HPM 通訊第十六卷第四期第一版
發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）
主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）
助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）
編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）
黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）
陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）
王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）
英家銘（台北醫學大學）謝佳叡（台灣師大數學系）
創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng
1665 年，牛頓和 e 相遇了嗎？
林倉億 國立台南一中 一、 前言
數學家毛爾的《毛起來說 e》是一本很清楚介紹自然常數 e 的好書，筆者最近在準 備高三微積分的延伸課程時，得益於此書甚多。不過，毛爾在該書「一些和 e 有關的有 趣公式」中，寫道：
1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4!
e 這個無窮級數是牛頓在 1665 年發現的；1
這句話倒是引起了筆者的好奇：倘若牛頓真的在1665 年就寫出上式，那後來的雅各‧
伯努利、歐拉等數學家何以苦苦追尋 e 呢？顯然這其中必有「祕辛」，且聽筆者娓娓道來。
1. 1665 年 VS. 1669 年
牛頓1669 年寫了《論利用無窮多項方程式的分析學》(DE ANALYSI PER
ÆQUATIONES INFINITAS)一書，呈現了他在 1665~1666 年間得到的數學成果，其中一 項就是後來被認為與自然常數 e 有關的級數： 1 2 1 3 1 4 1 5
2 6 24 120
x z z z z z （見 下頁圖一中箭頭所指之處）。2我們現在知道，函數e 的展開式是x
2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4! 5!
ex x x x x x ，將它與牛頓的級數相比較，可以看出牛頓
1 毛爾的原文是： 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4!
e This infinite series was discovered by Newton in 1665;
2 本文中所有的《論利用無窮多項方程式的分析學》圖片，均來自 Astronomie-rara 網站，網址：
http://astronomie-rara.ethbib.ethz.ch/zut/content/pageview/556058。至於該書的內容，則是參考 Whiteside (2008)。
1665 年，牛頓和 e 相遇了嗎？
HPM 教室 單元十：巴斯卡三角形 (I)
HPM 通訊第十六卷第四期第二版
圖一 的 1 2 1 3 1 4 1 5
2 6 24 120
z z z z z 其實就是ez 的展開式。最後，再將1 z 代入，1 就可以得到
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2! 3! 4! 1! 2! 3! 4!
e e
毛爾書中說牛頓在1665 年就發現了 e 的無窮級數，追根究底，就是源自於此。3看到這 裡，或許有讀者更加深信毛爾的說法，認為牛頓只差在沒有將z 代入或是將1 e1的數 值寫出來而已。但吹毛求疵一點的讀者，就像筆者一樣，會想要更進一步了解牛頓究竟 是在什麼情況下、或是為了什麼目的求出 1 2 1 3 1 4 1 5
2 6 24 120
x z z z z z 。就讓 筆者帶領各位讀者從頭看《論利用無窮多項方程式的分析學》這本書吧。
3 毛爾並未在書中說明其依據為何或是引用的出處。筆者查閱資料後，發現最早出現此級數的牛頓著作，
就是 1669 年的《論利用無窮多項方程式的分析學》。
HPM 通訊第十六卷第四期第三版
圖二 2. 《利用無窮多項方程式的分析學》
牛頓在書中開宗明義的說：「我在前些時 日已經想出利用已有的無窮級數來估量曲線 的量的一般方法，以下的內容是簡短地說明而 不是詳細地證明。」牛頓所謂的「曲線的量」
