我的三次方程式公式解之旅
周伯欣
圖 1: 加州理工學院 Feynman1 研究室中的黑板。 Feynman 在左上角寫著:
“What I cannot create, I do not understand.”
(我不能創造的東西, 我就不瞭解)
1. 一道因式分解題目
張海潮教授在 [1] 中回顧了他在初三時一起與父親分解 x3+ y3+ z3− 3xyz 的往事, 透 過此文可窺見一位少年數學家的成長歷程。 但在 [2] 中, 張海潮教授對於當年這個讓父子共同 鑽研的式子的評價卻是 「這個分解完全是基於偶然, 其實並沒有什麼教學的價值。」 令人詫異的 是, 楊維哲教授在 [3] 中對此式的評價則是 「這幾乎是關於三元的需要熟悉的唯一的公式 !」2但
1Richard Phillips Feynman (1918∼1988), 美國理論物理學家, 量子電動力學創始人之一。 由費曼提出或完善的費曼圖、 費曼規 則 (Feynman rules) 和重整化計算方法是研究量子電動力學和粒子物理學的重要工具。
2一個題外話, 楊維哲教授行文之時好用驚嘆號。 如果看到一篇數學文章出現大量驚嘆號, 十之八九出自楊維哲教授之手。
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未說明為何需要熟悉。 北一女中的陳建燁老師對於此式的見解與張教授不同, 在 [4] 中給出了 此式所謂的 「來龍」 與 「去脈」: 如何分解以及此式在算幾不等式的應用。
為敘述方便, 在本文中我依循楊維哲教授的稱法, 將 x3+ y3+ z3− 3xyz 稱為 「三元三 次輪換式」。
這裡我也談談如何分解三元三次輪換式。 與陳老師不同的地方在於, 他所著眼的出發點與 張教授相同, 仍然繞著對稱多項式談。 [4] 中給出的推導, 用到了三次方程式的根與係數關係。
然而, 在高中數學教材中3, 三元三次輪換式早早就會出現, 甚至在銜接課程中的因式分解單元 就會遇到。而三次方程式的根與係數關係至少要到第 1 冊的第 2 章才會正式提到。 如果學生的 先備知識不足, 我們如何向一個只學了課內教材 x3± y3 = (x ± y)(x2∓ xy + y2) 的普通程 度學生介紹此式的分解呢?
辦法仍然是有的, 而且應該也不會超出學生能力太多。
對於三元三次輪換式
x3+ y3+ z3 − 3xyz,
首先只看 x3 與 y3, 如果直接套用 x3+ y3 = (x + y)(x2− xy + y2), 基本上無法帶給我們什 麼進展。 我們轉而考慮 「配立方」, 也就是
(x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3) + z3− 3x2y − 3xy2− 3xyz.
此時根據和的立方公式得
(x + y)3+ z3− 3x2y − 3xy2− 3xyz.
我們對前兩項使用立方和公式, 得
(x + y + z)(x2+ 2xy + y2− zx − yz + z2) − 3x2y − 3xy2− 3xyz.
後頭的 −3x2y − 3xy2 − 3xyz 看起來不好處理, 但如果仔細觀察, 可以發現各項都有公因式
−3xy, 於是將之提出, 得到
(x + y + z)(x2+ 2xy + y2− zx − yz + z2) − 3xy(x + y + z).
這時兩項都有公因式 x + y + z, 我們可以因式分解了! 那麼有
x3 + y3+ z3− 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2+ z2− xy − yz − zx).
