由韋達定理引發的方程求根公式的 數學之旅

數學傳播

30

卷

2

期

, pp. 51-54

由韋達定理引發的方程求根公式的 數學之旅

朱 哲

在一次數學課上, 介紹一元二次方程的韋達定理後, 作為教師的我向學生簡要說明一元三

次方程 ax³+ bx²+ cx + d = 0也有韋達定理:



 

 

 

 

 

 

x₁ + x2+ x3 = −b a x₁x₂+ x₁x₃+ x₂x₃ = c

a x₁x₂x₃ = −d

a

。 同時和學生一起

探索如何利用韋達定理解一元二次方程 ax²+ bx + c = 0: 設 x1 > x₂, 由



 

 

x₁+ x2 = −b a x₁x₂ = c

a ,

可得 (x1− x2)² = (x1+ x2)²− 4x1x₂ = b² a² −4c

a = b²− 4ac

a² , 則 x1− x2 =

√b²− 4ac a ;

解方程組



 



 



x₁+ x₂ = −b a x₁− x² =

√b²− 4ac a

, 得



 

 

 

 

 

 

x₁ = −b +√

b²− 4ac 2a

x₂ = −b −√

b² − 4ac 2a

。 這樣, 由求根公式可得到

韋達定理, 再由韋達定理求得求根公式, 學生對兩者及其聯繫都有了深刻的理解。

課後, 有個學生跑過來問我, 能不能由三次方程的韋達公式來求它的求根公式? 我當時並 沒在意, 因為三次方程求根公式很複雜, 對一個初中學生 (注) 來說可能是無法解決的, 但又不能 打擊他的積極性, 於是清描淡寫地說了一句: 那你試試看吧。 沒想到, 第二天他拿了厚厚一疊草 稿紙來找我, 說: “我本想把韋達定理變形為



 

 

 

 

x₁+ x2+ x3 = A x₁+ x2− x3 = B x₁− x²− x³ = C

的形式, 然後解方程組, 但

注_:大陸初中₍初級中學₎相當於臺灣的國民中學。

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沒有成功。 不過我把韋達定理變形為



 

 

 

 

x₁+ x2+ x3 = A x²₁+ x²₂+ x²₃ = B x³₁+ x³₂ + x³₃ = C

的形式 (變形過程參看本文附錄)。

如果這個方程組解出了, 那我就解出了三次方程。 可是, 這個方程組我也解不出, 但我覺得它的 形式很漂亮。”

我不禁為學生的想法所震動。 由二次方程向三次方程作類比與推廣, 運用所學知識對方程 組進行變形, 這裏包含了學生對數學的興趣和對知識的渴求。 於是我就和他一起去尋找這個方 程組的解法, 我們嘗試了很多方法, 但卻一無所獲。 最後求助於電腦, 其結果的複雜程度讓人難 以置信: 螢幕上密密麻麻佈滿了數字與符號。 如果這個工作由手工來完成, 是何等繁雜。

看到學生臉上露出失望和無奈的神情, 我想可以趁這個機會向他簡單介紹一下歷史上三、

四次方程求根公式的方法。

對於一元三次方程 y³ + a1y² + a2y+ a3 = 0, 作變換 y = x − a₁

3, 則可化為缺失 x² 項的方程 x³+ px + q = 0。 利用 (u + v)³ = u³+ v³+ 3uv(u + v), 令 x = u + v, 則原方 程化為 (u + v)³+ (−3uv)(u + v) + (−u³ − v³) = 0。 則只需解出







−3uv = p

−u³− v³ = q即可。

將方程組變形為



 

 

u³+ v³ = −q u³v³ = −p³

27

, 由韋達定理可知, u³, v³ 是二次方程 z²+ qz − p³ 27 = 0

的兩個根。 解得 z_1,2 = −q 2 ±

s

q² 4 + p³

27。

^∴

u= √³z₁ = ³

v u u t

−q

2+

s

q² 4 + p³

27, v = √³ z₂ =

3

v u u t

−q

2 −

s

q² 4 + p³

27,

^∴

x = u + v = ³

v u u t

−q

2 +

s

q² 4 + q³

27 + ³

v u u t

−q

2−

s

q² 4 + q³

27。 因為再往 下解, 將遇到虛數, 所以沒向學生介紹, 但告訴他三次方程最多有三個解。

對於一元四次方程 y⁴ + a1y³ + a2y² + a3y + a4 = 0, 作變換 y = x − a₁ 4, 則可 化為缺失 x³ 項的方程 x⁴ + qx² + rx + s = 0。 然後引入三個輔助量 u, v, w, 即令 x =

u+ v + w, 可得



 

 

 



 

 

 



u²+ v²+ w² = −q 2 u²v²+ v²w²+ w²u² = q²− 4s

16 uvw = −r

8, (u²v²w²= r² 64)

。 由韋達定理知 u², v², w², 是三次方程

z³+ q

2z²+ (q²− 4s

16)z − r²

64 = 0 的根。 若這個三次方程的根為 z1, z₂, z₃, 則 u = ±√z₁, v = ±√z₂, w = ±√z₃。 這時 x = u + v + w 有 8 種可能組合, 不過受 uvw = −r

