2006 年兩岸力學競賽 1.

2006 年兩岸力學競賽 1. 在裝有水的浴缸中，有一容器浮於水面上，

內載有鐵球及乒乓球各一。請問下列敘述何 者正確？

（A）若將鐵球由容器中取出輕放於水中 後，浴缸水位會降低。

（B）若將鐵球由容器中取出輕放於水中 後，浴缸水位會升高。

（C）若將乒乓球由容器中取出輕放於水中 後，浴缸水位會降低。

（D）若將乒乓球由容器中取出輕放於水中 後，浴缸水位會升高。

（E）以上皆非。

1. Solution: (A)

2. 一顆鋼珠置於半徑為 R 的半球形冰堆之頂點 處，由靜止開始下滑，如右圖所示。由於離 心力的效應，鋼珠將會於滑行一段距離後，

脫離冰堆表面。若忽略摩擦及空氣阻力，請 問當鋼珠脫離冰堆表面時距地面高度為何？

（A） 4 3R

（B） 3 2R

（C）2 R

（D）3 R

（E） 2 3R

2. Solution: (B)

3. 一個繞地球圓形軌道運行的人造衛星，其軌 道高度為 h （距地球表面）。假設地球為半 徑 R 之球體且地表之重力加速度為 g，則此 人造衛星的運行速度為：

R

（A） gR

（B） g(Rh)

（C） R h gR



（D） R h gR



2

（E） R h R g(  )²

3. Solution: (D)

4. 承上題，若該人造衛星為所謂的地球同步衛 星，亦即該衛星繞地球運轉時與地球具有相 同的角速度並保持於地面一定點之上空，假 設地球的半徑為 6000 公里，請問同步衛星之 軌道半徑（即與地球中心之距離）約為：

（A）10000 公里

（B）20000 公里

（C）30000 公里

（D）40000 公里

（E）50000 公里

4. Solution: (D)

5. 右圖之滑輪組中，若忽略滑輪與繩之重量及 摩擦阻力，欲維持系統靜止之張力 T 為何？

（A）W

（B）2W

（C） 2 W

（D） 4 W

（E） 4 3W

30^。

W T

5. Solution: (D)

6. 所謂「彈性碰撞」（elastic collision）是指碰 撞過程中沒有動能的損失；「完美非彈性碰 撞」（perfectly inelastic collision）是指兩個物 體碰撞後合而為一，碰撞過程中會有動能的 損失。真實世界的物體碰撞行為都是介於「彈 性碰撞」及「完美非彈性碰撞」之間的。為 了描述真實世界的物體碰撞行為，物理學家 定義了「恢復係數」（coefficient of restitution）

e，其定義描述如下。

想像物體 A 以v 的速度追撞物體 B，而_A B 的速度是v （_B v_Av_B）；碰撞後兩者的速 度分別改變成V 及_A V （_B V_B V_A）。「回彈係 數」e 的定義是兩物體在碰撞後的相對速度

A

B V

V  （亦即兩物體互相遠離的速度）和碰 撞前的相對速度v_A （亦即兩物體互相接v_B 近的速度）的比值，亦即

B A

A B

v v

V e V



 

我們可以証明「彈性碰撞」時 e = 1 而「完 美非彈性碰撞」時 e = 0。真實世界的物體碰 撞其 R 值則是介於 0 及 1 之間。

如果一個球從 1.5 m 高處掉下來，彈回 的高度是 0.85 m 時，則其「恢復係數」大約 為多少？

（A）0.45

（B）0.55

（C）0.65

（D）0.75

（E）0.85

6. Solution: (E)

This problem is adapted from Applied Physics, 4^th Ed., by Arthur Beiser, Chapter 8.

Momentum.

Let the ball be A and the floor be B, and the velocity is positive when downward, then

 

 

85 . 0 2 0

0 



 



 

 

 

g g v

V v

v V R V

A A B

A A B

7. 兩個人共同搬一個 200 kg 的木箱上樓梯，如 右圖所示。木箱長 1.25 m，高 0.5 m；樓梯 和地面成 45^o，而且木箱與樓梯平行。如果 兩人的用力方向都是垂直向上的，那麼在下 面的人所出的力量大約是在上面的人的幾 倍？

（A）9/3

（B）7/3

（C）5/3

（D）5/4

（E）1.0

7. Solution: (B)

This problem is adapted from University Physics, 9^thEd., by Hugh D. Young and Roger A. Freedman, Problem 11.63, page 354.



