算幾不等式

CHA 編授 BOOK I Unit 1 P1

算幾不等式

主題一 基本觀念 1. 平均數

算術平均數：

2 ab

、 3

c b a 

、 4

d c b a  

···

幾何平均數： ab、³ abc、⁴ abcd ···

2. 算幾不等式 若a、b0，則

2 a b

  ab 恆成立；當「ab」時，等號成立。

pf ：[1] 代數證法 [2] 幾何證法

3. 使用時機

(1) 有加、乘關係的求極值問題。

ex. 若a、b0且ab10，求 ab 之最大值=？ 此時的數對

 

(2) 有倒數關係的求極值問題 ex. 若a0，求

a a1

 的最小值，此時的 a＝？

◎註：也有多個數的算幾不等式，但高中階段原則上會 2 個數的算幾不等式即可。

³ 3 c abc b

a  

、 ⁴

4c d abcd b

a   

、···

僅一個會成立

時， > >

時， = =

CHA 編授 BOOK I Unit 1 P2

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1. (1) 若a、b0且a b 8，求 ab 之最大值＝？ 此時的數對

 

 

ab之最小值＝？ 此時的數對

 

2. 一條長為 24 公尺的繩子，所能圍出的矩形面積最大為何？此時的長、寬各為多少？

【36 平方公尺；6 公尺、6 公尺】

* 3. 平面座標中，通過點P

 

【24；6、8】

CHA 編授 BOOK I Unit 1 P3

* 4. 平面座標中，一點P

 

如圖所示。求此矩形面積的最大值＝？ 此時P

 

【12；(3,4)】

* 5. 若a、b0且ab6，求a²b之最大值＝？ 此時的數對

 

【32；(4,2)】