多複變討論的同倫方法
王則柯
理工科的大學生都要學一點複變函數。
可見, 複變函數的應用範圍, 實在很大。 現已 很難想像, 不用複變函數的話, 怎樣才能講述 電磁理論和流體力學。 一些奇異積分的計算, 更是複變函數的拿手好戲。
和實變量的函數一樣, 複變函數也有單 變量和多變量的區別。 在實變量的情形, 是一 元微積分和多元微積分的區別。 在複變量的 情形, 是單複變函數和多複變函數的區別。 有 趣的是, 在大學課程設置中, 雖然每個理工科 學生都要學多元微積分, 但是一般數學專業 的本科大學生, 卻通常不修習多複變函數。
多複變函數有一些很特殊的性質。 從單 複變到多複變, 比起從一元微積分到多元微 積分, 真是困難得多, 跳躍大得多。 這就是一 般大學不要求數學系的本科學生修習多複變 函數的道理。
但是在今天, 運用大學生容易掌握的現 代同倫方法, 卻可以繞開那些特殊的困難, 做 一些多複變函數理論的研究。 本文的目的, 就 是通過建立多複變函數的 Rouch´e 定理, 淺 白地演示同倫方法的這一能力。
同倫方法原理
五個人從游泳池的出發端跳下去, 以一 致 (uniformly) 大於零的速度向前游去。 如 果他們都不接觸池側, 請問有多少個人可以 到達終點端?
答案當然是五。 因為這五個人既不會回 到出發端, 又不會接觸池側, 他們老是向前游, 速度總是大於一個正的常數, 焉有不到達終 點端的道理?
圖 1
上面這個“兒童小問答”, 可以大致說明 在函數值分布 (value distribution) 討論中 的同倫方法 (homotopy method) 的要義。
請記住這個簡單的問答。 因為我們可以說, 下 面的論證, 只是這個小問答的數學實施。
五個人下水, 五個人到達。 數學上怎樣 才能保證呢? 首先要有正則性 (regularity),
1
一個人不能變成兩個人, 兩個人不能變成一 個人。 在圖 1 中, 就是五個人的游跡不會分 叉, 也不會交叉合併。 不然的話, 就不能保證 最後還是五個人。 其次, 要有單調性 (mono- tonicity), 即一直向前游, 不會退回去。 不然 的話, 如果有人退回去, 就不能保證五個人都 到達終點端。 以後我們還會知道, 單調性加上 正則性, 還可以保證所有人前進的速度一致 地大於零。這就排除了雖然一直向前, 但卻越 來越慢, 永遠到達不了端點端的可能。 第三, 要有有界性 (boundedness)。 不然的話, 如 果有人從池側溜上岸, 也不能保證五個人都 到達終點端。
下面的論證, 大體上就按照正則性、 單 調性、 有界性的次序展開。 比較繁一點的是正 則性, 最容易的是有界性。 我們先難後易, 說 明同倫方法的要義。 為此, 先敘述本文主要對 付的 Rouch´e 定理。
Rouch´ e 定理
翻開任何一本複變函數課本, 都可以找 到 Rouch´e 定理。 記複數平面為 C, 這個定 理可以敘述如次:
定理1: 設 E 是 C 中的開集, γ 是 E 內的可求長簡單閉曲線, 其內部 D ⊂ E。 若 映照 f, g : E → C 解析 (analytic), 在 D 內只有孤立零點, 並且對所有 z ∈ γ, 成立
|f (z) − g(z)| < |f (z)|,
那麼按重數計算 (counting multiplicities), f 和 g 在 D 內的零點數目相同。
記 n 個複變量 z = (z1. . . , zn) 的空間 為 Cn, z 在 Cn 的歐幾里德模 (Euclidean norm) 為 kzk。 多複變情形的 Rouch´e 定理 可以表述如次:
定理2: 設 E 是 Cn 中的開集, 而 D 是 E 內的有界開集, 其閉包也在 E 內, 即 D ⊂ E。 若映照 f, g : E → Cn解析, 在 D 內只有孤立零點, 並且對所有 z ∈ ∂D, 成立
kf (z) − g(z)k < kf (z)k,
那麼按重數計算, f 和 g 在 D 內的零點數 目相同。 這裡, ∂D 表示 D 的邊界。
也許需要再說明一下的是: z 是 f 的零 點, 指的是 f (z) = 0, 在多複變函數的情形, 這個 0 是空間 Cn 的原點 (origin)。