指的就是曲線與x軸所圍之面積，如右圖二 ABD 之面積。然後牛頓給出了三個法則：
法則1：若
n
ya xm ，則 ABD 面積等於
m n
na n
m nx
。
法則2：若 y 是由若干項所組成的，每一項都如同法則 1 那樣的形式，那 ABD 面積 也會是那幾項個別求得的面積所組成。
法則3：如果 y 不是由法則 1 那樣的形式所組成的，那它必須先化成一些比較簡單 的項，方式就如同數學家 (Arithmeticians)作小數的除法、求方根、解方程 式 (affected equations)那般。
「法則1」就是今日所謂的單項式的積分公式。在「法則 1」之後有 6 個例子，分別是y 、x2 4
y x、y3 x5 、 12 y x 、
3
2 3 y
x
以及 1
y 。牛頓對第 4 個例子x 12
y x 與第6 個例子 1
y 的說明十分有趣，值得一看。照「法則 1」所給的公式，x 12
y x 求出來的面 積為 1
，是個負值，但面積為何會小於 0 呢？牛頓說那是因為所求出的x 1
x代表的是從 B 往 方向無限延伸的面積（見圖三），故用「BD」表示，而負號則是因為這面積位在 A 的另一側。
圖三
HPM 通訊第十六卷第四期第四版
圖四
2 2 2 2
2 3
2 3 4
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 3
2 3
2 3 3
0
0
0
0
a a a a
x x x
b b b b
b x a
a a x b a x
b
a a
x x
b b
a x b
a a
x x
b b
a x b
在第6 個例子 1
y 中，牛頓寫出「x 1 01 1 0 1
0x 0x Infinitæ」0 1 ，並說明雙曲線 1 y ，x BD 兩側的面積都是Infinitæ (∞)。想必讀者第一眼就注意到了，牛頓完全不避諱分母是 0，他在意的是分母為 0 後，面積的意義。
「法則2」用今日的話來說，就是逐項積分的意思。牛頓也給了 3 個例子：
3
2 2
yx x 、
3
2 2
yx x 與yx2x2，在此就略去不作說明。
牛頓還想要解決更多不同曲線的面積問題，所以，首要之務就是把各式的曲線寫成
nk
a xk
的形式，其中nk ，特別地，當Q n 都是非負整數的時候，k
a xk nk 就是x的 冪級數（無窮多項的多項式），而這正是牛頓在書中最常採用的形式。如何將各式曲線 寫成x的冪級數，牛頓的方法就是「法則3」中的「作除法」、「求方根」、「解方程式」。這三種方法，牛頓在書中都一一舉例說明。首先是「作除法」的例子 a2
yb x
，牛頓真 的用長除法求a 除以2 bx，差別在於被除式與除式都依升冪排列，如此以來就可以得出 商為
2 2 2 2
2 3
2 3 4
a a a a
x x x
b b b b （見圖四），所以
2 2 2 2
2 3
2 3 4
a a a a
y x x x
b b b b
， 這之中的每一項就都是「法則1」中的形式了，所以再利用「法則 2」，就可以求出ABDC 的面積為
2 2 2 2
2 3
2 3 4
2 3 4
a a a a
x x x x
b b b b 。筆者每次將牛頓的長除法秀給學生看時（以 1
1 x 為例），學生都是張大著嘴巴，然後迫不及待地問說：「為什麼長除法可以這麼做？」
這做法徹底顛覆他們自國中二年級以來對長除法的刻板印象！筆者總是故意嘆口氣回 答：「唉！國中時老師只說要降冪排列，沒有說升冪排列不行吧！沒特別提升冪排列的 除法，那是因為那些年你們還太幼，不能理解得出後的結果，沒想到你們就一直陷在長 除法只能依降冪排列來做的禁錮中，今天是你們長大的時候了！」當然了，筆者還會特 別提醒學生，得出來的商並不是x用任何數代入都會成立的，這牽涉到更高等的數學，
有待他們到大學微積分課中去尋找答案！
HPM 通訊第十六卷第四期第五版
圖五 牛頓在給出
a2
yb x
展開式後，還以 1 2 y 1
x
為例，將其寫成
2 4 6
1
y x x x ，然後就可以得出ABDC的面積為 1 3 1 5 1 7 3 5 7
x x x x 。
3 5 7
1 1 1 3 5 7
x x x x 這個冪級數，其實就是tan x1 的展開式，因此，有人也就如同認 為牛頓已經寫出e的展開式般，宣稱牛頓已經寫出了tan x1 的展開式。不過，從上述的 說明中可看出，牛頓完完全全是在求面積，壓根沒沾到tan x1 ，所以，那樣子的宣稱其 實是有欠周詳的。
