77 第四章 控制系統穩定性分析

第四章 控制系統穩定性分析

4-1 穩定性定義 a. 時域定義：

若且唯若一線性系統稱為穩定，則對任一有限輸入均產生一有限輸出。此 穩定性的定義係基於系統研究之起因-效應或輸入-輸出之觀點。為闡示此定義，

下兩圖表示外加脈衝函數且產生響應之系統，上圖兩者(輸入與輸出)均為有限，

故此系統稱為穩定。而下圖有相同的有限脈衝函數外加至系統，但響應為無限，

故此系統為不穩定。

b. s 域定義：

通常系統整體轉移函數如下：

q n a ,

...

s a s

a s

b ...

s b ) s

s ( M

n 2

n 1 1 n 0 n

q 1

q 1 q

 











 



上式可以部份分式展開法分解成下列的形式：

n n

2 2

1 1

s ... k s

, k s

) k s (

M      

 

 

其中 ，



s

 a

s

 ...  a

 0

t n t

2 t 1

1 n 2

1

k e ... k e

e k ) t (

m 



 

顯然，M(s)的穩定性與 m(t)的限度有關，且 m(t)與





變數，若其實部均小於零，則響應將立刻消滅。故顯示一有限輸出的系統，是屬 於穩定的系統。例如：

t 6 n t ) 5 j 2 ( 3 t ) 5 j 2 ( 2 t 1

1

( t ) k e k e k e k e

m 







t 2 d t ) 8 j 2 ( c t ) 8 j 2 ( b t a

2

( t ) k e k e k e k e

m 







m¹(t)係一穩定響應，故 M¹(s)為穩定系統。然而 m²(t)有一



達到無窮時，響應成為無限，因此M²(s)為不穩定系統。因此，於線性系統中，

穩定性的研究變成特性方程式的根的正負號研究。以圖形而言，確定是否所有的 特性根均位於 s 平面的左半面。

4-2 系統穩定性的判斷方法：

判斷系統的穩定性的方法一般是：在無外力作用下，系統內部由初始狀態隨 時間自然的變化的情況來定義，或者說系統由平衡點作微小的偏移後(可利用外 部脈衝)，系統是否會再回到平衡點來判斷。

平衡點的的定義：在無外力干擾下，系統的狀態不隨時間改變，該點稱為系統的 平衡點。

我們說一個系統是穩定的，代表此系統能趨於一個不變的狀態，或者說它對外界 的干擾具抵抗性，即外界的干擾不影響其最終的結果，如下圖所示。

4-3

我們知道在解微分方程式的過程中，微分方程式的特性方程式的根決定了 系統響應的模態。因此，也決定了系統的穩定性，如下表所示。

下圖則為複數平面上不同根位置的動態特性，其說明了系統穩定性外，也表現出 系統的性能。

零輸入下不同特徵根位置之初始狀態變化情形

同樣地，系統經拉氏轉換後，系統的模態則變由轉移函 數中特徵方程式的根來決定，因此我們可以得到以下結論：

若系統特徵方程式的根，其實部都為負的，或說當根都 在複數平面的左半面時，則稱此系統為穩定系統。若系統特 徵方程式存在至少一個具正實部的根，則系統為不穩定系 統。若系統特徵方程式的根除了穩定根之外，存在至少一個 根其實部為零，則稱此系統為臨界穩定系統。

例：判斷具下列特徵方程式之系統的穩定性?

(a) s³ + 2s² + s + 2 = 0

(b) s⁵ + s⁴ + 3s³ + 7s² + 4s = 0 (c) 2s³ + 5s² + 8s + 3 = 0

(d) 2s⁴ + 9s³ + 16s² + 14s + 4 = 0 解：

(a) 由觀察法直接分解可得

s³ + 2s² + s + 2 = s² (s+2)+ s + 2 = (s² +1)( s + 2) = (s+2)(s+j)(s-j)

故特徵方程式的根為 1 個負根與 2 個虛軸上的根，因此系 統為臨界穩定。

(b) P(s) = s⁵ + s⁴ + 3s³ + 7s² + 4s = s(s⁴ + s³ + 3s² + 7s + 4) = s(s+1)²(s² -s+4) = s(s+1)²[s-(1+

