CJT 105 － 1 105 年學測

CJT 105－2 105 年學測

大學入學考試中心 105 學年度學科能力測驗試題 數學考科

第壹部分：選擇題(占 65 分)

一、單選題(占 30 分)

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案 區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.設 f (x)為二次實係數多項式，已知 f (x)在 x＝2 時有最小值 1 且 f (3)＝3。請問 f (1)之值為下列哪一個選項？

(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足，無法確定

解：根據題意，設 f (x)＝a(x－2)²＋1，a＞0 (有最小值，則開口向上)

∵ f (3)＝3＝a(3－2)²＋1，得知 a＝2，即 f (x)＝2(x－2)²＋1，∴f (1)＝2(1－2)²＋1＝3 答：(3)

出處：第一冊(多項式函數)

2.請問 sin73、sin146、sin219、sin292、sin365這五個數值的中位數是哪一個？

(1) sin73 (2) sin146 (3) sin219 (4) sin292 (5) sin365

解：如圖，在單位圓中，得知 sin73＞sin146＞sin365＞0＞sin219＞sin292

得知中位數為 sin365

答：(5)

出處：第三冊(三角)

3.坐標平面上兩圖形₁，₂的方程式分別為：₁：(x＋1)²＋y²＝1，₂：(x＋y)²＝1，請問₁，₂共有幾個交點？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 解：₁：(x＋1)²＋y²＝1，表示以(－1，0)為圓心，半徑為 1 的圓

2：(x＋y)²＝1， x＋y＝1 或 x＋y＝－1 如圖，₁，₂交於 2 個點

答：(2)

出處：第三冊(直線與圓)

4.放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質 A、B，

開始記錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5 小 時，請問物質 B 的半衰期為幾小時？

(1) 8 小時 (2) 10 小時 (3) 12 小時 (4) 15 小時 (5) 20 小時 解：設物質 B 的半衰期為 T 小時

物質 A、B 的原有質量分別為 2k、k，且經 120 小時後兩種物質的質量為 x

物質 A：x＝2k ^7.5

120

2)

(1 ……○¹ 物質 B：x＝k ^T

120

2)

(1 ……○²

 得 1＝2 ^T

120 5 . 7 120

2)

(1 ^ ，

5 . 7 120－

T

120＝1，

T 1 ＝

5 . 7

1 － 120

1 ＝ 8

1，∴T＝8(小時) 答：(1)

出處：第一冊(指數函數與對數函數)

5.坐標空間中一質點自點 P(1，1，1)沿著方向



a ＝(1，2，2)等速直線前進，經過 5 秒後剛好到達平面 x－y＋3z＝28 上，

立即轉向沿著方向 b



＝(－2，2，－1)依同樣的速率等速直線前進。請問經過幾秒此質點會剛好到達平面 x＝2 上？

(1) 1 秒 (2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒 (5)永遠不會到達 解：如右圖

1.設直線 PQ：

















 t z

t y

t x

2 1

2 1 1

，∵代入平面 x－y＋3z＝28，得 t＝5

○¹

○²

P(1,1,1)



a ＝(1,2,2) Q

R

x－y＋3z＝28

x＝2



b ＝(－2,2,－1)

73

146 365

219

292

x y

O 1

x y

1 1

(-1,0)  -1



 交點

交點 O

x＋y＝1 x＋y＝－1

∵經過 5 秒後剛好到達，∴令 t＝5，得











 11

11 6

z y x

滿足平面 x－y＋3z＝28，且點 Q(6，11，11)

2.設直線 QR：

















 k z

k y

k x

11 2 11

2 6

代入平面 x＝2，得 k＝2 秒，∴











 9 15 2

z y x

，即點 R(2，15，9)在平面 x＝2 上

答：(2)

出處：第四冊(空間直線)

6.設a_n為一等比數列。已知前十項的和為



 10

1 k

a ＝80，前五個奇數項的和為k a ＋₁ a ＋₃ a ＋₅ a ＋₇ a ＝120， ₉ 請選出首項a 的正確範圍。 ₁

(1)a ＜80 (2) ₁ 80a ＜90 ₁ (3) 90a ＜100 (4) ₁ 100a ＜110 (5) ₁ 110a ₁ 解：1.設等比數列的公比為 r，∴



