

^−D _ext

= ∫

^−D

=

^D

=

位移 D 愈大，外力所做的功 Wext愈大。

物體到達-D 後，外力除去，當物體回到 x=0 時，K=Wext。

我們將物體放在不同的位置，好像可以將功或是動能儲存起來。

我們可以定義位能 (Potential Energy) U (也有人叫勢能)

3.4 位能與保守力(Potential Energy and Conservative Force)

在討論力僅依賴於位置的情況時，若其函數形式為可積分的，這相當於求 和過程中與所經路徑無關（與其歷史無關），僅與其初始與最終位置有關，則我 們稱具有此性質的力為”保守力” (conservative force)。根據此定義，用數學式表 示：

pathII pathI

dr r F dr r

F ^r

r r

r

　　　　

∫

∫

^{⋅ =} 1^{2 ⋅}

2 1

) ( )

( K

-D 0 D x

I 和位置 r 有關的純量 U(r)

做功的可能性 轉換成動能的趨勢

r

₁

r

₂

pathII pathI

dr r F dr r F dr r

F ^r

r r

r

　　　　

∫

∫

∫

^{( )⋅ +} 2^{1 ( )⋅ = ( )⋅ =0} 2

1

由於保守力所作之功僅與初始和最終位置有關，因而可以引進僅依賴於位 置 r 的純量函數 U(r)（記得功為一純量），稱之為位能(potential)。

位能的數學定義：

∫

∫ ^{⋅ = − ⋅}

=

=

−

^f

i f

i

d d

W U

U _{f i ext ext} ^r

r r

r F r F r

r r ) ( ) (

或 dU=-F•dr

一物體在空間中受到一力 F(通常為位置的函數)的影響，我們以外力 Fext對抗 F 將物體以準靜態(quasi-static process)過程(即 v~0 且維持不變，a=0)由 ri移到 rf， 過程中外力所做的功 Wext定義為 rf與 ri間之位能差(potential energy difference)。

注意！這裡只定義了位能差，要獲得絕對位能值前必須先定義位能的零點。位 能的零點通常是根據解決問體的方便性來定義。

例題四：彈性位能 Spring-Mass System continue (彈簧重物系統續) ) ( ) 2 (

1 2

1 2 2

f S i S f

i x

x x

x S

S F dx kxdx kx kx U x U x

W ^f

i f

i

−

=

−

′=

− ′

′=

=

∫ ∫

選擇 US(0)=0，則彈性位能 ² 2 ) 1

(x kx

U_S =

（由 x→0 所釋放出來的動能）

無外力影響下，考慮物體由 x1移至 x2(≦D 最大位移)，K1已知，K2=?

由功-動能定理

U x

U x U Fdx

Fdx mv

mv

K

^x

x x

x

= − − = − − = − ∆

=

−

=

∆ ₂ ¹

²²

¹ ₂

¹²

∫ ⁽ ∫

1²

^{) [ (}

²

^{) (}

¹

^)]

2

1

即∆K＋∆U=0，或∆(K＋U)=0，或 K+U=常數

動能和位能之和我們稱之為力學能(Mechanical Energy)。由上面說明可發現，若 一力能定義位能，那麼，在僅有此力作用的情形下，力學能守恆。

2 1 1 2 2 2

1 2

1 2

2 2 2

2 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

U U K kx kx

mv K

kx mv

kx mv

− +

=

− +

=

+

= +

例題五：重力位能(Gravitational Potential Energy)

j F

_g

= − mg

II

) ( ) (

)

2 (

1

i g f

g

i f y

g y g

y U y U

y y mg mgdy d

W ^f

i

−

=

−

=

=

⋅

−

=

∫

^{rr F r}

∫

令 Ug(0)=0，則重力位能可寫為 Ug (y)=mgy

3.5 非保守力(non-conservative force)

