古典力學中主要基本原理形成過程的探討－從克卜勒行星運動定律到能量守恆定律
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(2) 謝誌 這本論文能夠完成，首先要衷心感謝我的指導老師－姚 珩教授，多年來在 物理概念發展史領域持續不斷的啟發與教導，讓我能夠體會到牛頓力學的博大與 精深，以及欣賞物理之美，這是很難得的學習歷程。 另外，我也十分感謝口試老師張海潮教授在論文上的協助及對治學的殷切叮 嚀，擴大我的學習視野；謝謝劉柏宏教授提點於論述時所要注意的人物細節與用 語，讓論文更加周延；感謝賈至達教授所指導整體架構的呈現方式與應加強銜接 之處，讓論文更具有承先啟後的精神；也謝謝劉祥麟教授所指出在呈現物理數值 的意義時，所要注意與特別說明的地方。 於論文撰寫的過程中，也幸好有學校同事們的幫忙與鼓勵，以及系上老師、 助教的提醒與協助，在此一併致謝。 最後，要感謝的是我的父母親，由於他們的養育之恩，也才會有這篇論文。.
(3) 摘要 本研究所要探討的是在古典力學中，功、動能、位能、力學能守恆以及能量 守恆理論的發展歷程。為了完整描述整個脈絡發展，我們首先由克卜勒面積律與 橢圓律的重建出發，接著再以牛頓的運動定律及萬有引力定律的提出作為揭開古 典力學發展的序幕。 研究結果發現，功與動能的數學雛型最早是出現在牛頓的《原理》一書中， 他是為了想知道行星或自由落體在受向心力作用，而非人為或機械的推或拉時， 物體於任意位置的速率而引入，與工程上的需要無關。牛頓的想法隨後由白努利 加以擴充，他除了將力與位移的關係重新以內積的方式表示外，他還將這種具有 正、負值的物理量命名為「能」(即現在的「功」)，而成為史上第一個提出完整 功概念的物理學家。此外，我們也發現在歷史上首次將牛頓第二定律改寫成 f=ma 的物理學家也是白努利，而非原先科學史家 M. Jammer 所認為是由歐拉最早寫下 簡潔的 f=ma 表示式。 此外，我們也發現重力作功與路徑無關的正合微分條件，是克來若於 1743 年以偏微分方程式首次明確提出。之後，拉格朗日不僅於 1773 年寫下了歷史上 第一個位能函數，而且力學能守恆律也是他在 1780 年首次以分析力學推導而成。 然而，能量的形式到最後並不是僅有動能和位能而已，因為從十九世紀開始，便 已經有多位科學家注意到光、熱、電、磁與化學親和力似乎彼此間有互相轉換的 現象，從而開始逐漸建立其自然力量普遍具有轉換性的自然哲學觀。後來，德國 物理學家梅爾於 1842 年以因果等價原理的關係來說明能量的不可毀滅性，並寫 下史上第一個由功轉換成熱的熱功當量關係(1 cal 等於 3.58 J)。英國物理學家焦 耳則是於 1843 年始得知 1 cal 為 4.82 J，之後再經過實驗改良，最後他才於 1849 年得到 1 cal 為 4.15 J 的更精確結果。 雖然上述由作功轉成熱的熱功當量已經由實驗得知，不過當時卻還沒有可靠 的實驗證據支持熱可轉換成作功。因此除了亥姆霍玆於信念上支持外，當時科學 家們普遍因為支持熱質說，其實並不承認熱與功可互相轉換的熱功當量關係。後 來於 1850 年，熱機運作的正確解釋由克勞修斯率先提出。他認為當熱機作功時， 除了部份的熱會由高溫往低溫物體傳播之外，也會有部份的熱會轉化為功。他由 上述想法提出具有內能概念的熱力學第一定律後，才讓克耳文及大部份的物理學 家放棄熱質說，而接受熱與功可互相轉換的概念。從此之後，包含“能量具有不 同形態”、“能量不可被創造與毀滅”及“熱與功彼此可互相轉換”三大特性的 能量守恆定律，就成為古典力學的重要定律。. 關鍵詞：功、動能、力學能、內能、能量守恆.
(4) Abstract The purpose of this study is to investigate the theoretical developments of work, kinetic energy, potential energy, the conservation of mechanical energy and the conservation of energy in classical mechanics. In order to clarify the whole process of development, the reconstructions of Kepler’s first two laws for planets are introduced as the first reference in this study. Subsequently, Newton's law of motion and his law of universal gravitation will be utilized as a prelude to the development of classical mechanics. The results showed that the mathematical prototypes of work and kinetic energy are initially published in Newton’s "Principia". These concepts were proposed due to the fact that Newton wanted to find the speed of a planet or freefall at any position under the action of centripetal force, rather than the external force exerted by the machine. Newton’s hypothesis is eventually expanded by Johann Bernoulli, who was considered to reconstruct force and displacement relationship based on the representation of the dot product and in either a positive or negative physical quantity named "energy" (now is called the "work"), therefore became the first proposed the complete concept of work by physicists. In addition, the results also indicated that it is the physicist, Johann Bernoulli, for the first time in history rewrote Newton's second law as "f = ma" rather than Euler, the one whom the scientific historian M. Jammer perceived the first to write the concise expression "f = ma". We also found that the condition, which is fulfilled by the exact differential about the work of the gravitational force and does not depend on the trajectory of the body, is first explicitly determined in partial differential equation by Clairaut in 1743. Lagrange first proposed the model of potential energy function in history in 1773, and then he successfully established the law of conservation of mechanical energy by using the Analytical Mechanics in 1780. Besides, the energy end up possessing not only two forms of energy such as the kinetic and potential energy. Since the beginning of the nineteenth century, a number of scientists have noted the phenomenon seems to have mutual conversion among light, heat, electricity, magnetism and chemical affinity. Consequently, they began to establish their universal convertibility of natural powers in natural philosophy. After that, German physicist Mayer has illustrated that the principle of “causa aequat effectum” can be used to explain why the energy can’t be destroyed. Furthermore, he has proposed the first mechanical equivalent of heat in the history in 1842, which is related to SI units as shown below: 1 calorie is equal to 3.58 J. However, 1 calorie is equal to 4.82 J in SI units by the British physicist Joule in 1843. Eventually, in 1849, the further results from physicist Joule provide the more accurate values by using improved experiments; the final results showed that the 1 calorie is equal to 4.15 J..
(5) Even though the relationship of the convertibility of work into heat has been demonstrated as described above, there was no experimental evidence to support heat can be converted into work. At that time, most of scientists actually support the caloric theory rather than mutual convertibility of heat and work aside from support from Helmholtz’s faith in the convertibility of energy. The correct interpretation of the heat engine operating by Clausius first proposed in 1850. He mentioned that during the process of heat engine starting to work, some portion of heat is not only normally transferred from a high temperature object to a low temperature object, but also converted to work. Consequently, he proposed the first law of thermodynamics incorporating the concept of internal energy and persuaded the opponents including Lord Kelvin and physicists who support the caloric theory to accept the concept regarding mutual convertibility of heat and work. Since that, three characteristics about conservation of energy have become an important law in classical mechanics, including energy that can be changed to many different forms, and that can neither be created nor destroyed as well as the heat and work that are interchangeable. Key words: Work, Kinetic Energy, Mechanical Energy, Internal Energy, Conservation of Energy.
(6) 目錄 目錄.................................................................................................................................i 圖次................................................................................................................................ii 表次.............................................................................................................................. iii 第一章. 序言................................................................................................................1. 第二章 克卜勒行星的面積律與橢圓律....................................................................3 第一節 地球的面積律與橢圓律............................................................................4 第二節 地外行星的面積律與橢圓律..................................................................18 第三節 地內行星的面積律與橢圓律..................................................................34 第三章 古典力學的奠定..........................................................................................41 第一節 在牛頓之前的機械論觀點......................................................................42 第二節 牛頓的力概念與圓周運動......................................................................46 第三節 牛頓萬有引力與克卜勒行星運動定律的關係......................................53 第四章 功與動能的由來..........................................................................................61 第一節 功與動能關係的首次出現－牛頓..........................................................62 第二節 功與動能關係的微積分表示－伐立農..................................................65 第三節 普遍性功概念的提出－白努利..............................................................67 第五章 位能與力學能的由來..................................................................................74 第一節 克來若與位能概念..................................................................................75 第二節 拉格朗日提出位能函數的表示..............................................................78 第三節 力學能守恆律的建立..............................................................................81 第六章 發現能量守恆因素的探討..........................................................................86 第一節 自然哲學對於尋找統一性原理的堅持..................................................87 第二節 無法計量流體概念開始受到質疑..........................................................90 第三節 熱與功關係的量化研究..........................................................................93 第四節 熱力學第一定律的提出........................................................................100 第五節 能量守恆律的建立................................................................................106 第七章 功、能量、位能與動能名詞的確認........................................................108 第一節 功名詞的確立........................................................................................109 第二節 能量、力學能及位能名詞的提出........................................................ 110 第三節 動能名詞的確定.................................................................................... 112 第八章. 討論............................................................................................................ 114. 第九章. 結論............................................................................................................133. 參考文獻....................................................................................................................136 附錄：f=ma 的原文出處..........................................................................................142 i.
(7) 圖次 圖 1：太陽 S、火星 M 與地球 E 的位置示意圖.......................................................5 圖 2： SE i ME j 所形成的四邊形 ..................................................................................6 圖 3：以地球為中心的座標，轉換成以太陽為中心的角度座標............................8 圖 4：橢圓的笛卡兒座標(x, y)與極坐標(r, θ)的關係 .............................................13 圖 5：太陽 S 、火星 M 和兩個地球位置 Ei 、 E j ，所形成的四邊形 SEi ME j .....18 圖 6：於不同日期時的地日距 r 與火日距 d (以 rj1 r0 100000 為基準值) ..........21 圖 7：相隔一日太陽、地球、火星所形成兩組四邊形 SEi1 M 1 E j1 和 SEi 2 M 2 E j 2 ...23 圖 8：地球於觀測火星期間，火星繞行太陽時所對應的張角..............................27 圖 9：太陽 S 、金星 V 和兩個地球位置 Ei 、 E j ，所形成的四邊形 SEiVE j ........34 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖. 10：物體受力與動量變化....................................................................................48 11：以微分觀點來看等速率圓周運動物體的行經路徑 ABCDEF ...................49 12：牛頓手繪之力(AT)－位置(AC)關係圖。.....................................................62 13：牛頓手繪兩物體運動之任意路徑 VIK 與直線 VDE 圖， ITN 為直角 .....67 14：虛速度 Cp 為位移 Pp 沿力方向之分量，且其值為正 ..............................70 15：處於平衡狀態的表面與路徑........................................................................75 16：重力在 O 和 N 兩點之間的任意路徑 ..........................................................76 17：焦耳手繪磁電轉動裝置與下拉的載物稱盤................................................96 18：焦耳的熱功當量實驗裝置............................................................................97 19：熱機循環作功的壓力－體積關係圖..........................................................100 20：速度 v 與速度增量 Δv 乘積所形成的總面積為三角形............................ 118. ii.