 0.375sin45 45

sin ) 25 . 0 625 . 0

(   

 a

a b1.25sin45^

3 7 375 . 0

375 . 0 25 .

1   a 

b

8. 有一半徑 25 cm 的圓柱體從斜面上 A 點釋 放，往下滾動時沒有任何滑動發生，請問滾 到 B 點時其滾動的角速度大約是每分鐘多少 轉（rpm）？已知 A 點和 B 點的高差是 120 cm。圓柱體的轉動慣量是 ²

2

1mR ，其中 m 為 其質量，R 為其半徑。

（A）50 rpm

（B）100 rpm

（C）150 rpm

（D）200 rpm

（E）250 rpm

8. Solution: (C)

a b

120 cm A

B R = 25 cm

This problem is adapted from Applied Physics, 4^thEd., by Arthur Beiser, Problem 10.16.

2

2 2

2 2 2

2 2

4 3

4 1 2

1

) 2 )(

(1 2 1 2

1

2 1 2

1

mv

mv mv

R mR v mv

I mv mgh













 

rpm s 151

8rad . 25 15 . 0

96 . 3

s 96m . 3 2 . 1 8 . 3 9 4 3

4



















R v

gh v



9. 足球比賽中的香蕉球和棒球投手投出的變化 球原理相同，都是在把球踢出（或擲出）的 同時，加一個旋轉力量到球上，使球一邊旋 轉一邊前進。當球體在空氣中行進時，球體 受空氣的摩擦除了會造成球的阻力之外，也 會使球面上的空氣隨之旋轉，附近的空氣受 到影響，導致施在球體上的壓力會隨球體的 位置不同而有所不同。若我們簡化這個複雜 的流體力學問題，忽略空氣的阻力，並以

表示空氣密度，m 表示球體質量，請依此回 答本題及接續的兩個問題（第 10、11 題）。

若球在水平面上旋轉，其旋轉軸的方向 與前進方向垂直，以跟隨球體前進的移動座 標系來觀察，如右圖所示，假設球體表面的 空氣速度會被球體表面的旋轉運動帶動，球 體的前進速度為 V，球的半徑為 r，球的旋轉 角速度為，則球的上端點 X 的壓力（P_x）、 下端點 Y 的壓力（P_y）、球體不旋轉時 X 或 Y 點的壓力（Po）三者之間的大小關係為何？

（A）Po> Px> Py

（B）P_o> Py> Px

（C）P_x> Po> Py

（D）Py> Po> Px

（E）P_y> Px> Po

X

Y

V 

9. Solution: (C)

10. 承上題，上端點 X 的壓力（Px）與下端點 Y 的壓力（Py）差為多少？

（A）0.5rV

（B）rV

（C）2rV

（D）4rV

（E）rV

10. Solution: (C)

0.5[(V+r)^2-(V-r)^2]

11. 承上題，若球所受此壓力差帶來的合力大小 F 可以用 F =VG 表示，其中的 G 與旋轉速 度有關。請問球往初始方向前進距離 L 之 後，會偏離多少垂直於初始方向的距離（亦 即右圖中的 D）？

（A） mV GL² 4

（B） mV GL² 3

（C） mV GL² 2

（D） mV GL²



（E） mV GL 2

 2

11. Solution: (E) 0.5(VG/m)(L/V)^2

D

L

12. 已知一端開口一端閉口的管中空氣震動而發 出聲音時，閉口端必定為聲波的波節，而開 口端可以是聲波的波腹。今有一開口向上的 圓柱形容器裡面裝了一些水，如右圖所示，

容器高 L，斷面直徑 D，水面距開口 H1，底 部有一閥門可以將水透過圓形管路（直徑 d）

排出至下方的容器中。而在圓柱形容器開口 處吹氣，可得到的最低聲音頻率為 f1，而聲 速為 C。下方容器斷面為邊長 W 的正方形。

若想要在一段時間 T 之內，將可發出的最低 聲音頻率降為 f2，則排水管中的平均流速應 為：

（A） ²₂ ¹

2 1 1

Td f CD f 

 