15

15

故特徵方程式的根為 2 個負根、2 個正根與 1 個位於原點，

因此系統為不穩定。

(c) P(s) = 2s³ + 5s² + 8s + 3 = (2s+1)( s² +2s+3)

= (2s+1)(s+1+

2

2

故特徵方程式的根均為負實部的根，因此系統為穩定。

(d) P(s)=2s⁴ + 9s³ + 16s² + 14s + 4 = (2s+1)(s+2)(s+1-

3

3

故特徵方程式的根均為負實部的根，因此系統為穩定。

4-4 穩定性判斷法

判斷系統的穩定性，大致有下面的方法：

(1) 直接法：直接解出特性方程式的根，但對於高階系統 不見得好解，至於時變及非線性系統更有困難。

(2) 間接法：線性非時變系統可利用羅斯準則(Routh criterion)判斷，不解出系統的根，但可判斷出系統的 絕對穩定性及相對穩定性，其他尚有系統以狀態空間 描述時 Lyapunov 法及非線性系統的 Popov 法則。

(3) 設計法：這裡包括根軌跡法、奈圭斯特準則及波德 圖法。這些方法除了用於系統的分析與控制器的設計 外，亦常拿來作為閉迴路系統穩定性或穩定裕度的判 斷工具

本節針對羅斯準則討論，考慮系統轉移函數之分母或系 統特徵方程式如下：

ansⁿ +an-1 s^n-1 +…+a1s + a0 = 0

我們知道方程式的係數是所有根規則的組合，因此系統 特徵根均為負的必要條件為所有的係數均同號且不缺 項。滿足上述必要條件後，即可以羅斯法加以判斷。

將系統特徵方程式排成羅斯表(Routh table)

若計算後羅斯表第一行的值都為正值，則系統特徵根均為負 根，若有負值則符號改變次數即為正根數目。

例 1：判斷下列特徵方程式的穩定性

s⁴ + 5s³ + 10s² + 10s + 4 =0 s⁴ 1 10 4

s³ 5 10 s² (50-10)/5=8 4 s (80-20)/8= 15/2 s⁰ 4

因羅斯表第一行的值都為正值，故系統特徵根均為負 根，即系統是穩定的。

例 2：判斷下列特徵方程式的穩定性 s⁴ + 2s³ + s² + 4s + 4 =0 解：

s⁴ 1 1 4 s³ 2 4

s² (2-4)/2=-1 8/2=4 s (-4-8)/(-1)= 12 s⁰ 4

因羅斯表第一行有兩次正負變化，故系統有 2 特徵根為正 根，即系統是不穩定的。

例3 求滿足下圖中系統的特徵方程式及穩定的 K 值範圍?

＋

－

解：

G 系統的整體轉移函數為 GC(s) =

1+GH 其中 H=1，G=K/[(s+1)(

s

+2s-1)]，代入上式可得

閉迴路系統特徵方程式為

s³ +3 s² +s +(K-1) =0 排出羅斯表

s⁰ K-1

滿足系統穩定的條件為 4-K﹥0 且 K-1﹥0，

因此有 1﹤K﹤4。

羅斯表之應用除可判斷系統穩定性之外，尚由於其簡單 易解，可大量節省計算時間。當系統有不穩定時，其可利用 於系統組件參數異常之判斷。當應用於上述例題之控制器設 計時，其亦可大幅降低補償器修改與調整之測詴時間。

1

(s+1)(s

+2s-1)

K

4-5 羅斯準則之特殊情況

當進行羅斯準則測詴時，依所測詴的方程式常會發生以 下困難：

1.表中任何一列的第一個元素為零而其他元素卻不等於零。

2.表中有一列全部為零。

第一種情況，如果某一列第一位置出現零，則在下一列 的元素將全部變成無窮大，於是羅斯表就中斷了。這種情況 可以任意小的正數ε代替羅斯表中的零元素，然後繼續進行 測詴，用以下例題來加以說明。