此式的一個應用是證明 3 元算幾不等式, 在 [4] 中已有充分的說明, 此處不再贅述。
然而, 三元三次輪換式的應用僅僅如此嗎? 不! 一個簡單的想法竟引領我走上一條得出三 次方程式公式解的神奇捷徑。
3無論是 88 課綱、 95 暫綱、 99 課綱, 還是即將實施的 108 課綱皆然。
2. 三次方程式的 Cardano
4公式
2.1. 少年 Mark Kac 的困惑
數學家 Mark Kac 曾在其自傳“Enigmas of Chance: An Autobiography”5 中回憶 16 歲時的他對於三次方程式的 Cardano 公式經典推導方式是怎樣的困惑:
(我) 拿起一本暑期數學讀物, 打開在三次方程式這一節, 讀到第一行我就被打敗了。
開頭這樣寫著:「令 x = u + v。」 因為我知道答案是兩個立方根之和, 所以令 x = u+ v, 顯然是預期這樣的解答形式, 但是整體說起來, 我覺得這對學習者是不公平 的。 · · · 在不了解背後的動機之下, 我無法接受形式的推演。 直接令, 而不說明為什 麼要這樣做, 這對我是一種冒犯。
Kac 這麼厲害的人物都對這樣的做法困惑, 我也不例外。 依稀記得是高一上學期的時候翻了竹 中數學科辦公室裡的教師手冊第 1 冊, 當時看完只覺得很神奇, 認定是天才的作法, 自認沒本 事獨力想出來。
撰寫這篇文章前, 我問了幾個同樣也是學數學的朋友:「你當初學三次方程式公式解的時候, 不會覺得一開頭那招 『令 x = u + v』 太神奇了嗎?」 得到的回答泰半是 「不知道」、 「老師說那 樣算就可以解出來, 所以就學起來」、 「確實覺得很神奇, 但是就(語塞) · · · 學起來」。 而當我問 到 「那你知不知道當時 Cardano 怎麼想出來? 或是為什麼要這樣做?」 這話題就聊不下去了。
其實早在當年, 還是高中生的我就下定決心要弄懂經典解法的動機, 或是給一個能說服自己的 自然推導方式。 然而十多年過去, 我自己還是沒有想出來, 雖然也看了許多相關書籍或文章, 但 仍然沒有解答我本來的疑惑。
2.2. 可以繼續因式分解嗎 ?
請允許我暫且回到三元三次輪換式的分解來。 人的思路不像數學推理是線性的, 但正是這 樣的 「於無聲處聽驚雷」 才顯得數學有趣。
前面談了三元三次輪換式的分解為
a3+ b3 + c3− 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca).
(此處改用 a, b, c 是為了等等討論方程式時行文的方便) 我不太滿意這個分解, 因為 a + b + c 是一次式, 但 a2+ b2+ c2− ab − bc − ca 卻是二次式, 次數不大均衡, 看起來不美。 不過我也 明白, 在利用三元三次輪換式證明 3 元算幾不等式時, 是倚仗著 a2+ b2+ c2− ab − bc − ca
4Girolamo Cardano (1501∼1576), 義大利文藝復興時期的學者, 主要成就在數學、 物理、 醫學方面。
5中譯本書名為 《機運之謎: 數學家 Mark Kac 的自傳》, 由蔡聰明教授翻譯, 三民書局出版。 以下引文錄自蔡教授之中譯本。
在實數域上的正定性。 所以想在實數的範疇中分解 a2+ b2+ c2− ab − bc − ca, 是辦不到的。
所以如果想繼續分解, 那就得到複數的世界去。
首先對 a2+ b2+ c2− ab − bc − ca 中的 a 硬配方, a2 + b2+ c2− ab − bc − ca = a2− (b + c)a + b2+ c2− bc
=h
a2−2·a·
b+c 2
+b+c 2
2i
−
b+c 2
2
+b2+c2−bc
= a − 1
2b − 1 2c2
+ 3
4(b2− 2bc + c2)
= a − 1
2b − 1 2c2
+ 3
4(b − c)2, 為了要在複數域上分解, 利用恆等式 m2+ n2 = (m − ni)(m + ni) 得到
a − 1
2b − 1 2c2
+ 3
4(b − c)2
= a − 1
2b − 1 2c2
−h√ 3i
2 (b − c)i2
=h
a − 1 2b − 1
2c
−
√3i
2 (b − c)ih
a − 1 2b − 1
2c
+
√3i
2 (b − c)i
=h a+
−1 2 −
√3i 2
b+
−1 2 +
√3i 2
cih
a+
−1 2 +
√3i 2
b+
− 1 2−
√3i 2
ci
.
若記 1 的三次方根 ω = −1 2 +
√3i
2 , 於是就有
定理1: a3 + b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a + ω2b+ ωc)(a + ωb + ω2c)。
2.3. 從輪換式的分解式推出三次方程式的公式解
眾所皆知, 任意一個三次方程式 ax3+ bx2+ cx + d = 0 都可以經一次變換 x = z − b 而化為缺二次項之形式 (參考 [5]): 3a
z3+ pz + q = 0.
