算幾不等式面面觀

(1)

算幾不等式面面觀

張鎮華

1. 緣起

算幾不等式緣自「所有周長相同的矩形中, 正方形的面積最大」, 正式的寫出來是:

定理1: 設 a 與 b 是正數, 則 ^a+b₂ ≥

√ab, 且等號在 a = b 時才成立。

這個事實的證明, 可以由配方法輕易得到,

也就是說 a+ b

2 −√

ab= 1 2(√

a−√

b)² ≥ 0, 而且等號成立時, 一定要有 √a = √

b 也就是 a = b。

這樣的結果, 很快的可以推展到 n 個正實數的情況:

定理2 (算幾不等式): 設 a1, a2, . . . , a_n 是正數, 則 ^a¹^+a²^+...+a_n ⁿ ≥ √ⁿa1a2. . . a_n, 而且等號在 a1 = a2 = . . . = an 時才成立。

在高中的數學教材裡, 算幾不等式是一個重頭戲, 它可以用來推導各式各樣的不等式。而坊間可以看到有關定理 2的證明, 亦極有趣, 須一點巧思, 並非第一念就能想像得

到。這篇短文的目的, 是要介紹另外的證明方式, 以供高中老師及各界同好參考。

2. 算幾不等式的第一種證明方法

算幾不等式從定理 1 推展到定理 2 的直覺是利用數學歸納法, 到底要如何歸納, 卻有一點學問。首先, 來看看第一個最直接的做法, 就是由 n = 2 (就是定理 1) 去證明 n= 4 的情形, 如下所示:

a1+ a2+ a3+ a4

4

=1

2(a1+ a2

2 + a3+ a4

2 )

≥ 1

2(√a1a2+√a3a4)

≥

^q

√a1a2+√a3a4

=√⁴ a1a2a3a4.

以此類推 (或者嚴格來說, 用數學歸納法), 可以得到 n = 8, 16, . . . , 2^m, . . . 的情況, 但遺憾的是, 其他種類的n, 如 3, 5, 6, 7, . . . 等等, 卻不能用上述的方法證得。一般常見到的證明, 利用到「倒回式」的證法, 也就是說, 當

62

(2)

算幾不等式面面觀

₆₃

n 不是 2^m 的形式時, 令正整數 k 及 m 滿

足 n + k = 2^m, 再取 an+1 = an+2 = · · · = a_n+k = A, 其中 A = ^a¹^+a²^+···+a_n ⁿ, 利用 n+ k = 2^m 項的算幾不等式, 知道