例 4：判斷下列特徵方程式的穩定性 s⁴ + s³ + 2s² + 2s + 3 =0 s⁴ 1 2 3

s³ 1 2 s² 0 3 s ∞

因 s²列的第一元素為零，造成 s 列的元素為∞，用一個小正 數ε取代 s²列內的零元素，可得

s² ε 3

s (2ε-3)/ε 0 s⁰ 3

因為假設ε為很小正數，所以(2ε-3)/ε趨近於-3/ε，是一負 數，故第一行有兩次符號改變，所以有兩根在右半 s 平面內。

第二種情況：有一列元素全為零時，依以下步驟建羅 斯表：

1. 利用零列的前一列係數構成輔助方程式 A(s)=0。

2. 對輔助方程式取 s 的微分,即求 dA(s)/ds=0。

3. 用 dA(s)/ds=0 的係數取代零列。

4. 用一般方法繼續完成羅斯表。

5. 判斷第一行係數的符號改變。

輔助方程式的根也是原方程式的根，且其為一個偶次多項 式，即多項式內只出現 s 的偶次項。

例 5：判斷下列特徵方程式的穩定性

s⁵ + 4s⁴ + 8s³+ 8s² + 7s + 4 =0 s⁵ 1 8 7

s⁴ 4 8 4 s³ 6 6 0 s² 4 4

s 0 0

由於 s 列的所有元素為零，故用 s²列的係數構成輔助方程式 A(s) = 4s² + 4 = 0

將 A(s)對 s 微分得 dA(s)/ds = 8s 用 8 和 0 取代原 s 列係數

s 8 0 s⁰ 4

由於第一行無符號改變，故無右半 s 平面內的根，解輔助方 程式可得兩個根為±j，其同時為原式的根，所以系統為臨界 穩定。

4-6 控制系統的相對穩定性

用羅斯準則確認穩定性的方式，只對穩定性的問題提供 部份的答案，藉由檢查特性方程式的根是否落在 s 平面右半 面，羅斯準則可確認系統的絕對穩定度，如果系統滿足羅斯 準則而且是絕對穩定，就有必要決定相對穩定性，也就是說 必須研究特性方程式各個根的相對阻尼。

系統的相對穩定性定義為各個根或共軛根對的相對實 部來衡量的性質，如 P.87 圖 3-5 中，愈靠左邊的根，其離虛 軸愈遠，則其相對穩定性愈好。系統的相對穩定性也可用複 數根對的相對阻尼系數ζ來定義，如此一來則是以響應速度 和超越量取代安定時間，來描述相對穩定度，此將於下一章 詳細探討之。

因為系統的相對穩定性，是以特性方程式根的位置來表 示，所以可在 s 平面上，將羅斯準則加以引申使用，以確定 相對穩定性，也就是移動 s 平面上的座標軸，以便使用羅斯 準則，靠這種方法不用解出特性方程式的根，即可決定主要 根的實部。移動 s 平面軸以確定系統的相對穩定性，是非常 有用的方法，特別是對擁有多個閉回路複數共軛根對的高階 系統更是如此。

由於數位電腦的高速發展，利用套裝軟體 MATLAB 計 算特性方程式的根，是一極為簡易且精確的方法，當特性方 程式為單一參數的函數時，對參數的改變，可產生一圖形來 展現極點的移動軌跡，稱為根軌跡圖，根軌跡對設計和分析 回授控制系統來說，是強而有力的工具，將於下節討論，吾 人將討論如何用手繪方式求得一根軌跡圖的實用技巧，也將 討論如何用電腦來產生根軌跡圖，並在設計程序中說明根軌 跡的效果。

4-7 根軌跡技巧

在設計控制系統時，必須先研究當系統的一個或多個參 數在某一已知範圍內變化時，對該系統的工作性能的影響。

因為特性方程式在線性系統的動態性能裡扮演著重要的角 色，所以在線性控制系統的理論裡，研究當系統的某一參數 變化，特性方程式根的軌跡或簡稱為根軌跡，是個重要的問 題。事實上，在上一章的例題中已經顯示出根軌跡在研究線 性控制系統時的重要性。