令此方程式的三根分別為 z0, z1, z2, 則由因式定理可知
z3 + pz + q = (z − z0)(z − z1)(z − z2).
同時比較此分解式與三元三次輪換式的分解式, 兩者有高度的類似性:
a3+ b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a + ω2b+ ωc)(a + ωb + ω2c), z3+ pz + q = (z − z0)(z − z1)(z − z2).
令 a = z, −3bc = p, b3+ c3 = q, 則方程式的三根就是
z0 = −b − c, z1 = −ω2b − ωc, z2 = −ωb − ω2c.
唯一的工作只剩將 b, c 以 p, q 表示出來, 這樣就解出三次方程式了! 同時, 我還要提請讀者留 意, 透過這樣的對比, 某種程度來說側面反映出經典解法 「令 x = u + v」 這一步是合宜的。 當 我做到這邊時, 剎那間, 十多年來的疑惑一掃而空!
將條件式
(−3bc = p b3 + c3 = q 改寫為
(bc= −p 3 b3 + c3 = q ,
但我更偏好聯立方程式中各項未知數的次數都相同(大概出自於美的協調性), 所以將其中的第 一條左右同時立方, 得到
b3· c3 = −p3 27 b3+ c3 = q
.
看到兩數相加 (和) 與相乘 (積), 不難聯想到二次方程式的根與係數關係, b3 與 c3 就是二次方 程式
t2− qt − p3 27 = 0 的兩根。 利用二次方程式的公式解可輕易求出兩根
t=
−(−q) ± r
(−q)2− 4 · 1 ·
− p3 27
2 · 1 = q
2± r
q 2
2
+p 3
3
. 基於 b3 與 c3 在原來條件式中的對稱性, 逕取
b3 = q 2 +
r q 2
2
+p 3
3
, c3 = q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
. 從而解出
b= 3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
, 或 ω3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
, 或 ω2 3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
,
c= 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
, 或 ω 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
, 或 ω2 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
.
根據原來條件式中的 bc = −p
3, 可知 b 與 c 的適當搭配應該是 (b, c) =
3
s q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
, 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
,
或
ω3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
, ω2 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
,
或
ω2 3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
, ω 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
. 而不論我們選哪一組, 都可以得到三次方程式 z3+ pz + q = 0 的三個根。 即 定理2: (Cardano) 三次方程式 z3+ pz + q = 0 的三個根分別為
−3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
− 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
,
−ω2 3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
− ω3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
,
−ω 3 s
q 2+
r
q 2
2
+p 3
3
− ω2 3 s
q 2−
r
q 2
2
+p 3
3
. 而我的三次方程式公式解之旅也到此暫時告一段落。
儘管旅程相當漫長, 中途似乎逗留不少時間。 但回首整個過程, 從義大利出發, 接著欣賞了 不少法蘭西風光: Lagrange 的預解式、 Vandermonde 的根的置換以及最壯麗的 Galois 理 論, 令人回味無窮! 從前總覺得 Cardano 公式的來由很神奇, 如今似乎也沒那麼困難了。
致謝: 本文撰寫過程中, 感謝連威翔先生對計算草稿的審閱與討論。
參考文獻
1. 張海潮。 父親幫我因式分解。 教育部高中數學學科中心電子報, 第44 期。
2. 張海潮。 數學放大鏡 — 暢談高中數學, 〈x3+ y3+ z3− 3xyz 因式分解的故事〉。 三民書局, 2013。
3. 楊維哲。 湖濱高中數學講義之二 代數。 五南出版, 2012。
4. 陳建燁。 也談 「a3+ b3+ c3− 3abc 因式分解」 的教學。 教育部高中數學學科中心電子報, 第105 期。
5. L. E. Dickson, First Course in the Theory of Equations, John-Wiley & Sons, 1921.
6. Dan Kalman, Uncommon Mathematical Excursions: Polynomia and Related Realms, The Mathematical Association of America, 2009.
—本文作者現任教於台北鵬展文理補習班, 並主持 「宇宙數學教室」 部落格—