自然界中並非所有的力皆為保守力，有些作用力如摩擦力等所作的功，不 由起始與最終位置唯一決定，而是與其所經路徑有關（與其歷史有關），通稱此 類型的力為非保守力。

摩擦力和保守力有何不同呢？

考慮以 Fext對抗摩擦力 Fk，推物體緩慢 移動∆x，Fext做功 Fext•∆x。Fext移去後，

所做之功無法以動能之形式再出現。(這 些能量到哪裡去了呢？)

∫ ^⋅

−

=

−

²

1

) ( )

( _{2 1} ^r

r F r

r

r U d

U 和路徑無

關，只和起點及終點有關。

若是非保守力，

∫

1²

^⋅

r

r

F d r

和路徑有關，無法定義只和位置有關的位能 U(r)。

非保守力的例子 (1) 摩擦力

≠ 0

∫ ^F

^k

⋅ ^{d r}

(2) 感應電場

≠ 0

⋅

=

⋅

∫

∫

r E

r F

d q

e

d

3.6 力場(Field) 與位能

保守力於空間形成一力的大小、方向（向量）與位置關係的分布，我們稱

m F

_k

F

_ext

∆ x

F

_k

d Φ

B

/dt

E

_ind

之為保守力場(Conservative Force Field)（向量場）。在此所謂的”場”，為描述物 理量於空間的分布，亦即將物理量考慮成是空間的特性，而非是附屬不同討論 系統中物質的特性。場可為

向量場---例如力場、速度場

純量場---例如溫度的分布，位能場等

n 力場中可以感應到力的物質特性和力的種類有關：

重力場---- 質量 靜電場--- 電荷 n 力場的強度 F

F=F × 質量

電荷 ：

F 為向量，單位=[力/感應到力的物質特性]

例如： (a)重力場強度

F=G •m G 的單位恰為加速度的單位 (b)電場強度

F=E •q

n 保守力場 F(r)→位能 U(r) 積分

dz F dy F dx F

d U

U

z

z z

y

y y

x

x x

∫ ∫

∫

∫

−

−

−

=

⋅

−

=

−

0 0

0

0

) ( )

( ₀ ^r

r F r

r r

n 位能 U(r)→保守力場 F(r) 微分

r r r

F

r dz d U d

z dy U y dx U x

dU U = ⋅ =−∇ ⋅





∂ +∂

∂ +∂

∂

− ∂

=

− ( ) ( )

式子中

∂

讀做 partial，

∂ x

∂

表示 y, z 保持固定，只對 x 取微分，此步驟稱為取

偏微分(partial derivative)。一個純量(U(r))的方向導數為一向量(∇U(r) )，通常稱 之為梯度(Gradient)。梯度描述物理量在空間變化的情形，數學上習慣以∇或 grad 來表示

k j

i y z

grad x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇

=

) ) (

, , ( )

, , ( )

, , ) (

( )

(r r i j k grad r

F U

z z y x U y

z y x U x

z y x

U U = −



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

−∇

=

∴

所以力可視為位能的方向導數F(r)=−∇U(r)。這代表保守力場（向量場）可表

示為位能場之負梯度，換句話說，若已知位能函數 U(r)，則可由上式求出相對 應的保守力場 F(r)。由於一般上處理純量較處理向量簡單許多，故在解力學問 題時，位能場可代替保守力場。在

圖解位能場（純量場）時，習慣上 以等位能面（滿足 U(r)=常數所形成 的曲面）來表示，如下圖所示

左圖為一二維位能的立體圖，右圖為其投影在 xy 平面上的等位能圖形。右圖中 每一條曲線代表不同的 U(x,y)值，而同一條曲線中的每一點之 U(x,y)值皆相等。

假設一位移 dr 沿著某一等位面（等位線）內，則其位能差為 0（據定義，因等 位面上 dU=0），所以我們有

0 ) ( )

( )