既然「作除法」是真的用除法來除，那讀者也就可以猜到「求方根」就是開方法了。
牛頓以y a2x2 為例，說明如何利用開方法將它寫成
2 4 6 8
3 5 7
5 2 8 16 128
x x x x
y a
a a a a
（見圖五），因此ABDC的面積就是
3 5 7 9
3 5 7
5 6 40 112 1152
x x x x
ax a a a a 。
如果讀者會用直式開方法求 2的近似值話，不妨先作一次，然後再將所寫的過程和圖 五相比較，就會發現本質上是一樣的。現將牛頓的過程拆解成如下幾個步驟：
步驟1：令 r 是y a2x2 的近似值。取ra y2r2 。 x2
HPM 通訊第十六卷第四期第六版
圖六 步驟2：取r a t1 y2r2 x2t1(2at1)，取
2
1 2
t x
a，則
4
2 2
4 2
y r x
a 。 步驟3：取
2 2 2 4 2
2 2 2
2 ( ) 2 2 2(2 2)
2 2 4
x x x x
r a t y r y a t t a t
a a a a
，
取
4
2 3
8 t x
a ，則
6 8
2 2
4 6
8 64
x x
y r
a a
。
步驟4：取
2 4 2 4 2 6 8
2 2 2
3 3
3 ( 3) 4 6
2 8 2 8 8 64
x x x x x x
r a t y r y a t
a a a a a a
2 4
3(2 3 3)
4 x x
t a t
a a
，取
6
3 5
16 t x
a ，則
8 10 12
2 2
6 8 10
5
64 64 256
x x x
y r
a a a
。
故得
2 4 6 8
3 5 7
5 2 8 16 128
x x x x
r a
a a a a
。
開完根號後，就是「解方程式」了，也就是解一元高次方程式。由於這個方法比較 複雜、困難，牛頓先舉一個係數是常數的一元三次方程式y32y 為例，展示如何5 0 求 y 的（近似）值（見圖六）。
其實這個方法和上一個開方法很類似，差別在於此處有不同次方的項，然後在計算上又 可因高次方的關係，適時略去某些項，因此，看起來會較為複雜。在此筆者同樣將它拆 解成幾個步驟說明：
HPM 通訊第十六卷第四期第七版
步驟1：可以發現 2 是方程式解的一個近似值，接下來要求小數部分。
步驟2：令y ，代入2 p y32y 得5 0 1 10p6p2p3 ，因0 p 和3 6p 的值2 很小可以忽略不計，故由 1 10 p 可得0 p0.1。
步驟3：令 p0.1 ，代入q 1 10p6p2p3 得0 0.061 11.23 q6.3q2q3 ，0 同樣地將q 和3 6.3q 略去不計，由 0.061 11.232 q 可得0
0.061
0.0054 11.23
q 。
步驟4：令q 0.0054 ，代入r 0.061 11.23 q6.3q2q3 中，特別地，因為0 q 項3 的值很小，所以代入時略去q 項，得3 0.000541708 11.16196 r6.3r2 。0 同樣地略去6.3r 後，可得2 0.000541708
0.0004853 11.16196
r 。
步驟5：由步驟 1 至 4，可得 y 的近似值
2 0.1 0.0054 0.00004853 2.009455147
。
牛頓在解完y32y 後，特別說了一段話：「我不知道這個解方程式的方法是否廣5 0 為人知，但相較於其他方法，它確實是簡單且易於操作的。從操作的模式就可明白它的 證明，因此當需要（證明）時，可以很輕易地從心中喚起它。無論方程式有無缺項，這 方法都能很有效地實行，也幾乎一樣地容易。」
在y32y 這個例子之後，牛頓舉了幾個更複雜的方程式，並用上述的方法求5 0 解。例如y3a y2 2a3axyx3 的解0 2 131 32 509 43
4 64 512 16384
x x x x
y a
a a a
，然後
利用「法則2」，就可求得此曲線下的面積為
2 3 4 5
2 3
131 509 8 192 2048 81920
x x x x
ax a a a 。
以上就是牛頓將各式曲線寫成x的冪級數的三種方法：「作除法」、「求方根」、「解方 程式」。想必各位讀者看到這裡，內心對牛頓的佩服一定又增加了幾分。這三種方法其 實都是舊瓶子，但牛頓裝進新酒後，風味變得更豐富、更有層次了！
最後，讓我們進入本文的主題，看牛頓是如何得到
2 3 4 5
1 1 1 1 2 6 24 120
x z z z z z 。由下頁圖一可知，雙曲線 1 y 1
x
下ABDC的 面積 1 2 1 3 1 4 1 5
