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105 年大學入學指定科目考試 數學乙 試題

第壹部分：選擇題(單選題、多選題及選填題共占 76 分) 一、單選題(占 18 分)

說明：第1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案 區」。各題答對者，得6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.下列哪一個選項是方程式 7x⁵－2x⁴＋14x³－4x²＋7x－2＝0 的根？

(1)－1 (2) 7

1 (3)－

7

1 (4) 7

2 (5)－

7 2 解1：利用因式分解：

7x⁵－2x⁴＋14x³－4x²＋7x－2＝(7x⁵＋14x³＋7x)＋(－2x⁴－4x²－2)

0＝7x(x⁴＋2x²＋1)－2(x⁴＋2x²＋1)＝(x⁴＋2x²＋1)(7x－2)＝(7x－2)( x²＋1)²，∴x＝

7 2 解2：利用牛頓定理(一次因式檢驗法)

設 f (x)＝7x⁵－2x⁴＋14x³－4x²＋7x－2，且 ax－b 為 f (x)的一次因式，(a，b)＝1

∴a7，b2，取 a＝1，7，b＝1，－1，2，－2

 f (x)可能因式有 x－1，x＋1，7x－1，7x＋1，x－2，x＋2，7x－2，7x＋2 利用綜合除法，得知 f (

7

2)＝0，即 f (x)＝7x⁵－2x⁴＋14x³－4x²＋7x－2＝(7x－2)(x⁴＋2x²＋1)＝0，∴x＝

7 2

答：(4)

出處：第一冊(多項式函數、牛頓定理)

2.考慮有理數 m

n ，其中 m、n 為正整數且 1 mn  8。則這樣的數值(例如 2 1與

4

2同值，只算一個)共有幾個？

(1) 14 個 (2) 15 個 (3) 16 個 (4) 17 個 (5) 18 個 解：由1 mn  8，分析如下表：

n 1~8 1,2,3,4 1,2 1,2 1 1 1 1 m 1 2 3 4 5 6 7 8 當 m＝1 時，n＝1~8，

m n ＝

1 1，

1 2，

1 3，

1 4，

1 5，

1 6，

1 7，

1

8有8 個

當 m＝2 時，n＝1，2，3，4，

m n ＝

2 1，

2 2，

2 3，

2

4 有 4－2＝2 個 ( 表示重複)

當 m＝3 時，n＝1，2，

m n ＝

3 1，

3

2有2 個

當 m＝4 時，n＝1，2，

m n ＝

4 1，

4

2 有1 個

當 m＝5，6，7，8 時，n＝1，

m n ＝

5 1，

6 1，

7 1，

8

1有4 個 共有8＋2＋2＋1＋4＝17個

答：(4)

出處：第一冊(數與式)

3.坐標平面上有兩向量 u ＝(5，10)， v ＝(－4，2)。請問下列哪一個向量的長度最大？

(1)－3 u (2) 6 v (3)－2 u －5 v (4) 2 u －5 v (5) u ＋7 v 解1：(1)－3 u ＝－3(5，10)，∴－3 u ＝－3(5，10)＝3 125 ＝ 1125

(2) 6 v ＝6(－4，2)，∴6 v ＝6(－4，2)＝6 20 ＝ 720

(3)－2 u －5 v ＝(10，－30)，∴－2 u －5 v ＝(10，－30)＝ 1000 (4) 2 u －5 v ＝(30，10)，∴2 u －5 v ＝(30，10)＝ 1000

(5) u ＋7 v ＝(－23，24)，∴ u ＋7 v ＝(－23，24)＝ 1105

解2： u ＝(5，10)＝5(1，2)＝5 a ， v ＝(－4，2)＝2(－2，1)＝2 b ，∴ a ＝ b ＝ 5 ，且 a  b ＝0 (1)－3 u ＝－3(5 a )＝－15 a ，∴－3 u ²＝－15 a ²＝225 a ²

(2) 6 v ＝6(2 b )＝12 b ，∴6 v ²＝12 b ²＝144 b ²＝144 a ²

(3)－2 u －5 v ＝－2(5 a )－5(2 b )＝－10( a ＋ b )，∴－2 u －5 v ²＝－10( a ＋ b )²＝200 a ² (4) 2 u －5 v ＝2(5 a )－5(2 b )＝10( a ＋ b )，∴2 u －5 v ²＝10( a ＋ b )²＝200 a ²

(5) u ＋7 v ＝(5 a )＋7(2 b )＝5 a ＋14 b ，∴ u ＋7 v ²＝5 a ＋14 b ²＝221 a ² 答：(1)

出處：第三冊(向量的基本運算與內積)

二、多選題(占 40 分)

