論加權冪平均函數與諸種不等式的系統化

論加權冪平均函數與諸種不等式的系統化

姚 雲飛 · ^朱茱

摘要: 加權冪平均函數是一個用途相當廣泛的函數, ^{它有著良好的性質}, ^{尤其在不等式} 理論研究方面“^戰功卓著”^{。 不等式理論的發展}, 刺激著很多新的學科蓬勃地向前發展。 本文 以凸函數為工具, 建立了關於加權冪平均函數的一系列性質, 揭示了許多著名的不等式的內 在連系的規律,^{且使之系統化},^{論述了近年來關於指數}e 之存在性的各種證明在某種意義下 同屬於一個系統。

關鍵詞: 凸函數、 加權冪平均、 系統、 不等式、 不可數集、 可積、 可導、 連續。

一. 預備知識

定義一: 設 f (x) 是定義在區間 I 上的 實值函數。 若 ∀x1, x₂ ∈ I 及 λ ∈ [0, 1], 皆 恆有

f(λx1+(1 − λ)x²) ≤λf(x¹)+(1 − λ)f(x²) 則稱 f (x) 為 I 上的凸函數 (convex func- tion)。

引理1: 設

^P

ⁿ_i=1qi > 0, qi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n。 若 f (x) 為 I 上的凸函數, 則 ∀xⁱ ∈ I(i = 1, 2, . . . , n) 皆恆有

f

n

P

i=1qixi n

P

i=1qi

!

≤

n

P

i=1qif(xi)

n

P

i=1qi

證: 由定義一與數學歸納法即可證得。

引理2: 設 f (x) 與 p(x) 在 [a, b] 上可 積, p(x) ≥0,

^R

a^bp(x)dx > 0, m ≤f(x)≤M,

若ϕ(y)在[m, M]上為連續的凸函數, 則

ϕ

^

R

b

ap(x)f (x)dx

R

b

ap(x)dx



≤

R

b

ap(x)ϕ(f (x))dx

R

b

ap(x)dx 證: 由引理 1 即可得證。

引理3: 若 f (x) 在 I 上有二階導函數, 則 f (x) 為 I 上的凸函數的 ⇐⇒ f^′′(x) ≥ 0(∀x ∈ I)。

引理4: 設 σ > 1 , 則 f (x) = x^σ 在 (0, +∞) 上為凸函數。

證:

^∵

f^′′(x) = σ(σ − 1)x^σ−2 >0

∴

由引理 3知引理 4成立。

顯然, 由引理 4 與引理 1, 引理 2 可得下 列兩個引理。

引理5: 設 xi > 0, qi ≥ 0, i =

87

1, 2, . . . , n,

^P

ⁿ_i=1qi >0, 若 σ > 1, 則

n

P

i=1qixi n

P

i=1qi

!

σ

≤

n

P

i=1qix^σ_i

n

P

i=1qi

引理6: 設 p(x) 同理2, f (x) ≥ 0 且可 積, 若 σ > 1, 則

 R

b

ap(x)f (x)dx

R

b

ap(x)dx



σ

≤

R

b

ap(x)(f (x))^σdx

R

b

a p(x)dx 在引理 5 中, 令 σ = ^β_α > 1 ,β > α >

0, x_i^α1 = ai >0, i = 1, 2, . . . , n, 則得 引理7: 設

^P

ⁿ_i=1qi > 0, ai > 0, qi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n。 若 β > α > 0, 則

n

P

i=1qia^α_i

n

P

i=1qi

!

_α¹

≤

n

P

i=1qia^β_i

n

P

i=1qi

!

_β¹

其中等號成立的 ⇐⇒ a¹= a2= · · · = an。

在引理 6 令 σ = ^β_α > 1, β > α > 0, (f (x))^α1 = g(x) ≥ 0, 則有引理8。

引理8: p(x) 同引理 2, g(x) ≥ 0 可積, 若 β > α > 0, 則

 R

b

ap(x)(g(x))^αdx

R

b

ap(x)dx



_α¹

≤

^

R

b

ap(x)((g(x))^βdx

R

b

ap(x)dx



_β¹

引理9: 設 f (x) 在 (−∞, +∞) 上連 續, 若 lim_x→−∞f(x) = A, lim

x→+∞f(x) =

B, 且 A 與 B 為有限數, 則 f (x) 在 (−∞, +∞) 上一致連續。

二. 加權冪平均函數的某些性 質

定義二: 設 qi > 0, ai > 0, i = 1, 2, . . . , n 皆為常數, 則稱

ϕ(t) =



 

 

 

 



 

 

 

 



n

P

i=1

qia^t_i

n

P

i=1

qi

!

