數學傳播
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卷1
期, pp. 62-65
從一元二次方程求根公式談起 ( 一 )
靳衛軍
1、 問題的提出
關於實係數一元二次方程
ax2+ bx + c = 0 (1) 的求根公式傳統的推導方法是這樣的: (1) 式兩邊同除以 a 得:
x2 + b ax+ c
a = 0 (2)
配方得:
(x + b
2a)2 = b2− 4ac
4a2 (3)
· · · 這樣做固然正確但卻違反常理而且也較麻煩, 同時在深層應用上也暴露了其不足。
1.1. 為什麼 (1) 式兩邊要同除以 a, 把二次項係數化為 1 呢? 我們在解方程或不等式時, 例如 2
3x2 + 1
2x+ 3 = 0 一般原則是把分數係數化為整係數, 再如用公式法解一元二次方程 2x2+ x − 1 = 0, 並非把二次項係數化為1才代入求根公式的, 這樣做反而麻煩。 公式推導過 程和應用應該是一致的。
1.2. 由 (2) 式為什麼要配方呢? 為什麼和怎樣想到要採取這一步呢? 這在學習過程中是 一非常重要的問題。
1.3. 當 b2− 4ac ≥ 0 時, (3) 式兩邊開方得:
x+ b
2a = ±√
b2 − 4ac
√4a2 = ±
√b2− 4ac
|2a| . (4)
由此得到的求根公式應為:
x1,2 = − b 2a ±
√b2− 4ac
|2a| , (5)
而非我們的經典結果:
x1,2 = −b ±√
b2− 4ac
2a (6)
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1.4. 學了一元二次方程求根公式, 人們都知道 (1) 式若有二根, 其可分解為: ax2+ bx + c= a(x − x1)(x − x2)。 為什麼分解結果是這樣呢? 沿襲傳統推導一元二次方程求根公式過程 去說明不僅麻煩, 而且無法揭示說明問題的根源。 由於搞不清問題的來龍去脈就導致僅能停留 在一種機械、 生硬、 表面的應用上, 本文例 3 就暴露了傳統方法之不足。2、 怎樣才能自然、 合理、 簡明地得到一元二次方程的求根公式呢?
我們會解形如 (I): ax2 = b、 (II): (ax + b)2 = c 兩種類型的方程。 那麼怎樣求 ax2 + bx+ c = 0 的根呢? 我們不妨先把問題具體化。
例1. 解方程 x2+ 4x − 1 = 0。
簡析: 怎麼解這個方程呢? 回到已知去! 我們會解 (I)(II) 型的一元二次方程。 新的方程 不好解是因為方程中多了一次項。 如果沒有一次項就很簡單了。 方程如何變形就可消去一次項?
由此配方法的出現就順理成章, 解題過程略。
例2. 解方程 2x2+ x − 1 = 0。
簡析: 如何配方消去一次項呢? 兩邊同除 2 和我們的常識相違背。 我們知道 2 = (√ 2)2。 所以可由 (√
2x)2 + x − 1 = 0 配方得: (√
2x + 1 2√
2)2 = 9
8。 這樣雖自然合情理, 但配方 過程還需根式運算也略麻煩。 我們把2 化為 (√
2)2 實質就是希望把整個二次項變為一完全平方 式。 若兩邊同乘以 2 得: (2x)2+ 2x − 2 = 0 這樣配方就更簡便了。
由以上探索過程, 我們便很自然地得出一元二次方程的求根公式。
ax2+bx+c = 0, 兩邊同乘以 a 得: (ax)2+abx+ac = 0, 配方得: (ax+b
2)2 = b2 − 4ac 4 。 當 b2− 4ac ≥ 0 時, 兩邊開方得: ax + b
2 = ±√
b2− 4ac
2 , 故 x1,2 = −a ±√
b2− 4ac 2a ; 當 b2 − 4ac < 0 時, 方程無實根。
當然為配方更簡便, 我們亦可 ax2+ bx + c = 0 兩邊同乘以 4a, 這樣與上述推導相比又 略有改進。
3、 一元二次方程求根公式的反問題
給出一個實係數一元二次方程, 我們可以根據判別式判別其根的性質, 若求根可根據公式 得。 反過來, 我們知道一個一元二次方程的二根 x1、x2, 能否求出這一方程呢? 我們很易構造出 一個滿足條件的一元二次方程: (x − x1)(x − x2) = 0 即 x2− (x1+ x2)x + x1x2 = 0。 但以 x1、x2 為根的方程唯一嗎? 並不唯一。 所有方程形式應為: a(x − x1)(x − x2) = 0, 其中 a 為
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期 民97
年3
月一元二次方程二次項的係數。 由此一元二次多項式因式分解的問題及二次函數的兩點式便得到 簡單說明。 同理可說明二次函數的頂點式: y = a(x − h)2 + k 的來源。 關於一元二次方程的 思想還有一些簡單深刻的應用, 我們另文再談。