2 3 4 5
z x x x x x ，4，其中ABx，接下來牛頓問了相反的問題：
「若ABDC的面積 z 已知，那如何求出 AB 的長度x？」雖然 z 由許多項所組成，但牛頓
4 雖然牛頓在書中沒有寫出求出z的過程，但由「法則 3」的「作除法」及「法則 1、2」，很容易就可以 求得z。
HPM 通訊第十六卷第四期第八版
希望先用z z, 2, z3, z4, z 來表示5 x，所以他就將1 5
5x 後的各項略去。因此，牛頓接下來
就要用上述「解方程式」的方法，將方程式1 5 1 4 1 3 1 2
5x 4x 3x 2x 中的x z 0 x解出 來（見下頁圖七）：
步驟1：令x z p，則：
5 5 5
1 1 1
( )
5x 5 z p 5z 1 4 1 4 1 4 3 ( )
4x 4 z p 4z z p
3 3 3 2 2
1 1 1
( )
3x 3 z p 3z z pzp
2 2 2 2
1 1 1 1
( )
2x 2 z p 2z zp 2 p
代入原方程式得
2 1 2 3 2 1 5 1 4 1 3 1 2
0 (1)
2 5 4 3 2
zp p z pz pzp p z z z z 。 步驟2：(1)式中，只留下 p 和 z 單獨存在且次方最小的項，即 1 2
2 0
p z ，故可令 1 2
p 2z ，則：q 2 1 2 2 1 5 ( )
2 4
zp z z q z
2 2 2 4 2
1 1 1 1 1
( )
2 p 2 2z q 8z 2z q
3 3 1 2 1 5 ( )
2 2
z p z z q z
2 2 1 2 1 4 2
( )
2 2
z pz z q z z q 1 2 1 3 ( )
2 2
zp z z q z zq
代入(1)式後可得 1 2 1 3 1 4 1 5
(1 ) 0
2 6 8 20
z z q z z z
3 4 5 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1
( ) (1 )
6 8 20 2 6 24 120
q z z z z z z z z
步驟3：將得到 p 、 q 代回x z p，就可得到 1 2 1 3 1 4 1 5 2 6 24 120 x z z z z z 。 上述的過程中，只要在後續的代換中會產生z 以上的項，牛頓一概將其省去，如此6 一來就能達成他只用z z, 2, z3, z4, z 來表示5 x的目的。雖然牛頓只解出
2 3 4 5
1 1 1 1 2 6 24 120
x z z z z z ，但他後來有補充說明，只要一開始的
2 3 4 5
1 1 1 1 2 3 4 5
z x x x x x 中取的項越多，則
2 3 4 5
1 1 1 1 2 6 24 120
x z z z z z 就能依相同的方法求出越多項。
HPM 通訊第十六卷第四期第九版
圖
七
3. 牛頓和 e 相遇了嗎？
經由前面的介紹，毫無疑問地，牛頓的的確確寫出了
2 3 4 5
1 1 1 1 2 6 24 120
x z z z z z ，但其目地是當雙曲線 1 y 1
x
下ABDC的面積 z 已 知的情形下，求出 AB 的長度x。當然我們可以合理猜測，牛頓有算過當面積z 時的 AB1 長度x，但即便如此，牛頓得到的值會是1.71828…，而不會是 2.71828…( = e)。換句話 說，對牛頓來說，1.71828…只是眾多x中的一個，他並沒有在書中特地寫出來，更遑論 指出它有何特別的意義了。當然啦，有心者仍可繼續替牛頓辯稱，既然 AB 的長度是 1.71828…，那原點到 B 的距離就是 2.71828…( = e)了。這種說法是否得當，我想讀者自 有公評。
最後，雖然筆者不認為毛爾在《毛起來說 e》中的說法是恰當的，但也不能否定牛 頓曾經如此地接近 e，只能說牛頓與 e 這兩個數學界的巨星，曾經在歷史洪流中擦身而
HPM 通訊第十六卷第四期第一○版
過，卻來不及進一步地交往！
參考資料
Maor, Eli (1994). e: The Story of a Number. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Whiteside, D. T. (eds.) (2008). The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume II.
Cambridge: Cambridge University Press.
