數學考科

第二次學科能力測驗模擬考試

數學考科

一作答注意事項一

考試範園：第一～四冊全 考試時間： 100 分鐘

題型題數：單選題 5 題，多選題 8 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答﹔更正時，應以橡皮擦擦拭，切 勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識 答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A ’ B ’ c

'

例：若第 B 題的笨案格式疋一 ，而依題意汁算出來的答案是三，則考_口。^四＠．

生必須分別在答案卡上的第 18 列的已與第 19 列的~畫記，如：

±口＋一口一口一口。口。口

9口9口

8口8．

7口7口

6口6口

5口5口

4口4口

3．3口

2口2口

l口1口

，而答案是云時，則考生必須分別在

例：若第 C 題的答案格式走了百一

@@

答案卡的第 20 列的已與第 21 列的占畫記，如：

5 6 7 8 9

20

21

1 2 3 4 5 6 7 8 9

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

祝考試順利

︱版權所有﹒翻印必究 l

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第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 25 分）

說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分﹔答錯、未作答或畫記多於一 個選項者，該題以零分計算。

1. 右圖是一顆 3 × 3 的魔術方塊，也就是在一個正立方體中，

每一面均有九個大小相等的正方形。現將其中一面緊靠在 牆面，並靜置在桌面上（如右圓所示），試求一隻螞蟻沿著分 格線或稜線，從 A 點走捷徑到 B 點，有幾種不同的走法？

（舉例說明：圖中粗線即為滿足條件之一條路徑。）

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2. 若f(x

,y)=(x-I)2+(y+ 1)2+(x-2y+

(1) - 10 3

(2）豆

3 ( 3) 1 (4) 2 (5) 3

3. 坐標平面上有一個正六邊形，其頂點以順時針方向依序為 ABCDEF o 已知 F 點的坐標為

(0' 5) '

(1) 5 (2) 5 f j

(3) - 25 3

(4) ¥- ^{f j}

(5) 25

生已知一圓 C:

(x-I)2+(y-2)2=

(1) _!_

4 (2) _!_

2 (3) 1 (4)

2

(5）三

4

αc 「lil－－－」一－

考ωωωωω 慮181－41－29－29－4 石』 陣

A

whuv

b 卜其中 r b ’ c 為實數且行列式值 <let (A）＝＿！＿ ，求 <let

^(A-A-1)=?

一 αI

2

二、多選題（占 40 分）

說明：第 6 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分﹔答錯 1 個選項者，得 3 分：答錯 2 個選項者，得 1 分﹔答錯多於 2 個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。

＆設f(x） 為一實條數四次多項式， i= ,J二I ，已知f(i+ l)=O 且不等式f(x)<O 的解為

-2<x<3 ，則下列選項哪些是正確的？

(1) f(i- I)=O

(2）若。、 b 為任意實數，且／（α ＋ bi)=2 ，貝IJJ（。 － bi)=

-2

仔）不等式加州的解為 x<-I 或 x>%

(4)

7. 已知自然數 α 、 b 滿足 log3α＝ 20 且 log3b=16 ，則下列選項哪些是正確的？

(1 ）自然數。 ＋ b 必為 41 之倍數 (2）自然數。的個位數字與 b 相同 (3）自然數。 ＋ b 為 9 位正整數

(4）自然數 α ＋ b 展開後之末兩位數字為 22

(5 ）若定義實數 A=n ＋ α ，其中 n 為整數且 0 三 a<l ，則稱 α 為實數 A 之小數部分，由此 定義得 log3(a4+b5）之小數部分與 log3 162 之小數部分相等

8. 阿松申辦提款卡時，依銀行規定須自訂 4 個阿拉伯數字排成一組密碼。某天阿松欲提款時 發現他忘了正確密碼，只記得是由奇數 1

'3 '5

(1）他第一次就猜對的機率為」一

120

(2 ）提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時，會沒收該提款卡，阿松嘗試輸入不同密碼，則 他的提款卡會被沒收的機率為一

39

40

承上述條件，若有一種智慧型提款機，每次輸入數字後會給提示，提示的口訣為「mAnB」

其中 mA 表示輸入的數字當中有 m 個不但中了而且數字是在正確的位置， nB 表示輸入的數 字當中有 n 個中了但是數字的位置不正確。例如：密碼為 7135 ，若輸入 3159 ，則提示為

「 lA2B」。假使能善用提示，試問下列選項哪些是正確的？

(3）在第一次輸入就猜到「 lA3B」的機率為主

15

（岫第一次猜到「叫的條件下，第二次猜到「叫」的機率為﹔

(5）他在第一次猜到「 lA3B」且在第二次猜到「4AOBJ 的機率為」一

120

9. 若變數 X（身高）的算術平均數為片，標準差為 4 ﹔而變數 Y（體重）的算術平均數為 µy ’標準 差為 4 ﹔且變數 X 與變數 Y 的相關條數為旬，而 Y 對 X 的最佳迴歸直線為 y ＝＝ 。 ＋ bx 。現 將變數做線性轉換 P==-2X+l 'Q==Y-3 ，則下列選項哪些是正確的？

(1 ）變數 P 的算術平均數 µp ＝＝ 一句x+

1

-2 o:\"

(3 ）變數 P 與變數 Q 的相關條數 rpq==

-rxy

(4)

1 , µy-3) (5)

10. 若空間中向量 7==(1,2,

-2)' b==(2,m,n)'

c7 × b).