由於對問題看法截然的不同導致在應用上產生了實質區別, 請看下題。
例3. [2003年高考, 上海理15]設 a1、b1、c1、a2、b2、c2 均為非零實數, 不等式 a1x2+ b1x+ c1 > 0 和 a2x2 + b2x+ c2 > 0 的解集分別為集合 M 和 N, 那麼 “a1
a2 = b1 b2 = c1
c2” 是
“M = N” 的 ( )
A、 充分非必要條件 B、 必要非充分條件 C、 充要條件 D、 既非充分又非必要條件
學生拿到題感到茫然, 看了參考答案覺得氣餒, 反例是怎麼構造出來的? 也有學生曾試圖 做函數草圖卻遇到了困難。 學生緣何會有諸多感觸? 這與解一元二次不等式教學及對一元二次 多項式因式分解的理解有著密切關係。 教學時, 我們著重從函數圖像的角度得出了一元二次不 等式的解法, 而忽視了其代數本質。 我們先對例 3 作一剖析, 關於解不等式內容的新構建我們另 文專述。
簡析: 若 a1 a2 = b1
b2 = c1
c2, 能否得到 M = N 呢? 不妨設 a2 = ka1, b2 = kb1, c2 = kc1。 若 a1x2+ b1x+ c1 = 0 有二根 x1、x2, 則集合 M 為 a1(x − x1)(x − x2) > 0 的解集, 集合 N 為 ka1(x − x1)(x − x2) > 0 的解集。 易知當 k > 0 時, M = N; 當 k < 0 時, M 6= N;
若 a1x2 + b1x+ c1 = 0 無實根, 同上面討論結果相同。 所以當 a1 a2 = b1
b2 = c1
c2 時 M、N 的 關係無法確定。
當 M = N 時。 若 a1x2+ b1x+ c1 = 0 的二根為 x1、x2, 則a1x2+ b1x+ c1 = a1(x − x1)(x − x2), 因 M = N, 故 a2 必須與 a1 同號, 且有 a2x2+ b2x+ c2 = a2(x − x1)(x − x2), 由此易得 a1
a2 = b1 b2 = c1
c2; 若無實根, 則 b12 − 4a1c1 < 0。 當 a1 >0 時 M 為全體實數, 因 M = N, 故 a2 必須與 a1 同號且 b22 − 4a2c2 < 0, 此時 a1
a2、 b1 b2、 c1
c2 的關係無法確定; 當 a1 <0 時結果相同。
4、 教學斷想
我們多少人都是按傳統方法教一元二次方程求根公式的, 大家也就在不知覺中這樣學會 了。 我們不禁要問: 這樣真的理解了數學的思想方法了嗎? 顯然這樣被動接受是經不起反問 的。 新的推導方法確有助於對過程的理解, 內心對數學的體驗與傳統方法有著本質的區別。 僅 從表面結果看兩種方法都是掌握了一個公式, 都能熟練應用公式, 兩種不同方法教出來的學生
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成績上相差似也不大, 但學生內心體驗卻是迥然不同的, 而且在深層應用上會顯出質的差別。 教 育不僅要傳授知識, 更重要的是培養學生的理性探索精神。 在某種程度上反思比發現更為重要。參考文獻
1. 靳衛軍, 極坐標系中求曲線交點方法的探討, 學習報 (高二版), 2000.5.29。
2. 靳衛軍, 王西茜, 求曲線方程方法的新誤區—同學生的對話及自我反思, [J]數學教育研究, 2006.6。
—本文作者任教於山西省長治市華北機電學校—
文教短波−−演講
演講者 : Luis Caffarelli教授(Rolf Schock Prize)
(University of Texas at Austin, National Academy of Sciences) 演講題目: Two-Days Distinguished Lectures-
series lectures of nonlinear partial differential equations 4月30日 (星期三)
地點: 台灣大學數學系新館308室
10:20∼11:10 Lecture 1:Random homogenization and discrete approximations
12:00∼14:00 Lunch and Discussion
14:10∼15:20 Lecture 2:A segregation model and its free boundary
15:30∼16:20 Tea Break
5月02日 (星期五)
地點: 台灣大學數學系新館308室
10:20∼11:10 Lecture 3:Integral diffusions and the quasigeostrophic equation
12:00∼14:00 Lunch and Discussion
14:10∼15:20 Lecture 4:Optimal control for Levy process
15:30∼16:20 Tea Break