兩相比較, 第一, 定理 1 是單複變的, 而 定理 2 是多複變的, 這是主要的進步。 第二, 即使在定理 2 中限定 n = 1, 定理 2 的條件 也比定理 1 放寬很多, 因為定理 1 要求 γ 是 可求長簡單閉曲線, 而定理 2 只要求 ∂D 是 有界開集 D 的邊界。 可見, 即使在 n = 1 的 情形, 定理 2 也比定理 1 強得多。
現在, 我們用同倫方法來證明定理 2。 說 到預備知識, 同倫的概念將直接給出, 而單 複變函數的 Cauchy-Riemann 方程, 大家 都很熟悉。 有些讀者可能沒有學過微分流形 (differential manifold) 和 Sard 定理。 好 在著眼於如何應用同倫方法, 這些內容連帶 Cauchy-Riemann 方程, 都容易敘述清楚, 不易發生岐義。 坦率地說, Rouch´e 定理的這 個推廣, 得益於對對象的熟悉和各學科的滲 透, 並不是啃硬骨頭的結果。 知道多一點, 就 可能做出這樣的結果。 這就是我們的體會。
同倫方法基本引理
設 Rp為 p 維歐幾里德空間。 如果 E ⊂ Rp 是開集, F : E → Rr 的各階偏導數都存 在並且連續, 就說 F 是光滑 (smooth) 映照。
這時, 在 E 的每一點, F 的導映照 (deriva- tive) 都是一個線性變換 (linear transfor- mation), DF : Rp → Rr。 如果在 x ∈ E, 線性變換 DF : Rp → Rr 是滿 (sur- jective) 映照, 就說 x ∈ E 是 F 的正則 點 (regular point)。 如果 y ∈ Rr 使得 F−1(y) = {x ∈ E : F (x) = y} 中的每 一點都是 F 的正則點, 就說 y 是 F 的正則 值 (regular value)。 很明白, 正則值的前提 是 p ≥ r。
在 E 的每一點, F 的導映照 DF : Rp → Rr, 作為線性變換, 其變換矩陣就是 F 在這點的一階偏導數矩陣 (∂Fj/∂xk)。 所 以, 我們也寫 DF = (∂Fj/∂xk)。
首先敘述原像定理 (preimage theo- rem)。
引理1:[6,7] 設 E ⊂ Rp 是開集, F : E → Rr 是光滑映照。 如果 y ∈ Rr 是 F 的正則值, 那麼 F−1(y) 是 E 中的 p − r 維 微分流形, ∂F−1(y) ⊂ ∂E, 即 F−1(y) 的 邊界必在開集 E 的邊界中。
我們將只用到 p − r = 1 的情形。 1 維 微分流形的分類早已完全清楚[6,7]: 它的每個 連通分支 (component), 或微分同胚 (dif- feomorphic to) 區間 (interval), 或微分同 胚圓周。簡而言之, 1 維微分流形的每個連通 分支, 是一條簡單光滑曲線。 所謂簡單, 就是
不分叉也不交叉。 這就是我們在游泳池問答 後面說的正則性的第一個要求。
現在敘述廣義 Sard 定理。
引理2:[1] 設 W ⊂ Rq, E ⊂ Rp 是開 集, 映照 φ : W × E → Rr 光滑, p ≥ r。
如果 y ∈ Rr 是映照 φ 的正則值, 那麼對於 幾乎每一點 a ∈ W , y ∈ Rr 都是局限映照 (restricted mapping)
φ(a, ·) : E → Rr 的正則值。
這就是說, 在 y ∈ Rr 是 φ : W ×E → Rr 的正則值的條件下, 使得 y ∈ Rr 不 是 φ(a, ·) : E → Rr 的正則值的那些點 a ∈ W , 在 Rq 的開集 W 中所佔有的 Lebesgue 測度 (measure) 只等於零。
如果你的線性代數 (linear algebra) 學 得比較好, 只要有一本 [6] 那樣的深入淺出 的好書, 學會原像定理的證明並不困難。 廣義 Sard 定理會稍許費力一些。 不過, 本文更強 調這些定理的應用。 因為對付的是零點問題, 我們只關心 y ∈ Rr 是 Rr 的原點的情形。 如 果 0 ∈ Rr 是映照的正則值, 就說這個映照 是正則映照。 下兩節將著重說明怎樣造出 φ 來使得 0 ∈ Rr 是它的正則值。 做到這一點 以後, 就容易取 a ∈ W 使得 0 ∈ Rr 是 F = φ(a, ·) : E → Rr 的正則值。 應用到 p − r = 1 的情形, F−1(0) 就由互不相交的 簡單光滑曲線組成。