(8) 表次 表 1：由火星衝(1911 年 11 月 25 日)逆推與順推 687 天倍數的 , ,, ............10 表 2 ：不同日期的 rj2 / ri 2 與 i / j 之關係 .............................................................. 11 表 表 表 表 表 表 表. 3：計算地球軌道橢圓方程式係數的觀測數據..................................................16 4：任取八個不同日期的地球觀察數據驗證橢圓方程式..................................17 5：於不同日期時的地日距 r 與火日距 d ...........................................................22 6：相隔一日後，地球觀測太陽與火星所得之天文數據..................................25 7：不同日期時，火星的角速度 值..................................................................26 8：不同日期的火星張角 ..................................................................................28 9：不同日期的 d 2j / d i2 與 i / j 之關係................................................................29. 表 表 表 表 表 表 表. 10：各個日期所對應的日火距 d 及火星方位角 關係....................................31 11：選取其它五個不同日期的觀測數據並與(12)式結果進行比較 .................32 12：於不同日期時的地日距 r 與金日距 d ........................................................35 13：相隔一日後，地球觀測太陽與金星所得之天文數據................................36 14：不同日期時，金星的角速度 值................................................................37 15：不同日期的金星張角 ................................................................................37 16：不同日期的 d 2j / d i2 與 i / j 之關係 ..............................................................38. 表 17：選取其它五個不同日期的觀測數據並與(13)式結果進行比較.................39 表 18：古典力學重要歷史事件發展年表.............................................................. 113. iii.
(9) 第一章. 序言. 古典力學是以牛頓運動定律為理論核心，用來研究在感官世界中 物 體 運 動 現 象 的 重 要 學 科。牛 頓 之 所 以 能 夠 超 越 當 時 前 人 的 工 作 成 就， 提出天上與人間皆一體適用的物理定律，其最重要的原因，就在於他 獨創了「力」的概念。. 牛 頓 曾 說： 「 如 果 我 比 別 人 看 得 更 遠，那 是 因 為 我 站 在 巨 人 的 肩 膀 上 」。由 於 在《 原 理 》一 書 中，牛 頓 主 要 是 以 天 體 的 運 動 現 象 作 為 討 論 主題，而天體運動現象又以克卜勒的行星定律為依歸。因此，本文於 一開始在第二章中，便將關注的焦點投射在克卜勒的工作上，並以現 代數學的方法簡潔地重建克卜勒行星運動定律。接著於第三章，我們 將再試著由牛頓觀點來看：何以「力」會存在？以致於最後能夠提出 運動定律與萬有引力學說？而得以完成第一階段：古典力學核心的建 立。. 然 而 除 了「 力 」的 概 念 之 外 ，「 功 」與「 能 量 」概 念 在 古 典 力 學 中 也是重要的討論主題。在本文第四章中將會清楚的說明，作為「力」 概念創造者的牛頓，他是如何將「功」與「動能」的數學形式暗示在 世 人 面 前 ？ 接 著 我 們 將 再 於 第 五 章 中 說 明，後 人 是 如 何 跟 隨 他 的 腳 步， 如 何 逐 步 、 簡 潔 地 將 牛 頓 第 二 定 律 寫 成 f = ma， 以 及 「 功 」、「 動 能 」 與「位能」概念是那些物理學家所提出？而他們又是為了要解決那些 問題而提出上述的物理概念？以致於達到第二階段－力學能守恆律的 建立。. 1.
(10) 光、聲、電、熱、磁、…上述這些看似不相關的個別現象，是如 何得知都是同一種可互相轉換的能量形式呢？本文在第六章將對能量 守恆概念的發現因素進行探討。尋找統一性原理的自然哲學觀是如何 形成的呢？看似合理的熱質說有那些缺陷？焦耳是第一位提出熱功當 量的物理學家嗎？焦耳的熱功當量實驗可解釋熱轉成作功的現象嗎？ 熱力學第一定律是如何推導而來的？它與熱功當量有何意義上的不同？ 當上述的問題獲到解答，其實也就是古典力學的第三階段完成之時－ 能量守恆律的建立。. 功、動能、位能與能量…等等的物理名詞是否一開始就已經決定 如此了呢？它們是如何發展而來？我們在第七章將就相關物理名詞的 演進說明。. 接 著 ， 對 於 上 述 所 提 到 的 物 理 概 念 進 行 討 論 與 分 析 ， 例 如 ： f=ma 的數學形式是由誰最先寫下？功與動能的概念孰先孰後呢？為何動能 會 有 係 數 1/2？ 完 整 的 功 概 念 是 由 誰 最 先 提 出 ？ 在 描 述 位 能 時 是 否 需 要 外 在 的 拉 力 ？ 熱 (heat)與 內 能 (internal energy)在 概 念 上 有 何 差 別 ？ 熱功當量是功直接轉換成熱的意思嗎？能量是否可被視為一種實體？ 熱力學第一定律是第一個能量守恆定律嗎？…等問題，我們在第八章 將進行必要的釐清與說明。. 最 後，本 文 將 總 結 自 牛 頓 創 造 力 概 念 以 來 對 於 後 世 所 造 成 的 影 響、 意義與展望，接著並具體條列本論文研究的主要成果。. 2.
(11) 第二章. 克卜 勒行 星 的 面積 律 與 橢 圓 律. 自古以來，不論是白天或黑夜，日月星辰的斗轉星移總是引起人 們的好奇，為何會有如此規律的變化？究竟天與地的關係為何？這所 有的一切從古希臘以來，就一直有哲學家與天文學家們熱衷於這方面 的 討 論 ， 例 如 ： 亞 里 士 多 德 (Aristotle, 384 BC–322 BC)提 出 地 心 說 ， 阿 里 斯 塔 克 斯 (Aristarkhos, c.310 BC -c.230 BC)則 為 日 心 說，但 是 到 了 托 勒 密 (C. Ptolemaeus, c.100-c.170)又 提 出 地 心 說，以 及 後 來 哥 白 尼 (N. Copernicus, 1473-1543)的 日 心 說 … 等 等 ， 都 有 其 各 自 的 道 理 。 不 過 直 到西元第十七世紀，才終於有了令人滿意答案，那就是德國天文學家 克 卜 勒 (J. Kepler, 1571-1630)所 發 現 的 行 星 運 動 定 律 。 首 先 ， 他 是 在 1609 年 於 所 發 表 的《 新 天 文 學 》中 提 出 行 星 的 橢 圓 律 與 面 積 律 。之 後 於 1619 年，他 在《 世 界 的 和 諧 》一 書 中 提 出 行 星 的 週 期 定 律。而 這 也 是人類在天文學上，首次完美成功進行數學分析的創舉。. 以下我們即將依循克卜勒的腳步，先由驗證與重建地球的面積律 與橢圓律出發，接著再分別以地外行星－火星，以及地內行星－金星 作為面積律與橢圓律的分析對象，體驗行星運動的數學之美。. 3.
(12) 第一節. 地球的面積律與橢圓律. 由於克卜勒的天文系統認為：地球是繞著太陽公轉並不斷地移動 著。因此克卜勒要利用在第谷在地球上觀測的天文資料，推知行星繞 太陽運動的三大定律，實屬相當不易之事。以下我們首先說明克卜勒 於數據應用上的想法突破，接著再以現代的數學工具進行分析，說明 我 們 現 在 如 何 應 用 地 球 觀 測 的 資 料，重 建 克 卜 勒 的 行 星 運 動 定 律 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。. 由 於 在 地 球 上 只 能 記 錄 行 星 在 天 球 上 的 位 置，而 在 克 卜 勒 的 時 代， 已 有 各 行 星 大 約 是 在 同 一 個 平 面 上 運 行 的 看 法 (例 如：火 星 與 地 球 軌 道 面 的 夾 角 為 1°53’，差 距 小 於 1%)。而 克 卜 勒 同 時 也 注 意 到 從 一 次 太 陽 、 地 球、火 星 三 連 星 (稱 為 火 星 衝 )，到 下 一 次 三 連 星 的 間 隔 約 為 780 天 ， 則 可 據 此 算 出 火 星 繞 日 公 轉 的 週 期 約 為 687 天 。. 由 於 地 球 的 繞 日 週 期 約 為 365 天 ， 與 687 天 互 質 ， 因 此 每 當 經 過 687 天 ， 火 星 於 回 到 原 來 的 位 置 時 ， 則 地 球 的 位 置 都 會 完 全 不 相 同 。 接下來，我們即可用此火星在平面上相當於固定不動之點的特性，再 與太陽靜止固定的位置進行對照，則地球在公轉軌道上各個時間點的 位置將可被確定，如此一來，我們將可順利進行地球的面積律與橢圓 律的分析。. 4.
(13) 圖 1： 太 陽 S 、 火 星 M 與 地 球 E 的 位 置 示 意 圖. 如 圖 1 所 示，若 火 星 衝 時 火 星 位 置 為 M 點，地 球 於 E，太 陽 為 S ， 而 Ei 為 發 生 火 星 衝 之 前 687 天 地 球 的 位 置 、 且 E j 為 發 生 火 星 衝 之 後 687 天 地 球 的 位 置 。 由 它 們 的 相 對 位 置 ， 我 們 即 可 看 出 ， 太 陽 S 、 火 星 M 和 兩 個 地 球 位 置 Ei 、 E j ， 可 形 成 一 個 四 邊 形 SEi ME j 。. 以 下 ， 我 們 將 以 四 邊 形 SEi ME j 作 為 分 析 地 球 運 動 軌 跡 的 基 礎 ， 將 地球的觀測數據轉換成以太陽為中心的觀測資料。. 5.
(14) 一、 地 球 的 面 積 律. 1、 以 地 球 的 觀 測 資 料 ， 得 知 不 同 時 間 的 地 日 距. 若 我 們 選 取 1911 年 11 月 25 日 4 時 59 分 發 生 火 星 衝 時 為 觀 測 的 基 準 日 (此 時 太 陽 S 在 黃 道 的 經 度 為 241.815°)， 則 1910 年 1 月 7 日 地 球 位 置 在 Ei (與 太 陽 的 距 離 為 ri ， 且 此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為 21.175°，太 陽 則 是 286.062°)， E j 則 為 1913 年 10 月 12 日 地 球 位 置 (與 太 陽 的 距 離 為 rj ， 且 此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為 103.205°， 太 陽 則 是 198.239°)， 如 圖 2 所 示 。 則 由 天 球 上 黃 道 的 經 度 位 置 關 係 可 知 ： (以 上 天 文 數 據，由 美 國 海 軍 天 文 台 MICA Versin 2.2.2 軟 體 演 算 所 得 ) (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010). 圖 2： SE i ME j 所 形 成 的 四 邊 形. SEi M i 286.062° 21.175°＝ 95.113°. 6.