 10

1 k

a ＝k a ＋₁ a ＋₂ a ＋₃ a ＋₄ a ＋₅ a ＋₆ a ＋₇ a ＋₈ a ＋₉ a ＝80 ₁₀

(a ＋₁ a ＋₃ a ＋₅ a ＋₇ a₉)＋(a ＋₂ a ＋₄ a ＋₆ a ＋₈ a₁₀)＝80

(a ＋₁ a ＋₃ a ＋₅ a ＋₇ a₉)＋(a ＋₁ a ＋₃ a ＋₅ a ＋₇ a₉)r＝80，120＋120 r＝80，∴得知 r＝－

3 1

2. ∵



 10

1 k

a ＝k

r r a



 1

) 1 ( ¹⁰

1 ＝

3) ( 1 1

) 3) ( 1 1

( ¹⁰

1







 a

＝

3 4

) 3) (1 1 ( ¹⁰

1 

a

＝80，∴a₁(1－ )¹⁰ 3

(1 )＝80×

3 4＝

3 320

∵ )¹⁰ 3

(1 0，∴a ₁

320 106 3 答：(4)

出處：第二冊(數列與級數)

二、多選題(占 35 分)

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，

得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7.下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(1) x＋x－5＝1 (2) x＋x－5＝6 (3) x－x－5＝1 (4) x－x－5＝6 (5) x－x－5＝－1

解：1. x＋x－5表示數線上(點 x 與 0 的距離)和(點 x 與 5 的距離)的和 若點 x 在○¹ 區(即 x 5)，則x＋x－55

若點 x 在○² 區(即 0 x＜5)，則x＋x－5＝5 若點 x 在○³ 區(即 x＜0)，則x＋x－55

x＋x－55 (選項 (2)正確)

2. x－x－5表示數線上(點 x 與 0 的距離)和(點 x 與 5 的距離)的差 若點 x 在○¹ 區(即 x 5)，則x－x－5＝5

若點 x 在○² 區(即 0 x＜5)，則－5 x＋x－5＜5 若點 x 在○³ 區(即 x＜0)，則x＋x－5＜－5

－5 x－x－5 5 (選項 (3)、(5)正確) 答：(2)(3)(5)

出處：第一冊(數與式)

0 5

○¹

○²

○³

0 5

○¹

○²

○³

CJT 105－4 105 年學測

8.下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「35 元/一袋 2 顆」表示每一袋 有 2 顆奇異果，價格 35 元。

甲商場售價

奇異果價格 20 元/一袋 1 顆 35 元/一袋 2 顆 80 元/一袋 5 顆 100 元/一袋 6 顆 蘋果價格 45 元/一袋 1 顆 130 元/一袋 3 顆 260 元/一袋 6 顆 340 元/一袋 8 顆 乙商場售價

奇異果價格 18 元/一袋 1 顆 50 元/一袋 3 顆 65 元/一袋 4 顆 95 元/一袋 6 顆 蘋果價格 50 元/一袋 1 顆 190 元/一袋 4 顆 280 元/一袋 6 顆 420 元/一袋 10 顆 根據上述數據，請選出正確選項。

(1)在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需的金額低於買三袋 1 顆裝的蘋果 (2)乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低

(3)若只想買奇異果，則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果

(4)如果要買 12 顆奇異果和 4 顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5)無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

解：甲、乙兩個商場的奇異果、蘋果每顆平均單價如下表：

甲商場售價

奇異果價格 20 元/ 1 顆 17.5 元/1 顆 16 元/1 顆 16.7 元/1 顆 蘋果價格 45 元/ 1 顆 43.3 元/1 顆 43.3 元/1 顆 42.5 元/1 顆 乙商場售價

奇異果價格 18 元/ 1 顆 16.7 元/1 顆 16.3 元/1 顆 15.8 元/1 顆 蘋果價格 50 元/ 1 顆 47.5 元/1 顆 46.7 元/1 顆 42 元/1 顆 (1)一袋 3 顆裝的蘋果＝130 元，三袋 1 顆裝的蘋果＝3×45 元＝135 元，正確

(2)乙商場的奇異果售價依序每顆平均單價約為 18 元，16.7 元，16.3 元，15.8 元，正確 (3) 500 元買 5 袋(80 元/一袋 5 顆)＋1 袋(100 元/一 6 顆)＝有 25＋6＝31 顆，不正確 (4)甲商場：12 顆奇異果＝2 袋(80 元/一袋 5 顆)＋1 袋(35 元/一袋 2 顆)＝2×80＋35＝195 元