¹_t

, 當t 6= 0時,



ⁿ

Q

i=1a^q_iⁱ

^

n1

P

i=1 qi

, 當t = 0時, 為加權冪平均函數。

定義三: 設 p(x) ≥ 0 且連續,

R

b

ap(x)dx > 0, g(x) 在 [a, b] 上連續且恆 正, 則稱

h(t) =



 

 



 

 



 R

b

ap(x)(g(x))^tdx

R

b ap(x)dx



¹_t

, 當t6= 0時,

e

R

b

ap(x)lng(x)tdx

R

b ap(x)dx

, 當t= 0時, 為積分型加權冪平均函數。

註: 在抽象測度意義下定義二與定義三 是可以統一到一個式子中去的, 參見 [9]。

顯見定義二、 定義三有下列幾個性質:

(1) lim

t→+∞ϕ(t) = max{a1, a₂, . . . , an} (2) lim

t→−∞ϕ(t) = min{a¹, a₂, . . . , an} (3)lim

t→0ϕ(t) =

^{ Q}

ⁿ_i=1a^q_iⁱ

^

1 n

P

i=1 qi

(4) lim

t→+∞h(t) = max_a≤x≤b{g(x)}

(5) lim

t→−∞h(t) = mina≤x≤b{g(x)}

(6)lim

t→0h(t) = e

R

b

ap(x) ln g(x)dx

R

b ap(x)dx

(7)ϕ(t) 與 h(t) 在 (−∞, +∞) 上皆 一致連續。

註: 關於性質 (7), 可由性質 (1)-(6) 和 引理 9證得。

(8)ϕ(t) 在 (0, +∞) 上是單調遞增的。

證: 由引理 7 即得。

(9)ϕ(t) 在 (−∞, 0) 上也是單調遞增 的。

證: ∀β, α ∈ (−∞, 0), 且 α < β < 0, 令 β = −m2, α= −m¹, m₁>0, m2> 0 ⇒ m2 < m1 於是由引理 7 ⇒

n

P

i=1qi(_a¹

i)^m2

n

P

i=1qi

!

¹

m2

≤

n

P

i=1qi(_a¹

i)^m1

n

P

i=1qi

!

¹

m1

⇒

n

P

i=1qi(_a¹

i)^m1

n

P

i=1qi

!

− ¹

m1≤

n

P

i=1qi(_a¹

i)^m2

n

P

i=1qi

!

− ¹

m2

⇒

n

P

i=1qia^α_i

n

P

i=1qi

!

¹

α

≤

n

P

i=1qia^β_i

n

P

i=1qi

!

¹

β

。

故 ϕ(t) 在 (−∞, 0) 上遞增。

定理1: ϕ(t) 在 (−∞, +∞, ) 上是增 函數。

(10)h(t) 在 (0, +∞) 上是增函數。

(11)h(t) 在 (−∞, 0) 上也是增函數。

證明同 (9)。

定理2: h(t) 在 (−∞, +∞) 上是增函 數。

註: (1) 此處關於 ϕ(t) 的單調性證明與 [10]中不同, 此處要簡單一些。

(2) 在抽象測度意義下, 這個 ϕ(t) 與 h(t) 在 (−∞, +∞) 上為增函數可以統一起 來, 參見 [8]。

(3) 定理 1 與定理 2 特別有用, 其應用在 下一節將會看到。

三. 生產不等式的“母機”

仔細觀察定義二與定義三不難發現, 當 p(x) = 1 , qi = 1 , i = 1, 2, . . . , n 有下列 結果:

(I) 當 t = 1 時,

ϕ(1) = ^a1+a2+...+a_n ⁿ (算術平均), h(1) = _b−a¹

^R

_a^bg(x)dx (函數平均)。

(II) 當 t = 0 時,

ϕ(0) = √ⁿa₁a₂· · · aⁿ (幾何平均), h(0) = e^b−a1

^R

^ablng(x)dx

(函數的幾何平均)。

(III) 當 t = −1 時, ϕ(−1) = ^{1 n}

a1+_a2¹+···+_an¹ (調和平均), h(−1) =

^R

^bb−a

a 1

g(x)dx (函數的調和平均)。

顯然, 加權冪平均函數把許多種不同的 求平均的方法統一起來了。 同時將會在下面 行文中看到加權冪平均函數不僅統一了許多 平均概念, 而且把千千萬萬個不等式 (特別是 著名的不等式) 統一於一身。

正如 [3]中指出的“科學家們永遠關心的 是事物內部的聯繫。 人們自然會想, 對任意兩 個實數 α 與 β, 加權冪平均 ϕ(α) 和 ϕ(β) 之間有什麼關係呢? 由上述特例可知有

ϕ(−1) ≤ ϕ(0) ≤ ϕ(1) (據定理1)

h(−1) ≤ h(0) ≤ h(1) (據定理2) 而這兩個不等式指出當 (p(x) = 1, qi = 1) t = −1, 0 和 1 時三者之間的關係。 這裡值 得注意的是三個足標的順序和不等號順序是 一致的。 於是人們不禁要問: 對於一般的情況 α < β 是否有

ϕ(α) ≤ ϕ(β) , h(α) ≤ h(β) 呢? 根據定理 1 與定理 2 可以給出這個問題 的一個肯定回答。 現用定理的形式表述如下:

定理3: 設 qi>0, ai>0, i = 1, 2, · · · , n 若 α < β , 則 ϕ(α) ≤ϕ(β) 。 等號只有當 n 個正數 a₁, a₂, . . . , an 全相等時, 才能成立。

定理4: 設函數 p(x) 與 g(x) 在 [a,b]上 連續且恆正。 若 α < β, 則 h(α) ≤ h(β), 而且等號只有當 g(x) = c > 0 之常數函數 時才成立。

註: 定理 3 與定理 4 實際上是定理 1 與定 理 2的另一種表述而已。

上 述 兩 個 定 理 揭 示 了 許 多 不 等 式 的 內在聯繫。 因為 ϕ(t) 與 h(t) 皆是定 義在 (−∞, +∞) 上的實值函數, 由於 (−∞, +∞) 是不可數集 (見 [9]), 且基數 為 ℵ, 不難發現每當在 (−∞, +∞) 中任意 拿出幾個實數來, 通過ϕ(t) 與 h(t) 這個關 係, 就得到了某個不等式。 故可以說 ϕ(t) 與 h(t) 分別是生產非積分型不等式和積分型 不等式的“工作母機”。 甚至可以說 ϕ(t) 與 h(t) 是生產不等式的一座設備精良的大型現 代化的“工廠”。 一點也不假。 下面我們將利 用 ϕ(t) 與 h(t) 生產一些著名的不等式, 然

後利用邏輯鏈條溝通彼此之間的關係, 使之 系統化起來。

定理5: 若 α < 0 < β, 則 ϕ(α) ≤ ϕ(0)≤ ϕ(β), h(α) ≤ h(0) ≤ h(β), 即

(I)

n

P

i=1qia^α_i

P

n i=1

qi

!

_α¹

≤

^

n

Y

i=1

a^q_iⁱ

^

n1

P

i=1 qi

≤

n

P

i=1qia^β_i

n

P

i=1

qi

!

_β¹

(II)

R

b

ap(x)(g(x))^αdx

R

b

ap(x)dx

!

¹_α

≤ e

R

b

ap(x)ln^g(x)tdx

R

b ap(x)dx

≤

R

b

ap(x)(g(x))^βdx

R

b

ap(x)dx

!

¹_β

註: 在上式 (I)、(II) 中令 α = −1,β = 1, 會 得出什麼樣的結果呢?