(15) SE j M j 198.239° 103.205°＝ 95.034°. MSEi i 286.062° 241.815°＝ 44.247° MSE j j 241.815° 198.239°＝ 43.576°. 另 外 ， 可 由 三 角 形 內 角 和 為 180°， 得 知. Ei MS i 180 i i 40.639° E j MS j 180 j j 41.390°. 接 著 利 用 SEi M 及 SE j M (其 中 SM 為 共 邊 )的 正 弦 定 律 可 知. rj ri SM SM ， sin i sin i sin j sin j. 經整理後為. rj ri. . sin i sin j. (1). sin j sin i. 也就是原本難以得知的，地球與太陽於不同時間的距離比值，可 完全藉由火星衝與經過不同的火星年後，太陽、地球與火星三者的夾 角關係求得。 7.
(16) 2、 以 地 球 的 觀 測 資 料 ， 得 知 地 球 相 對 於 太 陽 的 角 速 度 至 於 地 球 在 Ei 與 E j 時，相 對 於 太 陽 的 角 速 度 i 與 j ，則 可 由 地 球 在 Ei 與 E j 時 ， 至 隔 一 天 的 同 一 時 間 ， 地 球 相 對 於 太 陽 所 行 經 的 角 度 求 得。由 於 地 球 與 太 陽 的 位 置 相 差 180°，如 圖 3 所 示。故 接 下 來 我 們 可 將 地 球 為 中 心 的 角 度 觀 測 資 料，轉 換 成 以 太 陽 為 中 心 的 角 度 關 係 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。. 圖 3： 以 地 球 為 中 心 的 座 標 ， 轉 換 成 以 太 陽 為 中 心 的 角 度 座 標. 由 觀 測 數 據 可 知 ， 1910 年 1 月 7 日 時 ， 太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 286.062°， 而 在 1910 年 1 月 8 日 時 ， 太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 287.081°。 因此地球相對於太陽，於當日的平均角速度. i (180+287.081)－ (180+286.062)＝ 1.019(°/d). 由 於 1913 年 10 月 13 日 時，太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 199.229°，則 同 理可知，地球相對於太陽的平均角速度：. j (180+199.229)－ (180+198.239)＝ 0.990(°/d). 8.
(17) 3、 重 現 地 球 的 面 積 律. 克卜勒行星面積律意謂著，行星與太陽的連線在相同時間內掃過 相等的面積。因此，若在短時間內行星與太陽連線 r 所掃過的面積為 A ， 且 同 時 行 星 相 對 於 太 陽 公 轉 的 夾 角 為 ， 則 其 關 係 式 應 可 寫 為. A r 2 / 2，所 以 行 星 的 面 積 速 率 可 表 示 如 下 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩， 2010； 項 武 義 、 張 海 潮 、 陳 鵬 仁 、 姚 珩 ， 2010). A 1 2 1 2 r r t 2 t 2. 其 中， 為 行 星 對 太 陽 公 轉 的 角 速 度。因 此 欲 重 新 發 現 面 積 定 律 ， 即 在 於 驗 證 行 星 面 積 速 率 為 定 值 的 正 確 性 ， 也 就 是 ri2i rj2 j ， 或. rj2 / ri 2 i / j. (2). 接 下 來 ， 除 了 可 由 上 述 方 法 得 到 第 一 個 地 球 於 位 置 Ei 時 的 各 個 數 據 外 ， 我 們 可 再 以 相 同 方 式 逆 推 19 個 火 星 年 ， 這 樣 將 一 共 可 得 到 20 個 逆 推 的 Ei 數 據 ； 同 理 ， 亦 可 將 E j 再 往 後 推 19 個 火 星 年 ， 而 得 到 20 個 E j 數 據 ， 如 表 1。 之 後 ， 再 由 表 1 的 數 據 出 發 ， 我 們 除 了 可 由 (1) 式 進 一 步 得 到 rj2 / ri 2 之 外 ， 同 時 也 可 得 知 i / j 關 係 ， 接 著 即 可 於 表 2 中 檢 驗 (2)式 的 正 確 性 。. 9.
(18) 表 1： 由 火 星 衝 (1 911 年 11 月 25 日 ) 逆 推 與 順 推 687 天 倍 數 的 , ,, . i. j. j (). j (). j (). 1913/10/12. 95.034. 43.576. 41.390. 0.990. 1.007. 1915/8/30. 58.778. 86.127. 35.096. 0.967. 19.005. 0.984. 1917/7/17. 31.426. 127.866. 20.708. 0.955. 174.139. 2.405. 0.963. 1919/6/4. 6.276. 169.389. 4.335. 0.957. 2 1 . 5 11. 144.262. 14.227. 0.954. 1921/4/21. 18.973. 148.635. 12.393. 0.975. 1900/8/12. 47.615. 102.698. 29.687. 0.960. 1923/3/9. 46.094. 105.673. 28.233. 0.999. 1898/9/24. 78.805. 60.518. 40.677. 0.981. 1925/1/24. 78.525. 61.760. 39.715. 1.017. 1 8 9 6 / 11 / 6. 135.186. 17.340. 27.473. 1.005. 1926/12/12. 135.427. 17.443. 27.130. 1.017. 1894/12/20. 11 7 . 6 7 0. 26.714. 35.617. 1.019. 1928/10/29. 11 7 . 3 9 9. 26.463. 36.138. 0.999. 1893/2/1. 70.579. 71.005. 38.416. 1.014. 1930/9/16. 71.092. 69.407. 39.501. 0.976. 1891/3/17. 39.875. 11 4 . 7 4 4. 25.381. 0.994. 1932/8/2. 41.645. 111 . 3 9 9. 26.956. 0.958. 1889/4/29. 13.328. 157.467. 9.205. 0.971. 1934/6/20. 1 6 . 0 11. 1 5 2 . 9 11. 11 . 0 7 8. 0.954. 1887/6/12. 11 . 7 4 4. 160.696. 7.560. 0.955. 1936/5/7. 8.980. 165.354. 5.666. 0.966. 1885/7/26. 37.398. 11 8 . 2 3 6. 24.366. 0.956. 1938/3/24. 35.422. 121.804. 22.774. 0.991. 1883/9/8. 65.887. 76.340. 37.773. 0.972. 1940/2/9. 6 5 . 11 8. 78.196. 36.686. 1.012. 1881/10/21. 107.197. 33.544. 39.259. 0.997. 1941/12/27. 107.267. 33.941. 38.792. 1.019. 1879/12/4. 151.922. 10.242. 17.836. 1.015. 1 9 4 3 / 11 / 1 4. 151.649. 10.203. 18.148. 1.007. 1878/1/16. 84.919. 54.547. 40.533. 1.018. 1945/10/1. 84.937. 53.532. 41.531. 0.985. 1876/2/29. 50.800. 98.564. 30.635. 1.003. 1947/8/19. 52.088. 95.840. 32.072. 0.963. 1874/4/13. 23.161. 141.667. 15.172. 0.979. 1949/7/6. 25.569. 137.456. 16.976. 0.953. i (). i (). i (). 1910/1/7. 9 5 . 11 3. 44.247. 40.639. 1.019. 1908/2/20. 57.781. 8 8 . 4 11. 33.808. 1906/4/4. 29.212. 131.783. 1904/5/17. 3.456. 1902/6/30. 時間 i. 時間 j. o. ( /d ). 10. ( o /d ).
(19) 表 2 ： 不 同 日 期 的 rj / ri 與 i / j 之 關 係 2. 2. 時間 j. 時間 i. rj2 / ri 2 ( ＝ x). i / j ( ＝ y). (x － y) /y( %). 191 3/10 /1 2. 191 0/1 /7. 1.0 30. 1.0 30. 0.0 42. 191 5/8 /30. 190 8/2 /20. 1.0 45. 1.0 42. 0.2 95. 191 7/7 /17. 190 6/4 /4. 1.0 33. 1.0 31. 0.1 77. 191 9/6 /4. 190 4/5 /17. 0.9 87. 1.0 06. -1.88 2. 192 1/4 /21. 190 2/6 /30. 0.9 70. 0.9 78. -0.86 1. 192 3/3 /9. 190 0/8 /12. 0.9 59. 0.9 61. -0.17 1. 192 5/1 /24. 189 8/9 /24. 0.9 63. 0.9 64. -0.10 3. 192 6/12 /1 2. 189 6/11 /6. 0.9 85. 0.9 88. -0.29 7. 192 8/10 /2 9. 189 4/12 /2 0. 1.0 20. 1.0 19. 0.0 94. 193 0/9 /16. 189 3/2 /1. 1.0 41. 1.0 39. 0.2 12. 193 2/8 /2. 189 1/3 /17. 1.0 41. 1.0 38. 0.3 00. 193 4/6 /20. 188 9/4 /29. 1.0 08. 1.0 17. -0.93 4. 193 6/5 /7. 188 7/6 /12. 0.9 57. 0.9 88. -3.13 3. 193 8/3 /24. 188 5/7 /26. 0.9 67. 0.9 65. 0.2 11. 194 0/2 /9. 188 3/9 /8. 0.9 63. 0.9 60. 0.2 85. 194 1/12 /2 7. 188 1/10 /2 1. 0.9 81. 0.9 78. 0.2 86. 194 3/11 /1 4. 187 9/12 /4. 1.0 16. 1.0 08. 0.7 77. 194 5/10 /1. 187 8/1 /16. 1.0 41. 1.0 34. 0.6 73. 194 7/8 /19. 187 6/2 /29. 1.0 48. 1.0 42. 0.5 78. 194 9/7 /6. 187 4/4 /13. 1.0 34. 1.0 27. 0.6 53. 11.
(20) 在 表 2 中 ， 我 們 可 看 出 rj2 / ri 2 與 i / j 兩 者 差 距 甚 小 (皆 小 於 4%， 絕 大 部 份 小 於 1%)， 應 可 視 為 相 等 。 由 於 火 星 年 687 天 和 地 球 年 365 天 互 質 ， 此 即 意 謂 在 表 1 中 ， 每 隔 687 天 所 取 的 40 個 地 球 位 置 將 不 會 重 覆 ， 也 就 是 遍 布 在 整 個 地 球 公 轉 的 軌 道 上 。因 此 ， 由 表 2 的 分 析 結 果 ， 我 們 可 得 知 “ r 2 =常 數 ” 在 地 球 軌 道 上 具 有 普 適 的 正 確 性 。. 由以上分析可知，克卜勒面積律可將由地球觀測天文的「角度」 關係，轉化為原先難以得知的，地球於不同位置時的「距離」關係。 這是面積律在實際應用上的偉大之處，也是日後牛頓發展向心力概念 的 起 點 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； 項 武 義 、 張 海 潮 、 陳 鵬 仁 、 姚 珩 ， 2010)。. 12.