4 顆蘋果＝1 袋(45 元/一袋 1 顆)＋1 袋(130 元/一袋 3 顆)＝45＋130＝175 元，共 195＋175＝375 元 乙商場：12 顆奇異果＝2 袋(95 元/一袋 6 顆)＝2×95＝190 元

4 顆蘋果＝1 袋(190 元/一袋 4 顆)＝190 元，共 190＋190＝380 元，∴正確 (5)買 10 顆蘋果時，在甲商場至少 340＋2×45＝430 元，在乙商場至少 420 元，不正確 答：(1)(2)(4)

出處：第一冊(數與式)

9.下列各直線中，請選出和 z 軸互為歪斜線的選項。

(1) L1：







 0 0 z

x (2) L2：









 1 0 z x

y (3) L3：









 1 0 y x

z (4) L4：







 1 1 y

x (5) L5：







 1

1 z y 解：空間中不平行，也不相交的兩直線，互為歪斜線。

z 軸(通過(0，0，0)，方向向量為(0，0，1))，設其參數式為

















 t z

t y

t x

0 0 0

0 0

，tR

(1) L1：







 0 0 z

x ，yR，過點(0，0，0)，方向向量(0，1，0)，∴與 z 軸交於(0，0，0)

(2) L2：









 1 0 z x

y ，過點(0，0，1)，方向向量(1，0，－1)，∴與 z 軸交於(0，0，1)

(3) L3：









 1 0

y x

z ，過點(0，1，0)，方向向量(1，－1，0)，∴與 z 軸不平行，也不相交，即歪斜

(4) L4：







 1 1 y

x ，過點(1，1，0)，方向向量(0，1，0)，∴與 z 軸平行(方向向量平行)

(5) L5：







 1 1 z

y ，過點(0，1，1)，方向向量(1，0，0)，∴與 z 軸不平行，也不相交，即歪斜 答：(3)(5)

出處：第四冊(空間中的平面與直線)

10.設 a、b、c 皆為正整數，考慮多項式 f (x)＝x⁴＋ax³＋bx²＋cx＋2。請選出正確的選項。

(1) f (x)＝0 無正根 (2) f (x)＝0 一定有實根 (3) f (x)＝0 一定有虛根 (4) f (1)＋f (－1)的值是偶數 (5)若 a＋c＞b＋3，則 f (x)＝0 有一根介於－1 與 0 之間 解：(1)當 x＞0 時，f (x)＞0，∴f (x)＝0 無正根，正確

(2)(3)∵deg f (x)＝4，∴f (x)＝0 可能有 4 實根，2 實根 2 虛根，4 虛根，不正確 (4) f (1)＝1＋a＋b＋c＋2＝a＋b＋c＋3，而 f (－1)＝1－a＋b－c＋2＝－a＋b－c＋3

 f (1)＋f (－1)＝(a＋b＋c＋3)＋(－a＋b－c＋3)＝2b＋6 為偶數，正確 (5)∵f (0)＝2，f (－1)＝－a＋b－c＋3＝b－(a＋c)＋3＜0

 f (0) f (－1)＜0，根據勘根定理，f (x)＝0 至少有一根介於－1 與 0 之間，正確 答：(1)(4)(5)

出處：第一冊(多項式函數)

11.一個 41 人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為 x 分的學 生，新成績調整為 40 )

10 ( 1 log₁₀ x

＋60 分(四捨五入到整數)。請選出正確的選項。

(1)若某人原始成績為 9 分，則新成績 60 分

(2)若某人原始成績超過 20 分，則其新成績超過 70 分 (3)調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

(4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整全班成績的中位數 (5)已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整全班成績的平均 解：根據題意，全班原始成績與新成績概略計算如下表：

原始成績 9 分 19 分 29 分 39 分 49 分 59 分 新成績 20 分 72 分 79 分 84 分 88 分 91 分 (1)新成績＝40 )

10 1 (9 log₁₀ 

＋60＝40log₁₀1＋60＝40×0＋60＝60，正確

(2)新成績＝40 ) 10 ( 1 log₁₀ x

＋60＞40 ) 10

1 (20 log₁₀ 

＋60＞40log₁₀2＋60  40(0.3010)＋60＝72.04＞70，正確 (3)原始成績的全距無法得知，∴無法與調整後全班成績的全距比較，不正確

(4)∵對數log₁₀x為一遞增函數，中位數(視為成績排名)，∴新成績仍為中位數，正確 (5)∵對數log₁₀x為曲線，並非直線，新成績的平均數變化大，不正確

答：(1)(2)(4)