說明：第4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題 答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4.設 f (x)為一未知的實係數多項式，但知道 f (x)除以(x－5)(x－6)²的餘式為5x²＋6x＋7。根據上述所給條件，請選出正確 的選項。

(1)可求出 f (0)之值 (2)可求出 f (11)之值 (3)可求出 f (x)除以(x－5)²的餘式 (4)可求出 f (x)除以(x－6)²的餘式 (5)可求出 f (x)除以(x－5)(x－6)的餘式

解：根據題意，設 f (x)＝(x－5)(x－6)²Q(x)＋(5x²＋6x＋7)，Q(x)為商式 (1) f (0)＝(－5)(－6)²Q(0)＋7，Q(0)的值未知，∴無法求出 f (0)之值

(2) f (11)＝(6)(5)²Q(11)＋(511²＋611＋7)，Q(11)的值未知，∴無法求出 f (11)之值

(3) f (x)＝(x－5)(x－6)²Q(x)＋(5x²＋6x＋7)＝(x－5)²[無法得知(x－6)²Q(x)可否被(x－5)²整除]，∴無法求出餘式 (4) f (x)＝(x－5)(x－6)²Q(x)＋(5x²＋6x＋7)＝(x－6)²[(x－5)Q(x)]＋(x－6)²q(x)＋餘式，∴可求出餘式

(5) f (x)＝(x－5)(x－6)²Q(x)＋(5x²＋6x＋7)＝(x－5)(x－6)[ (x－6)Q(x)]＋(x－5)(x－6)r(x)＋餘式，∴可求出餘式 答：(4)(5)

出處：第一冊(多項式函數)

5.甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及 A 小姐、B 小姐、C 小姐、D 小姐四位女士想要混搭兩部計程車，每 車載有四名乘客。已知：

(一)甲先生與 A 小姐同車 (二)乙先生與 B 小姐同車 (三) C 小姐與 D 小姐不同車 請選出正確的選項。

(1) A 小姐與 D 小姐必不同車 (2)甲先生與 B 小姐必不同車

(3)乙先生與丙先生必同車 (4)如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與 B 小姐必同車 (5)如果 D 小姐與乙先生同車，則 C 小姐與 A 小姐必同車

解：1.根據題意，由(一) (二) (三)得知甲先生、A 小姐、乙先生與 B 小姐必不同車

2.先分成：情形(I)：甲、A、C 同車，乙、B、D 同車；情形(II)：甲、A、D 同車，乙、B、C 同車 3.再將丙、丁分配到情形(I)與情形(II)，得知：

情形(I)：甲、A、C、丙同車，乙、B、D、丁同車；或甲、A、C、丁同車，乙、B、D、丙同車 情形(II)：甲、A、D、丙同車，乙、B、C、丁同車；或甲、A、D、丁同車，乙、B、C、丙同車 答：(2)(5)

出處：第一冊(數與式)

6.設 a＝ ²

1 2

10 ^ ，b＝a ²。請選出正確的選項。

(1) 1＜a (2) a＜ 3 (3)a ＜² b ³ (4)10 ＜b＜^0.4 10 ^0.5 (5)(ab) ²＜10 解：(1) ²

1 2

10 ^ ＝10^10.707＝10^0.293＞10 ＝1 (錯誤) ⁰

(2)∵ 3 ＝10^{log 3}＝10^0.2386， a＝10^0.293＞10^0.2386＝ 3 (錯誤) (3)a ＜² b ³＝a ⁶ (正確)

(4) b＝a ²＝ ^{2 2}

1 2

) 10

( ^ ＝10 ^21＝10^0.414，∴10 ＜b＝^0.4 10^0.414＜10 (正確) ^0.5 (5)(ab) ²＝( aa ²) ²＝(a^{1 2}) ²＝ ^{2 )(1 2) 2}

1 2

( )

10

( ^{ } ＝10^{( 21)(1 2)}＝10¹＝10 (錯誤) 答：(3)(4)

出處：第二冊(指數與對數函數)

7.坐標平面上 O 為原點，P 點坐標為(1，0)，直線 L 的方程式為 x－2y＝－4。請選出正確的選項。

(1)在直線 L 上可以找到一點 A，滿足向量OP與OA平行 (2)在直線 L 上可以找到一點 B，滿足向量OP與OB垂直 (3)在直線 L 上可以找到一點 C，滿足向量OC與PC垂直 (4)在直線 L 上可以找到一點 D，滿足向量 PD ＝2