(r ⋅ r= −∇ r ⋅ r =− r =

F d U d dU

由於位移向量 dr 沿著等位面，而上式結果告訴我們向量 F(r)與∇U(r)和位移向 量 dr 的內積為零，故場力 F(r)與位能場梯度∇U(r)永遠垂直於等位面。利用此 同一結果，我們亦可得知，當位移向量 dr 與位能場梯度∇U(r)平行時，dU 的變 化值最大。因此，∇U(r)為沿著位能場增加最快的方向，而 F(r) 為沿著位能場 下降最快的方向。

例題六：某已知位能場可表為

(

^{2 2 2}

)

^1/2

) , , ( )

(

z y x z G y x r U r G

U + +

= −

=

−

= 其場梯度

∇U(r)與相對應保守場力為

(

^{x y x z}

) (

^{x y y z}

) (

^{x y z z}

)

^{rG r}

G

z z y x U y

z y x U x

z y x U U

k r j

i

k j

i r r

F

2 2

/ 2 3 2 2 2

/ 2 3 2 2 2

/ 2 3 2 2

) , , ( )

, , ( )

, , ) (

( )

(

−

=













+ + + − +

+ + − +

+

= −



 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

−∇

=

∴

所以當位能場為球形對稱且與半徑距離成反比時，相對應的保守力場永遠平行 於指向球形中心的方向，且大小與半徑距離的平方成反比。

3.7 力學能守恆(Conservation of Mechanical Energy)

0 . 1 0 0 . 2 0

0 . 3 0

0 . 4 0 0 . 5 0

0 . 6 0

0 . 7 0

0 . 8 0 0 . 9 0 1.0

Constant-U contours

grad U

y

x

一個系統中若只有保守力做功(此部分的功可用位能的變化表示)，此系統稱為 保守系統(conservative system)。由功-動能定理可得：

0 0

) (

0

)]

( ) ( [

=

∆

⇔

= +

∆

⇔

=

∆ +

∆

⇔

∆

−

=

−

−

=

⋅

=

=

−

=

∆ ∫

E U

K U

K

U U

U d

W K K

K _{f i} ^f _{f i}

i

r r

r

r F

r

E≡K+U 定義為總力學能(total mechanical energy)，∆E=0 表示整個過程力學能 E 保持不變，也就是力學能守恆(conservation of mechanical energy)。

例題七：單擺(Pendulum)

以單擺支點為原點，令重力的方向 為 y，則擺動的最高與最低點為

A

H L

y =− cosθ 與 y_L =−L 由力學能守恆

B B A

A U K U

K

E = + = +

mgL mv

mgL _A = _B −

−

∴ ²

2 cos 1

0 θ

) cos 1 (

2 _A

B gL

v = − θ

在最低點時的繩子張力為

) cos 1 ( 2

2

A B

B r

B T mg mg

L mv ma mg T

F = − = = ⇒ = + − θ

∑



一個系統中若也有非保守力做功，則修正功-動能定理可得：

non non

non i

f con

non

W E W

U K

U W

U U

d W

W

K ^f

i

=

∆

⇔

=

∆ +

∆

⇔

∆

−

=

−

− +

⋅

= +

=

∆ ∫

^{rr F r [ (r ) (r)]}

例題八：一滑雪者自一無摩擦力的滑雪坡道下滑二十公尺高度之後，遇到一動 摩擦係數為 0.21 的水平雪地，問該滑雪者於水平雪地滑行多遠後會停止。

下滑前之力學能為 mgh+0 停止時之力學能為 0+0 非保守力所作之功 mgdµ_k

) ( 2 . 21 95 . 0 ) 20

( m

mg d mgh W

U K

k

non ⇒ = = =

= +

∆

∴ µ

例題九：彈簧重物系統再續 一質量為 0.8kg 的物體，滑行於動摩擦係數為 0.5 的平面上，衝向一彈性係數為 50 N/m 的彈簧。若該物體剛好碰觸到彈簧時的速 度為 1.2 m/s，問此彈簧的最大壓縮距離為何？