出處：第一冊(指數與對數函數)，第二冊(數據分析)

12.在ABC 中，已知A＝20、 AB ＝5、BC＝4。請選出正確的選項。

(1)可以確定B 的餘弦值 (2)可以確定C 的正弦值 (3)可以確定ABC 的面積 (4)可以確定ABC 的內切圓半徑 (5)可以確定ABC 的外接圓半徑

解：(1)已知條件為 SSA 的相似性質，如右圖，AC無法確定，∴cosB＝

5 4 2

5

4^{2 2 2}







 AC 無法計算，不正確

(2)由正弦定理，得 5 sinC

＝ 4 20 sin ^

，∵sinC＞0，C 有 2 個角度(互補)，正確 (3)∵ABC 的面積＝

2

1×4×5 sinB 無法確定 (B 無法確定)，不正確 (4)∵面積或周長不確定，∴內切圓半徑無法確定，不正確

(5)由正弦定理：2R＝

4 20 sin ^

，∴外接圓半徑 R 確定，正確 答：(2)(5)

出處：第三冊(三角)

A

B C

5 4 20

C 4

CJT 105－6 105 年學測

13.甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A、B、C、D 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照 A、B、C、D 的順序抽鑰匙來決定搭成哪位男生的機車。其中除了 B 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取 這些鑰匙的機會均等。請選出正確的選項。

(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率 解：(1)P(A 抽到甲)＝

4

1，P(C 抽到甲)＝P(A 不抽到甲且B 絕對不選甲且C 抽到甲)＝

4 3×

甲 1 3

1

 ×1＝

8

3，不正確

(2) P(C 抽到甲)＝

8

3，P(D 抽到甲)＝

8

3，不正確

P(D 抽到甲)＝P(A 不抽到甲且B 絕對不選甲且C 不抽到甲且C 抽到甲)＝

4 3×

甲 1 3

1

 ×1×1＝

8 3

(3) P(A 抽到乙)＝

4

1，P(B 抽到乙)＝

8

3，不正確 P(B 抽到乙)：P(A 不抽到乙且B 抽到乙)＝

4 3×

甲 1 3

1

 ＝ 8 3

(4) P(B 抽到丙)＝P(A 不抽到丙且B 抽到丙)＝

4 3×

甲 1 3

1

 ＝ 8

3，P(C 抽到丙)＝

24

5 ，正確

P(C 抽到丙)＝P(A 不抽到丙且B 不抽到丙且C 抽到丙)＋P(A 抽到甲)且B 不抽到丙且C 抽到丙)

＝2 1×

甲 1 3

1

 × 2 1＋

4 1×

3 2×

2 1 ＝

8 1＋

12 1 ＝

24 5

(5) P(C 抽到甲)＝

8

3，P(C 抽到乙)＝

24

5 ，正確

P(C 抽到乙)＝P(A 不抽到乙、甲)且B 不抽到乙且C 抽到乙)＋P(A 不抽到乙、抽到甲)且B 不抽到乙且C 抽到乙)

＝2 1×

甲 1 3

1

 × 2 1＋

3 1×

甲 1 3

1

 × 2 1＝

8 1＋

12 1 ＝

24 5 答：(4)(5)

出處：第一冊(機率)

第貳部分：選填題(占 35 分)

說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14－31)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.考慮每個元(或稱元素)只能是 0 或 1 的 2×3 階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的 矩陣共有幾______個。

解：

答：42

出處：第一冊(排列)，第四冊(矩陣)

B.坐標平面上 O 為原點，設u ＝(1，2)， v ＝(3，4)。令 為滿足OP



＝x u ＋y v 的所有點 P 所形成的區域，

其中2

1  x 1，－3 1 y 2

  ，則  的面積為 平方單位。(化成最簡分數) 解：1.由 u 、 v 所張成之平行四邊形面積＝

4 3

2

1 ＝4－6＝2，如右圖

○¹⁶

○¹⁷

○¹⁴○¹⁵

第一列排列數＝2×2×2－1(全為 0)＝7

3

*

2

*

*

*

*

*



 

 