(5)在直線 L 上可以找到一點 E，滿足EOP 為等腰三角形 解：(1)如圖(1)，找到 A(－4，0)L，使得OP與OA平行

(2)如圖(2)，找到 B(0，2)L，使得OP與OB垂直 (3)設 C(－4＋2k，k)L，∵OC垂直PC

∴OCPC＝(－4＋2k，k)(－5＋2k，k)＝0

5k²－18k＋20＝0

∵判別式＝(－18)²－4(5)(20)＝－76＜0，∴無實數根

即 k 不存在，∴找不到一點 C

另解：∵OC與PC垂直，∴點 C 必在以 O，P 為直徑的圓周上

∴C 不在直線 L 上，如圖(3) (4)∵d(P，L)＝

2 2 ( 2) 1

4 0 1







 ＝ 5 ＞2，如圖(4)，∴找不到點 D

(5)作OP的中垂線交L 於 E 點，則EOP 為等腰三角形，如圖(5) 答：(1)(2)(5)

出處：第三冊(平面向量應用)

8.某社區有一千位居民，其個人月所得少於 10,000 元者占 30%，介於 10,000 元及 20, 000 元間者 10%，介於 20,000 元及 40,000 元間者占 30%，介於 40,000 元及 80,000 元間者占 30%。請選出正確的選項。

(1)該社區個人月所得的中位數介於 20,000 元及 40,000 元間

(2)使用簡單隨機抽樣自該社區中抽出一位居民，其個人月所得在上述的四個區間中，以介於 10,000 元及 20,000 元間的 機率最低

(3)該社區的個人月所得平均，不可能高過 40,000 元

(4)該社區的個人月所得平均，不可能低過該社區的個人月所得中位數

(5)若該社區新搬入一位居民，其月所得為 200,000 元，則該社區的個人月所得平均將增加，但增加量不會多過 200 元 x

y

－4 O

2

L：x－2y＝－4

 P

x y

－4 O

2

L：x－2y＝－4

 P 圖(1)

A x

y

－4 O

2

L：x－2y＝－4

 P 圖(2)

B

O P

C



圖(3) x

y

－4 O

2 L

 P 5

圖(4)

x y

－4 O

2 L

 P 圖(5)

E

解：根據題意，製作資料分配表如下：

月所得(元) 0~1 萬 1~2 萬 2~4 萬 4~8 萬 比例(%) 30% 10% 30% 30%

累積比例 30% 40% 70% 100%

(1)所得的中位數位居 50%，由分配表得知中位數在 2~4 萬元間

(2)由分配表得知，比例最低為 1~2 萬元，占 10%，故隨機抽樣的機率為最低 (3)(4)最低月所得平均數＝0×30%＋1×10%＋2×30%＋4×30%＝1.9(萬元)

最高月所得平均數＝1×30%＋2×10%＋4×30%＋8×30%＝4.1(萬元)，∴1.9(萬元) 月所得平均  4.1(萬元) (5)將 20 萬元平均給 1000＋1 人，∴

1001 200000

＜ 1000

200000＝200，增加量不會多過 200 元

答：(1)(2)(5)

出處：第二冊(數據分析)

三、選填題(占 18 分)

說明：1.第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(9－18) 2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分

A.不透明袋中有三顆白球及三顆紅球。從袋中每次取出一球依序置於桌面，每次每顆球被取出的機率相同。全部取出後，

前三顆球中有相鄰兩球同為白球的機率為 。(請化為最簡分數) 解：前三顆球中有相鄰兩球同為白球的可能情形與機率，如下表：

可能情形 白白白 白白紅 紅白白

機率 6 3×

5 2×

4 1＝

20 1

6 3×

5 2×

4 3＝

20 3

6 3×

5 3×

4 2＝

20 3

機率＝20 1 ＋

20 3 ＋

20 3 ＝

20 7

答：20 7

出處：第二冊(機率)

B.設 x，c 為實數，方陣 A＝ 



 





2 x 2

3 、B＝ 



 



  2 x

2

3 。已知A 的反方陣恰好是 B 的 c 倍(其中 c  0)，

則數對(x，c)＝( ， )。(請化為最簡分數)

解1：(1)detA＝det 



 





2 x 2

3 ＝

2 x 2 3

 ＝3x＋4，A 的反方陣為 4 3

1



x 



 



  3 2

2 x

(2) B 的 c 倍＝c 



 



  2 x

2

3 ＝ 



 



  cx c

c c 2

2 3

(3) 3 4 1



x 



 



  3 2

2

x ＝ 



 



  cx c

c c 2

2

3 ，













) 4 3 ( 3

) 4 3 ( 2 2

x cx

x

c ，相除，解得









 13

1 3 c x

○⁹

○¹⁰○¹¹

○¹² ○¹³

○¹⁴○¹⁵

解2：根據題意A ＝cB，利用左乘 A，AA ＝AcB，∴I＝cAB，I 是單位矩陣

即 



 