定理6: 設 ai,qi 同定理 5, p(x), q(x) 亦同定理 5。 若 γ = α + β, α、β 皆為正數, 則

(I)

n

P

i=1qia^γ_i

n

P

i=1qi

≥

n

P

i=1qia^α_i

n

P

i=1qi

·

n

P

i=1qia^β_i

n

P

i=1qi

(II)

R

b

ap(x)(g(x))^γdx

R

b

ap(x)dx

≥

R

b

ap(x)(g(x))^αdx

R

b

ap(x)dx

·

R

b

a p(x)(g(x))^βdx

R

b

ap(x)dx

證: (I) 由γ = α + β 且 α >

0, β > 0 知 γ > α, γ > β, 於 是由定理 1 得: ϕ(r) ≥ ϕ(α), ϕ(γ) ≥ ϕ(β)。 又 ϕ(α) > 0, ϕ(β) > 0。 從而有 (ϕ(γ))^α ≥ (ϕ(α))^α, (ϕ(γ))^β ≥ (ϕ(β))^β, 故得(ϕ(γ))^α+β ≥ (ϕ(α))^α(ϕ(β))^β, 即 (ϕ(γ))^γ ≥ (ϕ(α))^α(ϕ(β))^β 成立。 所以 (I) 成立。 同理可證 (II) 亦立。

利用數學歸納法可將定理 6 推廣到下列 情形。

系1: 設 ai, qi, p(x), q(x) 均與定 理 6 相同, 若 γ =

^P

ⁿ

k=1pk, pk > 0 (k = 1, 2, . . ., m), 則

(I)

P

n i=1qia^γ_i

P

n

i=1qi ≥

m

Y

k=1

P

n

i=1qia^p_i^k

P

n i=1qi

!

(II)

R

b

ap(x)(g(x))^γdx

R

b

ap(x)dx

≥

m

Y

k=1

R

b

ap(x)(g(x))^pkdx

R

b

ap(x)dx

!

易見在定理 6中分別令 qi = 1, a^α_i = xi

>0, a^β_i = yi >0, i = 1, 2, · · · , n, (g(x))^α

= π(x), (g(x))^β = Q(x), P (x) = 1, 可得 著名的 Chebyshev 不等式 (在某種條件之 下)。

系2: (Chebyshev不等式)

(i) 若 xi 與 yi 同時遞增或同時遞減 (i = 1, 2, · · · , n) 則

n

X

i=1

xiyi

n ≥

^

1 n

n

X

i=1

xi



(1 n

n

X

i=1

yi



(ii) 若 π(x) 與 Q(x) 在 [a, b] 上單調 性相同, 則

(b−a)

Z

b

aπ(x)Q(x)dx ≥

Z

b aπ(x)dx

Z

b

aQ(x)dx

註: 在 (i) 中若 xi 與 yi 單調性相反 (i = 1, 2, . . . , n), 則不等號反向; 在 (ii) 中 π(x) 與 Q(x) 在 [a, b] 上單調性相反, 則不等號 亦反向。

系3: (Shapiro不等式) 設 0 ≤ a^k <1, k= 1, 2, . . . , n, S =

^P

ⁿ

k=1

ak, 則

n

X

k=1

ak

1 − a^k ≥ nS n− S 證: 由系 2(i) 即可證得。

系4: 設 f (x) 在 [0, 1] 上可積, 且 0 ≤ f(x) < 1, 則

Z

₁

0

f(x)

1 − f(x)dx≥

R

₁

0 f(x)dx 1 −

^R

0¹f(x)dx。 證: 在系3中取 ak = f (ξk), ∆xk = _n¹, ξk ∈ [^k−1n ,_n^k], k = 1, 2, . . . , n, 並取極限即 得。

定理7: (I) 設 qi > 0, ai > 0, i= 1, 2, . . . , n, 則

n

P

i=1qiai n

P

i=1

qi

≤

^

n

P

i=1qia²_i

n

P

i=1

qi



¹₂

≤

^

n

P

i=1qia³_i

n

P

i=1

qi



¹₃

≤ · · · ≤

^

n

P

i=1qia^m_i

n

P

i=1qi



_m¹

≤ · · ·

(II) 設 ai >0 (i = 1, 2, . . . , n), 則

n

P

i=1

ai

n ≤

^

n

P

i=1

a²_i n



¹₂

≤

^

n

P

i=1

a³_i n



¹₃

≤ · · · ≤

^

n

P

i=1a^m_i n



_m¹

≤ · · ·

(III)

   ^P

ⁿ

i=1 xi

n

  

≤

^P

ⁿ

i=1

|xi|

n ≤

v u u t

n

P

i=1

x²_i n

證: (I) 由定理 1 即得。(II) 在 (I) 中令 qi = 1, i = 1, 2, . . . , n, 即得。(III) 在 (II) 中令 ai = |xⁱ| 即得。