著眼於同倫方法的應用, 我們更具體地 限於 E = [0, 1] × Rr 的情形。 接下去的兩 個引理, 給出上述光滑曲線的單調性。
引理3:[3] 設 0 ∈ Rr 是光滑映照 ψ : [0, 1] × Rr → Rr 的正則值, 那麼對於 ψ−1(0) = {(t, x) ∈ [0, 1] × Rr : ψ(t, x) = 0} 中的每一條曲線 (t(s), x(s)), 或者對所 有 s 恆成立
sgndt(s)
ds = sgn det∂ψ
∂x(t(s), x(s)), 或者對所有的 s 恆成立
sgndt(s)
ds = −sgn det∂ψ
∂x(t(s), x(s)), 這裡 s 是所論曲線的弧長, det 是行列式 (determinant) 函數, sgn 是符號函數, 其 中約定 sgn 0 = 0。
最後一個引理可以叫做非負 (nonnega- tiveness) 定理:
引理4:[2] 設 E ⊂ Cn 是開集, T : E → Cn 是解析映照, 那麼根據 z = x + iy 和 T (z) = u + iv 的關係, 按照依 zj = xj + iyj, j = 1, . . . , n 把 (z1, . . . , zn) ∈ Cn 與 (x1, y1, . . . , xn, yn) ∈ R2n 視同的 方式, 把 T 看作是實變量的映照, 仍舊記作 T : E → R2n, 則 T 的 Jacobi 矩陣 DT 的行列式處處非負。
非負定理的證明要點可以簡述如下: 做 適當的坐標變換, 可以將 DT 轉換成以 n 個 2 階方陣為對角線元素的上三角矩陣, 而每個 2 階方陣都具有
∂uj
∂xk
∂uj
∂yk
∂vj
∂xk
∂vj
∂yk
=
∂uj
∂xk
−∂vj
∂xk
∂vj
∂xk
∂uj
∂xk
的形式, 所以 det DT ≥ 0 處處成立。 這 裡, 等號成立, 是因為解析函數的 Cauchy- Riemann 方程。
至此我們也知道, 最要緊的是做出正則 映照來, 解決面臨的問題。 這就是下面兩節的 工作。
將 f 調整為正則映照
我們首先將 f 調整為一個正則映照, 然 後在下一節, 設計一個連接 f 和 g 的正則的 同倫映照, 這樣就將大功告成。
因為對所有 z ∈ ∂D 都有 kf (z) − g(z)k < kf (z)k, 可知 f 和 g 在 D 的 邊界 ∂D 上都沒有零點。 進而我們知道 f 和 g 在有界閉集 D 上只有弧立零點, 所以 f 和 g 在 D 內的零點數目都有限。
設 f 在 D 的零點數目是 m。 證明定理 2 的基本想法, 就是從 f 的 m 個零點出發, 造 m 條簡單光滑曲線通向 g 的零點 (參看 圖 2), 這樣就得到 g 的 m 個零點, 同時證明 g 在 D 內沒有別的零點。
但是 f 可能有重零點 (multiple ze- roes)。 用正則性的語言來說就是, f 可能不 是正則映照, 即 0 ∈ Cn 可能不是 f 的正 則值。 如果這樣, 就不能保證有 m 個出發點。
所以我們首先對 f 做適當的整理, 使它變成 在 D 內恰好有 m 個零點的正則映照。 如所 周知, 這只要對 f 做小的擾動就可辦到。 現 在, 我們用引理 2 來論證和完成這種小擾動 的做法。
定義 F : Cn× E → Cn 如下:
F (c, z) = f (z) + c。
注意, 現在 c ∈ Cn 是 F 的變量。 因為
∂F /∂c = I, 這裡 I 是 n 階恆同 (identity) 矩陣, 所以
DF (c, z) = [ I | ∂f
∂z(z)]。
這個等式說明, DF : Cn× Cn → Cn 作為 線性變換, 總是映滿 Cn 的, 從而, 0 ∈ Cn 當然是 F 的正則值。 這時, 運用引理 2 就知 道, 對幾乎每一個 c ∈ Cn, 0 ∈ Cn 都是局 限映照 F (c, ·) : E → Cn 的正則值。