 

（B） ²₂ ¹

2

4 1 1 Td

f CD f 

 



 



（C） ²₂ ¹

2

4 1 1 Td

f CD f 

 



 

（D） ¹₂ ²

2

4 1 1 Td

f CD f 

 



 

（E） ¹₂ ²

2 1 1

Td f CD f 

 



 

12. Solution: (C)

13. 承上題，下方容器水位的上升速度為：

(A) ² ₂ ¹

2

16 1 1 TW

f CD f 

 



 



(B) ¹ ₂ ²

2

16 1 1 TW

f CD f 

 



 



(C) ²₂ ¹

2

4 1 1 TW

f CD f 

 



 



L

D H₁

W d

(D) ¹₂ ²

2

4 1 1 TW

f CD f 



 



 



(E) ²₂ ¹

2 1 1

TW f CD f 



 



 



13. Solution: (A)

H1=C/4f1, 降為 H2=C/4f2，流量 Q=D²(H2-H1)/4T=D²C(1/f2-1/f1)/16T V=4Q/d²= CD²(1/f2-1/f1)/4Td²

Q/W²=D²C(1/f2-1/f1)/16TW²

14. 長度為 L 的鍊條放置於光滑的斜面上，如右 圖所示（初始狀態為 x = 0）。假設重力加速 度為 g，則鍊條自斜面向下滑動 x 長度時，

鍊條的滑動速度為

（A） 2 _^





L gx x

（B） _^





L gx x

（C） _^ 





sin 2

2 L

gx x

（D） _^ 





sin 2 L gx x

14. Solution: (C)

15. 如右圖所示，腳踏車以時速 16 公里定速向前 行。圖中車輪直徑為 660 mm，腳踏板到其 軸心半徑為 160 mm，腳踏板連接的帶動鍊 條轉盤及後輪的帶動鍊條轉盤之直徑分別為 170 mm 及 70 mm。則腳踏車踏板在腳踏車 行進中最大及最小絕對速度分別為

（A）4.66 m/s，2.98 m/s

（B）5.33 m/s，3.56 m/s

（C）6.87 m/s，5.63 m/s

（D）8.23 m/s，6.56 m/s

15. Solution: (B)

16. 早晨停留在樹葉上的露珠幾乎是完美的球體 形，球體直徑的大小是由三種力量的平衡來 決定的：大氣壓力、露珠內的水壓、及露珠 表面的表面張力。本題目是要你對表面張力 做一理解後，利用已知的水珠直徑來計算水 珠內的水壓。當水珠很微細時（微米以下 時），水珠內的壓力之大可能會超過你的意料 之外。

鐵製的迴紋針可以飄浮在水面上；有些 昆蟲可以在水面上行走；這些都是「表面張 力」的現象：液體的表面如同一層受張力的 薄膜。特定的液體在特定的溫度下，這個張 力可以視為是定值，譬如在 20^oC 下，水的表 面張力約為 0.0728 N/m；注意它的單位是每 單位長度所受的力量。

表面張力測量的方法之一如右圖所示。

圖中的橫向鐵絲（長度 l）是可以延著 U 形 鐵絲上下自由滑動的。將整個設備浸入欲量 測表面張力的液體（譬如肥皂水）中，使得 液體在鐵絲上形成一面薄膜。因為表面張力

的存在，橫向鐵絲有被往上拉的頃向；為了 平衡此表面張力，我們必須施與 T 的力量。

連同橫向鐵絲的自重 w，總外力 T+w 會和總 表面張力 2l（乘以 2 的原因是薄膜有兩層介 面）平衡，則我們可以計算表面張力如下：

l w T

2

 



如前所提，水珠球體直徑的大小是由三 種力量的平衡來決定的：大氣壓力、水珠內 的水壓、及水珠表面的表面張力。假設在 20^oC 下有一完美球形的微小水珠，直徑為 0.2

m，請計算其內部水壓大約相當於多少倍的 大氣壓力（亦即多少 atm）？（一倍大氣壓 力是 101325 Pa。）

（A）5 atm

（B）10 atm

（C）15 atm

（D）20 atm

（E）25 atm

16. Solution: (C)

This problem is adapted from University Physics, 9^thEd., by Hugh D. Young and Roger A. Freedman, Section 14.5. Surface Tension.