中，

第二列排列數＝2×2×2－1(全為 0)－1(與第一列相同)＝6

共有 7×6＝42 種

u v

CJT 105－7 105 年學測

2.滿足OP



＝x u ＋y v 的所有點 P 所形成的區域為右下圖斜線區域 斜線區域面積＝(1－

2 1)×(

2

1＋3)倍的平行四邊形面積

＝4 7×2＝

2 7

答：2 7

出處：第三冊(平面向量、面積與行列式)

C.從橢圓 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為 2 的正方形，

則 的長軸長為 。

解：如右圖，(不失一般性假設)設橢圓 ： ₂² a x ＋ ₂

2

b y ＝1 法 1：根據題意，由圖形得知OF ＝₁ AF ＝1 ₁

其中OF ＝c＝1，₁ AF ＝正焦弦長一半＝₁ a b² 2 ×

2 1＝

a b²

由關係式a ＝² b ＋² c ＝² b ＋1，與² a b²

＝1 (或b ＝a ) ² 得知a ＝² b ＋1＝a＋1，即² a －a－1＝0 ²

得 a＝

2 5

1 ，取 a＝

2 5 1

，∴長軸長＝2a＝1＋ 5 法 2：如右圖，在AF1F2中，AF ＝₂ 2²  ＝ 5 1²

根據橢圓定義：d (A，F₁)＋d (A，F₂)＝2a (長軸長)

AF ＋₁ AF ＝1＋ 5 ＝2a ，∴長軸長＝1＋ 5 ₂ 答：1＋ 5

出處：第四冊(二次曲線－橢圓)

D.線性方程組

































8 2

6 6 3 2

0 3 2

z y x

y x

z y x

z y x

經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為

















0 0 0 0

0 0 0 0

1 0

0 1

d c

b a

，

則 a＝____，b＝____，c＝____，d＝______

解：























8 1 2 1

6 0 1 1

6 3 1 2

0 3 2 1





























8 4 4 0

6 3 3 0

6 3 3 0

0 3 2 1























2 1 1 0

2 1 1 0

2 1 1 0

0 3 2 1



















0 0 0 0

0 0 0 0

2 1 1 0

0 3 2 1



















0 0 0 0

0 0 0 0

2 1 1 0

4 1 0 1

，∴





















2 1

4 1

d c b a

另解：由











6 6 3 2

y x

z y

x ，相加，得 3x＋3z＝12，化簡為 x＋z＝4，∴a＝1，b＝4

由









6 4 y x

z

x ，相減，得 y＋z＝－2，∴c＝1，d＝－2 答：a＝1，b＝4，c＝1，d＝－2

出處：第四冊(矩陣)

○²³○²⁴

u

v

 ^x＝1

x＝1/2 y＝－1

y＝－3 y＝1/2

○¹⁸ ＋ ○¹⁹

y B A

C D

F₁

F2 x

O c c

1 1 1

y B A

C D

F₁

F2 x

O c c

1 1 1

○²²

○²¹

○²⁰

×(－2)

×(－1)

×(－1)

÷(－3)

÷(－3)

÷(－4)

×(－1)

×(－1)

×(－2)

CJT 105－8 105 年學測

E.設a 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式













14 2 3 y x

a y

x 的所有點所形成之區域面積為

5

213平方單位，

則 a＝____。

解：1.作 x＋2y  14，如右圖，在第一象限的面積(斜線區域)＝

2

1×7×14＝49 2.方程式x－3y＝a，

(i) a＜0，不合(∵ 為一個數字) (ii) a＞0，∵面積 49－

5 213＝

5

32＞0，∴0＜a＜14，如右下圖

由









14 2 3 y x

a y

x ，相減得 P 點 y 分量＝

5 14a

斜線區域面積＝

5 32＝

2 1×(

5 14a

)(14－a)，(14－a)²＝64，得 a＝6 或 22(不合) 答：6

出處：第三冊(直線與圓，不等式、線性規劃)

F.投擲一公正骰子三次，所得點數依序為a，b，c。在 b 為奇數的條件下，行列式 c b

b

a ＞0 的機率為 。 (化成最簡分數)

解：樣本空間個數 n(a，c{1，2，…，6}，b{1，3，5})＝

6 3 6



b c a =108 事件個數：條件為

c b

b

a ＞0， ac－b ＞0，即 ac＞² b ² (1)當b＝1 時，ac＞1，有 6×6－1(ac＝1×1＝1)＝35 (2)當b＝3 時，ac＞3²＝9

a 2 3 4 5 6 合計 c 5~6 4~6 3~6 2~6 2~6 19 (3)當b＝5 時，ac＞5²＝25

事件個數＝35＋19＋3＝57

∴機率＝108 57 ＝

36 19 答：36

19

出處：第二冊(條件機率)，第三冊(行列式)