毛爾（鄭惟厚翻譯）(2000). 《毛起來說 e》，台北：天下遠見。
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HPM 通訊第十六卷第四期第一一版
HPM 教室
單元十：巴斯卡三角形 (I)
蘇惠玉 台北市立西松高中 適用單元：99 課綱數學 II 之組合、二項式定理 一、前言
巴斯卡三角形的介紹首見於現行99 課綱高中數學第二冊的〈二項式定理〉單元中，
提到二項係數的「巴斯卡三角形」；以及Ckn11Ckn1 Ckn。在南一版本課本的課文中附 了一張楊輝在《詳解九章算法》書中的「開方作法本源圖」，並說明「據楊輝說：「〝開 方作法本源〞出《釋鎖算書》，賈憲用此術。」事實上，楊輝確實在他這本書的附註中 有說過這一件事。不過，課本僅是強調賈憲在十一世紀上半葉「就已發現了二項式定理 的規則」，比巴斯卡早了約六百年。一般教科書通常把「巴斯卡三角形」當成一個找出 二項展開式係數的工具，因此會有這樣的論調，然而若論及「巴斯卡三角形」本身所蘊 含的數學結構，以及對這個「數學物件」各面向的整合，中國的數學家可能就不及巴斯 卡的深知卓見了。另外，課本提到楊輝、賈憲，但是並沒有說明這兩個數學家用「開方 作法本源圖」來做什麼？這二點，都是此一單元所主要考量之處。
二、巴斯卡三角形的各個面向
「巴斯卡三角形」在數學知識上，有三層意義：圖形數（figurate numbers）、組合 數（combinatorial numbers）、二項係數（binomial numbers）。這三層內容，可以在不 同的單元中互相呼應，以期達到更廣泛、更深刻的瞭解。
I. 圖形數
畢氏學派認為：所有的東西都含有數的成分，數是形成宇宙的要素。他們通常以沙 粒或卵石解說數，他們以所排列之形狀區分數為許多種類，下列的一種被稱為三角形數
（triangle numbers）：
若將三角形數的二維度空間擴充，即成Theon 和 Nicomachus 所稱的三維度的角錐形數
（pyramidal numbers）：
HPM 通訊
我們可 是由三 所構成 所構成 所構成 數3=1+
「巴斯卡
其 其實是 西元十 差術），
世傑的研
（5 個問 在
訊第十六卷第四
以觀察得出 角形數
，而三角形
，而整數又
。若將這些 +2, 6=1+2+
卡三角形」
實，我們再 一個二階等 一至十三世
，取得了輝 研究成果分 問題）、「果
朱世傑的許
四期第一二版
出，角錐形
形數又是由 又是由 些寫成如表 +3=3+3, 10=
」中常看到
再仔細觀察 等差數列，而 世紀的中國 輝煌的成就
分別記載在 果垛疊藏」（
許多求和問
茭草
（
版
數
1, 4, 10
1, 3, 6, 整數
1, 2,
1, 1, 一，再佐以
=1+2+3+4=
的結果： C
一下三角形 而角錐形數
數學家們，
。其中以朱
《四元玉鑑
（20 個問題 題中，可歸
草垛：1 2
（表一）
0, 20, 35, 56
10, 15, 21,
3, 4, 5, 6, 7
1, 1, 1, 1, 1 以三角形數
=6+4, 角錐
1 1
n n
k k
C C
形數1, 3, 6, 數1, 4, 10, 2
，在這樣的 朱世傑《四元
鑑》中的「
題）中。
歸納出一些
3 4 ...
6, 84,…...
28,……
7,……
1,……
數及角錐形數 形數10=4+
1 n
Ck ，Ckn
, 10, 15, 21, 20, 35, 56, 8 的高階等差級
元玉鑑》中 茭草形段」
些有著重要意
1 ( n 2!n n
數的形成特 +6, …），將
1 1 1 n
i k i k
C
, 28,……，
4,…...即是 級數求和問 中所取得的
」（共7 個問
意義的公式
1) n
特性（例如 將可以得到我
可以發現這 是一個三階等 問題上（稱為 成就為最重 問題）、「如
式：
：三角形 我們在
這個數列 等差數列。
為垛積招 重要。朱 如像招數」
HPM 通訊第十六卷第四期第一三版
三 角 垛 （ 或 稱 落 一 行 垛 ） ： 1 ( 1)
1 3 6 2 1
( 1)( 2) 10 ... n n 3!n n n
撒星形垛（或稱三角落一形垛）：
1 ( 1)( 2) 3!
