隨機算法
by boook
Hash Credit by qazwsxedcrfvtg14 Slido: 4945896
課程會在 14:05 開始～
大綱
● When
○ 為甚麼、何時要用隨機
● How
○ 如何產生隨機的數字
○ Hash
○ 隨機選擇
● Algorithm
○ 最近點對
○
為甚麼、何時用隨機
● 模板很難寫
● 大家都喜歡唬爛
● AC 的效率 vs 出題者的良心
● 在題目限制很寬的時候
● 當出題者的題目出壞掉的時候
用隨機的後果
● 犧牲正確率
● 可能程式不總是正確
● -> 讓程式錯誤的機率特別低
●
● 犧牲執行時間
● 執行時間不固定
● -> 讓程式期望執行的時間不長
如何產生隨機的數字
● 大家都會??
● rand()
● srand(time(0))
● 這樣足夠安全嗎？
○ 哪裡不安全
不要直接使用 rand()
● rand() 在 windows 上預設的回傳範圍為 [0, 65535]
● 解決方法：
○ rand() 很多次後將結果拼接成比較大的數字
○ 用其他亂數產生器，如 mt19937
○ 追求更快效率 -> 自己寫亂數
使用其他寫好的函式庫
● Mt19937
自己實作
How to shuffle
暖身 - 計算隨機正確率
Hash
● 目的：
○ 將一個物品的很多資訊壓縮起來，當要判斷兩個物品是否相同時 就判斷兩個物品分別壓縮後的結果是否相同。
● 壓縮過程中會失去一些資訊，因此可能會有兩個不同的物品被 壓縮後產生一樣的結果。
● 如果有兩個物品 A, B ，以及壓縮函數 f
○ 錯誤的機率：
■ f(A) != f(B)，但 A = B。 => 不可能
■ f(A) = f(B)，但 A != B。 => 錯誤的機率
Hash
● 譬如：
○ f(x) = x % 2
● 所以我們會認為：
○ 1 != 2, 因為 1 = f(1) != f(2) = 0
○ 2 = 2, 因為 0 = f(2) = f(2) = 0
● 但是我們會認為：
○ 4 = 2, 因為 0 = f(4) = f(2) = 0
f(A) = f(B)，但 A != B
● 好的 hash function 要滿足「碰撞」
的機率足夠小，也就是 f(A) = f(B)，
但 A != B 的機率。
● P(f(A) = f(B)，但 A != B) < 1e-9
○ 當錯誤的機率「足夠小」，那麼就可以 「假裝」hash function 不會碰撞
○ 有時候 1e-9 仍然不夠，需視情況調整
○ 生活上的例子 (checksum)
● 可以構造讓 hash table 變得非常慢，但在隨機的
使用下，insert、delete 都是 O(1)。
Hash 安全性
● 對於一個 hash function x -> f(x) 有三種等級的安全性：
○ Preimage attack：
■ 知道 f(x) 還原出 x
○ Second preimage resistance：
■ 在知道 f(x) 的情況下，找到另一組 y -> f(y) = f(x)
○ collision resistance：
■ 找到一對 a, b 使得 f(a) = f(b)
Hash 的安全性 - 生日悖論
● 一個房間要多少人，則兩個人的生日相同的機率大於 50%?
○ 23人
● 有 n 個人，每人都隨機地從 N 個特定的數中選擇出來一個數。
○ p（n） = 有兩個人選擇了同樣的數字。
● 這個機率有多大?
Rolling hash
● 又稱 RK 算法(Robin-Karp Algorithm)
● 核心
● 也可以用來當作亂數產生器
Rolling hash - 如果 C = 10
● S = 21334531
● M = 10000000000000000000000000000000000000000000
● H(1) = 2
● H(2) = 21
● H(3) = 213
● H(4) = 2133
● H(5) = 21334
● H(6) = 213345
● H(7) = 2133453
● H(8) = 21334531
Rolling hash
● 假設你有一個字串，且你已經知道其hash值
● 下列哪些操作可以 O(1) 執行?
● 加一個字元在前面
● 加一個字元在後面
● 從前面刪除一個字元
● 從後面刪除一個字元
● 可以把 Rolling hash 想像成一個前高後低三角形
Rolling hash
H(1) = 2 H(2) = 21 H(3) = 213 H(4) = 2133 H(5) = 21334
Rolling hash
● 兩個 hash 接起來
● 一個字元也可以算是一個hash
● S = 213
● P = 123
●
● H(S) = 213
● H(P) = 123
● H(S+P) = 213 * 1000 + 123
Rolling hash
● 刪除前面的字元
● S = 12345
●
● H(S) = 12345
● 12345 – 12000
● = 345
Rolling hash
● 刪除後面的字元
○ S = 12345
○ H(S) = 12345
○ (12345 – 45) / 100 = 123
● Why 模逆元？
○ 8 / 2 != 2 / 2 (mod 6)
Rolling hash
● 因為這些性質
● 我們經常會預處理好字串每個前綴的Rolling hash
Rolling hash
● 這樣之後就能直接算出任意一段的hash值
S = 21334 H(1) = 2 H(2) = 21 H(3) = 213 H(4) = 2133 H(5) = 21334 H(3~4)
= H(4) – H(2) * 100 = 33
例題 - 怎麼訂 hash 值
● 給一個矩陣大小為 N * N
● Q 次詢問兩個大小相同的子矩陣是否相同。
○ N <= 5000
○ Q <= 500000
● hash 可不可以推廣到二維？
二維 hash
例題 – 矩陣相成的結果
● 給定三個大小為 N 的 N × N 矩陣 A、B、C，請問 A × B = C 是否成立？
○ N <= 1000
● 直接做是 O(N^3)
● 能不能更快一點?
