貪心

貪心 Greedy

Lecture By boook

Credit by qazwsxedcrfvtg14

課程影片

• 看了嗎？

• Q & A

• 本日大綱

• Greedy 怎麼想

• Greedy 練習題

Greedy應該要怎麼想 - 枚舉在幹麼？

• 枚舉事實上就是試圖拜訪整棵決策樹，找出樹裡的解節點

• 剪枝事實上就是根據一些推理排除絕對不可能的分支

• 有時候，我們可以根據一些問題的特性，確定解節點所在的分支！

• 總是選擇當前看起來最有利的分支，然後義無反顧 𝑎₁ = 1

𝑎₁ = 2 𝑎₁ = ⋯ 𝑎₁ = 9

𝑎₂ = 1 𝑎₂ = 2

𝑎₂ = ⋯ 𝑎₂ = 9

𝑎_𝑖 = 1 𝑎_𝑖 = ⋯

𝑎_𝑖 = 9

𝑎_(𝑛-1)= 1 𝑎_(𝑛-1)= ⋯ 𝑎_(𝑛-1)= 9

𝑎_𝑛 = 1 𝑎_𝑛 = ⋯

5 8 𝒂

2 𝒂

7

3 𝒂

1

Greedy應該要怎麼想 – 小技巧？

• 三個思考的小方向：

• 沒有理由不這樣做：直接選一個選項，並確保不這樣選不會比較好

• 可能這是最佳的選擇

• 可能這個選擇不會影響到選擇最好的答案

• 檢查：如果答案長這樣，那這個答案會被考慮到

• 想想所有可能的情況，看看答案是不是都會被想到

• 比賽中，乍看不是錯的可能就會是對的

• 容易實作的話也可以直接寫寫看

幸運獸的難題

• 幸運獸負責供給食物給公園中的朋友們，但是因為每個朋友 的食量都不一樣，因此如何花最少錢買賈帕里饅頭才能滿足 所有的朋友成了最大的難題。

• 饅頭份量越大，價格越貴。

• 每位朋友一餐都只能吃一個饅頭。

貪心的天藍怪

• 如果有兩隻天藍怪 (大小為 A 和 B ) 靠在一起，

則會變成一隻大小為原本兩隻大小總和的新天藍怪，

並消耗 A + B 單位的能量。

• 現在給你一堆天藍怪，問最少需要多少能量才

能把他們變成一隻超大的天藍怪。

貪心的天藍怪-最優編碼樹

• 右邊是一棵當文本是「THIS IS THE TEST TEXT XDDD」時的最優編碼樹

• 最優編碼樹的一些性質

1. 一定不會有只有一個兒子的節點

2. 頻率越高的字元對應的葉節點深度越淺

3. 必定存在一棵最優編碼樹，使得頻率最低的兩個字 元對應的葉節點形成兄弟

4. 定義 𝑓𝑠(𝑥) 為節點 𝑥 形成的子樹中，所有葉節點 的頻率和。則某編碼樹為 𝑇₀，把 𝑇₀ 中某節點 𝑥 形成的子樹整棵替換為一個頻率為 𝑓𝑠(𝑥) 的字元形 成新樹 𝑇，那麼 𝑇 為新字元集的最優編碼樹當起 僅當 𝑇₀ 為最優編碼樹。

圖片來源: http://huffman.ooz.ie/

亞可的問題

• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值。

• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家

• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上 帶回家的卡片的價值平均最小。

• 請問這個平值最小可以多小？

亞可的問題

• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值。

• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家

• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上 帶回家的卡片的價值平均最小。

• 請問這個平值最小可以多小？

• 題目可以等價轉換為：

• 選擇 N 張卡片把價值 * (1 / N)

• 選擇 M 張卡片把價值 * (1 / M)