G.如右圖所示，ABCD－EFGH 為一長方體。若平面 BDG 上一點 P 滿足AP＝

3

1AB＋2AD＋aAE，

則實數 a＝ 。(化成最簡分數)

解：1.坐標化，不失一般性，設邊長為 1，如右圖 令 A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)

E(0，0，1)，∴G(1，1，1) 2.求平面 BDG

∵BD＝(－1，1，0)，BG＝(0，1，1)

BD × BG＝(－1，1，0) × (0，1，1)＝(1，1，－1)

設平面 BDG：x＋y－z＝k

B(1，0，0)代入，∴k＝1，即平面 BDG：x＋y－z＝1 a 5 6 合計

c 6 5~6 3

○²⁵

x y

x＋2y＝14 14

7

O x 0 a

y 3

a

0

○²⁵

○²⁶○²⁷

○²⁸○²⁹

○³⁰

○³¹ A

B C

D

E

F G

H A(0,0,0)

B C

D(0,1,0)

E(0,0,1) F

H x

y

z (1,0,0)

G(1,1,1)

x y

x－3y＝a

14 7

O a P

x＋2y＝14

3.設 P(x，y，z)，∵AP＝

3

1AB＋2AD＋aAE

(x，y，z)＝

3

1(1，0，0)＋2(0，1，0)＋a(0，0，1)＝(

3

1，2，a)

4.∴P(x，y，z)＝(

3

1，2，a)在平面 BDG：x＋y－z＝1 上

3

1＋2－a＝1，得 a＝

3 4

答：3 4

出處：第四冊(空間向量)

參考公式及可能用到的數值

1.首項為a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和 S＝

2

) ) 1 ( 2

( a₁ n d n  

首項為a，公比為 r(r1)等比數列的前n 項之和S＝ r r a ⁿ



 1

) 1 ( 2.三角函數的和角公式：sin(A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A

cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B tan(A＋B)＝

B A

B A

tan tan 1

tan tan





3.ABC 的正弦定理：

a A sin ＝

b B sin ＝

c C

sin ＝2R (R 為ABC 的外接圓半徑)

ABC 的餘弦定理：c²＝a²＋b²－2ab cos C

4.一維數據 X：x1，x2，…，xn，算術平均數： ＝_X n

1(x1＋x2＋…＋xn)＝

n 1



 n

i

xi 1

標準差：_X ＝



 n 

i

X

xi

n ₁

)2

1 (  ＝ 1(( ) )

1

2



2

 n 

i

X

i n

n x 

5.二維數據(X，Y)：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，相關係數r_X,Y ＝

Y X n

i

Y i X i

n y x

















1

) )(

(

迴歸直線(最適合直線)方程式 y－_Y＝r_X,Y ( _X)

X

Y x 



 _

6.參考數值： 2 1.414； 3  1.732； 5  2.236； 6  2.449；  3.142 7.對數值：log 2  0.3010，₁₀ log 3  0.4771，₁₀ log 5  0.6990，₁₀ log 7  0.8451 ₁₀

CJT 105－10 105 年學測

105 試題分布分析

冊別 複習單元 章節 105 學測題目 占分

單元 1 Ch1 數與式 7，8 10

單元 2 Ch2 多項式函數 1，10 10 第 1 冊

單元 3 Ch3 指數函數與對數函數 4，11(2 分) 7

單元 4 Ch1 數列與級數 6 5

單元 5 Ch2 排列、組合 A(4 分) 4 單元 6 Ch3 機率 13，F(4 分) 9 第 2 冊

單元 7 Ch4 數據分析 11(3 分) 3

單元 8 Ch1 三角 2，12 10

單元 9 Ch2 直線與圓 3，E 10

第 3 冊

單元 10 Ch3 平面向量 B，F(1 分) 6

單元 11 Ch1 空間向量 G 5

單元 12 Ch2 空間中的平面與直線 5，9 10 單元 13 Ch3 矩陣 A(1 分)，D 6 第 4 冊

單元 14 Ch4 二次曲線 C 5

合 計 單選(6)、多選(7)、選填(7) 20 題 100 分