數學大師們的偶然失誤

數學大師們的偶然失誤

吳振奎

數學是嚴謹的藝術, 它拒絕一切醜陋和不真。

然而, “金無足赤, 人無完人”, 縱然你是學界泰斗, 哪怕你是科壇巨擎, 你總會有閃失 (俗 說: 老虎也會打盹), 數學家肯定也不例外。 我們這兒當然不是議論他們的人品, 而是談談他們 在數學上的偶然失誤。 常說 “瑕不掩瑜”, 大師的這些失誤絲毫不會影響他們光輝, 倒會增加他 們的真實與親切。

眾所周知: 數學結論 (命題、 定理、 公式、...) 的給出往往是數學家們深思熟慮、 甚至終 生不懈的努力使然, 而這些結論產生的方法多是由具體的抽象、 特例的推廣以及不完全歸納所 獲。 因而這其中的失誤幾乎不可避免。 值得一提的是: 由於這些失誤出自大家之手, 因而它們往 往更具欺騙性且更難為人們所識破, 這一方面是鑑於大師們的權威與聲望, 一方面是由於結論 或貌似無瑕或難以核驗或熟視無睹, 因而要找到推翻命題的反例是困難和艱澀的。

本文試圖獵取幾例以饗讀者。 我們的目的是想從中學點做數學的道理和方法, 體味數學的 魅力與美妙, 當然也會令我們從中悟感數學 (乃至整個科學) 發展的艱難與坎坷, 同時更能品鑑 數學的嚴謹與純真。

1. 費爾馬 (P. de Fermat) 數

法國業餘數學家費爾馬一生有過許多重要數學發現, 這些大多都記錄在他研讀過的書籍空 白處, 他發現的著名命題如:

費爾馬小定理: 若 p 是質數, a ∈

^Z

, 且 p

∤

a, 則 a^p−1 ≡ 1 (mod p)。

費爾馬大定理: 若 n ∈

^N

, 且 n ≥ 3, 則方程 xⁿ+ yⁿ= zⁿ 無非平凡整數解。

前者為費爾馬本人及後來的學者證得; 後者記在他閱讀過的丟番圖 (Diophantus) 所著 「 算術」 一書的空白處 (1637年, 但未給出證明)。 四百餘年後 (1994年), 這一結論為美國普林斯 頓大學的數學家威爾斯 (A. J. Wiles) 經近十年潛心研究所解決, 成為上個世紀數學成就中最 為耀眼的輝煌、 最為美妙的終曲。 其中經歷的艱辛與磨難令人感嘆! 由此他也榮獲 1996年沃爾 夫 (R. S. L. Wolf) 獎。

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帶有費爾馬批註的巴歇譯 「亞 歷山大的丟番圖算術」 封面 正是這位費爾馬, 當他驗算了

F_n= 2²ⁿ + 1 在 n = 0, 1, 2, 3, 4 時分別為:

F₀= 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃= 257, F₄ = 65537, 發現它們都是質數後便聲稱:

對於任何自然數 n, Fn 均給出質數。

然而, 1732年歐拉 (L. Euler) 指出, 當 n = 5 時:

F₅ = 2²⁵ + 1 = 641 × 6700417 已不再是質數。

1880 年, 蘭道 (Landon) 算得:

F₆ = 274177 × 67280421310721 亦非質數。

1905 年莫瑞漢德 (J. C. Morehead) 和威斯坦 (Western) 證明 F7 亦是合數。

時至今日, 人們在 Fn 型數中除了費爾馬給出的五個質數外, 尚未發現其他質數。 於是有 人 (Selfridge) 提出猜測: ^[15]

F_n 型數中除 n = 0, 1, 2, 3, 4 外不會有其他質數。

然而此項猜測至今未獲證明。 下表給出某些 Fn 型數的資料: ^{[11] [16]}

n 值 F_n 研究進展

0 ∼ 4 質數

5 ∼ 11 合數, 且找到分解式

12, 13, 15 ∼ 19, 21, 23, 25 ∼ 27, 30, 32, 38, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 250, 267, 268, 316, 329, 334, 398, 416, 452, 544,