定理8: 設 g(x) 與 J(x) 在 [a, b]上連 續。 若 P > 1且¹_p + ¹_q = 1, 則

(I)

Z

b

a|g(x)J(x)|dx≤(

Z

b

a |J(x)|^pdx)^1p

·(

Z

b

a |g(X)|^qdx)^1q (H¨older) (II) (

Z

b

a |g(x)+J(x)|^pdx)^1p

≤(

Z

b

a|g(x)|^pdx)^1p+(

Z

b

a|J(x)|^pdx)^p1 (MinKowski)

註: (1) 利用定理 5 即可證得定理 8(I), 該定 理 (II) 由本定理 (I) 即可推出。

(2) 若 0 < p < 1, 則定理 8(I) 與 (II) 的不等號反向。

(3) 若 p = q = 2, 則 (I) 式便為 Cauchy 不等式。

定理9: 設 qi > 0, ai > 0, i = 1, 2, . . . , n, 則

(I)

n

P

i=1

qi n

P

i=1 qi ai

≤

^{ Q}

ⁿi=1a^q_iⁱ

^

n1

P

i=1 qi

≤

n

P

i=1

qiai n

P

i=1

qi

,

(II)

n

P

i=1

qi n

P

i=1 qi ai

!

n

P

i=1

qi

≤

^Q

ⁿi=1a^q_iⁱ

≤

n

P

i=1

qiai n

P

i=a

qi

!

n

P

i=1

qi

,

(III)

^Q

ⁿ_i=1a^q_iⁱ ≤

n

P

i=1

qiai n

P

i=1

qi

!

n

P

i=1

qi

,

(IV)

^

n

P

i=1

ai

n



n

P

i=1

ai

≤

^Q

ⁿi=1a^a_iⁱ

≤

^

n

P

i=1

a²_i

n

P

i=1

ai



n

P

i=1

ai

, (V) √ⁿa1a2a3· · · aⁿ≤^{a1+a2+···+a}n ⁿ, (VI) 1 ⁿ

a1+_a2¹ +···+_an¹ ≤ √ⁿa1a2a3· · · aⁿ

≤ ^{a1+a2+···+a}n ⁿ。

證: 由定理 1 ⇒ ϕ(−1) ≤ ϕ(0) ≤ ϕ(1)

⇒(I) 。 顯然有 (I)⇒(II)⇒(III)。 由 (I)⇒

(IV), 由 (III)⇒(V), 由 (I)⇒(VI)。

特別在 (IV) 中, 令 n = 3, a₁ = x, a₂ = y, a3 = z, 則對任意的三個正數 x, y, z 有:



x+ y + z 3



≤ x^xy^yz^z

≤

^

x²+y²+z² x+y+z



x+y+z

(見[3]p.61) 值得注意的是利用這個不等式左端可推得若 a >0, b > 0, c > 0, 則

a^ab^bc^c ≥ (abc)^a+b+c3 。

系1 (Bernoulli不等式): 設 x > −1, (i) 若 0 < α < 1 時, 則 (1 + x)^α ≤ 1 + αx。

(ii) 若 α < 0 或 α > 1, 則 (1 + x)^α ≥ 1 + αx。

證: 由定理 9(V) 可知系 1 成立 (見 [3]p.33)

系2: 若 a > 1, n > 1, 則 aⁿ >

1 + n(a − 1)。

系3: 若 b > 1, 則 0 < b¹ⁿ − 1 < ^b−1n 。 註: 系 2 可由系 1 證得, 系 3 可由系 2 證得。

系4([3]): 設 a > 0, b > 0, 若 a 6= b, 則

abⁿ <

^

a+ nb n+ 1



n+1

證: 由定理 9(V)⇒ ⁿ⁺¹√

abⁿ < ^a+nb_n+1

⇒ abⁿ<

^

^a+nb_n+1

^

ⁿ⁺¹

系5: 設 0 < α < β, 若 n 為自然數, 則

(i) βⁿ⁺¹> αⁿ[(n+1)β −nα], (i) αⁿ⁺¹> βⁿ[(n+1)α−nβ],

(iii) (n + 1)αⁿ(β − α)<βⁿ⁺¹−αⁿ⁺¹

<(n + 1)βⁿ(β − α), (iv) βⁿ⁺¹− αⁿ⁺¹

β− α <(n + 1)βⁿ。 證: 在系 4 中, 若 a > b > 0, 則 取 α = b(n + 1), β = a + nb, 可得 [(n + 1)β − nα]αⁿ < βⁿ⁺¹ ⇒ βⁿ⁺¹ − αⁿ⁺¹ <(n + 1)βⁿ(β − α)。