(21) 二、 地 球 的 橢 圓 律. 1、 橢 圓 方 程 式 與 傅 利 葉 級 數. 如何由地球觀測的數據得知地球的軌道是橢圓呢？以下，我們先 由 橢 圓 方 程 式 的 數 學 分 析 開 始。如 圖 4。若 橢 圓 的 一 個 焦 點 在 (－ c, 0)， 則 其 笛 卡 兒 座 標 (x, y)與 極 坐 標 (r, θ)的 關 係 應 可 寫 為 (項 武 義、張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：. x r cos c ,. y r sin. (3). 圖 4： 橢 圓 的 笛 卡 兒 座 標 ( x, y) 與 極 坐 標 ( r, θ) 的 關 係. 2 2 2 2 已 知 橢 圓 的 笛 卡 兒 座 標 方 程 式 為 x / a y / b 1， 其 中 a 為 半 長. 軸 ， b 為 半 短 軸 。 將 (3)式 代 入 ， 可 得. r(a c cos ) b2 0 ,. r(a c cos ) b2 0. 13.
(22) 若只取 r 的正值，則. 1 a c cos a 2 (1 e cos ) r b2 b. 其 中 離 心 率 e c / a 1 (b / a ) 2 。 由 於 通 常 橢 圓 的 長 軸 與 x 軸 並 不 重疊，故橢圓方程式的極坐標一般式可表示為. 1 a 1 e cos( ) c0 c1 cos c2 sin r b2. (4). 2 2 2 2 4 其 中 c1 c2 a e /b ， 或 e b 2 c12 c22 / a c12 c22 / c0 。. 另外，由於行星繞太陽公轉時為週期性運動，也就是地日距 r 應 為 地 日 連 線 角 度 的 週 期 性 函 數。又 由 於 對 任 一 函 數 1/r，已 知 均 可 以 傅利葉級數表示. 1 a0 an cos n bn sin n r n 1. 我 們 將 上 式 與 (4)式 比 較 後 可 發 現，橢 圓 的 極 座 標 方 程 式 將 可 被 改 寫成最簡單情況下的傅利葉級數表示。即. 1 a0 a1 cos b1 sin r. (5). 14.
(23) 2、 重 現 地 球 的 橢 圓 律. 由 於 在 地 球 上 的 觀 測 數 據 無 法 直 接 得 知 (5)式 的 r， 而 是 只 能 知 道 地 球 在 r 時 觀 測 天 體 的 角 度 。 不 過 ， 幸 好 我 們 可 由 面 積 律 r 2 =常 數 c 的關係，得知：. 1 c r. 所 以 ， 可 再 將 (5)式 改 寫 成. a0 a1 cos b1 sin. (6). 也 就 是 藉 著 克 卜 勒 的 面 積 律，我 們 即 可 由 地 球 上 觀 測 的 角 度 數 據， 來 驗 證 地 球 所 運 行 的 軌 道 是 否 符 合 橢 圓 律 ， 也 就 是 (6)式 是 否 成 立 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。. 首 先 ， 我 們 應 試 著 求 出 (6)式 的 三 個 未 知 數 a0 、 a1 及 b1 ， 而 這 需 要 三 組 ( , ) 的 數 據 才 能 得 知 。 現 在 ， 我 們 可 隨 意 選 取 以 2001 年 4 月 5 日 太 陽 至 地 球 的 連 線 為 方 向 角 =0°，則 其 它 2001 年 7 月 10 日、2001 年 10 月 15 日 及 2002 年 1 月 20 日 的 方 向 角 及 角 速 度 ，將 如 下 表 3 所示。. 15.
(24) 表 3： 計 算 地 球 軌 道 橢 圓 方 程 式 係 數 的 觀 測 數 據. 太 陽 於 黃 道 經 度 (o). (o). 時間. ( o /d ). 當天. 隔日. 200 1/4 /5. 15.51 7. 16.50 0. 0. 200 1/7 /10. 108 .0 54. 109 .0 07. 92.53 7. 0.9 53. 200 1/10 /1 5. 201 .9 49. 202 .9 41. 186 .4 33. 0.9 92. 200 2/1 /20. 299 .9 99. 301 .0 16. 284 .4 82. 1.0 18. 我 們 將 表 3 的 三 組 ( , ) 的 數 據 分 別 代 入 (6)式 中 ， 接 著 即 可 運 算求得三元一次聯立方程組之解，如下. a0 0.992989,. a1 － 0.00106,. b1 － 0.01663. 再 代 回 (6)式 後 ， 即 可 得 地 球 的 橢 圓 軌 道 方 程 式 為. 0.992989 0.00106 cos 0.01663 sin. (7). 為了驗證上式的有效性，我們再任取八個不同日期的地球觀察數 據 ，分 別 代 入 (7)式 後 並 設 0.992989 0.00106 cos 0.01663 sin 。 接 著 我 們 比 較 由 計 算 所 得 之 與 觀 測 所 得 之 的 差 距，即 可 得 知 (7) 式 橢 圓 方 程 式 的 有 效 性 ， 如 表 4。. 16.
(25) 表 4： 任 取 八 個 不 同 日 期 的 地 球 觀 察 數 據 驗 證 橢 圓 方 程 式 太陽於黃道經度 (o). 時間. . (o). . ( ) / . ( /d ). ( /d ). ( %). 34.12 8. 0.9 83. 0.9 83. -0.00 7. 85.16 0. 68.68 9. 0.9 77. 0.9 77. -0.02 4. 147 .2 92. 148 .2 55. 131 .7 75. 0.9 81. 0.9 81. -0.01 4. 200 1/9 /25. 182 .2 41. 183 .2 21. 166 .7 25. 0.9 90. 0.9 90. 0.0 18. 200 1/11 /5. 222 .8 85. 223 .8 88. 207 .3 68. 1.0 01. 1.0 02. 0.0 27. 200 1/12 /1 0. 258 .2 39. 259 .2 55. 242 .7 22. 1.0 08. 1.0 08. 0.0 02. 200 2/2 /5. 316 .2 50. 317 .2 64. 300 .7 34. 1.0 07. 1.0 07. -0.00 7. 200 2/3 /10. 349 .4 83. 350 .4 82. 333 .9 67. 1.0 00. 0.9 99. -0.02 6. 當天. 隔日. 200 1/5 /10. 49.64 5. 50.611. 200 1/6 /15. 84.20 5. 200 1/8 /20. 接 下 來 ， 我 們 可 再 結 合 (4)式 與 (7)式 ， 得 到 地 球 離 心 率 e 計 算 值 為. e. c12 c22 c0. a12 b12 a0. ( 0.00106 ) 2 ( 0.01663) 2 0.0167 0.017 0.99299. 結 果 與 地 球 軌 道 離 心 率 的 公 認 值 0.017 完 全 相 同 ， 而 這 也 再 一 次 確 認 了 地 球 橢 圓 律 的 正 確 性 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義 、 張 海 潮 、 陳 鵬 仁 、 姚 珩 ， 2010)。. 17.
(26) 第二節. 地外行星的面積律與橢圓律. 一、 以 地 球 為 中 心 的 觀 測 資 料 ， 轉 換 成 太 陽 中 心 的 座 標 表 示. 如何驗證除地球之外的其它行星，例如火星繞太陽是否遵守克卜 勒面積律與橢圓律呢？則我們應要想辦法得知火星在不同時間點時的 火日距，以及當時火星對太陽的角速度關係。所以，不能再使用上一 節發生火星衝的方式來分析，因為若視火星為不動的定點，則將無法 得知火星的軌道運動；那麼該如何得知火星在不同位置的火日距與角 速度呢？. 圖 5： 太 陽 S 、 火 星 M 和 兩 個 地 球 位 置 E i 、 E j ， 所 形 成 的 四 邊 形 SEi ME j. 如 圖 5 所 示 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)， 在 某 一 任 選 的 時 間 點 ， 假 設 火 星 的 位 置 在 M 點 ， 而 地 球 當 時 的 位 置 在 Ei ， 則 經 過 一 個 火 星 年 (約 687 天 )後 ， 地 球 將 會 運 行 至另一 個位 置 E j ，火星將會 再次 回到 M 點。如此一 來，太陽 S 、火星. 18.
(27) M 和 兩 個 地 球 位 置 Ei 、 E j ，便 可 形 成 一 個 四 邊 形 SEi ME j 。若 任 意 選 取 1971 年 10 月 10 日 地 球 位 置 為 Ei (此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為 317.723°， 太 陽 則 是 196.235°)， 則 地 球 從 Ei 經 過 687 天 的 火 星 年 後 ， 將 於 1973 年 8 月 27 日 到 達 E j (此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為 35.435°， 太 陽 則 是 153.757°)。 則 由 天 球 上 的 角 度 位 置 關 係 可 知 ：. SEi M i 317.723 196.235 121.488. SE j M j 153.757 35.435 118.322. 而由圖 5 可知，θ 為可觀測值，即：. Ei SE j (196 .235 180 ) (153 .757 180 ) 42.478 . 接下來，我們即可將地球為中心的角度觀測資料，轉換成以太陽 為中心的角度座標系。. 1、 由 地 球 觀 測 資 料 ， 得 知 火 日 距 由 於 圖 5 的 四 邊 形 SEi ME j 角 度 關 係 為 i j i j 360，也 就 是 i 360 i j j。我 們 可 令 360 i j ，則 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：. i j. ，其中. 為可觀測之值. 19. (8).
(28) 另 外 ， 由 於 四 邊 形 SEi ME j 可 視 為 由 SEi M 及 SE j M 所 組 成 ， 其 中 SM 為 共 邊，由 正 弦 定 律 可 知 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang,. Chang, Yao, & Lee, 2015)：. rj d r d i sin i sin i , sin j sin j. 則火日距 d 可表示為. d. sin j sin j. rj. (9). 且 可 知 i 與 j 的 正 弦 值 之 比 為. sin i ri sin i sin j rj sin j. (10). 由 於 地 球 的 面 積 律 ri2 / rj2 j / i 已 建 立 ， 則 我 們 可 知. ri / rj j / i. 由於在天文的觀測中，地球的角度變化是可測量的數據。因此可 由 每 天 實 測 所 得 到 的 角 速 度 i 與 j 而 得 知 ri / rj ， 又 由 於 i 與 j 也 是 可. 20.