合數, 且知其部分因子 556, 637, 692, 744, 931, 1551, 1945, 2023, 2089, 2456,

3310, 4724, 6537, 6835, 9428, 9448, 23471

14, 20, 22 合數, 因子不詳

24, ... 不知其為質數還是合數

前20 個費馬數的分解情況^[1]

n F_n = 2²ⁿ + 1 的分解

0 ∼ 4 3, 5, 17, 357, 65537 (質數) 5 641 × 6700417

6 274177 × 67280421310721

7 59649589127497217 × p²² (pk 代表 k 位的質數, 下同) 8 1238926361552897 × p⁶²

9 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × p⁹⁹ 10 45592577×6487031809×4659775785220018543264560743076778192897× p²⁵² 11 319489×974849×167988556341760475137×356084190445833920513× p⁵⁶⁴

114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 1256132134125569 × c¹¹⁸⁷ 12 (ck 代表 k 位合數, 下同)

271095469361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 13 ×319546020820551643220672513 × c²³⁹¹

14 c₄₉₃₃

15 1214251009 × 2327042503868417 × c⁹⁸⁴⁰ 16 825753601 × c¹⁹⁷²⁰

17 31065037602817 × c39444

18 13631489 × c78906

19 70525124609 × 646730219521 × c157804

註

_:

關於費馬數的分解進展不斷有消息披露

,

稍前的情況如

:

1971

年布裡罕德

(J. Brillhart)

和莫瑞森

(M. Morrison)

用電子計算機

_IBM360-91

花

1.5

小時機上時間找到

^F

₇的兩個質因子

₍

除上表給出的一個外

_,

另一個是

5704689200685129054721

。

₎

1981

年兩位數學家在

Univac 1100/42

電子計算機上花

₂

小時找到

^F

₈的一個

₁₆

位質因子

_,

另一個為

₆₂

位

₍

但不知其是否為質數

₎

。

1977

年威廉姆

(Wilianm)

證明

^F

₃₃₁₀ 是合數

,

且有因子

_{5 · 2}

³³¹³

+ 1

。

1980

年哥廷汀

(Goltinting)

證明

^F

₁₇是合數。

1987

年德國漢堡大學的凱勒

(W. Keller)

在電子計算機上找到

^F

₂₃₄₇₁ 的一個質因子

₍

約

7000

位

₎

。

1990

年美國加州大學伯克萊分校的萊斯特拉

(H. W. Lenstra, Jr.)

等人分解了

^F

₉。 同年

,

澳洲國立大學的布瑞特

(R. P. Brent)

分解了

^F

₁₀

(

使用橢圓曲線法

ECM),

且找到 了它的一個

₄₀

位的質因子。

1992

年

_,

裡德學院的柯蘭克拉裡

(R. E. Cranclall)

和德尼亞斯

_(Doenias)

證明了

^F

₂₂ 是 合數。

截至目前

,

人們已經證明

_{5 ≤ n ≤ 19}

時

^F

_n 皆為合數

,

但

^F

₁₄ 的因子卻一直未能找到。

順便一提: 高斯 (C. F. Gauss) 曾在 19歲時發現且證明了:

尺規可作正 n 邊形 ⇐⇒ n ≥ 3 且 n 的最大奇因子是不同的費爾馬質數之積。

高斯本人給出正 17 邊形作法 (F₃ = 17), 之後德國人路利 (J. Lowry) 給出正 257 (F4) 邊形、 海默斯 (Hermes) 完成正 65537 (F5) 邊形尺規作圖。

2. 梅森 (M. Mersenne) 質數

公元前 300多年, 古希臘學者歐幾里得在其 「幾何原本」 中給出 “完全數” 概念, 所謂完全 數係指 “恰好等於自身的全部真因子之和的數”, 像 6、 28、 496、 8128、... 均為完全數 (比如 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 等)。 完全數因具有某些奇妙特性而倍受一些學者的青睞, 有人稱之 為自然數中的瑰寶。

「幾何原本」 希臘文、 拉丁文對照本 首頁 (1573年)

李善蘭譯漢文 「幾何原本」 首頁

「原本」 中還給出一個判定完全數的命題:

若 2^p− 1 是質數, 則 (2^p− 1)2^p−1 是完全數。

1730 年, 歐拉給出關於它的另一個結論:

若 n 是一個偶完全數, 則 n 必有 2^p−1(2^p− 1) 形狀, 其中 2^p− 1 為質數。

這兩個命題綜合起來使得 (偶) 完全數與 2^p− 1 型質數完全對應起來。

1644 年法國神父、 業餘數學家梅森在 「物理學與數學的深思」 一書中宣稱:

當 p = 2、 3、 5、 7、 13、 17、 19、 31、 67、 127、 257時, 2^p−1 是質數 (下記 M^p = 2^p−1, 且稱之為梅森數, 其中的質數稱梅森質數)。

由於梅森本人僅僅驗算了其中的前 7 個, 而後面的一些因其太大而不便核驗, 但人們似乎 對此篤信不二。

1903 年美國哥倫比亞大學的科爾 (F. N. Cole) 在紐約的一次科學報告會上, 做了一次無 聲的發言, 他只是在黑板上寫到:

2⁶⁷− 1 = 147573952589676412927

= 193707721 × 761838257287.