取一個這樣的 c ∈ Cn, 並且要求 kck 很小。 記 fc : E → Cn 是由 fc(z) = f (z)+c 確定的映照, 那麼, 0 ∈ Cn是 fc 的 正則值, 從而 fc 沒有重零點。 我們已經知道 f 在 ∂D 上沒有零點, 所以 f 在 D 內的零 點數目在小擾動下不會改變。 至此我們知道, 由於 kck 很小, fc 在 D 內恰有 m 個孤立 零點, 它們都是單零點 (simple zeroes)。
這樣整理得到的 fc, 當然是正則映照。
同倫的設計
在構造 m 條簡單光滑曲線, 使得它們從 fc 的零點出發通向 g 的零點的證明過程中, 關鍵是同倫的設計。
定義 H : Cn× [0, 1) × E → Cn如下:
H(c, t, z) = (1 − t)(f (z) + c) + tg(z)。
因為
DH(c, t, z)
= [ (1−t)I | g(z)−f (z)−c | (1−t)∂f
∂z(z) +t∂g
∂z(z) ],
所以 DH : Cn× R × Cn → Cn 作為線性 變換, 總是映滿 Cn 的, 可見, 0 ∈ Cn 是映 照 H 的正則值。 這時, 同樣根據引理 2 就知 道, 對幾乎所有 c ∈ Cn, 0 ∈ Cn 都是局限 映照 H(c, ·, ·) : [0, 1) × E → Cn 的正則 值。
依照廣義 Sard 定理和映照 F 及 H 的 構造, 容易取定一個 c ∈ Cn, 使得 0 ∈ Cn 同時是 fc 的正則值和 H(c, ·, ·) 的正則值, 並且kck 很小。 這時, 定義 H : [0, 1]×D → Cn 如下:
H(t, z) =
(g(z), 若 t = 1, H(c, t, z), 若 t 6= 1, 那麼 H 當然連續, 並且因為對於所有的 z ∈ E 都有 H(0, z) = fc(z) = f (z) + c 和 H(1, z) = g(z), 所以 H 是連結 fc 和 g 的 一個同倫 (homotopy) 映照。
因為 0 ∈ Cn是 H(c, ·, ·) 的正則值, 按 照原像定理, H(c, ·, ·) 的零點集是一個微分 流形, 其維數 (dimension) 等於 [0, 1) × E 的維數減去 Cn 的維數, 所以 H(c, ·, ·) 的零 點集是一個 1 維微分流形。 注意在 [0, 1)×D 上, H 就是 H(c, ·, ·), 可見同倫 H 的零點 集
H−1(0) = {(t, z) ∈ [0, 1]×D : H(t, z) = 0}
在 [0, 1) × D 的部分是 1 維微分流形, 即由 互不相交, 互不交叉的簡單光滑曲線組成。
現在, 我們把 [0, 1] × D 看作是柱體, 看作是前面講的游泳池。 如果能夠再證明上 述簡單光滑曲線對於同倫參數 t 單調, 並且 不接觸柱體 (或游泳池) 的側面 [0, 1] × ∂D,
定理 2 的證明即可完成, 參看圖 2。 這就是下 一節的內容。
曲線在柱體內單調伸延
回顧同倫 H : [0, 1] × D → Cn 的構 造, 可以知道對於每一個固定的 t
H(t, z) = (1 − t)(f (z) + c) + tg(z)
是 z 的解析映照。 所以依據引理 4 det ∂H
∂(x1, y1, . . . , xn, yn)
處處非負。 這時, 如果 (t(s), z(s)) 是 H−1(0) 在 [0, 1) × D 部分的一條曲線, 其 中 s 是弧長, 那麼在引理 4 的基礎上, 引理 3 進一步論定 dt(s)/ds 恆不變號。 至此我們知 道, H−1(0) 中的每一條曲線, 都是同倫參數 t 的單調曲線。
圖2
餘 下 只 須 證 明 上 述 曲 線 不 會 接 觸 [0, 1]×D 的側面 [0, 1]×∂D。 但這是容易的。
事實上若不然, H−1(0) ∩ [0, 1] × ∂D 6= ∅, 則有 (t′, z′) ∈ H−1(0) ∩ [0, 1] × ∂D。
(t′, z′) ∈ H−1(0) 要求
(1 − t′)(f (z′) + c) + t′g(z′)