(29) 測 量 之 值，故 可 令 可 測 量 之 值. ri sin i k，再 由 (10)式 可 得 sin i k sin j ， rj sin j. 且 合 併 (8)式 ， 可 得. sin cos j cos sin j k sin j. 再 同 除 以 cos j ， 並 整 理 後 可 得. sin j tan 1 k cos . (11). 由於 k 與 皆可由觀測之值決定，故 j 亦為一可觀測之值，則我 們 可 由 (9)式 ， 得 知 地 日 距 rj 與 火 日 距 d 的 轉 換 關 係 。 接 下 來 ， 我 們 可 再 用 同 樣 方 法 ， 以 地 球 於 1971 年 10 月 10 日 的 地 日 距 為 基 準 值 r 0 ， 求 得 地 球 於 其 他 日 期 時 的 火 日 距 d ， 如 圖 6 及 表 5。. 圖 6： 於 不 同 日 期 時 的 地 日 距 r 與 火 日 距 d ( 以 rj1 r0 100000 為 基 準 值 ). 21.
(30) 表 5： 於 不 同 日 期 時 的 地 日 距 r 與 火 日 距 d. 日期. i. 1971/10/10. 太陽於黃道經度 (o) 當日. 次日. 1 9 6 .2 3 5. 1 9 7 .2 2 3. 火星 於黃道 經 度 (o). 1 5 3 .7 5 7. 1 5 4 .7 2 3. 35.43 5. i. 1973/12/10. 2 5 7 .9 9 6. 2 5 9 .0 1 2. 26.58 5. j. 1975/10/28. 2 1 4 .1 2 2. 2 1 5 .1 2 1. 92.06 3. i. 1 9 7 6 / 2 /2 0. 3 3 0 .6 8 5. 3 3 1 .6 9 3. 79.72 7. j. 1 9 7 8 / 1 /7. 2 8 6 .5 1 3. 2 8 7 .5 3 3. 127.2 25. i. 1 9 7 8 / 3 /1 0. 3 4 9 .2 6 7. 3 5 0 .2 6 6. 112. 638. j. 1 9 8 0 / 1 /2 6. 3 0 5 .3 6 3. 3 0 6 .3 8 0. 164.7 06. i. 1 9 8 0 / 4 /2 0. 3 0 .2 6 9. 3 1 .2 4 5. 146.9 78. j. 1 9 8 2 / 3 /8. 3 4 7 .2 6 9. 3 4 8 .2 6 8. 197.6 73. i. 1 9 8 2 / 6 /1 0. 7 9 .0 0 0. 7 9 .9 5 6. 185.2 02. 3 7 .0 9 2. 3 8 .0 6 5. j (o). rj. d. 118. 322. 0.958. 39.85 3. 100000. 137370. 122.0 59. 0.914. 34.38 7. 98362. 147599. 159.2 88. 2.688. 12.36 2. 97343. 160814. 140.6 57. 1.329. 22.09 0. 97493. 164350. 149.5 96. 1.786. 17.73 3. 98314. 163359. 161.6 69. 3.080. 11.6 74. 99677. 154931. 317.7 23. 1 9 7 3 / 8 /2 7. 1 9 8 4 / 4 /2 7. k. (當 日 ). j. j. j (o). 235.4 23. 22.
(31) 2、 由 地 球 觀 測 資 料 ， 得 知 火 星 對 太 陽 的 角 速 度. 如 圖 7 為 相 隔 一 日 ， 火 星 由 M1 運 行 至 M2 時 ， 太 陽 、 地 球 、 火 星 所 形 成 的 兩 組 四 邊 形 SEi1M 1E j1 和 SEi 2 M 2 E j 2 。 而 火 星 的 角 速 度 即 為 每 日 火 星 由 M 1 至 M 2 所 夾 角 度 。 對 於 SE j1M1 而 言 ， 由 內 角 和 之 關 係 可 得 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：. a M 1SE j1 180 j1 j1 180 118.322 39.853 21.825. 圖 7： 相 隔 一 日 太 陽 、 地 球 、 火 星 所 形 成 兩 組 四 邊 形 SEi1 M 1 E j1 和 SEi 2 M 2 E j 2. 23.
(32) 同 理 ， 由 SEj 2 M2 的 內 角 和 關 係 及 表 6 可 得. b M 2 SE j 2 180 j 2 j 2 180 118.989 39.525 21.486. 而 地 球 相 隔 一 日 與 太 陽 的 位 置 夾 角 關 係， 可 再 由 圖 5 求 方 式 得 知，因此. c E j1SE j 2 (154.723 180) (153.757 180) 0.966. 最 後，我 們 可 以 得 知 每 日 火 星 相 對 於 太 陽，由 位 置 M 1 運 行 至 位 置. M2 所 夾 角 度. b c a 21.486 0.966 21.825 0.627. 此即火星在該日的角速度 ，亦如表 7 所示。. 24.
(33) 表 6： 相 隔 一 日 後 ， 地 球 觀 測 太 陽 與 火 星 所 得 之 天 文 數 據. 太陽於黃道經度. 火星. o. 於黃道 經 度 (o). ( ). 日期. i. 197 1/10 /1 0. 次日. 再次日. 197 .2 23. 198 .2 13. 154 .7 23. 155 .6 90. 35.73 4. i. 197 3/12 /1 0. 259 .0 12. 260 .0 29. 26.76 4. j. 197 5/10 /2 8. 215 .1 21. 216 .1 20. 92.18 3. i. 197 6/2 /20. 331 .6 93. 332 .7 01. 80.02 9. j. 197 8/1 /7. 287 .5 33. 288 .5 52. 126 .8 91. i. 197 8/3 /10. 350 .2 66. 351 .2 64. 112 .73 5. j. 198 0/1 /26. 306 .3 80. 307 .3 96. 164 .5 70. i. 198 0/4 /20. 31.24 5. 32.22 0. 147 .1 38. j. 198 2/3 /8. 348 .2 68. 349 .2 67. 197 .4 70. i. 198 2/6 /10. 79.95 6. 80.911. 185 .5 08. 38.06 5. 39.03 6. k. j2 (o). 118 .98 9. 77.65 3. 0.9 70. 39.52 5. 122 .9 38. 65.41 9. 0.9 34. 33.96 3. 160 .6 42. 46.86 2. 2.8 81. 11.569. 141 .8 10. 51.83 5. 1.3 77. 21.51 5. 150 .7 98. 50.33 2. 1.8 66. 17.08 5. 162 .9 12. 49.64 4. 3.3 07. 10.90 9. 318 .0 81. 197 3/8 /27. 198 4/4 /27. (o). (次 日 ). j. j. j2 (o). 235 .1 53. 25.
(34) 值. 表 7： 不 同 日 期 時 ， 火 星 的 角 速 度. 日期. a(o). b(o). c(o). ( o /d ). 197 1/10 /1 0. 21.82 5. 21.48 6. 0.9 66. 0.6 27. 197 3/12 /1 0. 23.55 4. 23.10 0. 0.9 99. 0.5 45. 197 6/2 /20. 8.3 50. 7.7 89. 1.0 20. 0.4 58. 197 8/3 /10. 17.25 3. 16.67 5. 1.0 16. 0.4 39. 198 0/4 /20. 12.67 1. 12.117. 1.0 00. 0.4 45. 198 2/6 /10. 6.6 57. 6.1 79. 0.9 72. 0.4 95. 26.
(35) 3、 由 地 球 觀 測 資 料 ， 得 知 火 星 於 繞 行 太 陽 時 所 對 應 的 張 角. 如 圖 8， 以 火 星 在 1971 年 10 月 10 日 位 置 M 1 作 為 參 考 點 ， 此 時 對 於 SE j1M1 ， j1 為 可 觀 測 值 ， j1 為 可 由 觀 測 值 推 導 之 值 ， 我 們 可 由 三 角 形 內 角 和 關 係，得 到 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：. a1 180 j1 j1 180 118.322 39.853 21.825 。. 其 餘 1973 年 12 月 10 日 的 a 2、1976 年 2 月 20 日 的 a 3 … 等 日 期 的 a 值，如表 8 所示。. 圖 8： 地 球 於 觀 測 火 星 期 間 ， 火 星 繞 行 太 陽 時 所 對 應 的 張 角. 接下來，我們可再由圖 5 求 的方式，由地球的觀測數據，得到 在 圖 8 中 地 球 由 E j1 到 E j 2 對 於 太 陽 公 轉 的 夾 角 。 因 此 ， 若 以 太 陽 S 至 地 球 E j1 連 線 為 x 軸 ， 即 方 向 角 為 0°時 ， 則. 27.
(36) E j 2 的 方 向 角 = E j 2 SE j1 ( 214.122 180) (153.757 180) 60.365. 因 此 ， 在 地 球 於 E j1 運 行 到 E j 2 的 時 間 之 中 ， 火 星 相 對 於 太 陽 所 運 行的張角. M 2 SM1 E j 2 SE j1 a2 a1 60.365 23.554 21.825 62.094. 同 理 ， 即 可 求 得 其 他 觀 測 日 期 如 1973 年 12 月 10 日 、 1976 年 2 月 20 日 … 等 相 對 於 1971 年 10 月 10 日 時 的 火 星 張 角 ， 如 表 8。. 表 8： 不 同 日 期 的 火 星 張 角 . Ej 相 對 於 x 軸 日期. a(o). (). 的 方 向 角 (o). 197 1/10 /1 0. 21.82 5. 0.0 00. 0.0 00. 197 3/12 /1 0. 23.55 4. 60.36 5. 62.09 4. 197 6/2 /20. 8.3 50. 132 .7 56. 119 .28 1. 197 8/3 /10. 17.25 3. 151 .6 06. 147 .0 34. 198 0/4 /20. 12.67 1. 193 .511. 184 .3 57. 198 2/6 /10. 6.6 57. 243 .3 35. 228 .1 67. 28.
(37) 二、 以 天 文 數 據 重 現 火 星 的 面 積 律 與 橢 圓 律. 1、 重 現 火 星 的 面 積 律. 克卜勒行星面積律意謂著，行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等 的 面 積 ， 其 數 學 關 係 如 (2)式 。 至 此 ， 我 們 可 結 合 表 5 和 表 7 所 提 供 不 同 日 期 的 日 火 距 d 及 火 星 角 速 度 ， 而 得 到 表 9 之 d 2j / d i2 與 i / j 關 係 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 表 9： 不 同 日 期 的 d j / d i 與 i / j 之 關 係 2. 日期. d. (. o. /d ). 2. d / d ( x) 2 j. 2 i. i / j ( y ). (x － y) /y ( %). 197 1/10 /1 0. 137 370. 0.6 27. 1.0 00. 1.0 00. 0.0 00. 197 3/12 /1 0. 147 599. 0.5 45. 1.1 54. 1.1 51. 0.2 73. 197 6/2 /20. 160 814. 0.4 58. 1.3 70. 1.3 69. 0.1 38. 197 8/3 /10. 164 350. 0.4 39. 1.4 31. 1.4 29. 0.1 87. 198 0/4 /20. 163 359. 0.4 45. 1.4 14. 1.4 08. 0.4 30. 198 2/6 /10. 154 931. 0.4 95. 1.2 72. 1.2 68. 0.3 53. 29.