(1)

b

(3) m==4 (4) n==5

(5)

)+ b == ⁰

l、

等

一一－ 里川 LAU

B C

日IJ 中 盟（

A

HII i

空在若衍。確一正，自疋J也－

1那叫項）還一一門

2 -

5

司3日只－li－

- 2

- ₅

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....

中中必知離rfrrA已距ωωωωω

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12. 設 A 、 B 、 c 為矩障， I 為單位方障。下列有關短陣的敘述哪些是正確的？

(1 ）若 AB=BA ’則表巨陣 A 、 B 皆為方陣 (2）若 AC=BC ’且 det (C）午 0 ，則 A=B (3）若 A2=1 ’則 A=J 或 A=-J

(4）若 AB=BA ’則 AB10=B5AB5=B10A

(5 ）若 AB 有乘法反元素，則 （AB)-1

=B-1A-1

13. 若方程式（x2+y2-4x）。2-x-7)=0 之圖形與直線 L

:

交點，請問符合的 m 值可能為下列哪些？

(1)-2 (2)-1

( 4) 1 (5) 2

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明： 1. 第 A 至 G 題，將答案畫言已在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（ 14-34）。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 若有一群人，任意取完 2 本相同書籍的方法數超過 1000 種，試問這一群人至少有 ＠。

個人。

B. 已知。為整數，若平面上三直線 Li: x+2y＝ α ＋ 2

'L1: 2x+3y=-a-4' L3 :

C. 已知！：：，ABC 中， 4三A=l20°'D 為 LA 的內角平分線與互亡的交點， M 為五亡的中點，若 Aii=6 ，五五＝ 4 ，求茄＝ 圳畜 。（化為最簡根式）

(•

‘

、

c

E. 設圓 C: x2+y2-x-y=O 及直線 L:x+y-4=0 ，若 P 為圓 C 上之動點，。為坐標平面上

的原點，連接手，且令軍與直線 L 之交點為 Q ，可得 C5P

·

＠。

D A

B

D. 如右圈，等腰直角DABC 中， 4三A=90° 'D 為 BC 的中點，

四邊形 DEFG 為正方形，且點 F 在互亡邊上。若

BE=

＠一＠叫畜 。 (1t為最簡根式）

FLhehKXRlfF1

f.F.=1 'F=l

F. 滿足遞週式 J 1 之 (n 為自然數）的數列〈凡〉稱為 Fibonacci Sequence ’若以矩陣

l凡＋2 ＝凡＋I ＋凡

的方式來表現叫：：］＇［；：｝﹝扣。若﹝：

(@@,@@)

G 有一楠圓形的公園，其中心有一噴水池，距噴水池南北各 10,[3 公尺處各有一涼亭，公園的 邊界上任一點到兩涼亭的距離和均相等，現過涼亭闢一東西向的小徑，而小徑與公園邊界 的交點處與噴水池之間鋪一直線健康按摩步道，若東西向的小徑與健康按摩步道的夾角為

叫，且 α＋b+c+d＝丸，試求

:]

=[: di

數對紗， n)=

i戶iifk

60° ，則噴水池到公園最南端的距離為＠＋＠情®公尺。（1t為最簡根式）

Ib－－M冉，－－－Illi－－

參考公式及可能用到的數值

1 平面上兩點 P1 （柄， Y1)

'

+ (y2-YY

n= c;xn+

.... ·+

sin2 () = 2 sin () cos ()

cos2 () =cos2 () -sin2 () =2 cos2 () - I= 1 -2 sin2 () 2 tane

tan2 () =…

I-tan;,:()

sin3 () = 3 sin () - 4 sin3 () cos3 () = 4 cos3 () - 3 cos ()

4. 三角函數的和角公式：

sin(A + B) =sin A cos B +cos A sin B cos(A + B) =cos A cos B- sin A sin B

anA +tanl3 tan(A+B)=

1-tanAtanB

5.

^{sin C=}

^{sin B= _!_be sin A}

2 2 2

a b c

6.

sin A sinB sin C

7.

cos c

a 向量 7 與向量了的內積為－； .了＝

I -; I I 7 I ^cos

110 Cl IC a1 la Oil

9. u

,

1 I , I ^{1 1} I , I ¹

I I

\ I D2 C2 I I

I

D2 I )

,.J3 :::s 1.732 ' ,JS

.f6 :::s

11 對數值： log10

2

0.3010 ' log10 3 :::s 0.4771 ' log10

' log10

"'

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第壹部分 單選題 第 3 題更改如下：

3. 坐標平面上有一個正六邊形，其頂點以順時針方向依序為 ABCDEF o 已知 F 點的坐標為

(0' 5) '

(1) 5 •

(2) 5 ,J3

(3) - 25 3 25

(4）了“

(5) 25