通常單一可變參數根軌跡的問題可用下列形式的方程 式來定義

F(s) = sⁿ + a₁s^n-1 +…..+ a_n-1s+ a_n

+K(s^m + b1s^m-1 +….+bm-1s+ bm)=0

其中 K 是參數，可在-∞和∞之間變化，係數 a₁，…，a_n，b₁，…，

bm-1，b_m假設為固定的。

雖然上式中當 K 在-∞和∞之間變化時，稱為根軌跡，

但仍須做下列之定義：

1. 根軌跡：在 K 為正值時的部份，即 0≦K＜∞。

2. 互補根軌跡：在 K 為負值時的部份，即-∞≦K＜0。

3. 根廓線(root contours)：當一個以上的參數變化時的軌跡。

根軌跡與互補根軌跡的結合稱為完全根軌跡。

4-7-1 根軌跡的基本條件

若將上式等號兩邊同除以不包含 K 的項可得

0 1

1 1

1

1 1

1

















 









n n

n n

m m

m m

a s a ...

s a s

) b s b ...

s b s (

K

由前式獲得上式的步驟在許多其他的分析和設計的情 況裡是很有用的，由於缺乏一個較適當的名字，我們將特性 方程式等號兩邊同除以一個不含 K 之項的過程稱為黃金法則 (Golden Rule)。

因為我們的興趣主要是在控制系統，所以考慮前式為線 性控制系統的特性方程式，而線性控制系統的閉迴路轉移函 數為

) s ( H ) s ( G

) s ( G )

s ( R

) s ( C

 

1

1+G(s)H(s) = 0 比較第二式與上式可看出下列的關係是成立的：

n n

n n

m m

m m

a s a ...

s a s

) b s b ...

s b s ( ) K s ( H ) s (

G    







 









1 1

1

1 1

1

其中 G(s)H(s)為控制系統的迴路轉移函數，現在可以定義一 完全根軌跡為：在 s 平面上當 K 在-∞和∞之間變化時，令 G(s)H(s) = K G₁

(s)H

(s)

其中 G₁

(s)H

(s)不再包括可變參數 K，則式可寫成

) K s ( H ) s (

G

1

1

 

其中 K=0, ±1，…..(所有的整數)。實際上，完全根軌跡是由 在 s 平面上滿足上式中之相角方程式的所有點組成的，然後 以上式中增益方程式求出沿著軌跡的 K 值。

根軌跡的構成根本上是畫圖的問題，雖然有些作圖的規 則是以解析的方式得到。藉著根軌跡性質的幫助，使得根軌 跡圖的實際作圖工作，在大多數的情況下並不是複雜得難以 克服，正常情況下靠著分析者的一些經驗，根軌跡可藉著作 圖規則而畫出。若事先不知道 G(s)H(s)的極點和零點，則必 須要使用數位計算機的程式或解析的方法來畫根軌跡圖，在 應用任何工程器械或數值方法之前，都必須對基本原理有徹 底的了解，方能成功的應用。

4-7-2 完全根軌跡的作圖規則

下列的作圖規則是由 G(s)H(s)的極點和零點間的關係發 展而來，這些規則只用來幫助根軌跡和互補根軌跡的作圖，

而不能提供確實的圖形。G(s)H(s)的極點和零點可表示如下 式：

K 1 )

p s )...(

p s )(

p s (

) z s )...(

z s )(

z s ( a ...

s a s

b ...

s b ) s

s ( H ) s ( G

n 2

1

m 2

1

n 1

n 1 n

m 1

m 1 m

1

1

 











 











 

4-7-3 使用 MATLAB 繪製根軌跡圖

以 MATLAB 獲得根軌跡圖的步驟如下：

1.獲得如式(6-4)及式(6-5)之形式的特性方程式，其中 K 是變 化的參數。

2.使用 rlocus 函數來產生根軌跡圖。

3.執行 rlocfind 函數會在根軌跡圖上出現一交叉線的符號，可 以移動此交叉線，到軌跡上有興趣的位置，並敲下輸入鍵，

參數 K 的值及所選擇點的值會顯示在指令視窗內。