之後便贏得全場一片經久的掌聲。 顯然, 他否定了梅森數表中 p = 67 時 2⁶⁷− 1 是質數的猜 測。

1911 年, 鮑威爾 (R. E. Power) 又發現 M89 是質數 (梅森數表中漏掉了)。

1922年, 克萊希克 (M. Kraitchik) 指出 M₂₅₇亦不是質數 (他的證明是非構造性的, 儘管 他當時並未找出該數的哪怕任一個質因子)。 這正像波蘭數學家斯坦因豪斯 (H. D. Steinhaus) 在其名著 「數學一瞥」 中記述的 (20世紀 50年代):

七十八位數 2²⁵⁷− 1 = 231 584 178 474 632 390 847 141 970 017 375 815 706 539 969 331 281 128 078 915 168 015 826 259 279 871 是合數, 可以證明它有因子, 儘管人們 尚未找到它。

它的因子直到 1984年才由美國桑迪亞 (Sandia) 國家實驗室的科學家找到。

此後人們尋找梅森質數的工作一直未曾間斷, 到 2001年 11月止, 人們共找到 39個梅森質 數 Mp, 這些 p 值分別是:

2、 3、 5、 7、 13、 17、 19、 31、 61、 89、 107、 127、 521、 607、 1279、 2203、 2281、 3217、

4253、 4423、 9689、 9941、 11213、 19937、 21701、 23209、 44497、 86243、 110503、 132049、

216091、 756839、 859433、 1257787。

顯然, 人們至此也相當於找到 39 個偶完全數。^[1]

接下來的問題是: 是否有無窮多個梅森質數? 這一點尚無定論。

不過, 1964年吉利斯 (D. B. Gillies) 給出下面的猜測: ^[17] 小於 x 的梅森質數個數約為

2 ln ln x ln 2 。

關於完全數, 由於至今人們找到的全部是偶數, 因而 “有無奇完全數存在” 的這樣一個話 題被提了出來, 這也是一個至今尚未被解開的謎。

不過, 1989年布倫特 (R. P. Brent) 指出: ^[18] 若奇完全數存在, 則它須大於 10¹⁶⁰。

3. 正交拉丁方猜想

據說當年普魯士腓德烈大帝在閱兵時問歐拉: 「從三個不同的兵團各抽出三名不同軍銜的 軍官, 能否把他們排成一個 3 × 3 方陣, 使每行、 每列皆有不同兵團、 又有不同軍銜的代表?」

問題不難解答, 我們用 a, b, c 表示兵團標 號, 用 A, B, C 表示不同軍銜則有下面的布陣 方式:

aA bC cB bB cA aC cC aB bA

對於兵團、 軍銜種類數為 4、 5 的情形, 人 們也不容易找出符合上述要求的方陣排列:

aD bA cB dC cC dB aA bD dA cD bC aB bB aC dD cA

aA cD dE eB bC dC bB eA cE aD eD aE cC bA dB bE eC aB dD cA cB dA bD aC eE

如果兵團、 軍銜數為 6 情況又如何? 這便是所謂 “36 個軍官問題”, 歐拉曾於 1779 年開始 研究它。

為方便計, 歐拉用大、 小寫拉丁字母分別表示不同軍銜和兵團, 因而這類排方陣問題又有

“歐拉拉丁方” 稱謂。 而所提要求: 每行、 每列既有不同軍銜又有不同軍團代表, 數學稱之為 “正 交”, 如此一來, 問題又可稱為 “正交拉丁方問題”, 其中兵團或軍銜數稱為 “階”。

歐拉經過一段時間研究和嘗試後宣稱:

6、 10、 14、..., 一般地 2(2k + 1) 階正交拉丁方不存在 (k ∈

^N

)。

1901 年塔利 (G. Tarry) 用窮舉法證得 “6 階正交拉丁方不存在”, 這樣一來對於歐拉上 述猜想人們似乎篤信, 儘管當時尚未有人給出它的證明。

20世紀50年代末, 由於科學技術發展而使得正交設計這門學科興起, 它也給正交拉丁方問 題研究注入生機。

是時, 印度數學家玻色 (R. C. Bose) 用射影幾何方法證明了結論:

若 p 是質數 (或它們的冪), 則定存在 p 階正交拉丁方完全組 (即有 p − 1 個 p 階拉丁方, 且它們兩兩正交)。

1958 年, 美國數學家帕克 (E. T. Parker) 用群論和有限幾何的方法, 構造出 21 階正交拉 丁方。 在他的方法啟發下, 玻色和史里克漢德 (Shrikhande) 給出 22階 (即 k = 5 時 4k + 2 型數) 正交拉丁方, 這便否定了歐拉的上述猜測。 緊接著他們又構造出 10階 (k = 2 時 4k + 2 型數) 正交拉丁方 (見圖):

10 階正交拉丁方

Aa Eh Bi Hg Cj Jd If De Gb Fc Ig Bb Fh Ci Ha Dj Je Ef Ac Gd Jf Ia Cc Gh Di Hb Ej Fg Bd Ae Fj Jg Ib Dd Ah Ei Hc Ga Ce Bf Hd Gj Ja Ic Ee Bh Fi Ab Df Cg Gi He Aj Jb Id Ff Ch Bc Eg Da Dh Ai Hf Bj Jc Ie Gg Cd Fa Eb Be Cf Dg Ea Fb Gc Ad Hh Ii Jj Cb Dc Ed Fe Gf Ag Ba Ij Jh Hi Ec Fd Ge Af Eg Ca Db Ji Hj Ih 同時他們還證明了: 除了 n = 2、 6外, 任何 n 階正交拉丁方都存在。

4. 歐拉關於 x

⁴

+ y

⁴

+ z

⁴

= t

⁴

無解猜想

1753 年歐拉完成了 n = 3, 4 時費爾馬猜想 “xⁿ+ yⁿ = zⁿ 無非平凡整數解” 的證明, 他同時預感到接下來的 n 值證明將會十分艱難, 於是, 他又從另一角度提出一個猜想:

xⁿ₁ + xⁿ₂ + · · · + xⁿn−1 = xⁿ_n 當 n ≥ 3 時, 無非平凡整數解。

顯然, n = 3 時上述猜想即為費爾馬猜想。

兩個世紀過去了, 人們無法斷言歐拉的上述猜是真是偽。

1911 年諾利 (Noeli) 給出 (文獻也稱迪克森 (Dickson) 給出) 等式:

30⁴+ 120⁴+ 272⁴+ 315⁴ = 353⁴,

它雖不是上述歐拉猜想的反例, 但這對歐拉猜想來講的確不是 “好” 消息。

果然, 1960年蘭德 (L. J. Lander) 和帕肯 (T. R. Parken) 在電子計算機幫助下找到等 式: ^[12]

133⁵+ 110⁵+ 84⁵+ 27⁵ = 144⁵, 它顯然否定了歐拉的上述猜想。

然而對 n = 4 時猜想成立否, 一段時間人們無法判別。

近二十年後, 1987年美國哈佛大學的埃里克斯 (N. Elkies) 借助橢圓曲線理論, 找到下面 算式否定了歐拉猜想中 n = 4 的情形: ^[12]

2682440⁴+ 15365639⁴+ 1879670⁴ = 20605673⁴. 爾後, 弗耶 (R. Frye) 給出更小的一個例子: ^[12]

95800⁴+ 217519⁴+ 414560⁴= 422481⁴. 至於 n ≥ 6 時歐拉猜想是否成立, 人們至今尚不得知。

5. 波利亞 (G. P´ olya) 問題

1919 年在蘇黎世瑞士聯邦工學院任教的波利亞曾就整數質因子個數問題進行研究, 當時 他提出下面問題:

若記 τ (n) 為自然數 n 的因子個數 (包括重數), 且規定 τ (0) = 0; τ (p) = 1, 若 p 是質 數。 τ (n) 又稱數論函數。

記 Ox 為不超過 x 的有奇數個因子的正整數個數; Ex 為不超過 x 的有偶數個因子的正 整數個數, 則當 x ≥ 2 時, Ox ≥ E^x。

若記 L(x) = Ex − O^x, 上述猜想即 L(x) ≤ 0。 又 L(x) =

^P

^xk=1λ(k), 其中 x > 1, λ(k) = (−1)^τ(k)。

人們驗算了 x ≤ 50 的全部情形皆真。

好景不常, 海塞格洛夫 (C. B. Haselgrove) 1958年證明: 有無窮多個 x, 使 L(x) > 0。

但他卻未能給出具體例子。

四年後, 拉赫曼 (R. S. Lehman) 發現:

L(906180359) = 1, 從而成為否定波利亞猜想的第一個具體反例。

1980 年, 塔納卡 (M. Tanaka) 證明: x = 906180257 是使 L(x) > 0 的最小 x。

與之相關的另一個例子是默頓斯 (F. Mortons) 給出的。 他把無重因子的自然數稱為 S 類數, 若這類數中因子個數是奇數個, 則稱它為 S-奇積數, 因子個數是偶數者稱為 S-偶積數。

將不大於 n 的 S-奇積數與 S-偶積數之差記為 D(n), 默頓斯認為 D(n) ≤√n。

1897 ∼ 1913 年間, 馮 · 斯特內克 (L. Von Stenerk) 驗算了 5 × 10⁶ 以內的數均有 D(n) ≤√n, 且當 n > 200 時還有 D(n) ≤ 0.5√n。

1979 年科恩 (H. Cohen) 等人給出下面的否定上述猜測的算式:

D(7725038629) > 0.5 ·√

7725038629.

1984 年, 奧德茨科 (A. M. Odrizk) 和特里爾證明: 有無窮多個 n, 使 D(n) > 1.06√n, 從而否定了默頓斯猜想。

順便講一句: 倘若黎曼 (G. F. B. Riemann) 猜想成立, 可以推得結論: ^D(n)√n 比 n¹⁰⁰¹ 增 長還慢。

關於數論函數 τ (n) 也順便說兩句, 年輕早逝的印度數學家拉馬奴金 (S. Ramanujan) 早 年曾給出其大小的一個估計猜測:

τ(n) ≤ 2n^α, 其中 α = 11 2 . 拉馬奴金本人給出了 α = 7 的證明。

爾後英國大數學家哈代 (G. H. Hardy, 發現、 培養拉馬奴金的 “伯樂”) 證明 α = 6。

接著, 哈代的學生蘭金 (R. A. Rankin) 證明了 α = ²⁹₅ 的情形。

半個世紀後, 1974 年比利時數學家德利涅 (P. R. Deligne) 利用代數幾何工具終於證明 了 α = ¹¹₂ 。 順便講一句, 他於同年解決了韋伊猜想 (Weil’s Conjecture), 且在 1978年榮獲著 名的菲爾茲獎 (Field’s medal)。

數論函數 τ (n) 也稱為算術函數, τ (n) 是該類函數之一種。

6. 契巴塔廖夫 (Tchebotareff ) 問題

前文我們提及了尺規作圖中正多邊形作圖可能性問題, 其實這個問題還與所謂 “分圓多項 式” 有聯繫。

滿足 xⁿ− 1 =

^Q

d|nΦd(x) 的多項式 Φ1,Φ2, . . ., 其中乘積遍歷 n 的全部正因子, 包括 n 自身。 在複數域上有:

Φn(x) =

n

Y

k=1

(x − ξ^k),

這裡 ξi 系 1 的 n 次原根 ξk = cos^2kπ_n + i sin^2kπ_n = exp^2kπ_n , Φn(x) 的次數是 1, 2, . . . , n 中 與 n 互質的整數 k 的個數。 這類多項式稱為分圓多項式。

這種多項式可以通過從 xⁿ− 1 中除去所有滿足 d < n 及 d | n 的 Φ^d(x) 的乘積而遞歸 地給出。 比如係數在素域

P

中有

Φ1(x) = x − 1, Φ²(x) = x + 1, Φ3(x) = x²+ x + 1, . . . 若 n 為質數 n = p, 則有:

Φp(x) = x^p − 1

x− 1 = x^p−1+ x^p+ · · · + 1.