(38) 在 表 9 中 ， 火 星 的 d 2j / d i2 與 i / j 最 大 的 差 距 不 超 過 0.5%， 這 說 明了火星面積率的正確性。而造成誤差的可能原因是，我們將火星的 角速度以每日的平均角速度代替了瞬時角速度，以及火星和地球公轉 軌 道 面 的 夾 角 實 際 上 為 1°53’， 而 不 是 在 同 一 平 面 所 造 成 。 因 此 ， 這 樣的結果令人感到興奮又不意外。. 2、 重 現 火 星 的 橢 圓 律. 在第一節已知最簡單情況下的傅利葉級數表示，將會等同於橢圓 的 極 座 標 方 程 式 ， 現 將 (5)式 改 寫 如 下. 1 a0 a1 cos b1 sin d. 其中，d 為行星至太陽的連線長度，而 則為行星到太陽連線的 方向角。. 由 於 欲 知 a0、 a1 及 b1 三 個 未 知 係 數，則 至 少 需 有 三 組 (d , ) 數 據 才 能 求 得。我 們 可 結 合 表 5 和 表 8 所 對 應 的 日 火 距 d 及 火 星 方 向 角 關 係，而 得 到 表 10(項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 30.
(39) 表 10 ： 各 個 日 期 所 對 應 的 日 火 距 d 及 火 星 方 位 角 關 係. . (o). 日期. d. 197 1/10 /1 0. 137 370. 0.0 00. 197 3/12 /1 0. 147 599. 62.09 4. 197 6/2 /20. 160 814. 119 .28 1. 197 8/3 /10. 164 350. 147 .0 34. 接 著，我 們 將 表 10 中 的 1973 年 12 月 10 日、1976 年 2 月 20 日 、 1978 年 3 月 10 日 之 三 組 (d , ) 數 據 代 入 三 元 一 次 聯 立 方 程 式 ， 即. 1 a0 a1 cos 1 b1 sin 1 d1. 1 a0 a1 cos 2 b1 sin 2 d2. 1 a0 a1 cos 3 b1 sin 3 d3. 可得. a0 0.00000669. a1 0.00000058 b1 0.00000022 31.
(40) 結 果 ， 我 們 可 知 火 星 繞 日 的 日 火 距 倒 數 1/ d 與 的 週 期 函 數 為. 1 0.00000669 0.00000058cos 0.00000022sin d. (12). 為 了 實 際 驗 證 上 述 火 星 繞 日 的 週 期 函 數 具 有 普 遍 性，如 表 11，我 們 可 再 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的 (d , ) 觀 測 數 據 ， 並 以 其 中 的 代 入 (12)式 求 得 其 日 火 距 d ，並 與 觀 測 的 d 進 行 比 較。由 於 d 與 d 的 相 對 誤 差 不 超 過 0.9%，則 可 知 (12)式 具 有 相 當 高 的 準 確 性 (項 武 義、張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 表 11 ： 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的 觀 測 數 據 並 與 ( 12 )式 結 果 進 行 比 較. . (o). d. ( d - d )/ d. 日期. d. 198 0/4 /20. 163 359. 184 .3 57. 163 246. -0.06 9. 198 2/6 /10. 154 931. 228 .1 67. 154 734. -0.12 7. 198 4/7 /25. 143 692. 275 .6 22. 143 606. -0.06 0. 198 6/9 /20. 136 696. 336 .8 70. 136 727. 0.0 22. 198 8/12 /1 0. 144 333. 413 .3 30. 145 600. 0.8 78. 32. ( %).
(41) 此 外 ， 由 於 (4)式 和 (12)式 具 有 相 同 的 數 學 形 式 ， 故 我 們 可 確 認 火 星繞太陽的公轉軌道是橢圓，太陽在焦點上。結合上述二式，可得離 心率 e的計算值為. e. a12 b12 (0.00000058)2 ( 0.00000022)2 0.09305 0.093 a0 0.00000669. 結 果 與 火 星 軌 道 離 心 率 公 認 值 0.093 完 全 相 同 ， 而 這 也 再 一 次 確 認了火星橢圓律的正確性。. 33.
(42) 第三節. 地內行星的面積律與橢圓律. 以下，我們再以地球觀測金星的繞日運動資料為例，進行克卜勒 的 面 積 律 與 橢 圓 律 的 檢 驗 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 一、 以 地 球 為 中 心 的 觀 測 資 料 ， 轉 換 成 太 陽 中 心 的 座 標 表 示. 由 於 金 星 繞 日 的 實 際 週 期 為 224.7 天 ， 而 地 球 則 為 365.242 天 ， 而且兩數相除時無法除盡。故我們可以上一節討論火星的方式，重新 繪 製 金 星、太 陽，與 任 意 間 隔 一 個 金 星 年 的 兩 個 地 球 位 置 關 係 如 圖 9。. 圖 9： 太 陽 S 、 金 星 V 和 兩 個 地 球 位 置 E i 、 E j ， 所 形 成 的 四 邊 形 SEiVE j. 34.
(43) 對 照 討 論 火 星 的 (9)式 與 (11)式 ， 我 們 可 知 金 日 距 d 也 可 由 地 日 距. rj 來 表 示 。 若 以 2004 年 2 月 20 日 的 地 日 距 rj1 r0 100000 為 基 準 值 ， 則 可 得 其 它 任 意 選 取 四 個 日 期 的 金 日 距 d 值 ， 如 表 12。. 表 12 ： 於 不 同 日 期 時 的 地 日 距. 太陽於黃道經度. 金星. o. 於黃道 經 度 (o). ( ). 日期. i. 2 0 0 4 / 2 /2 0. 當日. 次日. 3 3 1 .1 0 0. 3 3 2 .1 0 8. 1 8 9 .2 5 0. 1 9 0 .2 3 4. 148.1 42. i. 2 0 0 7 / 5 /2 5. 6 3 .8 3 8. 6 4 .7 9 8. 108.4 90. j. 2 0 0 8 / 1 /5. 2 8 4 .1 2 4. 2 8 5 .1 4 4. 246.5 06. i. 2008/12/5. 2 5 3 .6 4 5. 2 5 4 .6 6 0. 297.0 02. j. 2 0 0 9 / 7 /1 8. 11 5 . 6 3 2. 11 6 . 5 8 6. 74.14 1. i. 2 0 1 3 / 10 / 1 5. 2 0 2 .2 1 4. 2 0 3 .2 0 5. 248.3 80. j. 2 0 1 4 / 5 /2 8. 6 6 .7 2 1. 6 7 .6 8 1. 28.88 3. i. 2 0 1 5 / 4 /2 5. 3 4 .8 9 0. 3 5 .8 6 3. 75.91 5. 2 5 3 .6 4 2. 2 5 4 .6 5 8. k. j (o). rj. d. 41.10 8. 1.017. 66.03 1. 100000. 71953. 37.61 8. 1.186. 56.48 1. 98234. 71922. 41.49 1. 1.005. 68.21 0. 101530. 72439. 37.83 8. 1.157. 58.77 2. 101241. 72628. 42.54 1. 0.991. 68.19 7. 98448. 71690. 13.72 4. 2004/10/2. 2015/12/6. j (o). (當 日 ). j. j. r與金日距 d. 211. 102. 35.
(44) 接著，我們可再比照上一節火星對太陽的角速度討論方式，即利 用 表 13，而 得 知 每 日 金 星 相 對 於 太 陽 公 轉 角 度，即 金 星 在 該 日 的 角 速 度 ，如 表 14。此 外，若 設 定 以 2004 年 2 月 20 日 由 太 陽 至 金 星 的 連 線 方 向 為 方 位 角 0°， 則 亦 可 比 照 火 星 的 方 式 得 知 ， 金 星 於 其 它 不 同 日 期時的方位角 。以下，我們將金星於不同日期時的 值，整理成表 15。. 表 13 ： 相 隔 一 日 後 ， 地 球 觀 測 太 陽 與 金 星 所 得 之 天 文 數 據. 太陽於黃道經度. 金星. (o). 於黃道 經 度 (o). 日期. i. 200 4/2 /21. 次日. 再次日. 332 .1 08. 333 .11 6. 190 .2 34. 191 .2 19. 149 .2 98. i. 200 7/5 /26. 64.79 8. 65.75 8. 109 .5 34. j. 200 8/1 /6. 285 .1 44. 286 .1 64. 247 .7 22. i. 200 8/12 /6. 254 .6 60. 255 .6 75. 298 .1 72. j. 200 9/7 /19. 116 .58 6. 117 .54 1. 75.26 5. i. 201 3/10 /1 6. 203 .2 05. 204 .1 97. 249 .4 58. j. 201 4/5 /28. 67.68 1. 68.64 1. 30.05 1. i. 201 5/4 /26. 35.86 3. 36.83 7. 77.05 5. 254 .6 58. 255 .6 73. k. j2 (o). 40.93 6. 134 .4 20. 1.0 24. 65.56 9. 37.42 2. 138 .1 88. 1.1 94. 56.07 7. 41.32 1. 137 .0 93. 1.0 11. 67.73 5. 37.63 0. 140 .5 93. 1.1 64. 58.35 4. 42.38 1. 135 .2 22. 0.9 98. 67.74 0. 14.87 8. 200 4/10 /3. 201 5/12 /7. (o). (次 日 ). j. j. j2 (o). 212 .2 76. 36.
(45) 值. 表 14 ： 不 同 日 期 時 ， 金 星 的 角 速 度. 日期. a(o). b(o). c(o). ( o /d ). 200 4/2 /20. 72.86 1. 73.49 5. 0.9 84. 1.6 18. 200 7/5 /25. 85.90 1. 86.50 1. 1.0 20. 1.6 19. 200 8/12 /5. 70.29 9. 70.94 4. 0.9 55. 1.5 99. 201 3/10 /1 5. 83.39 0. 84.01 6. 0.9 60. 1.5 86. 201 5/4 /25. 69.26 2. 69.87 9. 1.0 15. 1.6 32. 表 15 ： 不 同 日 期 的 金 星 張 角 . Ej 相 對 於 x 軸. (). 日期. a(o). 200 4/2 /20. 72.86 1. 0. 0.0 00. 200 7/5 /25. 85.90 1. 94.87 4. 107 .9 14. 200 8/12 /5. 70.29 9. -73 .6 19. -76 .1 81. 201 3/10 /1 5. 83.39 0. -12 2.529. -11 2.001. 201 5/4 /25. 69.26 2. 64.39 2. 60.79 3. 的 方 向 角 (o). 37.