   

4 D2

p p

D _a 



  

p D p _a 4

10 6

2 . 0

0728 . 0 4 4

 

 



p D

p _a 

atm 14.4 Pa 10 456 .

1  ⁶ 



p_a p

atm

15.4 p

17. 右圖為一根玻璃圓管（內徑為 d）置入液體 內，此液體的密度為，玻璃與液體的表面張 力為，接觸角為，試計算液面高度 h 為何？

提示：你可以應用柏努力方程式，Bernoulli Equation，p V² gh

2

1 常數。

（A） gd



 cos

（B） gd



 cos 2

（C） gd



 cos 4

（D） gd



 cos 6

17. Solution: (C)

18. 飛機上常用的空速管為用來量測飛機相對於 空氣的速度，或稱為風速計，其原理為應用 柏努力方程式（Bernoulli Equation，請參考 前一題的提示）所獲得。右圖中，假設 N 點 所量得的全壓為 P_o，S 點所量得的靜壓為 Ps，假設空氣密度為，計算飛機的飛行速度 V 為多少？

（A）  ) (

2 P₀P_S

（B） 2

0 PS

P 

（C）  ) (

4 P₀P_S

（D） 4

0 PS

P 

18. Solution: (A)

S

V

19. 一個金屬球直徑為 d，密度為s，在空氣中 作自由落體運動，空氣密度設為a，假設金 屬球所受到阻力為3dV ，其中稱為空氣 黏滯係數，V 為金屬球的運動速度。請問此 金屬球的終端速度（terminal speed）為何？

（A） 



 3

)

2( g

d _s _a

（B） 



 6

)

2(

g d _s _a

（C） 



 12

)

2( g

d _s _a

（D） 



 18

)

2( g

d _s _a

19. Solution: (D)

20. 右 圖 為 流 體 流 經 三 種 結 構 物 產 生 尾 流

（wake）流場的行為，其中結構 a 為一流線 型斷面，結構 b 為一圓柱體或球體，結構 c 為一鈍體或平板。假設這三個結構物的前視 截面積都相同，則產生的阻力由大至小的順 序為何？

（A）a > b > c

（B）c > b > a

（C）c > a > b

（D）b > a > c

a. 流線型斷面

b. 圓柱體或球體

c. 鈍體或平板 20. Solution: (B)

以下兩個實驗，你可以使用的器材限制如下：一把 30 cm 直尺、橡皮擦、細繩、計時器、

小型工程用計算機、鉛筆及紙張。必要時評審會請你重複你的實驗。

1. 請設計一個實驗來量測橡皮擦與直尺表面的摩擦係數。請寫下你的實驗過程、數據、及 計算方法。

2. 請設計一個實驗來量測重力加速度。請寫下你的實驗過程、數據、及計算方法。

2. Solution: Use the following formula for a simple pendulum g

T 2 L, ₂ 2 



 





 T g L

Or use the formula for a physical pendulum:

g L L

mg mL mgd

T I

3 2 2 ) 2 ( 2 3 2

2 



  



2

2 3 2



 





 T

L g

3. 趣味競賽：紙船載重比賽

你可以使用的器材限制如下：A4 尺寸蠟紙兩張，剪刀一把，美工刀一支，防水黏著劑一 支，釣魚線 50 公分長。請設計並製作一艘載重量最大的紙船，其接觸水的部分必須為蠟 紙，可用任意結構製成任何形狀，不需有動力。評分的方式是由參賽者每組推派一人，

自行將大會準備的同一規格砝碼，逐一置入各組的紙船中，直至紙船翻覆或沈沒為止，

不限制裝載砝碼的方式或順序，以能承載最多砝碼數者優勝。

3. 附註：

大會準備：每組有 A4 尺寸蠟紙兩張，剪刀一把，美工刀一支，防水黏著劑一支，釣魚線 50 公分長，砝碼一些

本題切不可提供膠帶，以避免以膠帶做為強化結構的方法

大會準備的砝碼每個要有一樣的尺寸、一樣重，尺寸不宜太大，但數量要多 大會準備的蠟紙宜薄不宜厚