8 限制, 實 際上只有4 種組合, 所以一元四次方程最多有四個根。

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這時, 學生注意到三次方程作了變換 y = x −a₁

3, 而四次方程作了 y = x −a₁

4 , 可以分別 使原方程缺失 x² 和 x³ 的項。 於是他說, 可不可以對一元二次方程 y²+ a₁y+ a₂ = 0 作變換 y= x−a₁

2 , 使原方程缺失 x 項, 然後再直接開平方? 嘗試如下: (x−a₁

2)²+a1(x−a₁

2)+a2 = 0,

^∴

x² = a²₁

4 − a2,

^∴

x= ±

s

a²₁

4 − a2,

^∴

y= x −a₁ 2 = ±

s

a²₁

4 − a2−a₁

2。 這與我們使用 配方法解在本質上是一樣的: 由 y²+ a1y+ a2 = 0 得 y²+ a1y+ (a₁

2)²−a²₁

4 + a2 = 0, 則 (y +a₁

2)² = a²₁ 4 − a²。

原以為我們對這一問題的探索到此就可以結束了, 沒想到第二天他又來找我, 興奮地告訴 我他找到一種解二次方程的新方法:

對 x²+ px + q = 0, 令 x = a + b, 則 (a + b)²− (a − b)(a + b) − 2b(a + b) = 0。 令 a− b = −p 1, 2b(a + b) = −q 2 , 1 ² + 4 × 2 = (a − b)²+ 8b(a + b) = (a + 3b)²,

∴

a+ 3b =√

p²− 4q 3 或 a + 3b = −√

p²− 4q 4 。 3 × 1 + 3 得 a = −3p +√

p²− 4q

4 ,

則 b = p+√

p²− 4q

4 , x = −p +√

p²− 4q

2 ; 聯立 1 、 4 可得 x = −p −√

p²− 4q

2 。

很明顯, 這種方法是受三次方程解法的啟示。 他還告訴我, 他先是嘗試利用 (a + b)² − a(a + b) + (ab − b²) = 0, 但失敗了。

回過頭看整個過程, 我覺得, 這是師生二人一起經歷了一次奇妙的數學之旅。 在這個過程 中, 對數學的興趣, 對知識的渴求, 使學生全身心地投入其中。 雖然也經歷了挫折和失敗, 最後 的結果也未必很有實用價值 (他得到的一元二次方程新解法就沒多大實用價值), 但是, 整個過 程表現出的發現問題的意識和解決問題的方法, 對學生來講是一筆十分珍貴的財富。 所以, 作為 教師, 應該保護學生的好奇心, 並適時地引導學生進行探索。

此外, 我嘗試把這一經歷設計成教學過程, 進行課堂教學, 但效果並沒筆者所設想的那麼 成功。 雖然對學生進行了啟發引導, 但很多學生的思路似乎是由教師牽著走。 進行到最後, 很多 學生的臉上都露出茫然的神色。 也許, 這些教師認為很有趣的知識, 並不是他們想要的。 也許, 只有學生對教學內容產生濃厚的興趣, 他們才能全身心地投入其中。 這也啟發我們, 教師應在調 動學生的好奇心上下工夫。

附錄: 韋達定理的變形過程

對於三次方程 x³+ ax²+ bx + c = 0 有韋達定理:



 

 

 

 

x₁+ x2+ x3 = −a x₁x₂+ x1x₃+ x2x₃ = b

x₁x₂x₃ = −c

。

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∵

(x1+ x2+ x3)² = x²₁ + x²₂+ x²₃+ 2(x1x₂+ x1x₃+ x2x₃),

∴

x²₁+ x²₂ + x²₃ = a²− 2b。

(x1+ x2+ x3)³= [x²₁+ x²₂+ x²₃+ 2(x1x₂+ x1x₃+ x2x₃)](x1+ x2+ x3)

= (x²₁+ x²₂+ x²₃)(x1+ x2+ x3) + 2b(−a)

= x³₁+ x³₂+ x³₃ + x₁(x²₂+ x²₃) + x₂(x²₁+ x²₃) + x₃(x²₁ + x²₂) + 2b(−a)

= −a³。

∴

x₁(x²₂+ x²₃) + x2(x²₁+ x²₃) + x3(x²₁+ x²₂) = −a³+ 2ab − (x³1+ x³₂+ x³₃), 而 (x1+ x2+ x3)(x1x₂+ x1x₃+ x2x₃)

= x²₁x₂+ x²₁x₃+ x1x₂x₃+ x1x²₂+ x1x₂x₃+ x²₂x₃+ x1x₂x₃+ x1x²₃+ x2x²₃

= 3x1x₂x₃ + x1(x²₂+ x²₃) + x2(x²₁+ x²₃) + x3(x²₁ + x²₂)

= 3(−c) − a³+ 2ab − (x³1+ x³₂+ x³₃) = −ab,

x³₁+ x³₂ + x³₃ = −a³+ 2ab − 3c + ab = −a³ + 3ab − 3c。

∴



 

 

 

 

x₁+ x2+ x3 = −a x²₁ + x²₂+ x²₃ = a²− 2b x³₁+ x³₂+ x³₃ = −a³+ 3ab − 3c

。

—本文作者任教於浙江師範大學數理學院—