線段三部曲V1 -51nod 1091

• 題意：線段的重疊

• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。

• 線段的重疊計算方式：

• [10, 20] 和 [12, 25] 的重疊部分為 [12, 20]。

• 請從 N 條線段中選出2條線段，並最大化兩條條線段的重疊長度

• 2 <= N <= 50000

線段三部曲V1 -51nod 1091

• 作法：

• 將線段依照左界來排序，依序「加入」過每一條線段

• 對每一條線段來說，已經在裡面的線段只有「右界」重要

• [當前左界, min(當前右界, max(舊右界))] 就是重疊區間

線段三部曲V1 -51nod 1091

線段三部曲V2 -51nod 1091

• 題意：不重疊的線段

• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。

• 現在起點或終點重疊，不算重疊

• 線段的重疊計算方式：

• [2, 3] 和 [3, 6] 不算重疊。

• 請從 N 條線段中選出最多條彼此不相交的線段

• 2 <= N <= 10000

選擇最多不重疊的線段

可能的 Greedy 方法

• 想出一些 Greedy 的方案：

• 優先選擇最短的線段

• 優先選擇和線段最少重疊的線段

• 優先選擇比較早開始的線段

• 優先選擇比較早結束的線段

1.優先選擇最短的線段-WA

2.優先選擇和線段最少重疊的線段-WA

3.優先選擇比較早開始的線段-WA

4.優先選擇比較早結束的線段-AC

• 感性的想法：在「最短」的時間內得到一條線段

線段三部曲V3 -51nod 1672

• 題意：區間交

• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。

• X 軸上每個位置都有各自的權重

• 線段的重疊計算方式：

• [10, 20] 和 [12, 25] 的重疊部分為 [12, 20] 。

• 請選擇其中 K 個線段，使這些線段全部的交集位置所對應的權重的和最 大。

• 2 <= N <= 100000

線段三部曲V1 -51nod 1091

• 作法：

• 將線段依照左界來排序，依序「加入」過每一條線段

• 對每一條線段來說，已經在裡面的線段只有「右界」重要

• [當前左界, min(當前右界, max(舊右界))] 就是重疊區間

線段三部曲V3 -51nod 1672

Jeff and Permutation-CF 351E

• 題意：

• 給一個長度為 N 的序列

• 序列中的每一個數字你可以選擇要不要加上負號

• 請做出選擇最小化序列的逆序數對數量

• Subtask: 所有數字的大小都相異

• N <= 2000 (or N <= 200000)

• 假裝所有數字都不一樣

• 考慮絕對值最大的數字

• 正負號只會影響左右兩側「絕對值」比自己小的數字

• 因此只需要關注那些「絕對值」比自己小的數字

• 那如果有一樣的數字呢

• 如果對於相同的數字同樣只考慮：

• 左右兩側「絕對值」比自己小的數字

• 那正負號的選擇會自動是： ---++++++

• 因此這樣 Greedy 一樣的數字並不會產生逆序對

Jeff and Permutation-CF 351E

排隊

• 大家決定在校慶時排個整齊的隊形：依照身高排成像山的樣子。

• 因為一直換位置很累，所以大家想要最小化換位置的次數，但是 大家發現這個問題太難了，因此跑來問聰明的你有沒有什麼好方 法可以解決這個問題呢？

• 山的定義為 A

<A

<...<A

>A

>...>A

。

• 每次只能把相鄰的兩人交換位置。

排隊

• 與上一題目相同：

• 由絕對值最小的開始考慮：

• 要移動到最左邊或是移動到最右邊

• O(N log N)

Dispute-CF 242D

• 題意：

• 給一個 N 點的無向圖，每一個點都有一個權值 V_i = 0

• 你可以選擇一個圖上的點「按一下」，那麼：

• 這個點的權值會加一

• 這個點的周圍的點的權值會加一

• 可以按很多個點，但每個點只能最多按一下

• 現在給出 B 序列，請選擇一些按鈕「按一下」

• 使得對所有點 V_i != B_i

• N <= 100000

• 一句話題解：

• 不斷地找到一個點 V_i == B_i，然後按一下這個點

• Why：

• 每個點最多 V_i == B_i 一次

• 這個算法一定會停下來

• 算法停下來的時候一定滿足條件

Dispute-CF 242D

Jzzhu and Apples-CF 449C

• 題意：

• 請把 1, 2, 3, …, N 這些數字分成很多 pair

• 滿足每個 pair 的最大公因數 != 1

• 最大化 pair 數量

• N <= 100000

• Subtask N <= 1000

• Hint: 偶數好多

• 偶數非常多：有一半是偶數

• 大方向：

• 不考慮偶數，盡量把數字 pair 都湊完

• 剩下的用偶數來填補

• 步驟：依序考慮每個 > 3 && <= N 的質數 p

• 把 p, 2p, 3p, …, N – N%p 裡面還沒配對的抓出來配

• 2p 一定還沒被配對，因此可以任意配對

• 如果沒剩下，那很棒 xD

• 如果會剩一個那挑一個偶數留下

• 把最後剩下的偶數們對湊，最後只會剩下：

• 1、2p > N 的質數們 (這些數字不可能跟任何數字組成 pair)

• 一個偶數，因此這一定是最佳解

Jzzhu and Apples-CF 449C