若 b > a > 0, 取 α = a + nb, β = b(n + 1), 則 β > α > 0, 由系 4 知 αⁿ⁺¹ > βⁿ[(n + 1)α − nβ], 於是有

βⁿ⁺¹− αⁿ⁺¹ <(n + 1)βⁿ(β − α)。

由上述推理知當 β > α > 0, n 為自然數時 有

(n + 1)αⁿ(β − α) < βⁿ⁺¹− αⁿ⁺¹

<(n + 1)βⁿ(β − α)。

故 (i)、(ii)、(iii) 成立, 由 (iii) 即可得 (iv)。

證畢。

註: 此處證明系 5 之所以採取這種方法, 意在系統化。

系6(i): 設 pi > 0, ai > 0, i = 1, 2, . . . , n 若

^P

ⁿ

i=1pi = 1, 則

a^p₁¹a^p₂²· · · a^pnⁿ ≤ p1a₁+ p₂a₂+ · · · + pⁿan。 (ii) 設 p > 1, a > 0, b > 0, 若

1

p +¹_q = 1, 則 ab≤ 1

pa^p+ 1 qb^q。

證: 由定理 9(III) 即可證得系 6 成立。

系7 (H¨older): 設pi > 0, aji > 0, bji > 0, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m。

若

^P

ⁿ

i=1pi = 1, 則 (i)

m

X

j=1

(

n

Y

i=1

a^p_jiⁱ) ≤

m

X

i=1

(

n

Y

j=1

aji)^pi,

(ii)

m

X

j=1

(

n

Y

i=1

bji) ≤

n

X

i=1

(

m

Y

j=1

(bji)^pi1)^pi, 其中等號成立的充要條件為:

aj1 m

P

j=1a_j1

= aj2 m

P

j=1a_j2 = · · · = ajn m

P

j=1ajn

。

證: 只要在系 6(i) 中令 ai = m^aji

P

j=1

aji

, i = 1, 2, . . . , n 然後求和即得 (i)。 在 (i) 中令 bji = a^p_jiⁱ 便得 (ii) 成立。

系8 (Minkowski): 設 aji > 0, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m, 若 γ > 1, 則

h X

^m

j=1

(aj1+ aj2+ · · · + a^jn)^γ

ⁱ

1 γ ≤

 X

^m

j=1

a^γ_j1

^

1

γ + · · · +

^

m

X

j=1

a^r_jn

^

1 r

系9: 若 p1 >0, p2 > 0, p1 + p2 = 1, b_j1 >0, bj2 >0, 則

m

X

j=1

bj1bj2 ≤

^

n

X

j=1

(bj1)^p11

^

^p1

^

n

X

j=1

(bj2)^p21

^

^p2

註: (1) 系 8 與系 9 的證明可直接由系 7 推得。

(2) 當 p1 = _m+1¹ , p₂ = _m+1^m 時, m 為自然數, 則又可得另一特殊形式的而又有 用的一個不等式。

系10: 設 m 是自然數, bj1 >0, bj2 >

0, j = 1, 2, . . . , n, 則

n

X

j=1

b_j1b_j2≤

^

n

X

j=1

b^m+1_j1

^

1 m+1

 X

ⁿ

j=1

b

m+1 m

j2



_m+1^m

註: 若在系 10 中令 bj1bj2 = Aj, Bj = b

m+1

j2m , j = 1, 2, . . . , n, 則 Aj > 0, Bj >

0, b_j1 = B⁻

m m+1

j Aj, 從而得到:

系11 (權方和不等式 [7]):



n

P

j=1Aj



m+1



n

P

j=1

Bj



m ≤

n

X

j=1

A^m+1_j B_j^m ,

其中等號成立的充要條件是 ^A_B¹

1 = ^A_B²

2 =

· · · = ^ABⁿn =

n

P

j=1

Aj n

P

j=1

Bj

。

註: 這裡推得權方和不等式成立所用的 方法與 [7]中的方法不同。 這裡不但證得其成 立, 而且將其納入了 H¨older 不等式系統之 中。

系 12([2]: 為了行文方便, 這裡稱系 12 為王勤國不等式): 若 αi > 0, βi > 0, i= 1, 2, · · · , n, 則

(I)