1 4 10 20 ... 1 ( 1)( 2)( 3)
n n n 4!n n n n
三角撒星形垛（或稱撒星更落一形垛）：
) 4 )(
3 )(
2 )(
1
! ( 5 ) 1 3 )(
2 )(
1
! ( 4 ... 1 35 15 5
1 n n n n n n n n n
在上述的一串公式中，前面一個公式的結果，剛好是後一個公式的一般項。從垛積上的 意義來講，也就是把前式所表示的垛積算到第n 層止的所有各層，「落為一層」，作為後 式所表示垛積的第n 層。這也是朱世傑把後式稱為前式的落一形垛的原因。
這個部份的內容，也是「巴斯卡三角形」的一部份，但是，卻不屬於「二項式定理」
這個單元。反而在巴斯卡三角形中可以進一步看出在級數上意涵。
II. 組合數
在99 課綱高中數學 II 的組合單元中定義何謂組合：
從n個不同的物件中，每次取m個不同的物件為一組(mn)，同一組內的物件若不 計較其前後順序，就叫做n中取m的組合。其中每一組，稱為一種組合，所有的組 合的總數稱為組合數，以符號C 表示。 mn
因為在前一節中，課本已經介紹過排列的觀念與排列數的算法，在這一節中，就將排列 總數分解成兩個步驟來求：
(1) 先自n中選取m個出來（就是組合數C ）mn 。 (2) 在把取出的m個物件，任意去排。
因為這樣的分解動作，就可以得到
HPM 通訊第十六卷第四期第一四版
) ( )!
(
!
! m n m
n m
Cmn n
這樣的定義方式，有其順序上的便利性，但是，卻也讓人迷惑：這樣的公式算法，到底 和「選取」有什麼關係？
從歷史上的起源來看，西元三世紀的 Porphyry 為了要介紹亞里士多德的「範疇 (Categories)」，他必須知道在五種亞里士多德的「語態(voices)」：「種(genus)」、「屬
（species）」、「proprium」、「差別（differentia）」、「偶然（accidents）」中，有幾種不同 的配對方法。他的方法是：以第1 種東西為標準，有 4 種東西和它配對；再看第 2 種東 西，剩下其他3 種東西和它配對；如此，5 種不同東西中取 2 種的方法數為 4+3+2+1=10 種 方 法 。Pappus 將 這 種 方 法 推 廣 ， 從n 種 不 同 的 東 西 中 ， 取 2 種 的 方 法 數 為
Cn
n n n
n 2
2 ) 1 1 (
2 3 ...
) 2 ( ) 1
(
。
同樣的想法也出現在中算家汪萊的《遞兼數理》中。汪萊（1768-1831）字孝嬰，
號衡齋，為乾嘉時期著名的數學家。《遞兼數理》列在《衡齋算學》第四卷的後半卷，
在其中，汪萊論述了組合的一些性質與公式由來，他的組合數意為：
設如有物各種。自一物各立一數起，至諸物合併共為一數止，其間遞以二物相兼 為一數，交錯以辯得若干數，三物相兼為一數，交錯以辯得若干數，四物五物以 至多物若不皆然，此為遞兼之數也。
設有n個不同的物件，“自一物各立一數”即每次取 1 個物件，“諸物合併共為一數”
即 一 次 取n個 ， 如 此 類 推 。 汪 萊 所 謂 「 遞 兼 之 數 」 即 為 現 今 我 們 熟 悉 的 組 合 數
n n n n
n C C C
C1, 2 , 3 ,... 。而汪萊將
n
p n
Cp 1
稱為「遞兼總數」，相對於「遞兼總數」，他將Cnp稱為
「遞兼分數」：
以所設物數即為各立一數之數。減一數為三角堆之根，乃以根數求得平三角堆為二 物相兼之數。又減一數求得立三角堆為三物相兼之數。又減一數求得三乘三角堆為 四物相兼之數。如是根數遞減，乘數遞加，求得相兼諸數。……此遞兼之分數也。
這裡的三角堆即為上述朱世傑垛積招差的茭草垛（平三角堆）、三角垛（立三角堆）、三 角落一形垛（三乘三角垛）……等等。他所得的組合數公式“如是根數遞減，乘數遞加，
求得相兼諸數”和朱世傑在垛積招差中所得的公式是一樣的：
n n p
n p p n
Cnp ( 1)( 2) ( 1)
!