(46) 二、 以 天 文 數 據 重 現 金 星 的 面 積 律 與 橢 圓 律. 1、 重 現 金 星 的 面 積 律 由 於 面 積 定 律 為 d 2j / d i2 i / j 。 因 此 ， 我 們 可 結 合 表 12 和 表 14 所 提 供 對 應 日 期 的 金 日 距 d 及 金 星 角 速 度 ， 而 得 到 表 16 之 d 2j / d i2 與. i / j 關 係 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 表 16 ： 不 同 日 期 的 d 2j / d i2 與 i / j 之 關 係. 日期. d. ( o /d ). d 2j / d i2 ( x ). i / j ( y ). (x － y) /y( %). 200 4/2 /20. 719 53 .35 3. 1.6 18. 1.0 00. 1.0 00. 0.0 00. 200 7/5 /25. 719 21 .73 7. 1.6 19. 0.9 99. 0.9 99. 0.0 09. 200 8/12 /5. 724 39 .17 1. 1.5 99. 1.0 14. 1.0 12. 0.1 99. 201 3/10 /1 5. 726 27 .54 5. 1.5 86. 1.0 19. 1.0 20. -0.11 0. 201 5/4 /25. 716 90 .45 1. 1.6 32. 0.9 93. 0.9 91. 0.1 34. 在 表 16 中 ， 金 星 的 d 2j / d i2 與 i / j 最 大 的 差 距 仍 不 超 過 0.2%， 這 說明了金星的面積率仍然成立。 38.
(47) 2、 重 現 金 星 的 橢 圓 律. 橢 圓 的 極 座 標 方 程 式，即 (5)式，由 於 有 a0、 a1 及 b1 三 個 未 知 係 數 ， 則 至 少 需 有 三 組 (d , ) 數 據 才 能 求 得 。 我 們 亦 可 比 照 上 一 節 的 方 式 ， 代 入 表 12 與 表 15 所 對 應 的 三 組 2007 年 至 2013 年 的 金 日 距 d 及 金 星 方位角 ，解出後整理可得. 1 0.0000139 0.0000000633cos 0.0000000697sin d. (13). 同樣地，為了驗證上述金星繞日的週期函數具有普遍性，我們可 再 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的 (d , ) 觀 測 數 據 ， 並 以 其 中 的 代 入 (13) 式 求 得 其 金 日 距 d ， 並 與 已 知 的 d 進 行 比 較 ， 如 表 17。 由 於 d 與 d 的 相 對 誤 差 不 超 過 0.7%， 則 可 知 (13)式 具 有 相 當 高 的 準 確 性 。. 表 17 ： 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的 觀 測 數 據 並 與 ( 13 )式 結 果 進 行 比 較. 日期. d. (). d. ( d - d )/ d ( %). 201 5/4 /25. 716 90. 60.79 3. 716 90. 0.0 00. 201 3/10 /2 0. 725 97. 255 .9 18. 725 99. 0.0 03. 200 7/5 /25. 719 22. 468 .9 34. 719 29. 0.0 11. 188 2/10 /2 7. 724 36. 338 .9 23. 719 88. -0.61 9. 187 4/11 /8. 722 52. 356 .4 74. 718 59. -0.54 5. 39.
(48) 此 外 ， 由 於 (4)式 和 (13)式 具 有 相 同 的 數 學 形 式 ， 故 同 樣 地 ， 我 們 可確認金星繞太陽的公轉軌道是橢圓，而且太陽在焦點上。再由上述 二式的數學關係，可得離心率 e的計算值為. e. a12 b12 (0.0000000633)2 (0.0000000697)2 0.00677 0.007 a0 0.0000139. 結 果 與 金 星 軌 道 離 心 率 的 公 認 值 0.007 完 全 相 同 ， 而 這 也 再 一 次 確 認 了 金 星 橢 圓 律 的 正 確 性 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。. 以 上 重 訪 的 內 容 ， 是 克 卜 勒 約 於 400 年 前 成 功 分 析 丹 麥 天 文 學 家 第 谷 (Tycho Brahe, 1546-1601)觀 測 17 年 的 心 血 而 得 到 的 定 律，以 現 代 的觀測數據及數學工具重新檢視後，可發現這是極為珍貴與難得的天 文成就。在此，我們不但可以想見第谷當年的超凡觀測能力，同時也 對克卜勒的高超數學功力與鍥而不捨的研究精神致上最高的敬意。. 40.
(49) 第三章. 古典力學的奠定. 義 大 利 物 理 學 家 伽 利 略 (G. Galilei, 1564-1642)是 第 一 位 以 數 學 描 述 落 體 運 動，並 以 實 驗 驗 證 成 功 的 物 理 學 家。於 1632 年，他 於 所 著 的 《關於兩大世界體系的對話－托勒密和哥白尼》一書中即已提到，靜 止 狀 態 物 體 的 落 下 距 離 s 與 時 間 t 平 方 成 正 比 (Galilei, 1967, p. 222)； 接 著，於 1638 年 他 於《 關 於 兩 門 新 科 學 的 對 話 》中，更 進 一 步 提 出 靜 止 自 由 落 體 運 動 距 離 s 與 速 度 v 平 方 成 正 比 的 關 係 (Galileo, 1914, p. 175)。. 然而，令伽利略不解的是，自由落體運動之加速的原因為何？為 何會重物與輕物會落得一樣快呢？當時的伽利略僅僅只能考察並證明 加 速 運 動 的 某 些 性 質 ， 而 無 法 討 論 造 成 加 速 的 原 因 (Galilei, 1914, pp. 166-167)。 因 此 ， 這 一 關 鍵 的 問 題 只 能 留 待 後 來 更 聰 明 的 人 才 能 夠 解 決，而此人便是提出三大運動定律和萬有引力定律的英國物理學家－ 牛 頓 (I. Newton, 1642-1727)。. 41.
(50) 第一節. 在牛頓之前的機械論觀點. 在牛頓尚未提出其運動定律的年代，關於物體之間的作用，普遍 是 以 法 國 哲 學 家 笛 卡 兒 (R. Descartes, 1596-1650)的 機 械 論 作 為 解 釋 的 依據。當時的機械論主張：藉由物體之間的接觸或碰撞，物體本身的 運動狀態才可能改變，也就是世上沒有可不待接觸而能互相影響的作 用 力 存 在 (姚 珩 ， 2011)。 那 麼 ， 為 何 靜 止 的 物 體 放 手 後 會 往 下 掉 呢 ？ 笛卡兒認為：這是因為在本質上石塊是由地面物質所構成，而空氣則 是一種天際物質；由於環繞在地球周遭的天際物質具有離開地球中心 的傾向，因此在下方的天際物質欲往上離開地心時，就會把與空氣接 觸 的 石 塊 往 下 推，因 而 造 成 了 落 體 的 現 象 (Descartes, 1991, pp.191-192)。 那麼，為何當時機械論哲學要如此堅持碰撞的信念呢？那是因為自文 藝 復 興 時 期 以 來 的 自 然 主 義 (Renaissance Naturalism)在 當 時 普 遍 大 力 提倡心靈與身體、精神與物質之間具有密切不可分的關係。. 例 如 於 1600 年，英 國 磁 學 研 究 者 吉 爾 伯 特 (W. Gilbert, 1544-1603) 在所出版的《論磁石、磁體和地球的巨大磁力》一書中，就認為：. 在 地 球 表 面 結 構，在 物 體 所 在 的 礦 脈 之 中，磁 性 物 質 可 由 各 種 性 質 和 外 來 的 附 屬 物 體 所 區 分 開 來，就 如 同 我 們 所 見 到 的 泥 土、石 頭 和 鐵 礦 一 樣。但 是 我 們 真 正 所 知 的 地 球 是 一 種 均 勻、穩 定 的 球 狀 固 體 物 質，有 一 種 原 始 且 ( 如 同 宇 宙 其 它 星 球 一 般 ) 具 有 活 力 的 性 質 ( Gi lb er t, 189 3) 。 … 磁 性 物 體 於 形 式 上 的 效 力，或 者 說 於 原 發 性 的 初 始 力 量 是 獨 一 無 二 的，…， 這 種 形 式 存 在 於 每 一 個 星 球 － 太 陽、月 亮 和 各 個 星 星；在 地 球 上，那 就 是 我 們 所 謂 具 有 原 始 力 量 的 真 正 磁 力 ( Gi lb er t, 18 9 3) 。. 42.
(51) 可見，就吉爾伯特和與其同時代的人來說，宇宙或大自然就如同 具有生命般，一直存在著活力的律動，而這讓人聯想到地球磁性的性 質與現在所有事物中活的要素是一致的。正由於磁性物體所具有的同 性相斥、異性相吸性質，就像是人們之間的愛與憎、歡與愁…等等的 對立關係，充斥於整個世界。所以，以靈魂來解釋自然現象的觀點是 當時大眾的普遍認知，換句話說，自然界各種難以理解的力都可用靈 魂 術 語 表 達 出 來 (Westfall, 1971， p25-28)， 而 這 正 是 當 時 機 械 論 者 所 極 力 反 對 的 。 也 正 因 為 如 此 ， 笛 卡 兒 其 在 1644 年 出 版 的 《 哲 學 原 理 》 中就特別提出：. 第 一 自 然 定 律：物 體 都 會 盡 最 大 的 可 能 保 持 自 己 的 狀 態。對 運 動 物 體 而 言， 它將會保持同一速率和方向，除非有別的物體制止或減慢它的運動 (D es c art e s, 19 91, p . 5 9) 。. 由於機械論認為物體受到碰撞後，才可能會改變其原來的運動狀 態。因此對於物體的碰撞現象，笛卡兒特別有所著墨，他曾提到：. 若 兩 體 積 大 小 相 同 的 運 動 物 體 B 與 C，皆 具 有 相 等 的 速 率 ， 其 中 B 是 由 右 向 左，而 C 是 在 同 一 直 線 上 由 左 向 右 而 與 B 相 向 運 動。則 當 它 們 互 撞 時 將 會 彼 此 彈 開 ， 只 是 之 後 B 會 保 持 向 右 運 動 ，而 C 則 是 向 左 運 動 ， 而 且 它 們 的 速 率 也 不 會 有 任 何 的 減 少 ( D es c ar te s, 19 91, p p. 64-6 5) 。. 若物體體積的大小與其速率的乘積稱為運動量。笛卡兒認為，因 為 物 體 皆 儘 可 能 保 持 其 運 動 量 不 變，故 在 直 線 上 對 撞 而 分 開 的 兩 物 體， 只 會 改 變 其 運 動 方 向 ， 而 運 動 量 (大 小 )不 變 (Descartes, 1991, p. 61)。 所以，兩速率相同的剛硬物體對撞並不會使它們的速率減少，而只是 43.