由能量守恆得

2 2

2 1 2

1mv mg x kx U

W

K = _non−∆ ⇒ = _k +

∆ µ

092 . 0 /

250 5 1 . 0 / 8 . 9 8 . 0 ) / 2 . 1 ( 8 . 20

1 kg⋅ m s 2 = kg⋅ m s2 ⋅ x= N mx2 ⇒ x=

3.8 其他力學能守恆應用例子

由保守力場與其相對應的位能場之關係





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

−∇

= z

z y x U y

z y x U x

z y x

U U( , , ) ( , , ) ( , , ) )

( )

(r r i j k

F

當保守力為零時，位能場於空間中的變化率也為零。這相當於位能為極大或極 小時，保守力為零。故當物體位於位能為極大或極小的地方，該物體的受力將 為零。由牛頓定律可知，若物體處於位能極值的位置時為靜止的，則該物體將 保持其靜止的狀態，我們稱之處於平衡(equilibrium)態。位能為極大值時，自任 何方向離開該位置皆是降低位能的方向，亦即是順著作用力的方向。所以只要 有任何方向上一點點微小位置的擾動，該物體將會被推離原來位置，我們稱此 為不穩定平衡。而當位能為極小值時，自任何方向離開該位置皆是增加位能的 方向，亦即是相反於作用力的方向。所以只要有任何方向上一點點微小位置的 擾動，該物體將會被推回原來位置，我們稱此為穩定平衡。

例題十：分子中兩中性原子之間的作用力所形成的位能場通常可表為











 



 



−



 



= 

6 12

4 )

(x x x

U ε σ σ

此為所熟知的 Lennard-Jones 位能函數，而式子中 x 代表兩原子間的距離。若一 已知的系統有σ=0.263nm;ε=1.51×10⁻²² j，則最可能的原子間距離為：

我們欲求的為其位能之穩定平衡點，所以二原子間作用力約為零時

nm x x

x x

x dx

d dx

x

F dU 12 6 0.295

4 ) 4

0 ( ₇

6 13

6 12 12

=

⇒



 



− −−

=









 



 



−



 



= 

=

= ε σ σ ε σ σ

其力與位置的關係為



 



 −

=









 



 



−



 



− 

= ₁₃¹² ₇⁶

6

12 12 6

4 4

)

( dx x x x x

x d

F ε σ σ ε σ σ

能量守恆律(Conservation of Energy)

這裡我們將功-動能定理改寫一下：

令 Wnon=-∆Eint，可得∆(K+U+Eint)=0。令總能量 Etot=K+U+Eint，我們得到一個用 途更廣的能量守恆定理(the law of conservation of energy)。或者，

∆Etot=∆K+∆U+∆Eint+[changes in other forms of energy]=0，

或者：

In an isolated system, energy can be transferred from one type to another, but the total energy of the system remains constant.

這不是一個推導出來的定理，而是實驗觀察沒發現例外，而我們相信的定律。

敘述中，獨立系統(isolated system)係指和外界任何形式之能量交換的系統。由 系統外以任何形式(做功、熱、或輻射等)輸入的能量等於系統總能之變化。

質量與能量

除了由運動常量之外，我們未曾提到另一個常用到的守恆律，那就是質量守恆。

在化學與古典物理範疇中，我們常接受不論是經由任何物理或化學過程，質量 不會被產生或毀滅。然而此觀念被愛因斯坦於 1905 年所提出來的新理論推翻。

愛因斯坦認為質量與能量為同一物理量的不同表徵，而它們之間的關係為 mc2

E_R =

例題十一：太陽每秒轉換約4.19×10⁹kg的物質成為能量，這相當輸出功率為？

J s

m kg

mc

E =∆ ² =4.19×10⁹ ×(3.00×10⁸ / )² =3.77×10²⁶

∆

s W

Power J ²⁶

26

10 77 . 00 3

. 1

10 77 .

3 × = ×

=