a1+ a2+ · · · +aⁿ+ an+1+ · · · +a^n+k n+ k

≥ ^n+k√a1a2· · · aⁿa_n+1· · · a^n+k,

而且等號在 a1 = a2 = · · · = aⁿ(= an+1 =

· · · = a^n+k) 時才成立。但是

a1+ a2+ · · · +aⁿ+ an+1+ · · · +a^n+k n+ k

=nA+ kA n+ k = A, 所以

A^n+k≥ a¹a2· · · aⁿa_n+1· · · a^n+k

= a1a2· · · aⁿA^k,

也就是Aⁿ≥ a¹a2· · · aⁿ, 因此^a¹⁺^a²^+···+a_n ⁿ = A ≥ √ⁿa1a2· · · aⁿ, 而且等號在 a1 = a2 =

· · · = aⁿ 時才成立。

以上, 將 n 項擴充成 2^m 項的做法, 實在是一大巧思, 一般真的不容易想像, 我們來看看, 是不是有其他的法子可以替代。

3. 第二種證法

讓我們來考慮另外一種證法, 它的內涵基本上還是上述的精神, 只是現在我們將數學歸納法的過程寫出來, 並將「倒回式」的證明, 都化成「向前式」。

首先, 定理 2 對n = 1顯然成立。假設定理 2 對所有 n^′ < n 均成立, 且 n ≥ 2, 此時設 m = ⌈ⁿ2⌉, 當 n 為奇數 (也就是

2m = n + 1) 時, 並設 a2m = ^a¹⁺^a²^+···+a_n ⁿ。因為 m < n, 由歸納法假設可知

a1+ a2+ · · · + a^m

m ≥ ^m√a1a2· · · a^m, 而且等號在 a1 = · · · = a^m 時才成立; 及

am+1+am+2+···+a^2m

m ≥ √^ma_m+1a_m+2· · · a²^m, 而且等號在 a_m+1 = · · · = a²^m 時才成立。

因此, 由上面兩個不等式及定理 1 可得 a1 + a2 + · · · + a²^m

2m

≥

m√a1a2· · · a^m+ ^m√a_m+1a_m+2· · · a²^m 2

≥

^q

^m√a1a2· · · a^m ^m√a_m+1a_m+2· · · a^2m

= ^2m√a1a2· · · a^2m,

而且等號在 a1 = · · · = a^m = am+1 =

· · · = a²^m 時才成立。

當 n 為偶數時, 2m = n, 上面的結果也就是算幾不等式定理。當 n 為奇數時, 2m = n + 1, 此時

a1+ a2+ · · · + a²^m

2m =na_2m+ a2m

2m

= a2m,

所以 (a2m)²^m ≥ a¹a2· · · aⁿa_2m, 也就是 (a2m)ⁿ ≥ a¹a2· · · aⁿ, 因而得到 ^a¹⁺^a²_n^···+aⁿ

= a2m ≥ √ⁿa1a2. . . a_n。由數學歸納法, 定理 2得證。

4. 再來一種證法

上面的歸納法雖然避開了由大的 n^′ 返回證小的 n 的做法, 但其精神卻仍類似。我們最後要提出來的一種做法, 是要從原來定理 1 的精神談起。

(3)

64

數學傳播

₂₆

卷

₂

期民

₉₁

年

₆

月

再回到「同周長的矩形以正方形面積最小」的起點, 這一命題, 可以如定理 1 的證明, 其實也可以講得更精確一點, 得到「同周長的矩形, 兩邊的差距越小, 其面積越大」, 特別是兩邊的差距到最小可能的要求, 自然是面積最大的正方形。我們就是要用這種想法來證明算幾不等式, 首先討論:

引理: 假設 a 與 b 是正數, 且 b − a >

ε >0, 則(a + ε)(b − ε) > ab。

證: 利用 (a + ε)(b − ε) − ab = (b − a− ε)ε > 0, 可以知道 (a + ε)(b − ε) > ab。

在前面的引理裏, 如果我們取 ε = ^b−a₂ , 就可以得到定理 1 的特例。現在, 我們就利用前面的引理來證明定理 2。

首先設 A = ^a¹^+a²^+...+a_n ⁿ, 用 k 表示和 A 相異的 a_i 的個數, 很容易可以看到 k = 0 或 2 ≤ k ≤ n, 特別是 k 6= 0 時, 一定存在 a_i < A < a_j。我們將在 k 上做數學歸納法。

k = 0 時, 定理 2 顯然成立。假設定理 2 對 k^′ < k 成立, 考慮 k ≥ 2 的情況, 此時, 取 ai < A < a_j。令 ε = aj − A, 則 a_j − aⁱ > ε > 0, 由前面的引理得知 (a_i + ε)(aj − ε) > aⁱa_j, 注意, 其中 a_j − ε = A。將 (a¹, a2, . . . , a_n) 中的 a_i 和 a_j 分別換成 a_i + ε 及 aj − ε, 得到 (a^′1, a^′₂, . . . , a^′_n), 則其所對應的 A^′ =

a^′₁+a^′₂+...+a^′n

n = A, 而且 k^′ < k。由歸納法假設可知 A = A^′ ≥

^q

ⁿa^′₁a^′₂. . . a^′_n, 但因為 a^′_ia^′_j > a_ia_j, 所以 A > √ⁿa1a2. . . a_n, 也就是定理2的敘述成立。所以由數學歸納法證得定理 2。

5. 後記

我們非常感謝審查委員提供十分詳細的修改意見, 避免了許多錯誤和生硬的文辭。他並指出, 第 2 節的證法, 根據楊維哲教授的說法, 是 Cauchy 的巧思; 而第4節所提的方法, 其實在 Polya [7]著書第 VIII 章習題 25(第 135 至 136 頁) 曾提及, 詳解在第 247 頁, 這本書已有中譯本 [1]。為求更深入瞭解, 我們查閱了一些資料 [3, 4, 5, 6]; 其中 [3, 6]是專門寫給高中生看的, [3]採用的證明方法就是 Cauchy 的方法, 而 [6]則採用第 4節的方法; Hardy, Littlewood和 Polya [5]提供了數種方法; Beckenback和 Bellman [4]更一口氣列出十二種解法。

參考文獻

1. 田成俠譯, 數學與逼真推理上冊 (數學上歸納法與類推之應用), 徐氏基金會出版, 民國五十九年。

2. 田成俠譯, 數學與逼真推理下冊 (逼真推論之模式), 徐氏基金會出版, 民國五十九年。

3. E. Beckenbach and R. Bellman, An In- troduction to Inequalities, 13rd printing, The Mathematical Association of America, 1961.

4. E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, 4th printing, Springer- Verlag, 1983.

5. G. H. Hardy, J. E. Littlewood and G.

Polya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, 1952.

6. N. D. Kazarinoff, Geometric Inequali- ties, 1st printing, Random House, 1961.

(4)

算幾不等式面面觀

₆₅

7. G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics (Volume I of Mathemat- ics and Plausible Reasoning), Oxford University Press, 1954.

8. G. Polya, Patterns of Plausible Infer- ence (Volume II of Mathematics and

Plausible Reasoning), Oxford Univer- sity Press, 1954.

—本文作者任教於國立台灣大學應用數學系_—

算幾不等式面面觀