^

β1

α₁



α1



β2

α₂



α2

· · ·

^

βn

αn



αn

≤

^

β₁+β₂+· · ·+βⁿ α1+α2+· · ·+αⁿ



α₁+α2+···+αn

, (II)

^

α₁

β₁



α₁



α₂ β₂



α₂

· · ·

^

αn

βn



αn

≥

^

α₁+α2+· · ·+αⁿ β1+β2+· · ·+βⁿ



α₁+α2+···+αn

。 特例: 當 n = 2 時有

(i)

^

β1+β2

α₁+α2



α1+α2

≥

^

β1

α₁



α1



β2

α₂



α2

, (ii)

^

α₁

β1



α₁



α₂ β2



α₂

≥(α₁+α₂ β1+β2

)^α1+α2, 其中等號成立的充要條件是:

β₁ α1

= β₂

α2 = · · · = βn

αn

。

證: 在定理 9(III) 中設 αi = qi,βi= qiai,i = 1, 2, · · · , n 則得 0 < βⁱ = qiai = αiai 知 ai = _α^βi

i。 故系 12 成立。

系13: 設 An = ^{a1+a2+···+a}_n ⁿ, ai >

0, i = 1, 2, · · · , n, 則當 p > 1 時有

m

X

n=1

A^p_n ≤ p p− 1

m

X

n=1

A^p−1_n an。 系14 (Hardy 與 Laudan 不等式): p >

1, ai >0,i = 1, 2, · · · , n, 則

m

X

n=1

A^p_n≤ ( p p− 1)^p

m

X

i=1

a^p_i。

系15 (Garleman): 若 an > 0, n = 1, 2, · · ·,

P

_∞

n=1an 收歛, 則

^P

^∞_n=1(a₁a₂· · · aⁿ)¹ⁿ

≤ e

^P

^∞n=1an。

註: (1) 系 13 可由系 6(ii) 推得。

(2) 系 14 由系 13 與系 9 可推得。

(3) 系 15 由系 14 與定理 9(V) 即可證 得。

綜合上述可知本文建立了如此多的而又 十分有用的不等式都是從 ϕ(t) (或h(t)) 出 發而得到的。 若又從每一個不等式出發, 則 又可造出千千萬萬個不等式。 如此下去, 可 謂“萬世不竭”啊!至此溝通了一大類著名的不 等式的內在聯繫。

四、 關於近年來指數 e 的存 在性的證明

e= lim_n→∞(1 +_n¹)ⁿ 在微積分學中被 稱為重要極限。 其重要性是可以想像的。 因此 關於 e 之存在性的證明也頗受人們注意。 近 年來出版的數學書刊中分別給出了 e 之存在 性的各種“不同”的證明。 而這些證明的一個 顯著的共同的特點就是藉助不等式來證明數 列 {(1 + _n¹)ⁿ} 單調遞增有上界, 從而肯定 limn→∞(1 + ¹_n)ⁿ 存在且為有限。 但是筆者 認為這些“不同”的證法在某種意義下是屬於 一個系統。 其理由如下:

[1]中分別利用了 Bernoulli 不等式 (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx (x > −1, n 為自然 數) 和 √ⁿa1a2· · · aⁿ ≤ ^{a1+a2+···+a}n ⁿ 給出了 limn→∞(1 + _n¹)ⁿ 的兩種證明。

[2]中首先利用導數為工具建立了不等 式: 若 α_i > 0, βi > 0, i = 1, 2, · · · , n, 則

(I) (α₁+ α₂+ · · · + αⁿ

β₁+ β2+ · · · + βⁿ)^{α1+α2+···+αn}

≤ (α1

β₁)^α1· · · (αn

βn

)^αn,

(II) (β₁+ β2+ · · · + βⁿ

α1+ α2+ · · · + αⁿ)^{α1+α2+···+αn}

≥ (β1

α₁)^α1· · · (βn

αn

)^αn。

然後利用這幾個不等式給出 lim_n→∞(1 +

1

n)ⁿ 存在的證明。

[3]中利用了不等式 abⁿ<(^a+nb_n+1)ⁿ⁺¹ (a > 0, b > 0, a 6= b) 證明了 limn→∞(1 +

1

n)ⁿ 存在。

[4]中利用了不等式 ^bn+1_b−a^−an+1 ≤ (n + 1)bⁿ (0 ≤ a < b n 為自然數) 證明了 limn→∞(1 + _n¹)ⁿ 存在。 這個方法目前有的 數學分析教科書 ([5]) 已吸收。