如果 Φn(x) = 0 是根式可解的, 則 n 等分圓周 (作正 n 邊形) 是尺規可完成的。

對於多項式 xⁿ− 1 的分解式, 曾引起了前蘇聯的契巴塔廖夫關注, 當他發現:

x− 1 = x − 1,

x²− 1 = (x − 1)(x + 1), x³− 1 = (x − 1)(x² + x + 1), x⁴− 1 = (x − 1)(x + 1)(x²+ 1),

x⁵− 1 = (x − 1)(x⁴ + x³+ x²+ x + 1),

· · · ·

時便提出猜測: xⁿ− 1 分解為不可約整係數多項式因式後, 各項係數絕對值均不超過1。

當 n < 105 時, 人們未曾發現意外而遇到麻煩, 但伊萬諾夫 (V. Yvanof) 指出, x¹⁰⁵− 1 有既約因子:

x⁴⁸+ x⁴⁷+ x⁴⁶− x⁴³− x⁴²− 2x⁴¹− x⁴⁰− x³⁹+ x³⁶+ x³⁵+ x³⁴ +x³³+ x³²+ x³¹− x²⁸− x²⁶− x²⁴− x²²− x²⁰+ x¹⁷+ x¹⁶+ x¹⁵ +x¹⁴+ x¹³+ x¹²− x⁹− x⁸− 2x⁷− x⁶− x⁵+ x²+ x + 1,

這兒 x⁷ 和 x⁴¹ 的係數均為 −2, 此例推翻了契巴塔廖夫猜想。

順便講一句, 這個例子使人聯想起本比巴赫 (L. Bieberbach) 猜想 (1916 年提出), 該猜 想指:

若 z ∈

^C

, 且 |z| < 1 (複平面單位圓內), 單葉解析函數 f(z) = z +

^P

^∞k=2a_kz^k 中,

|a^k| ≤ k (k = 2, 3, 4, . . .)。

此猜想於 1984年為美國數學家勃朗日 (de Brange) 證得。

7. 半正定齊次式表為平方和問題

1855 年德國數學家閔可夫斯基 (H. Minkowski) 提出:

實係數半正定齊次式 f (x1, x₂, . . . , x_n) 能否表成齊次式平方和?

1888 年希爾伯特 (D. Hilbert) 討論了該問題, 且得出:

若 m 次 n 元實係數半正定齊次式可表為齊次式平方和的充要條件是 ¹ n ≤ 2, m 任意 或 ² n 任意, m = 2 或 ³ n = 3, m = 4 時。

此外, 他認為: n = 3, m 6= 4 時, 三元半正定式不一定能表為齊次式平方和, 但他本人無 法斷言。 (1900年, 希爾伯特將此問題一般情形列為他著名的數學問題中第17問題, 不過那裡去 掉了表為平方和式的齊次限制, 該問題於 1927年為阿廷 (E. Artin) 解決)。

1967 年, 莫茲金 (T. S. Motzkin) 終於找到了這種反例, 例子是: ^[19]

f = z⁶+ x⁴y²+ x²y⁴− 3x²y²z², 由於 f ≥ 3√

z⁶· x⁴y²· x²y⁴− 3x²y²z² = 0, 知 f 是半正定齊次式。

下用反證法證明 f 不能表為齊次平方和。

若不然, 設 f =

^P

^l_i=1f_i², 顯然 fi 不含 x³, y³, x²z, y²z, xz² 和 yz² 項, 且 fi 只含 xy², x²y, xyz 和 z³ 的線性組合。

這樣,

^P

^l_i=1f_i² 中 x²y²z² 項係數非負, 而與題設式 f 有 −3x²y²z² 項矛盾! 故 f 不能 為齊次式平方和。

稍後, 肖伊 (M. D. Choi) 於 1975年和 1977年又分別給出兩個這類反例:^{[20] [21]}

x⁴y²+ y⁴z²+ z²x²− 3x²y²z² 和 w⁴+ x²y²+ y²z²+ z²x²− 4xyzw.

此外, 一個半正定多項式能表為有理函數平方和時, 平方和個數問題亦為人們關注。 若記 n 個變元的有理函數個數為 p(R(x1, x₂, . . . , x_n)), 卡塞爾 (Cassels) 等人給出估計:

n+ 1 ≤ p(R(x¹, x₂, . . . , x_n)) ≤ 2ⁿ.