例題 – 矩陣相成的結果
● 讓 R 是一個 N × 1 的矩陣，那麼只需要檢查
● ((A×B))=(C)
● ((A×B)×R)=(C×R)=C′
● (A×(B×R))=(C×R)=C′
● 乘法過程中與字串 hash 做的事情相同
例題 – 成雙成對
● 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n。現在有 Q 個詢問
，每次詢問會給出 l, r，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數 字都出現偶數次？
○ N <= 1,000,000
○ Q <= 1,000,000
例題 – 成雙成對
● XOR 好性質：
○ X ⊕ Y ⊕ Z ⊕ Y ⊕ X ⊕ Z = 0
● XOR 不夠好性質：
○ 1 ⊕ 2 ⊕ 3 = 0
● One time pad：一次性密碼本
● N 個 ∈ [0, 2^k) 的隨機數字 XOR 起來的結果是隨機的
● 隨機將 a_i 映射成一個隨機的大數字
● 每次錯誤率 1 / (2^k)，讓 k = 60
例題 – 成堆成堆
● 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n。現在 有 Q 個詢問，每次詢問會給出 l, r，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數字都出現 K 的倍數次？
○ N <= 1,000,000
○ Q <= 1,000,000
例題 – 成堆成堆
● 設計一個 hash function
● XOR 可以 加法也可以
● 只要滿足：
● 答案是 YES 的時候一定判斷得出來
● 答案是 NO 的時候有很低的機率會錯
例題 – 成堆成堆
● 設計一個 hash function：加法
● 改成在模 p 底下做事情避免溢位
● 單筆詢問答對機率： 1 / p
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T
● 請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑
● 簡單路徑：路徑中不存在兩個相同的點
●
● 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)
●
● 問題在簡單路徑上，不然就可以？
● 為什麼不是簡單路徑就可以做
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)
●
● 問題在簡單路徑上，不然就可以？
● 為什麼不是簡單路徑就可以做
●
● Dp[point][step] = True or false
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 那如果現在點上面有顏色呢
●
● 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T。
圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i。
請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，
並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色
●
● 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T。
圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i。
請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，
並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色
●
● 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5
●
● Dp[point][bit_mask] = True or False
● O(point bit_mask) O(轉移) = O(2^6 M)
例題 – 長度為 8 的簡單路
● 如果點有顏色多好 => 自己上色
● 隨機把每個點塗上 C_i =
● 至少多少機率會答對：
● 如果只有一條符合條件的路徑
● 中間六個點的顏色都要不一樣： 6!
● 總方法數量： 6^6
● 隨機一次會答錯的機率：
例題 – 長度為 8 的簡單路
隨機選擇
● How：
● 字面上的意思
● 隨機選擇一條路 => 估計答對的機率
隨機選擇 - 例題
● 給定 N 個二為平面上面的點，請問有沒有一條通過至少 k % 的直線？
● 2 <= N <= 2 * 10^6
● k >= 20
直觀的想法
● 直觀的想法
● 1. 隨機兩個點
● 2. 檢查有多少個點在兩點構成的直線上面
● 3. 做很多次
● 重複隨機選擇 兩點 50 次，錯誤率
隨機少一點「維度」
● 1. 隨機一個點 a
● 2. 以 a 點作為圓心的極角進行排序
● 3. 做很多次
●
● 重複隨機選擇 a 點 40 次，錯誤率
錯排數 (Derangement)
隨機選擇 CF330E
● 給出一張 N 個點 M 條邊的無向圖，並且圖上保證每個點最多 只接了兩條邊，請構造出一張新圖滿足以下條件，若無解則輸出 -1 ：
● 新圖上與原圖有相同數量的點和相同數量的邊。
● 圖上保證每個點最多只接了兩條邊。
● 對於圖上兩個點，若在原圖上這兩點之間存在一條邊，則在新圖上這 兩點之間必定沒有邊。
隨便做?
● 把圖的編號隨機打亂 => 做完了！
●
● 估計錯誤率 => 想想看什麼樣的測資容易錯
● 題意裡面的圖為很多環和很多鍊
● 加一條邊 = 加上一個限制 (很多環)
● 很多連通塊會導致條件被獨立分開
● 圖是一個很大的環
● 拓展錯排數：滿足對任意的相鄰的兩數字差不是 1 或 N – 1 條 件的排列 p_1, p_2, ..., p_n
性質
● 滿足條件的排列 / N! = e^-2
● 可以寫個簡單的程式估計一下：滿足條件的排列 / N!
最近點對
最近點對
● 給定 N 個二維平面上面的點，請找出距離最近的兩個點。
● 1 <= N <= 10^5
● 傳說做法？旋轉排序
最近點對
● 1. 把 N 個點平移到第一象限
● 2. 把 N 個點的順序隨機打亂，d = dis( a1, a2 )
● 3. 以 r = d / 2 的大小將二維平面切成網格狀，並將這些 網格也以座標表示：點 (x, y) 會落入座標為 (x/r,y/r)
● 不會有兩個點在同一個格子內
最近點對
● 4. 一直把點加進網格中
● 若產生新的最近點對一定會出現在以某個點為中心的 5 * 5 宮格內
最近點對
● 5.找到更近的最近點對：
● 更新 r = 新的最近點對 / 2
● 回到步驟三重來 O(i+1)
最近點對
● End
