貪心 Greedy
Lecture By boook
Credit by qazwsxedcrfvtg14
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• Greedy 怎麼想
• Greedy 練習題
Greedy 應該要怎麼想 - 枚舉在幹麼？
Greedy 應該要怎麼想 - 枚舉在幹麼？
• 枚舉事實上就是試圖拜訪整棵決策樹，找出樹裡的解節點
• 剪枝事實上就是根據一些推理排除絕對不可能的分支
• 有時候，我們可以根據一些問題的特性，確定解節點所在的分支！
• 總是選擇當前看起來最有利的分支，然後義無反顧
�1=1
�1=2
�1=…
�1=9
�2=1
�2=2
�2=…
�2=9 ��=1
��=…
��=9
(-1)
(-1)
(-1)
��=… 5 8
2 7
3 1
5 8
2 7
3 1
Greedy 應該要怎麼想 – 小技巧？
Greedy 應該要怎麼想 – 小技巧？
• 三個思考的小方向：
• 沒有理由不這樣做：直接選一個選項，並確保不這樣選不會比較好
• 可能這是最佳的選擇
• 可能這個選擇不會影響到選擇最好的答案
• 檢查：如果答案長這樣，那這個答案會被考慮到
• 想想所有可能的情況，看看答案是不是都會被想到
• 比賽中，乍看不是錯的可能就會是對的
• 容易實作的話也可以直接寫寫看
幸運獸的難題 幸運獸的難題
• 幸運獸負責供給食物給公園中的朋友們，但是因為每個朋友 的食量都不一樣，因此如何花最少錢買賈帕里饅頭才能滿足 所有的朋友成了最大的難題。
• 饅頭份量越大，價格越貴。
• 每位朋友一餐都只能吃一個饅頭。
貪心的天藍怪 貪心的天藍怪
• 如果有兩隻天藍怪 ( 大小為 A 和 B ) 靠在一起，
則會變成一隻大小為原本兩隻大小總和的新天藍怪，
並消耗 A + B 單位的能量。
• 現在給你一堆天藍怪，問最少需要多少能量才 能把他們變成一隻超大的天藍怪。
貪心的天藍怪 - 最優編碼樹 貪心的天藍怪 - 最優編碼樹
• 右邊是一棵當文本是「 THIS IS THE TEST T EXT XDDD 」時的最優編碼樹
• 最優編碼樹的一些性質
1. 一定不會有只有一個兒子的節點
2. 頻率越高的字元對應的葉節點深度越淺
3. 必定存在一棵最優編碼樹，使得頻率最低的兩個字 元對應的葉節點形成兄弟
4. 定義 為節點 形成的子樹中，所有葉節點的頻率 和。則某編碼樹為 ，把 中某節點 形成的子樹整 棵替換為一個頻率為 的字元形成新樹 ，那麼 為 新字元集的最優編碼樹當起僅當 為最優編碼樹。
•
圖片來源 : http://huffman.ooz.ie/
亞可的問題 亞可的問題
• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值
。
• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家
• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上 帶回家的卡片的價值平均最小。
• 請問這個平值最小可以多小？
亞可的問題 亞可的問題
• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值
。
• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家
• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上 帶回家的卡片的價值平均最小。
• 請問這個平值最小可以多小？
• 題目可以等價轉換為：
• 選擇 N 張卡片把價值 * (1 / N)
• 選擇 M 張卡片把價值 * (1 / M)
線段三部曲 V1 -51nod 1091 線段三部曲 V1 -51nod 1091
• 題意：線段的重疊
• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。
• 線段的重疊計算方式：
• [10, 20] 和 [12, 25] 的重疊部分為 [12, 20] 。
• 請從 N 條線段中選出 2 條線段，並最大化兩條條線段的重疊長度
• 2 <= N <= 50000
線段三部曲 V1 -51nod 1091 線段三部曲 V1 -51nod 1091
• 作法：
• 將線段依照左界來排序，依序「加入」過每一條線段
• 對每一條線段來說，已經在裡面的線段只有「右界」重要
• [ 當前左界 , min( 當前右界 , max( 舊右界 ))] 就是重疊區 間
線段三部曲 V1 -51nod 1091
線段三部曲 V1 -51nod 1091
線段三部曲 V2 -51nod 1091 線段三部曲 V2 -51nod 1091
• 題意：不重疊的線段
• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。
• 現在起點或終點重疊，不算重疊
• 線段的重疊計算方式：
• [2, 3] 和 [3, 6] 不算重疊。