8. 希爾伯特第16問題

1900 年世界數學家大會上希爾伯特發表的著名演說中提出23 個數學問題, 其中第 16 問題 涉及到微分方程

dy

dx = Q_n(x, y)

P_n(x, y) (Pn, Q_n 為 x, y 的 n 次多項式) 的極限環最大個數和位置問題。

下記 H(n) 為上面方程最大極限環個數。 1955 年前蘇聯科學院院士著名數學家彼德洛夫 斯基 (Bedelovski) 宣稱他們證明了 H(2) = 3。

盡管 12年後他們發現自己文章中的引理錯誤, 但他們仍聲稱 H(2) = 3 成立。

1966 年美國數學家庫佩爾 (K. Coppel), 1975 年佩科 (Perko) 曾懷疑前面的結論不真, 但他們卻找不出推翻這個結論的依據。

1979 年中國學者史松齡給出一個二次系統至少有四個極限環的例子: ^[5]



 

 

dy

dx = λx − y − 10x²+ (5 + δ)xy + y²,

dy

dx = x + x² + (−25 + 8ε − 9δ)xy,

其中 λ = −10⁻²⁵⁰, ε = −10⁻⁷⁰, δ = −10⁻¹⁸。 例子可給出四個環域, 且使每個環域至少存 在一個極限環 (見圖)。

稍後, 南京大學的陳蘭蓀和王明淑也給出一個這種反例,^[6] 從而推翻了彼德洛夫斯基的結 論。

例子舉到這兒, 不過我們還想再次重申: 大師們的失誤絲毫不影響他們的光輝, 與他們在 數學上所作的貢獻相較, 這些是微乎其微的, 正如我們前面所說 “瑕不掩瑜” 的道理。

揭示大師們的失誤不僅可令我們嚴謹, 同時也可從其反面悟及真理。 物理學家莫里 (C.

Morley) 說: “淺顯的真理, 反面是虛偽的; 深邃的真理, 反面還是真理”。 人們在尋找大師們 的失誤中, 從反面已獲益匪淺, 由構造反例推翻結論而創造的方法、 理論和技巧, 已經或既將為 數學自身發展作出貢獻。

謝謝大師們! 也謝謝為大師們尋找失誤的數學家!

參考文獻

1. 吳振奎, 數學中的推廣、 反例及不可能問題, 遼寧教育出版社, 1993 (本書將由九章出版社 以 「數學的創造」 為書名增訂再版)。

2. 吳振奎, 數學中的美, 天津教育出版社, 1997 (九章出版社即將再版)。

3. 梁宗巨, 數學歷史典故, 遼寧教育出版社, 1992。

4. 戴執中、 曾廣興, Hilbert 第十七問題, 江西教育出版社, 1990。

5. 史松齡, 二次系統 ( ˙E₂) 出現至少四個極限環的例子, 中國科學, 1979(11)。

6. 陳蘭蓀、 王明淑, 二次系統極限環的相對位置與個數, 數學學報, 1976(7)。

7. 李文林, 數學史教程, 高等教育出版社, 2000。

8. 李文林、 袁向東, 希爾伯特問題及其解決簡況, 數學實踐與認識, 1982(1)。

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10. 吳振奎, 談談質數表達式, 中等數學, 1999(2)。

11. 吳振奎, 費爾馬質數與尺規作圖, 中等數學, 1999(3)。

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13. 吳振奎, 數學中的巧合、 聯繫與統一, (「數學傳播」 待發)。

14. 曹富珍, 數論中的問題與結果, 哈爾濱工業大學出版社, 1996。

15. Selfridge, J. L., Factors of Fermat Numbers, Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 7(1953), 274.

16. Carl Pomerance., A Tale of Two Sieves, Notices of the American Mathematical Society, Vol.33, No.12, 1996.

17. 勞斯 · 鮑爾、 考克斯特 (楊應辰譯), 數學遊戲與欣賞, 上海教育出版社, 2001, 67。

18. 俞曉群, 自然數中的名珠, 天津科學技術出版社, 1990。

19. Motzkin, T. S., The arithmetic-geometric inequality, Inequalities (O. Shishaed), Acad. Press, 1967, 205-224.

20. Choi, M. D., Positive semidefinite biquadratic forms, Lin. Alg. Appl. 12(1975), 95-100.

21. Choi, M. D. and Lam, T. Y., Extremal positive semidefinite forms, Math. Ann.

231(1977), 1-18.

22. 「數學百科全書編譯委員會」, 數學百科全書 (1-5 卷), 科學出版社, 1994-2000。

23. 華羅庚, 數學歸納法, 上海教育出版社, 1964。

—本文作者任教於中國天津商學院—