(52) 往反方向各自彈開；但若會因形變而造成合體時，原本欲往相反方向 運動的兩物體則會因此而瞬間停下來。那麼，當速率不同的兩物體對 撞時，結果又會如何呢？笛卡兒說：. 一 個 物 體，當 與 一 個 較 強 的 運 動 物 體 相 接 觸 時，將 不 會 失 去 它 的 任 何 運 動； 但 是 當 與 一 個 較 弱 的 運 動 物 體 接 觸 時，它 將 會 失 去 轉 移 到 較 弱 物 體 的 部 份 運 動 ( D es c ar te s, 19 91, p . 61) 。. 因此，當 兩個 物體 的體積 大小 相同，但是向 左的 B 物 體 運動速 率 較向右的 C 物體快，當相撞而形成合體後，則依照笛卡兒的理論，它 們 不 但 最 後 都 會 向 左 運 動，且 B 物 體 原 本 多 出 的 速 率 之 半 將 會 轉 移 到 C 物體上，舉例來說：. 若 B 以 6 倍 速 率 (向 左 )運 動 ， 而 C 以 4 倍 速 率 (向 右 )運 動 ， 則 (相 撞 後 )兩 物 的 合 體 將 會 以 5 倍 速 率 向 左 ( De s car t es , 199 1, pp. 61-6 5) 。. 顯然，笛卡兒仍是以物體儘可能保持其運動量不變的觀點出發， 且認為合體的運動量是大小直接相加的關係，而最後合體的運動方向 是較強物體方向為準。換句話說，當時笛卡兒所認為的總運動量守恆 應該是：在整個系統中，所有物體的運動量大小於直接相加之後，總 和 不 變 的 關 係 (Descartes, 1991, pp. 57-58)。 因 此 ， 笛 卡 兒 的 運 動 量 與 今日我們所認知運動量是向量的概念並不相同。. 後 來 到 了 1669 年 ， 荷 蘭 物 理 學 家 惠 更 斯 (C. Huygens, 1629-1695) 才於《運動定律的概述》之一文中，才進一步建議運動量在定義中的. 44.
(53) 體 積 應 由 質 量 m 來 取 代 的 看 法，而 且 他 也 論 及 了 物 體 於 碰 撞 時 的 規 則 (Hugens, 1669, p. 156)：. 1.. 若一個靜止的剛硬物體被一個運動中的同樣剛硬物體撞擊，則於碰撞 後，原本運動物體將會保持靜止，而原本運動物體的速度將會由原先 靜止的物體所獲得。. 2.. 但是，若兩個相同物體的第一個也在運動，且保持在相同的直線上， 則兩物體碰撞後將會速度交換。. 5.. 藉 由 碰 撞 ， 兩 個 物 體 的 運 動 量 (之 和 )將 會 增 加 或 減 少 ； 但 是 當 相 反 的 運動量是被減去時，則總是會在相同方向保持相同的運動量值，. 可 見 ， 惠 更 斯 很 清 楚 地 知 道 ， 只 有 當 兩 個 對 撞 物 體 的 動 量 (mv)之 和是正方向減去反方向的動量時，則整個系統於碰撞前後的總動量才 會保持大小與方向的不變。所以，於上述笛卡兒所提出的對撞問題： 當 物 體 B 以 6 倍 速 率 向 左 運 動，而 物 體 C 以 4 倍 速 率 向 右 運 動 而 形 成 合體時，則由惠更斯的碰撞規則可知，對撞之後的合體將不會是笛卡 兒所認為的 5 倍速率向左運動，而應該修正為：合體速率是 1 倍向左 運動。因此，惠更斯可說是今日正確的動量定義及正確的動量守恆律 提出者，而這些內容論述，於日後也對牛頓造成了影響。. 45.
(54) 第二節. 牛頓的力概念與圓周運動. 處 在 當 時 的 時 空 環 境 下，牛 頓 本 人 也 深 知 機 械 論 者 所 提 出 的 碰 撞， 因 此 他 在 1687 年 的 巨 著《 自 然 哲 學 的 數 學 原 理 》－ 簡 稱《 原 理 》－ 就 強調物體的「運動狀態」要改變就必須要有「力」作用的看法。以下 即是牛頓在《原理》一書中，對於「力」概念的敘述：. 定 義 4： 外 力 ( i mpr e ss ed f orc e) 是 施 予 在 物 體 的 作 用 ， 以 便 改 變 其 處 於 靜 止 或 沿 一 直 線 作 等 速 度 運 動 的 狀 態 ( N e wt on, 18 46 , p. 74) 。. 定 律 I： 任 一 物 體 都 會 保 持 其 靜 止 或 者 在 直 線 上 的 等 速 運 動 狀 態 ， 除 非 有 外 力 作 用 迫 使 它 的 運 動 狀 態 發 生 改 變 ( N e wt on , 1 846, p . 8 3) 。. 值得一提的是，在《原理》中總共有八個定義，而其中關於向心 力的定義就佔有四個。以下即是牛頓關於向心力的四個定義：. 定 義 5： 向 心 力 是 物 體 所 受 到 指 向 於 一 個 中 心 點 的 拉 力 、 推 力 或 者 是 任 何 的 傾 向 ( Ne w ton , 1846 , p. 74) 。. 定 義 6： 向 心 力 的 絕 對 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 由 中 心 向 周 遭 空 間 傳 遞 作 用 的 原 因 效 能 所 決 定 ( Ne w ton , 1846 , p. 75) 。. 定 義 7： 向 心 力 的 加 速 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 在 給 定 時 間 內 向 心 力 所 產 生 的 速 度 ( N e w t on, 184 6, p. 76 ) 。. 46.
(55) 定 義 8： 向 心 力 的 運 動 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 在 給 定 時 間 內 向 心 力 所 造 成 的 運 動 ( 量 ) ( N ew to n, 184 6, p . 7 6) 。. 為了簡潔起見，牛頓把定義 6 到定義 8 的向心力三種量，分別稱 為 絕 對 力 (absolute force)、 加 速 力 (accelerative force)與 運 動 力 (motive force)，並 且 認 為 絕 對 力 屬 於 力 的 中 心，沒 有 它，則 不 可 能 有 在 其 周 圍 存在的加速力。而加速力就是一種使物體加速所具有的空間特性，可 使處於其中的物體具有運動的能力。運動力則是屬於物體，可用來表 示 物 體 趨 向 於 中 心 的 整 體 企 圖 和 傾 向 (Newton, 1846, pp. 75-77)。所 以， 牛頓認為在地球表面附近，加速重力對所有物體都是一樣的，與物體 本身的輕或重無關；而運動力就是物體的重量，也就是「運動力是由 加 速 力 與 物 體 的 質 量 乘 積 所 決 定 」 (Newton, 1846, p. 76)， 因 此. 如 果 我 們 攀 登 到 加 速 重 力 小 的 地 方 ， 則 重 量 也 會 相 應 地 減 小 ， 而 且 (重 量 ) 總 是 物 體 (質 量 )與 加 速 力 的 乘 積 。 所 以 在 加 速 力 減 少 到 一 半 的 地 方 ， 原 先 輕 2 倍 或 3 倍 的 物 體 ， 其 重 量 將 會 輕 4 倍 或 6 倍 (N e w ton , 1846 , p. 77) 。. 可 見 當 時 牛 頓 即 已 知 道「 運 動 力 (f)正 比 於 加 速 度 (a)×質 量 (m)」的 關 係 ，然 而 牛 頓 在《 原 理 》中 卻 從 未 寫 過 f=ma 的 數 學 形 式 (姚 珩、 李 秉 書 ， 2015， 頁 23)。 以 現 在 的 觀 點 來 看 ， 我 們 可 知 絕 對 力 就 相 當 於 今日所稱的場源，加速力為力場，而運動力則為物體所受的外力。. 後來，關於力，牛頓清楚地寫下了其定量的數學表達方式. 定 律 II ： 運 動 ( 量 ) 的 變 化 正 比 於 施 加 的 運 動 力 ( mo ti ve for c e) ； 且 變 化 的 方 向 是 由 該 施 力 作 用 的 直 線 所 決 定 ( N e wt on, 18 46 , p. 83) 。. 47.
(56) 亦即作用於物體的運動力，正比於物體的動量變化，且物體的動 量 變 化 方 向 就 是 所 受 力 的 方 向 。 如 圖 10 所 示 ， 原 本 保 持 同 一 速 率 和 方 向 的 運 動 物 體 ， 在 一 定 量 的 時 間 內 ， 可 由 A 至 B。 根 據 定 律 I， 若 所 受 到 的 外 力 為 零 ， 則 在 相 同 時 間 內 ， 可 由 B 到 c； 但 若 結 果 是 物 體 偏 離 原 本 的 直 線 方 向 而 在 相 同 時 間 內 由 B 到 C， 則 根 據 定 律 II 可 知 ， 該 物 體 所 受 的 力 將 會 正 比 於 線 段 cC，且 所 受 到 的 力 方 向 將 會 是 由 c 指 向 C。. 圖 10 ： 物 體 受 力 與 動 量 變 化. 有了上述的定義與定律之鋪陳為基礎，接著牛頓即開始由克卜勒 的行星定律出發，進行向心力對物體運動的數學命題討論。尤其在第 一卷的第二章中，牛頓提到了：. 命 題 1 定 理 1： 做 環 繞 運 動 的 物 體 ， 所 受 向 心 力 與 指 向 力 不 動 中 心 的 半 徑 所 掠 掃 的 面 積 與 在 同 一 平 面 上 ， 且 正 比 於 畫 出 該 面 積 所 需 的 時 間 ( N e w t on, 1846 , p . 103) 。. 48.
(57) 由 圖 10 與 圖 11，我 們 可 看 出，由 於 AB 與 Bc 線 段 相 等，且 皆 以 S 為 三 角 形 的 頂 點 ， 故 ΔABS 與 ΔBcS 面 積 相 等 。 又 當 物 體 受 到 的 是 向 心 力 時 ， 由 定 律 II 可 知 cC 方 向 與 BV 方 向 平 行 ， 因 此 連 帶 地 也 將 與 BS 平 行，而 由 於 ΔBcS 與 ΔBCS 都 是 以 BS 為 共 同 底 邊，且 c 與 C 等 高 ， 因 此 它 們 的 面 積 相 等 。 最 後 可 知 ΔABS 與 ΔBCS 的 面 積 也 都 相 等 (Newton, 1846, pp. 103-104)。. 同 理 ， 在 相 等 時 間 間 隔 內 ， 受 到 同 樣 的 向 心 力 將 會 造 成 ΔBCS、 ΔCDS 、 ΔDES 與 ΔEFS 面 積 皆 相 等 。 若 該 時 間 間 隔 趨 近 於 零 ， 則 邊 界 ABCDEF 將 會 成 成 為 一 條 曲 線 ， 亦 即 向 心 力 將 使 得 物 體 連 續 偏 離 該 曲 線 的 切 線 方 向 (Newton, 1846, p. 104)， 故 我 們 可 得 知 ：. 受向心力作用的物體，於軌道上遵守克卜勒的面積律。. 圖 11 ： 以 微 分 觀 點 來 看 等 速 率 圓 周 運 動 物 體 的 行 經 路 徑 ABCDEF 49.
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