= f (z′) + (1 − t′)c + t′(g(z′) − f (z′)) = 0,
但 (t′, z′) ∈ [0, 1] × ∂D 要求 z′ ∈ ∂D, 從 而
kg(z′) − f (z′)k < kf (z′)k。
在 kck 很小時, 上述兩個要求是矛盾的。 這 個矛盾說明, H−1(0) 中的曲線, 都不會接觸 [0, 1] × D 的側面 [0, 1] × ∂D。
至此我們知道, 如圖2 所示, 從 fc 的 m 個單零點出發, 每一條曲線都在柱體 [0, 1) × D 內關於同倫參數 t 單調伸延。 t = 0 時 H 的零點集 H−1(0) 就是 fc 的零點集, t = 1 時 H 的零點集 H−1(0) 就是 g 的零點集, 所以從 fc 的零點出發的曲線, 一定曾到達 g 的零點, 從 g 的零點出發的曲線, 也一定可退 回來到達 fc 的零點。 這就說明, g 在 D 內的 零點數目和 fc 在 D 內的零點數目一樣, 都
等於 f 在 D 內的零點數目 m。
最後要注意的是, f 調整為 fc 後, 沒 有重零點了, 所以從 fc 的每個零點出發, 如 圖 2, 只有一條曲線上升。 曲線不分叉也不交 叉的性質只有在 [0, 1) × D 部份有保證, 所 以這些曲線在 t = 1 處有可能相匯合。 如果 從 fc 的零點出發的 k 條曲線匯合於 g 的 一個零點, 那麼 g 的這個零點就是 k 重零點 (zero of multiplicity k)。 在 Rouch´e 定理 中, 零點數目依照零點的重數計算。
也許還有必要明白說一下已經解決了的
“游泳池”問答中的一個問題, 即如何保證“雖 然一直向前游, 但是永遠到不了岸”的情形不 會發生。 這主要依靠原像定理。 原像定理論定 H−1(0) 的邊界一定在 [0, 1) × D 的邊界內, 也就是論定圖 1 和圖 2 中的每一條曲線, 都 不會把端點放在 (0, 1) × D 之內。
同倫方法的啟示
如果寫成研究論文, 多複變的 Rouch´e 定理可以在三四頁的篇幅內完成。 我們在這 裡著意講得細緻一些, 是想藉著這個證明, 展 示現代同倫方法的精髓。
從較早的延拓法 (continuation meth- ods) 發展成為目前的同倫方法, 其契機是引 進微分流形的若干概念, 特別是廣義 Sard 定 理。
許多應用數學者可能沒有必要通曉微分 流形理論或微分拓樸學 (differential topol- ogy), 但是瞭解像本文所用到的那樣的基礎 概念和基本結果, 一定大有裨益。 回頭檢視本 文的敘述, 一般的微分流形也許你不熟悉, 但
是 1 維的微分流形就是一些簡單的光滑曲線, 這卻容易掌握, 也就能夠解決不少問題。 正則 性的概念你也許只是粗知, Sard 定理的證明 你也許永遠不準備為它費腦筋, 但是這並不 妨礙有朝一日你能夠使用它們解決自己的問 題。 這裡的情形是否與你學微積分裡的參變 積分有某些類似: 今天你多半已經忘記了有 關的公式怎樣證明, 甚至公式本身亦不易記 起, 但是如果需要你計算一個參變積分時, 你 是會翻書查表把這個積分算出來的, 這就是 你的本事。
在前面同倫 H 的設計中, (1 − t)c 這 一項的設置, 最是妙著。 這使我們一開始就抓 住一個維數高得多的正則映照, 然後利用廣 義 Sard 定理, 容易製造出能夠解決面臨問題 的同倫 H 來, 並且 H 是正則的同倫。 運用 之妙, 存乎一心。 c 項的首次引進, 是同倫方 法先驅者們的傑作, 我們不敢掠美。 高堂安和 我, 只是學了這樣的方法, 用來證明多複變的 Rouch´e 定理。 本來, 多複變的 Rouch´e 定理 需要使用度理論 (Degree theory), 而本文的 做法就簡單得多, 直觀得多。 也許可以說, 我 們只是最早把同倫方法用於多複變的討論而 已。
數值計算和特徵值問題
同倫方法的大宗應用, 是數值計算。 在 多複變 Rouch´e 定理的證明之中, 如果把 g 看作是要算零點 (即要求根) 的映照, 把 f 或 fc 看作是為了算 g 的零點而使用的輔助 映照, 那麼同倫方法就使我們可以沿著簡單 光滑曲線從輔助映照的已知零點出發, 走向