上述諸種方法都只證得 (1 + _n¹)ⁿ <

4, 即 4 為其一個上界。 事實上 2 < (1 +

1

n)ⁿ < 3 (n > 1) 。 筆者以為就極限存在方 面而言, 上述幾種證法確實有其特色。 但是就 具體求極限值而言, 還不如利用二項式定理 展開進行比較推出“3”為其一個上界。 顯然這 個“3”比“4”更接近於極限值 e。 從這個意義 上來說, 上述幾種證法皆不如利用二項式定 理來證明 e 之存在性。 為了既能利用不等式 證明 lim_n→∞(1 + ¹_n)ⁿ 存在, 又能更接近於 e 之值,[6]中做到了這一點。 他雖然利用了不 等式 √ⁿa₁a₂· · · aⁿ ≤ ^{a1+a2+···+a}_n ⁿ 證明了 {(1 + n¹)ⁿ} 遞增, 但他得到了兩個較強的不 等式:

(i) (1 + 1

n)ⁿ<(6

5)⁶ <3;

(ii) (1 + 1

n)ⁿ<(k+ 1 k )^k+1。 (k 為某一固定自然數)

顯然 [6]中證法是有一定的優越性。 至於利用 二項式定理來證明 e 之存在性有關數學分析 書中都有此法。 這裡不再介紹。

綜合上述種種證法, 他們所用的不等式 都統屬於

^Q

ⁿ_i=1a^q_iⁱ≤

^

P

n i=1qiai

P

n i=1qi

 P

n i=1qi

的不等式之中。 由 (三) 之結構簡圖知, 他們 採用的不等式都可由此推出。 由此可見, 若 從這個意義上來說, 上述幾種證法均屬同一 個系統。 甚至可以說上述幾種證法“只能算一 種”。 其中值得一提的是 [3]之證法所用的不 等式可推出 [4]中所採用的不等式。

不難發現, 由第三節之結構圖知, 我們從 中摘取某一個適當形式的不等式就可以給出 e 之存在性的一個證明。(若我們能用別的方 法來證明這某一個不等式成立的話。)

五. 結束語

加權冪平均函數與別的函數一樣, 是從 現實世界中抽象出來的, 它雖然是一個函數, 但它的出現是客觀世界中所發生的諸過程在 數學上的反映。 確實如此, 不難發現加權冪平 均函數有概率、 力學、 幾何等意義。

參考資料

1. 計惠康、 許依群: 怎樣證明數列 {(1 + _n¹)ⁿ} 遞增且有上界, 數學通報 (80) 第四期,P.22- 23。

2. 王勤國: 數“e”存在性的又一證明, 數學通報 (82) 第四期,P.24—26。

3. 史濟懷: 平均, 人民教育出版社,1964 年 2 月 新版, P.31—36。

4. The American Mathematical Marlthly, Vol. 81., NO. 9, P.1011-1012,1974.

5. 華東師大數學系編: 數學分析 (上), 高等教育 出版社,1991年3月第二版, 1994年4月第四 次印刷, P.47—48。

6. 朱勻華: 數 e 存在性的一個證明, 數學通報 (84) 第三期, P.28-29。

7. 楊克昌: 權方和不等式, 數學通訊 (82) 第六 期, P.32—33。

8. 姚雲飛: 凸泛函的又幾條性質及其應用, 阜陽師院學院學報自然科學版 (90) 第二 期,P.32—37。

9. H. L. Royden:Reai Analysis Printed in the United States of America. sixth Printing 1966.

10. G. H. Hardy., J. E. Littlewood and G.

P¨olya. Inequalities. Canlbridge Univ.

Versity Press. 2nd Edition 1952.

—本文作者任教於安徽省阜陽師範學院數學

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