1
HPM 通訊第十六卷第四期第一五版
也和現今所熟悉的
)!
(
!
! p n p Cpn n
是一樣的。
汪萊的公式推導過程，和上述所提的Porphyry 與 Pappus 的想法是一樣的：
以一物為主而兼他物得若干數。至以又一物為主而兼他物及不復兼先為主之物，
故所得必少一數。由此遞少遂成三角堆形。
汪萊以「十數遞兼分數圖解」為例說明，從10 個物件（如 0, 1, 2, 3, …9）中，取 2 物得 方法數（C ）可先以 0 為主，取 01, 02, …, 09 共 9 個，再以 1 來選取，得 12, 13, …19102 共8 個，如此遞推，最後取 89 共一個，因此得取 2 物之數(C )為 9+8+7+…+3+2+1，以210 圖形解說，即為一平三角堆。如下圖一。
而10 物中取 3 物的方法數（C ）情形相同，只是先以310 2 物為主，如先以 01 為主，
取物為012, 013, …, 019, 再得 023, 024, …029, 以 0 為主的共 8+7+6+…+2+1=36 個，再 換成以12, 13, …以 1 為主的這一類共 7+6+5+…+2+1=28 個，以此類推，得取 3 物的方 法數C ＝36+28+21+…+6+3+1=103 8 9 10
3!
=210。以圖解說，即是將平三角堆中的每一行 擴展成一平三角堆，最後整體成為一立三角堆，如下圖二。
在「十數遞兼分數圖解」中，汪萊還提到組合數的性質：「一物各立一數得十，九 物相兼數同（C110 C910）」、「二物相兼得數四十五，八物相兼數同。（C102 C810）」等等。
「二物相兼得數四十五，八物相兼數同」 「三物相兼的數一百二十，七物相兼數同」
圖一 圖二
HPM 通訊
汪萊在 樣的選 定某一個 種情況 的中取 樣的想
組合 組合的 考模式 三角形 斯卡三 理。
5 巴斯卡 結合在
訊第十六卷第四
《遞兼數理 取觀念，組 個特殊的物
。包含的話 k 個。這即 法藉著「巴 合的概念與 思考路徑，
又和已經學
」整合在一 角形」中的
卡在他的《論算 在一起。我在
四期第一六版
理》中，為 組合數將呈 物件（例如 話，則從剩下
即是我們所 巴斯卡三角 與算法，在
，但是，汪 學過（等差 一起時，這樣
的每一個數
算術三角》的 在後面的章節會
版
我們呈現了 現另一種不 第 1 個），
下的n-1 個 所熟悉的Ckn
形」將組合 高中數學中 萊的「遞兼 差級數）的
樣的學習方 數字，「巴斯
的書中，即是藉 會再加以論述
了組合的另 不同的風貌 在選取 k 個中，取k-1
1 1
Ckn Ck 合數與圖形 中，自有其 兼數理」呈
，以及即將 方式不是帶有
斯卡三角形
藉這個觀念與 述。
另一種想法 貌。例如從n
個時，有包 1 個；如果
1 n
k ，也是巴
形數（高階等 其重要性，課 呈現了另一種 將學習的（二
有更深層的
」將呈現出
與式子，將算
，即是「選 n 個物件中 包含這特殊 不包含的話 巴斯卡三角 等差級數）
課本雖然提 種思考方式 二項式定理
意義嗎？接 出它的另一層
算術三角中的每
選取」的概念 中取k 個時 殊的一個與不
話，則從剩 角形的構成要
結合在一起 提供了我們從 式。尤其當這
理），藉著 接下來，再細
層意義：二
（未完
每一格數字，
念。從這
，可以固 不包含兩 下的n-1 要素。這 起。5 從排列到 這樣的思
「巴斯卡 細看「巴 二項式定
完待續）
與組合數