目標映照 g 的零點。 輔助映照是由你選的, 你可以選得十分好, 十分方便, 最要緊的是怎 樣和目標映照相匹配 (how to match)。 文 獻中業已出現的計算多項式全部零點和計算 多項式方程組全部解的方法, 基本思想都是 這樣。 至於在數值上怎樣沿著光滑曲線走, 已 經有許多成熟的方法。 例如, 所謂預估校正法 (predictor-corrector method) 就是這樣一 種算法: 沿曲線的切線走一步預估, 再用譬如 說牛頓 (Newton) 方法校正, 這樣一步一步 走下去。 於是, 自然就出現步長選取和步長調 節的問題。
關鍵還是同倫本身如何設計。 如果把前 面的 c ∈ Cn 叫做同倫 H 和同倫 H 的設 計參數 (design parameter), 那麼因為我們 可以在 Cn的滿測度 (full measure) 子集中 選取合乎要求的 c, 所以按照幾何概率 (geo- metric probability), 人們就說: 對於設計 參數的每一隨機 (random) 選取, 同倫方法 成功的概率是 1。 在實際使用中, 同倫方法成 功的概率 (或確率, 或機率) 接近於 1。
同倫方法當前引人注意的工作, 是李天 岩等人關於虧欠 (deficient) 多項式方程組算 法和特徵值 (eigenvalue) 問題的研究。
設
f = (f1, . . . , fn) : Cn→ Cn 是一個多項式映照, 每個分量 fj 由有限個 形如 az1q1 . . . znqn 的項組成, 其中 a 是非零 複常數, q1, . . . , qn 是非負整數, z1, . . . , zn
是 n 個複變量。 這時, q1 + . . . + qn 叫做 az1q1. . . zqnn 項的階數, 而 fj 中所有項的階
數的最大者 dj, 叫做 fj 的階數, 最後, 稱 (d1, . . . , dn) 為多項式映照 f 的階數。 經典 的 Bezo´ut 定理斷定, 映照 f 的孤立零點的 數目不超過 d1. . . dn, 後者叫做多項式映照 f 的 Bezo´ut 數。 如果多項式映照 f 的孤立 零點數目正好等於它的 Bezo´ut 數, 就說它 是滿零點的多項式映照, 否則的話, 就說它是 虧欠的多項式映照。 已經清楚, 如果 f 的齊次 (homogeneous) 多項式映照只有 0 ∈ Cn 這個“平凡零點”, 那麼 f 就滿零點。 當然, 零 點數目是按重數算的。
值得注意的是, 實際應用中出現的, 常常 是虧欠的多項式。 因為輔助映照通常總是滿 零點的, 如果仍依原來的方式從輔助映照的 全部零點出發進行計算, 一定有許多曲線發 散到無窮遠的地方, 造成很大的浪費。 為了有 效地估計虧欠多項式的孤立零點數目並且經 濟地把這些零點算出來, 李天岩等人提出隨 機乘積同倫 (random product homotopy) 的概念, 針對存在無窮遠零點造成虧欠這個 原因, 按照映照的具體結構來構造同倫, 從而 不跟縱無界的曲線。
特徵值問題是虧欠多項式映照的典型例 子。 為了求解頂多只有 n 個解的特徵值問題, 原來的同倫方法要跟縱 2n 條曲線, 浪費很 大。 引入隨機乘積同倫之後, 可以只跟縱 n 條 曲線。 就曲線數目而言, 這已是最好可能的結 果。 特徵值問題的同倫方法, 還具有保序計算 的優點。
還要注意的是, 只要有足夠的處理器, 就 可以互不干擾地跟縱從輔助映照的已知零點 出發的各條光滑曲線。 所以, 同倫方法本身具
有並行 (parallel) 計算的結構。 此外, 從本 文的論述可以知道, 同倫方法還具有經常大 範圍收斂 (global convergence) 的特點和 整批求解的特點。
楊振寧教授說過, 20 世紀科學發展飛 快, 在這樣的發展當中, 學科的交叉滲透表現 出明顯的優勢。 同倫方法的發展, 是一個生動 的例證。
參考資料
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9. 王則柯, 高堂安, 同倫方法引論, 重慶出版社, 1990。
—本文作者任教於廣州中山大學數學研究 所—