• 請從 N 條線段中選出最多條彼此不相交的線段
• 2 <= N <= 10000
選擇最多不重疊的線段
選擇最多不重疊的線段
可能的 Greedy 方法 可能的 Greedy 方法
• 想出一些 Greedy 的方案：
• 優先選擇最短的線段
• 優先選擇和線段最少重疊的線段
• 優先選擇比較早開始的線段
• 優先選擇比較早結束的線段
1. 優先選擇最短的線段 -WA
1. 優先選擇最短的線段 -WA
2. 優先選擇和線段最少重疊的線段 -WA 2. 優先選擇和線段最少重疊的線段 -WA
3. 優先選擇比較早開始的線段 -WA 3. 優先選擇比較早開始的線段 -WA
4. 優先選擇比較早結束的線段 -AC 4. 優先選擇比較早結束的線段 -AC
• 感性的想法：在「最短」的時間內得到一條線段
線段三部曲 V3 -51nod 1672 線段三部曲 V3 -51nod 1672
• 題意：區間交
• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。
• X 軸上每個位置都有各自的權重
• 線段的重疊計算方式：
• [10, 20] 和 [12, 25] 的重疊部分為 [12, 20] 。
• 請選擇其中 K 個線段，使這些線段全部的交集位置所對應的權重的和最大
。
• 2 <= N <= 100000
線段三部曲 V1 -51nod 1091 線段三部曲 V1 -51nod 1091
• 作法：
• 將線段依照左界來排序，依序「加入」過每一條線段
• 對每一條線段來說，已經在裡面的線段只有「右界」重要
• [ 當前左界 , min( 當前右界 , max( 舊右界 ))] 就是重疊區 間
線段三部曲 V3 -51nod 1672
線段三部曲 V3 -51nod 1672
Jeff and Permutation-CF 351E Jeff and Permutation-CF 351E
• 題意：
• 給一個長度為 N 的序列
• 序列中的每一個數字你可以選擇要不要加上負號
• 請做出選擇最小化序列的逆序數對數量
• Subtask: 所有數字的大小都相異
• N <= 2000 (or N <= 200000)
• 假裝所有數字都不一樣
• 考慮絕對值最大的數字
• 正負號只會影響左右兩側「絕對值」比自己小的數字
• 因此只需要關注那些「絕對值」比自己小的數字
• 那如果有一樣的數字呢
• 如果對於相同的數字同樣只考慮：
• 左右兩側「絕對值」比自己小的數字
• 那正負號的選擇會自動是： ---++++++
• 因此這樣 Greedy 一樣的數字並不會產生逆序對
Jeff and Permutation-CF 351E
Jeff and Permutation-CF 351E
排隊 排隊
• 大家決定在校慶時排個整齊的隊形：依照身高排成像山的樣子。
• 因為一直換位置很累，所以大家想要最小化換位置的次數，但是 大家發現這個問題太難了，因此跑來問聰明的你有沒有什麼好方 法可以解決這個問題呢？
• 山的定義為 A1<A2<...<Am>Am+1>...>AN 。
• 每次只能把相鄰的兩人交換位置。
排隊 排隊
• 與上一題目相同：
• 由絕對值最小的開始考慮：
• 要移動到最左邊或是移動到最右邊
• O(N log N)
Dispute-CF 242D Dispute-CF 242D
• 題意：
• 給一個 N 點的無向圖，每一個點都有一個權值 V_i = 0
• 你可以選擇一個圖上的點「按一下」，那麼：
• 這個點的權值會加一
• 這個點的周圍的點的權值會加一
• 可以按很多個點，但每個點只能最多按一下
• 現在給出 B 序列，請選擇一些按鈕「按一下」
• 使得對所有點 V_i != B_i
• N <= 100000
• 一句話題解：
• 不斷地找到一個點 V_i == B_i ，然後按一下這個點
• Why ：
• 每個點最多 V_i == B_i 一次
• 這個算法一定會停下來
• 算法停下來的時候一定滿足條件
Dispute-CF 242D
Dispute-CF 242D
Jzzhu and Apples-CF 449C Jzzhu and Apples-CF 449C
• 題意：
• 請把 1, 2, 3, …, N 這些數字分成很多 pair
• 滿足每個 pair 的最大公因數 != 1
• 最大化 pair 數量
• N <= 100000
• Subtask N <= 1000
• Hint: 偶數好多
• 偶數非常多：有一半是偶數
• 大方向：
• 不考慮偶數，盡量把數字 pair 都湊完
• 剩下的用偶數來填補
• 步驟：依序考慮每個 > 3 && <= N 的質數 p
• 把 p, 2p, 3p, …, N – N%p 裡面還沒配對的抓出來配
• 2p 一定還沒被配對，因此可以任意配對
• 如果沒剩下，那很棒 xD
• 如果會剩一個那挑一個偶數留下
• 把最後剩下的偶數們對湊，最後只會剩下：
• 1 、 2p > N 的質數們 ( 這些數字不可能跟任何數字組成 pair)
• 一個偶數，因此這一定是最佳解