 1 0

0

1 ＝c 



 





2 x 2

3 



 



  2 x

2

3 ＝c 



 









 9 6

2

6 2 13

x2

x

x ，









 c x

13 1

0 6

2 ，解得









 13

1 3 c x

答：(3，

13 1 )

出處：第四冊(矩陣)

C.設 a_n 為一等則差數列。已知a₂＋a₄＋a ＝186，₆ a ＋₃ a ＝110。令₇ S ＝_n a₁＋a₂＋…＋a 。 _n

則極限lim ₂ n S_n

n ＝ 。(請化為最簡分數) 解：(1)設 a_n 的首項為a₁，公差為 d

由a₂＋a₄＋a ＝186，(₆ a₁＋d)＋(a₁＋3d)＋(a₁＋5d)＝186，得 3a₁＋9d＝186，化簡a₁＋3d＝62 由a ＋₃ a ＝110，(₇ a₁＋2d)＋(a₁＋6d)＝110，得 2a₁＋8d＝110，化簡a₁＋4d＝55

∴









55 4

62 3

1 1

d a

d

a ，解得









 7

1 83 d

a ，∴S ＝_n a₁＋a₂＋…＋a ＝_n

2

)]

7 )(

1 ( 83 2

[   n 

n ＝

2 173 7 ²

 n

(2)∵ ₂ n S_n

＝ ₂

2

2 173 7

n n 

 ，lim ₂ n S_n

n ＝





nlim ₂

2

2 173 7

n n 

 ＝

2

7

答： 2

7

出處：選修數乙上(極限)

─ ─ ─ ─ ─以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷─ ─ ─ ─ ─

第貳部份：非選擇題(占 24 分)

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號(一、二)與子題號((1)、(2)、……)同時必 須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。

每一子題配分標於題末。

一、設隨機變數 X 表示投擲一不公正骰子出現的點數，P(X＝k)表示隨機變數 X 取值為 k 的機率。已知 X 的機率分布如下 表：（x、y 為未知常數）

k 1 2 3 4 5 6

P(X＝k) x y y x y y

又知 X 的期望值等於 3。

(1)試求 x，y 之值。(6 分)

(2)投擲此骰子兩次，試求點數和為 3 的機率。(6 分) 解：(1)機率總和為 1，∴x＋y＋y＋x＋y＋y＝1，∴2x＋4y＝1

期望值等於3，∴1 x＋2y＋3y＋4x＋5y＋6y＝3，∴5x＋16y＝3

由









3 16 5

1 4 2

y x

y

x 解得













12 1 3 1

y x

○¹⁶○¹⁷

○¹⁸

(2)由(1)得知 P(X＝1)＝

3

1，P(X＝2)＝

12

1 ，且點數和為3 的可能情形與機率如下表：

可能情形 (1，2) (2，1) 機率 3

1× 12

1 ＝ 36

1

12 1 ×

3 1＝

36 1

∴機率＝36 1 ＋

36 1 ＝

18 1 出處：選修數乙下(機率)

二、某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地，分別種植平地作物A 和山坡地作物 B。已知平地每一單位面積 的年租金是30 萬元，山坡地每一單位面積的年租金是 20 萬元；公司一年能夠提供土地租金的上限是 80 萬元。平地 作物A 的種植成本每單位面積一年是 40 萬元，山坡地作物 B 的種植成本每單位面積一年是 50 萬元；公司一年能夠 提供種植成本的上限是130 萬元。每年收成後，作物 A 每單位面積的利潤是 120 萬元，作物 B 每單位面積的利潤是 90 萬元。請問公司一年應租平地和山坡地各多少單位面積，收成後可以獲得最大利潤？又此時的最大利潤為何？

(12 分) (註：所租土地的面積並不限制一定要是整數單位) 解：1.根據題意，列表如下：

租金 成本 利潤 設 平地(作物 A) 30 萬 40 萬 120 萬 x 單位 山坡地(作物 B) 20 萬 50 萬 90 萬 y 單位 限制  80 萬  130 萬 最大

設租平地 x 單位面積，山坡地 y 單位面積

列聯立不等式

















130 50

40

80 20 30

0 ,

y x

y x y x

，目標函數 f (x，y)＝120x＋90y 的最大值

2.作圖求可行解區域，如右圖 3.利用頂點法求最大值

頂點 (0，3) (0，0) ( 3

8，0) (2，1) f (x，y) 270 0 320 330

∴當



 1 2 y

x 時，有最大值330 即租平地2 單位，山坡地 1 單位

可獲得最大利潤為330 萬元

出處：第三冊(線性規劃) 30x＋20y＝80 40x＋50y＝130

x y

O 8/3

13/4 3

13/5

(2,1) 可行解區域